3.6 圆内接四边形&专题特训三 构造辅助圆-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

56 3.6　圆内接四边形 ▶ “答案与解析”见P26 1. (2024·广元)如图,四边形ABCD 是☉O 的 内接四边形,E为AD 延长线上一点,∠AOC= 128°,则∠CDE 的度数为 ( ) (第1题) A. 64° B. 60° C. 54° D. 52° 2. 如图,☉C 过原点,且与两坐标轴分别交于点 A,B,连结AB,点A 的坐标为(0,3),M 是 第三象限内OB ︵ 上一点,∠BMO=120°,则 ☉C 的半径长为 ( ) (第2题) A. 6 B. 5 C. 3 D. 32 3. 如图,四边形ABCD 内接于☉O,且四边形 OABC 是平行四边形,则∠D= . (第3题) 4. 如图,点A,B,C,D,E 在☉O 上,且AB ︵ 的 度数为50°,则∠E+∠C= . (第4题) 5. 如图,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形, BC 的延长线与AD 的延长线交于点E,且 DC=DE. (1) 求证:∠A=∠AEB. (2) 连结OE,交CD 于点F,OE⊥CD.求 证:△ABE 是等边三角形. (第5题) 6. 如图,五边形 ABCDE 内接于☉O,AC ︵ = AE ︵,若∠D=130°,则∠B 的度数为 ( ) (第6题) A. 130° B. 128° C. 115° D. 116° 7. 如图,四边形ABCD 内接于☉O, AB=3,AD=5,∠BCD=120°,C 为BD ︵ 的中点,则线段AC 的长为 ( ) (第7题) A. 43 3 B. 83 3 C. 43 D. 53 2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 57 8. 如图,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形, ∠ADC=150°,弦AC=2,则☉O 的半径为 . (第8题) (第9题) 9. 如图,CD 是☉O 的弦,把CD ︵ 沿弦CD 对折, A 是对折后CD ︵ 上的一点,B 是对折前优弧 CD 上的一点.若∠A=100°,则∠BCA+ ∠BDA 的度数为 . 10. 如图,☉O 的内接四边形ABCD 两组对边 的延长线分别交于点E,F. (1) 当∠E=∠F 时,求∠ADC 的度数. (2) 当∠A=55°,∠E=30°时,求∠F 的 度数. (3) 若∠E=α,∠F=β,且α≠β.请你用含 有α,β的代数式表示∠A 的度数. (第10题) 11. 已知四边形ABCD 内接于☉O, AC 是☉O 的直径,DE⊥AB,垂足 为E. (1) 如图①,延长DE 交☉O 于点F,连结 FB,延长DC,FB交于点P.求证:PC=PB. (2) 如图②,过点B 作BG⊥AD,垂足为G, BG 交DE 于点H,且点O 和点A 都在DE 的左侧,连结OH,BD.若AB= 3,DH= 1,∠OHD=80°,求∠BDE 的度数. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　圆的基本性质 58 专题特训三　构造辅助圆 ▶ “答案与解析”见P28 类型一 根据圆的定义构造圆 1. 如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠A= 60°,M 是AD 边的中点,N 是AB 边上的一 动点,将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到 △A'MN,连结A'C,则A'C 长的最小值是 ( ) (第1题) A. 32-1 B. 23-1 C. 5-1 D. 7-1 2. ★如图,在四边形ABCD 中,AB=AC=AD, ∠DBC=13∠BDC ,∠DAC=25°,则∠BAC 的度数为 . (第2题) 类型二 根据圆周角的性质构造圆 方法归纳:若固定线段所对的动角的度数为定值,则 可以构造辅助圆解题. 模型示例:① 如图,若固定线段AB 所对的动角∠C= 90°,则构造以AB 为直径的辅助圆. ② 如图,若固定线段AB 所对的动角∠P 的度数为 定值,则构造过A,B,P 三点的辅助圆. ③ 如图,若固定线段 AB 所对的同侧动角∠P= ∠C,则构造过A,B,C,P 四点的辅助圆. 3. 如图,在 △ABC 和 △ACD 中,∠ABC= ∠ADC=45°,AC=6,则 AD 长的最大值为 . (第3题) 4. (2023·菏泽)如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°,AB=5, AD=4,AD<BC,点E 在线段BC 上运动,点 F 在 线 段 AE 上,∠ADF= ∠BAE,则线段BF 长的最小值为 . (第4题) 5. 如图,正方形ABCD的边长为22cm, 动点E,F 分别从点A,C 同时出 发,以相同的速度分别沿AB,CD 向终点B,D 运动,当点E 到达点B 时,运动 停止,过点B 作BG⊥EF,垂足为G,连结 AG,则AG 的长最小为 cm. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 ∠ACB=∠D=45°,∠ABD=90°, ∴ BD = AB = 10.∴ AD = 102+102=102.∴ MN 的长的 最大值为1 2AD=52. (第6题) 7. ①②③④ 解析:∵ MN 是☉O 的直径,AB⊥MN,∴ AD=BD, AM︵=BM︵,∠MAN=90°.故①②正 确.∵ AC︵=AM︵,∴ AC︵ =AM︵ = BM︵.∴ ∠ACM + ∠ANM = ∠MOB.故③正确.∵ BM︵=AC︵, ∴ ∠MAE=∠AME.∴ AE=ME. ∵ ∠MAN =90°,∴ ∠EAF + ∠MAE=∠AME+∠AFM=90°. ∴ ∠EAF=∠AFM.∴ AE=EF. ∴ AE=12MF. 故④正确.综上所 述,正确的是①②③④. 与圆周角有关的求角度 问题的常见解题思路 (1) 在圆中,构造同弧或等弧 所对的圆周角可得到有关角相等. (2) 见直径,构建直径所对的 圆周角是常用且重要的构建辅助 线的思路. (3) 在已知条件下,若有与半 径或直径垂直的线段,常延长此线 段,这样可利用垂径定理得到线段 相等、弧相等. 8. 22.5° 解析:设∠ABC=α.如图, 连结 AC,CD,DE.∵ DE︵ =BE︵, ∴ DE=BE.∴ ∠EDB=∠EBD= α.∵ AC︵,CD︵,DE︵ 所在圆的半径相 等,且∠ABC=∠DBC= ∠DBE, ∴ AC︵=CD︵=DE︵.∴ AC=CD= DE.∴ ∠DCE=∠DEC=∠EDB+ ∠EBD=2α.∴ ∠CAD=∠CDA= ∠DCE+∠EBD=3α.∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB=90°.∴ ∠CAB+ ∠ABC=90°.∴ 3α+α=90°,解得α= 22.5°.∴ ∠ABC=22.5°. (第8题) 9. (1) 连结AB. ∵ BC是半圆O 的直径, ∴ ∠BAC=90°. ∴ ∠ACB+∠ABC=90°. ∵ AE⊥BC, ∴ ∠BAE+∠ABE=90°. ∴ ∠BAE=∠ACB. ∵ A 是BD︵ 的中点, ∴ AB︵=AD︵. ∴ ∠ABD=∠ACB. ∴ ∠BAE=∠ABD. ∴ AF=BF. (2) 当D 为AC︵ 的中点时,有AG= FG. 理由:∵ D 为AC︵ 的中点, ∴ AD︵=CD︵. ∵ A 为BD︵ 的中点, ∴ AB︵=AD︵. ∴ AB︵=AD︵=CD︵. ∴ ∠ACB=∠EBF. 由(1),得∠ACB=∠ABD=∠BAF, ∴ ∠BAF=∠EBF. ∵ ∠BAC=∠AEB=90°, ∴ ∠BAF + ∠FAG = ∠EBF + ∠BFE. ∴ ∠FAG=∠BFE=∠AFG. ∴ AG=FG. 10. (1) 如图①,连结OD. ∵ M 是CD 的中点,CD=12, ∴ DM=12CD=6 ,OM⊥CD. ∴ 在 Rt△OMD 中, OD = OM2+DM2= 32+62=35,即 ☉O 的半径为35. (2) 如图②,连结AC,延长AF 交BD 于点G. ∵ AB⊥CD,CE=EF, ∴ AB 是CF 的垂直平分线. ∴ AF=AC,即△ACF 是 等 腰 三 角形. ∵ CE=EF, ∴ ∠FAE=∠CAE. ∵ BC︵=BC︵, ∴ ∠CAE=∠CDB. ∴ ∠FAE=∠CDB. ∵ 在Rt△BDE中,∠CDB+∠B=90°, ∴ ∠FAE+∠B=90°. ∴ ∠AGB=90°. ∴ AG⊥BD,即AF⊥BD. (第10题) 3.6　圆内接四边形 1. A 2. C 3. 60° 4. 155° 5. (1) ∵ 四边形ABCD 是☉O 的内 接四边形, ∴ ∠A+∠BCD=180°. ∵ ∠DCE+∠BCD=180°, ∴ ∠A=∠DCE. ∵ DC=DE, ∴ ∠DCE=∠AEB. ∴ ∠A=∠AEB. (2) ∵ ∠A=∠AEB, ∴ △ABE 是等腰三角形. ∵ OE⊥CD, ∴ CF=DF. ∴ OE 是CD 的垂直平分线. ∴ DE=CE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 ∵ DC=DE, ∴ DC=DE=CE. ∴ △DCE 是等边三角形. ∴ ∠AEB=60°. ∴ △ABE 是等边三角形. 6. C 解析:如图,连结AC,CE.由题 意,可知点 A,C,D,E 在☉O 上, ∴ ∠CAE+∠D=180°.∵ ∠D= 130°,∴ ∠CAE=180°-130°=50°. ∵ AC︵=AE︵,∴ ∠ACE=∠AEC= 1 2× (180°-50°)=65°.∵ 点A,B, C,E 在☉O 上,∴ ∠AEC+∠B= 180°.∴ ∠B=180°-65°=115°. (第6题) 7. B 解析:如图,过点C 分别作 CE⊥AD 于点E,CF⊥AB 交AB 的 延长线于点F,则∠AFC=∠AEC= ∠DEC=90°.∵ C 为BD︵ 的中点, ∴ CD︵=BC︵.∴ ∠DAC=∠BAC. ∴ AC 平分∠BAD.∴ CF=CE.在 △ACF 和 △ACE 中, ∠FAC=∠EAC, ∠AFC=∠AEC, AC=AC, ∴ △ACF≌ △ACE.∴ AF =AE.∵ 四 边 形 ABCD 内接于☉O,∴ ∠D=180°- ∠ABC=∠FBC,∠BAD=180°- ∠BCD = 180° - 120° = 60°. ∴ ∠BAC=∠DAC= 12∠BAD= 1 2×60°=30°. 在△FBC 和△EDC 中, ∠FBC=∠D, ∠BFC=∠DEC, CF=CE, ∴ △FBC≌ △EDC.∴ BF=DE.∴ AD+AB= AE+DE+AF-BF=AE+AF= 3+5=8.∴ AF = AE =4. ∵ ∠BAC = 30°,∠AFC = 90°, ∴ CF=12AC.∴ 在Rt△ACF 中, 1 2AC 2 +42=AC2,解 得 AC= 83 3 (负值舍去). (第7题) 8. 2 解析:如图,连结 OA,OC. ∵ 四边形ABCD 是☉O 的内接四边 形,∴ ∠ADC + ∠ABC =180°. ∵ ∠ADC=150°,∴ ∠ABC=30°. ∴ ∠AOC=2∠ABC=60°.∵ OA= OC,∴ △OAC 为 等 边 三 角 形. ∴ OA=AC=2,即☉O 的半径为2. (第8题) 9. 20° 解析:如图,作点A 关于CD 的对称点A',则点A'在对折前CD︵ 上.∴ ∠A'=∠A=100°.∵ 四边形 A'DBC 是 ☉O 的 内 接 四 边 形, ∴ ∠B+ ∠A'=180°.∴ ∠B = 180°-100°=80°.∴ ∠BCD + ∠BDC = 180° - ∠B = 100°. ∵ ∠A= 100°, ∴ ∠ACD + ∠ADC = 180° - ∠A = 80°. ∴ ∠BCA + ∠BDA = ∠BCD + ∠BDC - (∠ACD + ∠ADC)= 100°-80°=20°. (第9题) 10. (1) ∵ ∠E=∠F,∠DCE= ∠BCF,∠ADC = ∠E + ∠DCE, ∠ABC=∠F+∠BCF, ∴ ∠ADC=∠ABC. ∵ 四边形ABCD 是☉O 的内接四 边形, ∴ ∠ADC+∠ABC=180°. ∴ ∠ADC=90°. (2) ∵ 在 △ABE 中,∠A =55°, ∠E=30°, ∴ ∠ABE=180°-∠A-∠E=95°. ∴ ∠ADF=180°-∠ABE=85°. ∴ 在 △ADF 中,∠F =180°- ∠ADF-∠A=40°. (3) ∵ ∠ADC=180°-∠A-∠F, ∠ABC =180°- ∠A - ∠E,且 ∠ADC+∠ABC=180°, ∴ 180°-∠A-∠F+180°-∠A- ∠E=180°. ∴ 2∠A+∠E+∠F=180°. ∴ ∠A=90°-∠E+∠F2 =90°- α+β 2 . 11. (1) ∵ AC是☉O 的直径, ∴ ∠ABC=90°. ∵ DE⊥AB, ∴ ∠DEA=90°. ∴ ∠DEA=∠ABC. ∴ BC∥DE. ∴ ∠F=∠PBC. ∵ 四边形BCDF 是☉O 的内接四 边形, ∴ ∠F+∠DCB=180°. ∵ ∠PCB+∠DCB=180°, ∴ ∠F=∠PCB. ∴ ∠PCB=∠PBC. ∴ PC=PB. (2) 如图,连结OD,设DE 交AC 于 点N. ∵ AC是☉O 的直径, ∴ ∠ADC=∠ABC=90°. ∵ BG⊥AD, ∴ ∠AGB=90°. ∴ ∠ADC=∠AGB. ∴ BG∥CD. 由(1)知,BC∥DE, ∴ 四边形DHBC是平行四边形. ∴ BC=DH=1. 在Rt△ABC中,AB=3,BC=1, ∴ AC= AB2+BC2=2. ∴ BC=12AC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 ∴ 易得∠ACB=60°. ∵ BC=12AC=OD , ∴ DH=OD. ∴ 在 △DOH 中, ∠DOH = ∠OHD=80°. ∴ ∠ODH=20°. ∵ BC∥DE, ∴ ∠ONH=∠ACB=60°. ∴ ∠DOC=∠ONH-∠ODH=40°. ∵ OA=OD, ∴ ∠OAD=∠ODA. ∴ ∠OAD=12∠DOC=20°. ∴ ∠CBD=∠OAD=20°. ∵ BC∥DE, ∴ ∠BDE=∠CBD=20°. (第11题) 专题特训三　构造辅助圆 1. D 解析:∵ △AMN 沿MN 所在 直线翻折得到△A'MN,∴ MA'= MA.∴ 点A'在以点M 为圆心、MA 的长为半径的圆上.如图,过点M 作 MH⊥CD,交CD 的延长线于点H, 连结CM,与☉M 交于点P.易知PC 的长就是A'C长的最小值.∵ 四边形 ABCD 为 菱 形,∴ AD=DC =2, AB∥CD.∴ ∠HDM=∠A=60°. ∴ ∠HMD=30°.∵ M 是AD 的中 点,∴ MD = MA = 12AD =1. ∴ DH= 12MD = 1 2.∴ HM= MD2-DH2 = 32. 又 ∵ CH = CD + DH = 52 ,∴ CM = CH2+HM2= 7.∴ PC=CM- PM=7-1,即A'C 长的最小值是 7-1. (第1题) 2. 75° 解析:∵ AB=AC=AD, ∴ 点B,C,D 在以点A 为圆心、AB 的 长 为 半 径 的 ☉A 上 (如 图). ∵ ∠DAC= 25°, ∴ ∠DBC = 1 2∠DAC= 12.5°.∵ ∠DBC = 1 3∠BDC ,∴ ∠BDC=3∠DBC= 37.5°.∴ ∠BAC=2∠BDC=75°. (第2题) 构造辅助圆解决问题的 一般方法 当条件中出现两个或两个以 上的点到某一定点的距离相等时, 我们可以尝试以这个定点为圆心、 各点到定点的距离为半径构造一 个圆,往往能够在问题的条件与结 论之间架设新的桥梁,从而使解题 思路“柳暗花明”. 3. 62 解析:∵ ∠ABC=∠ADC= 45°,∴ A,C,D,B 四点在同一个圆 上.如图,作☉O 经过A,C,D,B 四 点,连结AO,OC,延长AO 交☉O 于 点D'.当AD 为☉O 的直径时,AD 的长有最大值,为AD'的长.∵ ∠ADC= 45°,∴ ∠AOC=90°.∵ OA=OC, ∴ △AOC是等腰直角三角形.∵ AC= 6,∴ 易 得 AO=3 2.∴ AD'= 2AO=62,即AD长的最大值为62. (第3题) 4. 29-2 解析:如图,设AD 的中 点为O,以AD 为直径画圆,连结OB, 设 OB 与 ☉O 的 交 点 为 点 F'. ∵ ∠ABC=∠BAD=90°,即∠ABC+ ∠BAD=180°,∴ AD∥BC.∴ ∠DAE= ∠AEB.∵ ∠ADF=∠BAE,∴ ∠DFA= ∠ABE=90°.∴ 点F 在以AD 为直 径的半圆上运动.∴ 当点F运动到OB 与☉O 的交点F'时,线段BF 有最小 值.∵ AD=4,∴ AO=OF'=12AD= 2.∴ BO= 52+22= 29.∴ 线段 BF 长的最小值为 29-2. (第4题) 5. (5-1) 解析:如图,连结AC, BD,交于点O.由题意,易知直线EF 经过点O,取OB 的中点M,以点 M 为圆心、OM 的长为半径画圆,连结 MG,易知点G 在☉M 上,∴ 当A, G,M 三点共线时,AG 的长取得最小 值.∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形, ∴ AC⊥BD,OA=OB.∵ AB= 22cm,∴ 易得OA=OB=2cm. ∴ OM=1cm.∴ 在Rt△OAM 中, AM = OA2+OM2 = 22+12 = 5(cm).在Rt△BOG 中,∵ M 是OB 的中 点,∴ GM= 12OB =1cm. ∴ AG 的长最小为(5-1)cm. (第5题) 3.7　正多边形 1. D 2. C 3. B 4. 30° 5. (1) 如图①所示. (2) 如图②所示. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82