3.5 圆周角-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

∴ ∠OBA=12 (180°-∠AOB)= 90°-∠BOC,∠OCA= 12 (180°- ∠AOC)=90°-32∠BOC.∴ ∠OBA≠ ∠OCA.故③错误.综上所述,正确的 个数是1. 由圆心角、弧、弦之间的 相等关系误得倍数关系 在同圆或等圆中,如果两个圆 心角、两条弧、两条弦中有一组量 相等,那么它们所对应的其余各组 量都分别相等.但应注意的是,同 圆或等圆中,当两个圆心角或两条 弧存在倍数(1倍除外)关系时,对 应的 两 条 弦 不 存 在 相 应 的 倍 数 关系. 8. 20 解析:如图,连结 AO,BO, 则OA =OB =OC.∴ ∠OBC = ∠OCB,∠OAB=∠OBA.∵ AB= BC,∴ ∠AOB=∠BOC.∴ ∠OBA= 1 2 (180°- ∠AOB)= 12 (180°- ∠BOC)=∠OBC.∵ ∠ABC=40°, ∴ ∠OBC = 20°.∴ ∠OCB = ∠OBC=20°. (第8题) 9. (1) ∵ AB︵=AC︵, ∴ AB=AC. ∵ ∠ACB=60°, ∴ △ABC是等边三角形. ∴ AB=BC=AC. ∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC. (2) 连结OD. ∵ D 是AB︵ 的中点, ∴ AD︵=BD︵. ∴ ∠AOD=∠BOD=12∠AOB= 1 2× 1 3×360°=60°. ∵ OD=OA,OD=OB, ∴ △OAD 和△OBD 都 是 等 边 三 角形. ∴ OA=AD=OD,OB=BD=OD. ∴ OA=AD=BD=OB. ∴ 四边形OADB 是菱形. 10. 连结AC,BD. ∵ 在☉O 中,∠AOB=90°,C,D 是 AB︵ 的三等分点, ∴ ∠AOC = ∠COD = ∠BOD = 1 3∠AOB= 1 3×90°=30°. ∵ OA=OB, ∴ ∠OAB=∠OBA=45°. ∵ ∠AOC=∠BOD=30°, ∴ ∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+ 30°=75°. ∵ OA=OC,∠AOC=30°, ∴ ∠ACE=75°. ∴ ∠ACE=∠AEC. ∴ AC=AE. 同理,可得BF=BD. ∵ C,D 是AB︵ 的三等分点, ∴ AC=CD=BD. ∴ AE=BF=CD. 11. 3 解析:如 图,过 点 D 作 DD'⊥AB 于点H,交☉O 于点D',连 结OC,OD',则BD︵=D'B︵.∵ BC︵+ BD︵=23AB ︵,∴ CD'︵=BC︵+BD'︵= 2 3AB ︵.∵ AB︵ 的度数为180°,∴ CD'︵ 的度数为180°×23=120°.∴ ∠COD'= 120°.连结 CD'交AB 于点 M',若 点M 与点M'重合,则 MC+MD 的 值最小,为线段CD'的长.过点O 作 ON⊥CD'于点N,交☉O 于点G,连 结CG,则CN=ND'.∵ OC=OD', ∴ ∠OCD'=∠OD'N=30°.∴ ∠COG= 60°.∵ OC=OG,∴ △OCG 为等边 三 角 形.∵ CN⊥OG,∴ ON = 1 2OG.∵ OG=OC= 12AB=1 , ∴ ON=12.∴ CN= 12- 12 2 = 3 2.∴ CD'= 3.∴ MC+MD 的最 小值是3. (第11题) 12. (1) 如图,连结OC. ∵ C是ACB︵ 的中点, ∴ AC︵=BC︵. ∴ ∠COD=∠COE. ∵ OA=OB,AD=BE, ∴ OA-AD=OB-BE,即OD=OE. 在△COD 和△COE 中, OD=OE, ∠COD=∠COE, CO=CO, ∴ △COD≌△COE. ∴ CD=CE. (2) 如图,连结OM,ON. 由(1),知△COD≌△COE, ∴ ∠CDO=∠CEO,∠OCD=∠OCE. ∵ OC=OM=ON, ∴ ∠OCM=∠M,∠OCN=∠N. ∴ ∠M=∠N. ∵ ∠CDO = ∠M + ∠MOD, ∠CEO=∠N+∠NOE, ∴ ∠MOD=∠NOE,即∠MOA= ∠NOB. ∴ AM︵=BN︵. (第12题) 3.5　圆 周 角 第1课时 圆周角定理及其推论1 1. D 2. A 3. 50° 4. 10 5. (1) ∵ 在☉C中,OA 是直径, ∴ ∠ADO=90°,即OD⊥AB. ∵ 在☉O 中,OD⊥AB, ∴ AD=BD. (2) ∵ EO=AO=10,DE=4, ∴ OD=EO-DE=6. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 在Rt△ADO 中,由 勾 股 定 理,得 AD= AO2-OD2= 102-62=8, 在 Rt△ADE 中,由 勾 股 定 理,得 AE= AD2+DE2 = 82+42 = 45. 6. C 解析:∵ BC∥OA,∴ ∠ACB= ∠A=25°,∠B=∠AOB.∴ ∠B= ∠AOB=2∠ACB=50°.∵ BD 是 ☉O 的 直 径,∴ ∠BCD =90°. ∴ ∠D=90°-∠B=90°-50°=40°. 7. C 解析:连结OB.∵ A(2,0), D(4,0),∴ OA=2,OD=4.∴ OB= OD=4.∴ OA=12OB.∵ 四边形 OABC 为矩形,∴ ∠BAO=90°.又 ∵ OA= 12OB ,∴ 易得∠OBA= 30°.∴ ∠AOB=90°-30°=60°. ∴ ∠BED=12∠BOD= 1 2×60°=30°. 8. 5 解析:如图,连结BC.∵ AC⊥ AB,∴ ∠CAB=90°.∴ BC 是☉O 的直 径.∴ OA =OB =OC.在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得BC= AC2+AB2 = 22+42 =25, ∴ OA=12BC=5. (第8题) 9. 8 解 析:如 图,连 结 AE,则 ∠BEA=∠AED=90°.∴ 点E 在以 AB 为直径的☉Q 上,连结QE,QC. ∵ AB=10,∴ QA = QB =5. ∵ QE+CE≥QC,即 CE≥QC- QE,∴ 当点Q,E,C 共线时,CE= QC-QE 为最小.∵ AC=12,∴ QC= AQ2+AC2 =13.∴ CE=QC - QE=13-5=8.∴ 线段CE 长的最 小值是8. (第9题) 10. (1) 如图,连结BE. ∵ BC为半圆O 的直径, ∴ ∠BEC=90°. ∴ BE⊥AC. ∵ AB=BC, ∴ AE=CE. (2) 如图,连结CD. ∵ BO=r, ∴ BC=2BO=2r. ∴ AB=BC=2r. ∵ BC为半圆O 的直径, ∴ ∠BDC=90°. 在Rt△BCD 中, ∵ ∠ABC=45°, ∴ ∠BCD=45°. ∴ BD=CD. 根据勾股定理,得BD2+CD2=BC2, ∴ 2BD2=(2r)2. ∴ BD=2r. ∴ AD=AB-BD=2r- 2r=(2- 2)r. (第10题) 11. (1) ∵ P 为AB︵ 的中点, ∴ AP︵=BP︵. ∴ ∠BCP=∠ADP=∠BDP. ∵ AD⊥PC, ∴ ∠CME=90°. ∵ ∠DNE= 180° - ∠ADP - ∠DEN=180°- ∠C- ∠CEM = ∠CME=90°, ∴ ∠DNB=180°-∠DNE=90°= ∠DNE. 在△DNE 和△DNB 中, ∠EDN=∠BDN, DN=DN, ∠DNE=∠DNB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DNE≌△DNB. ∴ NE=NB. ∴ N 为BE 的中点. (2) 如图,连结OA,OB,AB,AC. ∵ AB︵ 的度数为90°, ∴ ∠AOB=90°. ∵ OA=OB=8, ∴ AB= OA2+OB2=82. 同理于(1),可证得AM=EM. ∵ EN=BN, ∴ MN 是△AEB 的中位线. ∴ MN=12AB=42. (第11题) 第2课时 圆周角定理的推论2 1. B 2. A 3. 55° 4. ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACB=∠ADB=90°. ∵ 在Rt△ABC中,AB=10,AC=6, ∴ BC= AB2-AC2= 102-62=8. ∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠ACD=∠BCD. ∴ AD︵=BD︵. ∴ AD=BD. 在Rt△ABD 中,AD2+BD2=AB2, ∴ AD2+BD2=102. ∴ AD=BD= 1002 =52. 5. C 解析:设∠ABD=∠ACD=α, 则∠A=∠D=∠ACD-∠P=α- 55°,∵ ∠AED=∠ACD+∠D= 105°,∴ α+α-55°=105°,解得α= 80°.∴ ∠ACD=80°. 6. 52 解析:∵ M,N 分别是AB, BC 的中点,∴ MN=12AC.∴ 当 AC的长最大时,MN 的长最大.如 图,连结AO 并延长,交☉O 于点D, 连结BD,则AD 为☉O 的直径.当点 C与点D 重合时,AC 的长最大.易知 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 ∠ACB=∠D=45°,∠ABD=90°, ∴ BD = AB = 10.∴ AD = 102+102=102.∴ MN 的长的 最大值为1 2AD=52. (第6题) 7. ①②③④ 解析:∵ MN 是☉O 的直径,AB⊥MN,∴ AD=BD, AM︵=BM︵,∠MAN=90°.故①②正 确.∵ AC︵=AM︵,∴ AC︵ =AM︵ = BM︵.∴ ∠ACM + ∠ANM = ∠MOB.故③正确.∵ BM︵=AC︵, ∴ ∠MAE=∠AME.∴ AE=ME. ∵ ∠MAN =90°,∴ ∠EAF + ∠MAE=∠AME+∠AFM=90°. ∴ ∠EAF=∠AFM.∴ AE=EF. ∴ AE=12MF. 故④正确.综上所 述,正确的是①②③④. 与圆周角有关的求角度 问题的常见解题思路 (1) 在圆中,构造同弧或等弧 所对的圆周角可得到有关角相等. (2) 见直径,构建直径所对的 圆周角是常用且重要的构建辅助 线的思路. (3) 在已知条件下,若有与半 径或直径垂直的线段,常延长此线 段,这样可利用垂径定理得到线段 相等、弧相等. 8. 22.5° 解析:设∠ABC=α.如图, 连结 AC,CD,DE.∵ DE︵ =BE︵, ∴ DE=BE.∴ ∠EDB=∠EBD= α.∵ AC︵,CD︵,DE︵ 所在圆的半径相 等,且∠ABC=∠DBC= ∠DBE, ∴ AC︵=CD︵=DE︵.∴ AC=CD= DE.∴ ∠DCE=∠DEC=∠EDB+ ∠EBD=2α.∴ ∠CAD=∠CDA= ∠DCE+∠EBD=3α.∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB=90°.∴ ∠CAB+ ∠ABC=90°.∴ 3α+α=90°,解得α= 22.5°.∴ ∠ABC=22.5°. (第8题) 9. (1) 连结AB. ∵ BC是半圆O 的直径, ∴ ∠BAC=90°. ∴ ∠ACB+∠ABC=90°. ∵ AE⊥BC, ∴ ∠BAE+∠ABE=90°. ∴ ∠BAE=∠ACB. ∵ A 是BD︵ 的中点, ∴ AB︵=AD︵. ∴ ∠ABD=∠ACB. ∴ ∠BAE=∠ABD. ∴ AF=BF. (2) 当D 为AC︵ 的中点时,有AG= FG. 理由:∵ D 为AC︵ 的中点, ∴ AD︵=CD︵. ∵ A 为BD︵ 的中点, ∴ AB︵=AD︵. ∴ AB︵=AD︵=CD︵. ∴ ∠ACB=∠EBF. 由(1),得∠ACB=∠ABD=∠BAF, ∴ ∠BAF=∠EBF. ∵ ∠BAC=∠AEB=90°, ∴ ∠BAF + ∠FAG = ∠EBF + ∠BFE. ∴ ∠FAG=∠BFE=∠AFG. ∴ AG=FG. 10. (1) 如图①,连结OD. ∵ M 是CD 的中点,CD=12, ∴ DM=12CD=6 ,OM⊥CD. ∴ 在 Rt△OMD 中, OD = OM2+DM2= 32+62=35,即 ☉O 的半径为35. (2) 如图②,连结AC,延长AF 交BD 于点G. ∵ AB⊥CD,CE=EF, ∴ AB 是CF 的垂直平分线. ∴ AF=AC,即△ACF 是 等 腰 三 角形. ∵ CE=EF, ∴ ∠FAE=∠CAE. ∵ BC︵=BC︵, ∴ ∠CAE=∠CDB. ∴ ∠FAE=∠CDB. ∵ 在Rt△BDE中,∠CDB+∠B=90°, ∴ ∠FAE+∠B=90°. ∴ ∠AGB=90°. ∴ AG⊥BD,即AF⊥BD. (第10题) 3.6　圆内接四边形 1. A 2. C 3. 60° 4. 155° 5. (1) ∵ 四边形ABCD 是☉O 的内 接四边形, ∴ ∠A+∠BCD=180°. ∵ ∠DCE+∠BCD=180°, ∴ ∠A=∠DCE. ∵ DC=DE, ∴ ∠DCE=∠AEB. ∴ ∠A=∠AEB. (2) ∵ ∠A=∠AEB, ∴ △ABE 是等腰三角形. ∵ OE⊥CD, ∴ CF=DF. ∴ OE 是CD 的垂直平分线. ∴ DE=CE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 52 3.5　圆 周 角 第1课时 圆周角定理及其推论1 ▶ “答案与解析”见P24 1. (2024·临夏)如图,AB 是☉O 的直径,∠E= 35°,则∠BOD 的度数为 ( ) A. 80° B. 100° C. 120° D. 110° (第1题) (第2题) 2. (2024·泰安)如图,AB 是☉O 的直径,C,D 是 ☉O 上 的 两 点,BA 平 分 ∠CBD.若 ∠AOD=50°,则∠A 的度数为 ( ) A. 65° B. 55° C. 50° D. 75° 3. (2024·杭州拱墅模拟)如图,点A,B,C 在 ☉O 上,∠AOC=130°,∠ACB=40°,则BC ︵ 的度数为 . (第3题) 4. 如图,小华同学设计了一个量直径的测量器, 在点O 处将标有刻度的尺子OA,OB 钉在一 起,并使它们保持垂直.量直径时,把点O 靠 在圆周上,读得刻度OE 为8个单位,OF 为 6个单位,则圆的直径为 个单位. (第4题) 5. 如图,OA 是☉O 的半径,以OA 为直径的 ☉C 与☉O 的弦AB 相交于点D,连结OD 并延长交☉O 于点E,连结AE. (1) 求证:AD=DB. (2) 若AO=10,DE=4,求AE 的长. (第5题) 6. 如图,点A,B,C 在☉O 上,BC∥OA,连结 BO 并延长,交☉O 于点D,连结AC,DC.若 ∠A=25°,则∠D 的度数为 ( ) A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° (第6题) (第7题) 7. 如图,矩形OABC 的边OA,OC 分 别在x轴、y轴的正半轴上,点D 在 OA 的延长线上.若A(2,0),D(4, 0),以点O 为圆心、OD 的长为半径的弧经过 点B,交y轴正半轴于点E,连结DE,BE,则 ∠BED 的度数为 ( ) A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 53 8. 如图,A,B,C是☉O上的三个点,且CA⊥AB. 若CA=2,AB=4,则OA 的长为 . (第8题) (第9题) 9. 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°, AC=12,AB=10,D 是AC 上的一 个动点,以AD 为直径的☉O 交BD 于点E,则线段CE 长的最小值是 . 10. (2023·杭州西湖期中)如图,在锐角三角形 ABC 中,AB=BC,以BC 为直径作半圆O, 分别交AB,AC 于点D,E. (1) 求证:AE=CE. (2) 若∠ABC=45°,BO=r,求线段AD 的 长(用含r的式子表示). (第10题) 11. 如图,在☉O 中,P 为AB ︵ 的中点, 弦AD,PC 互相垂直,垂足为 M, BC 分别与AD,PD 相交于点E, N,连结BD,MN. (1) 求证:N 为BE 的中点. (2) 若☉O 的半径为8,AB ︵ 的度数为90°, 求线段MN 的长. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　圆的基本性质 54 第2课时 圆周角定理的推论2 ▶ “答案与解析”见P25 1. 如图,D 是AC ︵ 的中点,则图中与∠ABD 相 等的角的个数是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 (第1题) (第2题) (第3题) 2. (2024·宜宾)如图,AB 是☉O 的直径,若 ∠CDB=60°,则∠ABC 的度数为 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3. 如图,点A,B,C,D,E,F 均在☉O 上.若 ∠ADF=20°,∠FEC=35°,则∠ABC= . 4. 如图,在☉O 中,直径AB=10,弦AC 为6, ∠ACB 的平分线交☉O 于点D.求BC,AD, BD 的长. (第4题) 5. 如图,☉O 的两条弦AB,CD 所在的直线交 于点P,AC 与BD 交于点E,∠AED=105°, ∠P=55°,则∠ACD 的度数为 ( ) A. 65° B. 75° C. 80° D. 85° (第5题) (第6题) 6. 如图,AB 是☉O 的弦,AB=10,C 是☉O 上 的一个动点,且∠ACB=45°.若M,N 分别 是AB,BC 的中点,则MN 的长的最大值是 . 7. ★如图,MN 是☉O 的直径,弦AB⊥MN, 垂足为D,连结AM,AN,OB,C 为AN ︵ 上 一点,且AC ︵ =AM ︵,连结AC,CM,CM 分 别交 AB,AN 于 点 E,F.有 下 列 结 论: ① ∠MAN=90°;② AM ︵ =BM ︵;③ ∠ACM+ ∠ANM=∠MOB;④ AE=12MF. 其中,正 确的是 (填序号). (第7题) (第8题) 8. 如图,AB 是☉O 的直径,BC 是☉O 的弦,先将BC ︵ 沿BC 翻折,交AB 于点D,再将BD ︵ 沿AB 翻折,交 BC 于点E.若BE ︵ =DE ︵,则∠ABC 的度数 为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 55 9. 如图,BC 是半圆O 的直径,点D 在半圆O 上,A 是BD ︵ 的中点,AE⊥BC,垂足为E, BD 分别交AE,AC 于点F,G. (1) 求证:AF=BF. (2) 当点D 在何处时,有AG=FG? 请说明 理由. (第9题) 10. 如图,在☉O 中,两条互相垂直的 弦AB,CD 交于点E. (1) 若M 是CD 的中点,OM=3, CD=12,求☉O 的半径. (2) 若点F 在CD 上,且CE=EF,求证: AF⊥BD. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　圆的基本性质