3.3 垂径定理（选学）-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

46 3.3　垂径定理 第1课时 垂径定理 ▶ “答案与解析”见P21 1. (2024·宁波期中)如图,☉O 的直径CD 垂 直于弦AB 于点E,且OE=1cm,DE= 4cm,则AB 的长为 ( ) A. 10cm B. 210cm C. 22cm D. 42cm (第1题) (第2题) 2. (2024·浙江期中)我国古代数学著作《九章 算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题:“今 有圆材埋壁中,以锯锯之,深一寸,锯道长 一尺,问径几何?”大意如下:如图,CD 是☉O 的直径,弦 AB⊥CD 于点P,CP=1寸, AB=10寸,则直径CD 的长是 ( ) A. 20寸 B. 23寸 C. 26寸 D. 30寸 3. 如图,AB,AC 都是☉O 的弦,OM⊥AB, ON⊥AC,垂足分别为M,N.若MN= 5, 则BC= . (第3题) (第4题) 4. 如图,AB 是半圆O 的直径,弦CD∥AB, CD=8,AB=10,则CD 与AB 之间的距离 是 . 5. 如图,在以点O 为圆心的两个同心圆(两圆的 圆心均为点O)中,大圆的弦AB 交小圆于点 C,D. (1) 求证:AC=BD. (2) 若大圆的半径R=10,小圆的半径r=6, 且圆心O 到直线AB 的距离为3,求 AC 的长. (第5题) 6. (2024·宁波奉化期中)如图,☉O 的半径为 5,AB⊥CD,垂足为P,且AB=CD=8,则 OP 的长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 32 D. 42 (第6题) (第7题) 7. (2023·宁波鄞州期末)如图,☉O 的半径为5,弦AB=6,点C 在弦 AB 上,延长CO 交☉O 于点D,则 CD 的取值范围是 ( ) A. 6≤CD≤8 B. 8≤CD≤10 C. 9<CD<10 D. 9≤CD≤10 8. ★已知圆中两条平行的弦之间的距离为1,其 中一条弦的长为8.若该圆的半径为5,则另 一条弦的长为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 47 9. 如图,☉O内有折线OABC,OA=4,BC=10, ∠A=∠B=60°,则AB的长为 . (第9题) 10. 如图所示为一个半圆形桥洞截面 示意图,点O 为圆心,直径AB 是 河底线,弦CD 是水位线,CD∥ AB,且AB=26m,OE⊥CD 于点E.水位 正常时测得OE∶CD=5∶24. (1) 求CD 的长. (2) 汛期来临时,水面以每小时4m的速度 上升,请问:经过多长时间桥洞会被水灌满? (第10题) 11. (1) 如图①,AB 为☉O 的直径,直线l交 ☉O 于点C,D,过点A,B 分别作直线l的 垂线,垂足分别为E,F.经推证,可得出结 论EC=DF,请写出你的证明过程. (2) 在(1)中,若把直线l继续向上平移,使 弦CD 与直径AB 交于点P(点P 不与点 A,B 重合),在其他条件不变的情况下,请 在图②中将变化后的图形画出来,标好对应 字母,并判断(1)中的结论是否仍然成立.若 不成立,请说明理由;若成立,请给予证明. (3) 若(2)中☉O 的半径为5,∠CPB= 150°,且AP∶BP=7∶3,求弦CD 的长. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　圆的基本性质 48 第2课时 垂径定理的逆定理 ▶ “答案与解析”见P22 1. 如图,在☉O 中,点P 在弦AB 上,CD 是过 点P 的直径.有下列条件:① AP=12AB ; ② OP=OD;③ AB ︵ =2BC ︵;④ AD ︵ =BD ︵ . 其中,能得到CD⊥AB 的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (第1题) (第2题) 2. 如图,在☉O 中,半径OC 与弦AB 交于点D, 且AC ︵ =BC ︵,AB=8,OC=5,则CD 的长为 ( ) A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 (第3题) 3. 一个隧道的横截面如图所示,它 的形状是以点O 为圆心、5m为 半径的圆的一部分,M 是弦CD 的中点,ME 经过圆心O 交☉O 于点E.若CD=6m,则隧道的高(ME 的长) 为 . 4. 如图,☉O 的直径AB 交弦CD 于点P,CP= PD,CD=10,AP∶PB=1∶5.求☉O 的 半径. (第4题) 5. 如图,☉O的半径为5,AB 是☉O 的弦,AB= 8,Q 为AB 的中点,P 是☉O 上的一点(不与 点A,B 重合),连结PQ,则PQ 长的最小 值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 8 (第5题) (第6题) 6. 筒车是我国古代人民发明的一种水利灌溉工 具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图 描绘了筒车的工作原理.如图,筒车盛水桶的 运行轨道是以轴心O 为圆心的圆,圆心O 在 水面上方,且☉O 被水面截得的弦AB 的长 为6m,☉O 的半径为4m.若C 为运行轨道 的最低点,则点C 到弦AB 所在直线的距 离是 ( ) A. 1m B. (4-7)m C. 2m D. (4+7)m 7. 如图,M 是AB ︵ 的中点,过点M 的弦MN 交 弦AB 于点C.已知☉O 的半径为2,MN= 23,则∠ACM 的度数为 . (第7题) (第8题) 8. 方程思想 如图,AB 为☉O 的直径, AE 为☉O 的弦,C 为 ABE ︵ 的中 点,CD⊥AB,垂足为D.若AE=8, DB=2,则☉O 的半径为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 49 9. 如图,OC 是☉O 的半径,点P 在☉O 的直径 BA 的延长线上,且OC⊥PC,垂足为C,A 为CD ︵ 的中点,且AE=12OC ,PA=6.求: (1) ☉O 的半径. (2) CD 的长. (第9题) 10. 新情境·日常生活 车辆转弯时,能否 顺利通过直角弯道,取决于车辆是 否能行驶到与路边界的夹角为45° 的位置(如图①中B 的位置).如图②所示 为某巷子的俯视图,巷子的路面宽4m,转 弯处为直角,车辆的车身为矩形ABCD,当 CD 与DE,CE 的夹角都是45°时,连结EF 交CD 于点G.若GF 的长度能达到甚至超 过车身的宽度,则车辆能通过. (1) 请证明长8m、宽3m的消防车不能通 过该直角弯道. (2) 为了使长8m、宽3m的消防车能通过 该弯道,可以将转弯处改为圆弧(分别是以 点O 为圆心,OM 和ON 的长为半径的弧), 具体方案如图③所示,其中OM⊥OM',请 求出ON 的最小长度. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　圆的基本性质 11. (1) 由旋转的性质,得∠DBC= 60°. ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC= 12 (180°-∠BAC)= 1 2 (180°-α)=90°-12α. ∵ 0°<α<60°, ∴ ∠ABC>60°. ∴ 线段BD 在△ABC的内部. ∴ ∠ABD= ∠ABC - ∠DBC = 90°-12α-60°=30°- 1 2α. (2) △ABE 为等边三角形. 如图,连结AD,CD. ∵ 线段BC 绕点B 按逆时针方向旋 转60°得到线段BD, ∴ BC=BD,∠DBC=60°. ∴ △BCD 为等边三角形. ∴ BD=CD=BC. 又∵ ∠ABE=60°, ∴ ∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC= 30°-12α. 在△ABD 和△ACD 中, AB=AC, AD=AD, BD=CD, ∴ △ABD≌△ACD. ∴ ∠BAD=∠CAD=12∠BAC= 1 2α. ∵ ∠BCE=150°, ∴ ∠BEC=180°- 30°-12α - 150°=12α. ∴ ∠BAD=∠BEC. 在△ABD 和△EBC中, ∠BAD=∠BEC, ∠ABD=∠EBC, BD=BC, ∴ △ABD≌△EBC. ∴ AB=EB. 又∵ ∠ABE=60°, ∴ △ABE 为等边三角形. (3) 如图,连结DE. ∵ △BCD 为等边三角形, ∴ ∠BCD=60°. ∵ ∠BCE=150°, ∴ ∠DCE=150°-60°=90°. 又∵ ∠DEC=45°, ∴ 易得△DCE 为等腰直角三角形. ∴ DC=CE=BC. ∴ ∠EBC=∠BEC. ∴ 30°-12α= 1 2α. ∴ α=30°. (第11题) 3.3　垂径定理 第1课时 垂径定理 1. D 2. C 解析:如图,连结OA.∵ CD 是☉O 的 直 径,AB ⊥CD,AB = 10寸,∴ AP=BP=5寸.设☉O 的 半径OA 的长为x 寸,则OC=x寸. ∵ CP=1寸,∴ OP=(x-1)寸.在 Rt△AOP 中,根 据 勾 股 定 理,得 OA2-OP2=AP2,即 x2-(x- 1)2=52,化简,得x2-x2+2x-1= 25,即2x=26.∴ CD=2OC=26寸. (第2题) 3. 25 4. 3 5. (1) 如图,过点O 作OE⊥AB 于 点E. ∵ OE⊥AB, ∴ AE=BE,CE=DE. ∴ AE-CE=BE-DE. ∴ AC=BD. (2) 如图,连结AO,CO. ∵ AO=10,OE=3, ∴ AE= AO2-OE2= 91. ∵ CO=6,OE=3, ∴ CE= CO2-OE2=33. ∴ AC=AE-CE= 91-33. (第5题) 6. C 解析:如图,连结OB,过点O作 OE⊥AB于点E,OF⊥CD 于点F,则 BE=12AB=4 ,四边形PEOF 为矩 形.∵ AB=CD,OE⊥AB,OF⊥ CD,∴ OE=OF.∴ 矩形PEOF 为 正方形.∴ OE=PE.在 Rt△OEB 中,OE= OB2-BE2= 52-42= 3,∴ PE=3.∴ OP= OE2+PE2= 32. (第6题) 7. D 解析:如图,过点O 作OH⊥ AB 于点H,则BH=12AB= 1 2× 6=3.∵ ☉O 的半径为5,∴ OB=5. ∴ OH= OB2-BH2=4.∴ 当点 C和点H 重合时,OC 的最小值是4, CD 的最小值是4+5=9;当CD 是 ☉O 的直径时,CD 的值最大,是5× 2=10.∴ CD 的取值范围是9≤ CD≤10. (第7题) 8. 6或2 21 解析:如图,过点O 作 OF⊥CD 于点F,交AB 于点E,连结 OA,OC.∵ AB∥CD,∴ OE⊥AB, EF =1.① 若 CD =8,则 CF = 1 2CD=4.∵ OC=OA=5,∴ OF= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 OC2-CF2 = 3.∵ EF = 1, ∴ OE=OF -EF =2.∴ AE = OA2-OE2 = 21. ∴ AB= 2AE=2 21.② 若AB=8,则AE= 1 2AB=4.∵ OA=OC=5,∴ OE= OA2-AE2 = 3.∵ EF = 1, ∴ OF=OE +EF =4.∴ CF = OC2-OF2=3.∴ CD=2CF=6.综 上所述,另一条弦的长为6或2 21. (第8题) 解决圆中有关弦的 问题的一般方法 解有关弦的问题时,我们常通 过添设辅助线,构造由圆心到弦的 垂线段、过弦的端点的半径、弦的 一半组成的直角三角形,将问题转 化到直角三角形中解决. 9. 6 解析:如图,延长AO,交BC 于 点D,过点O 作OE⊥BC 于点E,则 BE=12BC=5 ,∠DEO=90°.∵ ∠A= ∠B=60°,∴ ∠ADB=60°.∴ ∠DOE= 30°,△ADB 为等边 三 角 形.∴ 设 BD=AD=AB=x.∵ OA=4,BE= 5,∴ DE =x-5,OD =x-4. ∵ ∠DEO = 90°,∠DOE = 30°, ∴ DE=12OD= 1 2 (x-4).∴ x- 5=12 (x-4),解得x=6.∴ AB=6. (第9题) 10. (1) ∵ 直径AB=26m, ∴ OD=OB=12AB= 1 2×26=13 (m). ∵ OE⊥CD, ∴ DE=12CD. ∵ OE∶CD=5∶24, ∴ OE∶ED=5∶12. 设OE=5x m(x>0),则 ED = 12xm. 在Rt△ODE 中,OE2+ED2=OD2, 即(5x)2+(12x)2=132,解得x=1 或x=-1(舍去). ∴ OE=5m,ED=12m. ∴ CD=2ED=24m. (2) 如图,延长OE 交半圆O 于点F, 则OF=12AB=13m. ∵ OE=5m, ∴ EF=OF-OE=13-5=8(m). ∵ 8÷4=2(h), ∴ 经过2h桥洞会被水灌满. (第10题) 11. (1) 如图①,过点O 作OG⊥EF 于点G,则CG=DG. ∵ AE⊥CD,OG⊥CD,BF⊥CD, ∴ AE∥OG∥BF. ∵ OA=OB, ∴ 易得EG=FG. ∴ EG-CG=FG-DG. ∴ EC=DF. (2) 成立. 如图②,EC=DF. 过点O 作OG⊥EF 于点G,则CG= DG. ∵ AE⊥CD,OG⊥CD,BF⊥CD, ∴ AE∥OG∥BF. ∵ OA=OB, ∴ 易得EG=FG. ∴ CG-EG=DG-FG. ∴ EC=DF. (3) 如图②,连结OD. ∵ ☉O 的半径为5,AP∶BP=7∶3, ∴ AP=7,BP=3,OP=2. ∵ ∠CPB=150°, ∴ ∠OPG=30°. ∴ 在Rt△OPG 中,OG=12OP=1. ∴ 在 Rt△OGD 中, DG = OD2-OG2= 52-12=26. ∴ CD=2DG=46. (第11题) 第2课时 垂径定理的逆定理 1. C 2. B 3. 9m 4. 连结OC. 设☉O 的半径为R. ∵ AP∶PB=1∶5,AP+PB=2R, ∴ OP=23R. ∵ CP=PD,即直径AB 平分弦CD, ∴ CP=12CD=5 ,OP⊥CD. ∴ OC2=OP2+CP2. ∴ R2= 23R 2 +52,解得R=35 (负值舍去). ∴ ☉O 的半径为35. 5. B 解析:易知当PQ 的长取得最 小值时,点P 在AB︵ 上.∵ Q 为定点, AB 为定直线,∴ 根据“垂线段最短”, 可知当PQ⊥AB 时,PQ 的长取得最 小值.如图,连结OQ,OA.∵ AB=8, Q 为AB 的中点,∴ AQ=4,OQ⊥ AB.延长OQ 交☉O 于点P,此时PQ 的长 取 得 最 小 值.∵ ∠AQO=90°, ∴ OQ= OA2-AQ2= 52-42= 3.∴ PQ 长的最小值为OP-OQ= 5-3=2. (第5题) 6. B 解析:如图,连结OA,OC,OC 交AB 于点D.由题意,得OA=OC= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 4m.∵ C 为运行轨道 的 最 低 点, ∴ AC︵=BC︵,OC⊥AB.∴ 线段CD 的长就是点C到弦AB 所在直线的距 离,AD=BD= 12AB= 1 2×6= 3(m),∠ADO = 90°.∴ OD = OA2-AD2= 42-32= 7(m). ∴ CD=OC-OD=(4- 7)m,即 点C 到弦AB 所在直线的距离是 (4-7)m. (第6题) 7. 60° 解析:过点O 作OD⊥MN 于 点 D,连 结 OM 交 AB 于 点 P. ∵ OD⊥MN,∴ MD=12MN= 3. 在Rt△ODM 中,OM=2,MD= 3, ∴ OD= OM2-MD2 =1.∴ OD= 1 2OM.∵ ∠ODM =90°,∴ 易 得 ∠OMD=30°.∵ M 是AB︵ 的中点, ∴ AB ⊥OM.∴ ∠MPC =90°. ∴ ∠ACM=90°-∠PMC=90°- 30°=60°. 8. 5 解析:如图,连结CO 并延长, 交AE 于点T.∵ C 为ABE︵ 的中点, ∴ AC︵ =CE︵.∴ CT⊥AE,AT= TE=12AE=4. 在△AOT和△COD中, ∠ATO=∠CDO=90°, ∠AOT=∠COD, AO=CO, ∴ △AOT≌ △COD.∴ AT=CD=4.设☉O 的半 径为r.在Rt△COD 中,由勾股定理, 得OC2=CD2+OD2,即r2=42+ (r-2)2,解得r=5.∴ ☉O 的半径 为5. (第8题) 9. (1) 设OC=x,则OA=x. ∵ A 为CD︵ 的中点, ∴ OA⊥CD. ∵ AE=12OC , ∴ OE=12OA= 1 2x. ∴ 易得∠OCE=30°. ∵ OC⊥PC, ∴ 易得∠P=30°. ∴ PO=2OC=2x. ∵ PA=6, ∴ PO=PA+OA=6+x. ∴ 6+x=2x,解得x=6. ∴ ☉O 的半径为6. (2) 由(1),得OC=6,OE=3. 由勾股定理,得CE= 62-32=33. ∵ OA⊥CD, ∴ CD=2CE=63. 10. (1) 如图①,过点F 作FH⊥EC, 垂足为H. 由题意,得FH=EH=4m, ∴ EF = 42+42 =42 (m), ∠GEC=45°. 易知GC=12×8=4 (m), ∴ 易得GE=GC=4m. ∴ GF=EF-GE=(42-4)m. ∵ 42-4<3, ∴ GF 的长度未达到车身宽度. ∴ 长8m、宽3m的消防车不能通过 该直角弯道. (2) 如图②,取 MM'︵的中点E,连结 OE,交AB 于点F,交CD 于点G.若 点C,D 分别与点 M',M 重合,则 △OGM 为等腰直角三角形, ∴ 易 得 OG=GM =4m,OM = 42m. ∴ OF=ON=OM-MN=(42- 4)m. ∴ FG=OG-OF=4-(42-4)= (8-42)m. ∵ 8-42<3, ∴ 点C,D 在MM'︵上(不与点M',M 重合). 设ON=x m,则OG=(x+3)m, OC=(x+4)m. 在 Rt△OCG 中,由 勾 股 定 理,得 OG2+CG2=OC2,即(x+3)2+42= (x+4)2,解得x=4.5. ∴ ON 的最小长度为4.5m. (第10题) 3.4　圆 心 角 1. D 2. C 3. 等边 4. 120° 5. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AB=CD. ∴ AB︵=CD︵. ∵ M 为AD︵ 的中点, ∴ AM︵=DM︵. ∴ AB︵+AM︵=CD︵+DM︵, 即BM︵=CM︵. ∴ BM=CM. 6. C 解析:如图,连结BO,过点O 作OE⊥AB 于点E,延长OE 交☉O 于点 F.由 题 意,得 EF =EO = 1 2FO.∵ ∠OEB = 90°,EO = 1 2FO= 1 2BO ,∴ 易得∠EBO=30°. 由题意,可知AB∥DC,∴ ∠BOD= ∠EBO =30°.∴ ∠BOC=180°- ∠BOD=180°-30°=150°.∴ BC︵ 的 度数为150°. (第6题) 7. B 解析:取AB︵ 的中点E,连结 OE,AE,BE,则AE︵=EB︵.∴ AE= EB,∠AOE=∠BOE.∵ ∠AOB= 2∠BOC=∠AOE+∠BOE,∴ ∠AOE= ∠BOE=∠BOC.∴ AE=BE=BC, AE︵ =BE︵ =BC︵.在 △AEB 中, ∵ AB<AE+BE,∴ AB<2BC.故 ①错误.∵ AB︵=AE︵+BE︵,∴ AB︵= 2BC︵.故②正确.∵ OA=OB=OC, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32