3.2 图形的旋转-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

44 3.2　图形的旋转 ▶ “答案与解析”见P20 1. 如图,△ABC 和△DEC 都是直角三角形,其 中一个三角形是由另一个三角形旋转得到 的.下列说法中,错误的是 ( ) A. 旋转中心是点C B. 旋转角度是90°或270° C. 既可以按逆时针方向旋转,也可以按顺时 针方向旋转 D. 旋转中心是点B,旋转角是∠ABC (第1题) (第2题) 2. 如图,在△ABC 中,AB=6,AC=4,BC=3, 将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°得到 △AED,连结BE,则BE 的长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. (2024· 浙 江 期 中)如 图,在△ABC 中, ∠CAB=70°,在同一平面内,将△ABC 绕 点A 旋转到△AB'C'的位置,使得C'C∥ AB,则∠BAB'的度数为 . (第3题) 4. 如图,请你作出四边形ABCD 绕点O 顺时针 旋转60°后的图形(不写作法,保留作图痕迹). (第4题) 5. (2024·台州路桥期中)如图,将△ABC 绕点 A 逆时针旋转150°,得到△ADE,此时点B, C,D 恰好在同一条直线上,则∠B 的度数为 ( ) (第5题) A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 6. (2024·杭州西湖二模)如图,将菱 形ABCD 绕点A 逆时针旋转∠α, 得到菱形AB'C'D',∠B=∠β.当 AC 平分∠B'AC'时,∠α与∠β满足的数量 关系是 ( ) A. ∠α=2∠β B. 2∠α=3∠β C. 4∠α+∠β=180°D. 3∠α+2∠β=180° (第6题) (第7题) 7. 如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AB⊥ BC,AD=2,BC=3,将边CD 绕点D 按逆时 针方向旋转90°至ED 的位置,连结AE,则 △ADE 的面积为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (第8题) 8. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°, ∠B=70°,点D 在边BC 上,BD= 2CD.现将△ABC 绕点D 按顺时针 方向旋转一定的角度,使得点B 恰好 落在初始时△ABC 的边上.设旋转 角为α(0°<α<180°),则α= . 9. ★(2024·丽水期中)如图,在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将△ABC 绕 点C 顺时针旋转一定的角度,得到△A1B1C 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 45 (点A与点A1,点B与点B1对应).当点A,B1, A1在同一直线上时,AB1的长为 . (第9题) 10. 如图,E 是正方形ABCD 的边AB 上的一 点,延长BC 到点F,使得AE=CF,连结 DE,DF. (1) 能通过旋转△DAE 得到△DCF 吗? 请说明理由. (2) 连结EF,过点D 作DM⊥EF 于点M, 交BC 于点N,若BN=3,CN=2,求AE 的长. (第10题) 11. 在△ABC 中,AB=AC,∠BAC= α(0°<α<60°),将线段BC 绕点B 按逆 时 针 方 向 旋 转60°得 到 线 段BD. (1) 如图①,求∠ABD 的度数(用含α的代 数式表示). (2) 如图②,E 为△ABC 外一点,且满足 ∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明. (3) 在(2)的条件下,若∠DEC=45°,求α. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　圆的基本性质 3.2　图形的旋转 1. D 2. D 3. 40° 解析:∵ CC'∥AB,∠CAB= 70°,∴ ∠C'CA=∠CAB=70°.由旋 转的性质,可得∠BAB'=∠CAC', AC=AC',即△ACC'为等腰三角形. ∴ ∠BAB' = ∠CAC' = 180° - 2∠C'CA=40°. 4. 如图,四边形 A'B'C'D'即为所 求作. (第4题) 5. B 解析:∵ 将△ABC 绕点A 逆 时 针 旋 转 150°,得 到 △ADE, ∴ ∠BAD=150°,AD=AB.∵ 点 B,C,D 在同一条直线上,∴ △BAD 是等腰三角形.∴ ∠B=∠BDA= 1 2 (180°-∠BAD)= 12 × (180°- 150°)=15°. 6. C 解析:∵ 将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转∠α,得到菱形AB'C'D', ∴ ∠BAB'=∠CAC'=∠α,AB= BC.∴ ∠BCA=∠BAC.∵ AC 平分 ∠B'AC',∴ ∠B'AC=∠C'AC= ∠α. ∴ ∠BCA = ∠BAC = ∠BAB'+∠B'AC=2∠α.∵ ∠B= ∠β,∠BCA+∠BAC+∠B=180°, ∴ 4∠α+∠β=180°. 7. A 解析:过点D 作DF⊥BC 于 点F,过点E 作EG⊥AD,交AD 的 延长线于点G,则∠DFC=∠DGE= 90°.∵ AB ⊥ BC,DF ⊥ BC, ∴ ∠BFD=90°,AB∥DF.∵ AD∥ BC,∴ ∠BFD=∠FDG=90°.易得 BF=AD=2.∵ BC=3,∴ CF=1. ∵ ED 由边CD 绕点D 按逆时针方 向旋 转90°后 得 到,∴ CD=ED, ∠CDE=90°=∠FDG.∴ ∠CDE- ∠CDG = ∠FDG - ∠CDG,即 ∠EDG = ∠CDF.在 △CDF 和 △EDG 中, ∠DFC=∠DGE=90°, ∠CDF=∠EDG, DC=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CDF≌△EDG.∴ CF=EG= 1.∴ S△ADE= 1 2AD ·EG=1. 8. 40°或120° 解析:如图,分两种情 况讨论:① 当点B 落在边AB 上时, ∵ DB=DB',∴ ∠BB'D=∠B= 70°.∴ ∠BDB'=180°-70°-70°= 40°,即旋转角α=40°.② 当点B 落在 边AC上时,∵ BD=2CD,∴ B″D= 2CD.∴ 易得∠B″DC=60°.∴ ∠BDB″= 180°-60°=120°,即旋转角α=120°. 综上所述,α=40°或120°. (第8题) 9. 7 5 解析:∵ 在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴ 由 勾股定理,得AB= AC2+BC2= 5.由旋转的性质,可知∠A1CB1= ∠ACB=90°,CA1=CA=4,CB1= CB=3,A1B1=AB=5.如图,过点C 作CG⊥AA1 于点G,则A1G=AG. ∴ A1B1·CG=CA1·CB1.∴ 5CG= 4×3.∴ CG=125. 在Rt△A1CG 中, 由勾股定理,得A1G= 42- 12 5 2 = 16 5 ,∴ AA1=2A1G= 32 5.∴ AB1= AA1-A1B1= 7 5. (第9题) 利用旋转不变性进行探究的思路 利用旋转不变性进行探究是 对综合能力的考查,进行探究时要 将问题与图中旋转变换的图形联 系起来,利用旋转过程中相关线 段、角相等进行转化,并结合已学 知识点进行求解. 10. (1) 能通过旋转△DAE 得到 △DCF. 理由:∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AD=DC,∠A=∠DCB=∠B= 90°. ∴ ∠DCF=90°=∠A. 在△DAE 和△DCF 中, AD=CD, ∠A=∠DCF, AE=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAE≌△DCF. ∴ △DCF 可以看成由△DAE 绕点 D 逆时针旋转90°得到. (2) 如图,连结EN. ∵ △DAE≌△DCF, ∴ DE=DF. ∵ DM⊥EF, ∴ EM=FM. ∴ DN 垂直平分EF. ∴ NE=FN. ∵ BN=3,CN=2, ∴ AB=BC=BN+CN=5. 设AE=CF=x,则 BE=5-x, EN=FN=2+x. ∵ BE2+BN2=EN2, ∴ (5-x)2+32=(2+x)2,解得 x=157. ∴ AE=157. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 11. (1) 由旋转的性质,得∠DBC= 60°. ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC= 12 (180°-∠BAC)= 1 2 (180°-α)=90°-12α. ∵ 0°<α<60°, ∴ ∠ABC>60°. ∴ 线段BD 在△ABC的内部. ∴ ∠ABD= ∠ABC - ∠DBC = 90°-12α-60°=30°- 1 2α. (2) △ABE 为等边三角形. 如图,连结AD,CD. ∵ 线段BC 绕点B 按逆时针方向旋 转60°得到线段BD, ∴ BC=BD,∠DBC=60°. ∴ △BCD 为等边三角形. ∴ BD=CD=BC. 又∵ ∠ABE=60°, ∴ ∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC= 30°-12α. 在△ABD 和△ACD 中, AB=AC, AD=AD, BD=CD, ∴ △ABD≌△ACD. ∴ ∠BAD=∠CAD=12∠BAC= 1 2α. ∵ ∠BCE=150°, ∴ ∠BEC=180°- 30°-12α - 150°=12α. ∴ ∠BAD=∠BEC. 在△ABD 和△EBC中, ∠BAD=∠BEC, ∠ABD=∠EBC, BD=BC, ∴ △ABD≌△EBC. ∴ AB=EB. 又∵ ∠ABE=60°, ∴ △ABE 为等边三角形. (3) 如图,连结DE. ∵ △BCD 为等边三角形, ∴ ∠BCD=60°. ∵ ∠BCE=150°, ∴ ∠DCE=150°-60°=90°. 又∵ ∠DEC=45°, ∴ 易得△DCE 为等腰直角三角形. ∴ DC=CE=BC. ∴ ∠EBC=∠BEC. ∴ 30°-12α= 1 2α. ∴ α=30°. (第11题) 3.3　垂径定理 第1课时 垂径定理 1. D 2. C 解析:如图,连结OA.∵ CD 是☉O 的 直 径,AB ⊥CD,AB = 10寸,∴ AP=BP=5寸.设☉O 的 半径OA 的长为x 寸,则OC=x寸. ∵ CP=1寸,∴ OP=(x-1)寸.在 Rt△AOP 中,根 据 勾 股 定 理,得 OA2-OP2=AP2,即 x2-(x- 1)2=52,化简,得x2-x2+2x-1= 25,即2x=26.∴ CD=2OC=26寸. (第2题) 3. 25 4. 3 5. (1) 如图,过点O 作OE⊥AB 于 点E. ∵ OE⊥AB, ∴ AE=BE,CE=DE. ∴ AE-CE=BE-DE. ∴ AC=BD. (2) 如图,连结AO,CO. ∵ AO=10,OE=3, ∴ AE= AO2-OE2= 91. ∵ CO=6,OE=3, ∴ CE= CO2-OE2=33. ∴ AC=AE-CE= 91-33. (第5题) 6. C 解析:如图,连结OB,过点O作 OE⊥AB于点E,OF⊥CD 于点F,则 BE=12AB=4 ,四边形PEOF 为矩 形.∵ AB=CD,OE⊥AB,OF⊥ CD,∴ OE=OF.∴ 矩形PEOF 为 正方形.∴ OE=PE.在 Rt△OEB 中,OE= OB2-BE2= 52-42= 3,∴ PE=3.∴ OP= OE2+PE2= 32. (第6题) 7. D 解析:如图,过点O 作OH⊥ AB 于点H,则BH=12AB= 1 2× 6=3.∵ ☉O 的半径为5,∴ OB=5. ∴ OH= OB2-BH2=4.∴ 当点 C和点H 重合时,OC 的最小值是4, CD 的最小值是4+5=9;当CD 是 ☉O 的直径时,CD 的值最大,是5× 2=10.∴ CD 的取值范围是9≤ CD≤10. (第7题) 8. 6或2 21 解析:如图,过点O 作 OF⊥CD 于点F,交AB 于点E,连结 OA,OC.∵ AB∥CD,∴ OE⊥AB, EF =1.① 若 CD =8,则 CF = 1 2CD=4.∵ OC=OA=5,∴ OF= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12