3.1 圆-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

40 3.1　圆 第1课时 圆的相关概念及点与圆的位置关系 ▶ “答案与解析”见P18 1. 如图,下列说法中,正确的是 ( ) (第1题) A. 线段AB,AC,CD 都是☉O 的弦 B. 线段AC 经过圆心O,线段AC 是直径 C. AD=BD D. 弦AB 把圆分成两条弧,其中ACB ︵ 是 劣弧 2. 在平面直角坐标系中,点P 的坐标为(5, 12).若☉P 的半径为13,则原点与☉P 的位 置关系是 ( ) A. 原点在☉P 内 B. 原点在☉P 上 C. 原点在☉P 外 D. 无法确定 3. 在数轴上,点A 所表示的实数为2,点B 所表 示的实数为a,☉A 的半径为3.若点B 在 ☉A 外,则a的值可能是 ( ) A. -1 B. 0 C. 5 D. 6 4. 如图,☉O 的周长为4π,B 是弦CD 上任意 一点(不与点C,D 重合),过点B 作OC 的 平行线交OD 于点E,则EO+EB 的值为 . (第4题) 5. 如图,矩形ABCD 的边AB=3cm,BC= 4cm,以点A 为圆心,4cm为半径作☉A,则 点B,C,D 与☉A 有怎样的位置关系? (第5题) 6. 如图,☉O 的直径AB 与弦CD 的延长线交 于点E.若OB=DE,∠E=26°,则∠AOC 的 度数为 ( ) A. 52° B. 62° C. 72° D. 78° (第6题) (第7题) 7. 如图,在网格中(每个小正方形的边 长均为1)选取9个格点(网格线的 交点称为格点).若以点A 为圆心,r 为半径画圆,选取的格点中除点A 外恰好有 3个点在圆内,则r的取值范围是 ( ) A. 22<r< 17 B. 17<r≤32 C. 17<r<5 D. 5<r< 29 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 第3章　圆的基本性质 41 8. 如图,AB,CD 是☉O 的直径,且AB⊥CD, P,Q 为CB ︵ 上的任意两点(不与点B,C 重 合),作 PE⊥CD,PF⊥AB,QM ⊥CD, QN⊥AB,垂足分别为E,F,M,N,则线段 EF,MN 的大小关系为EF MN(填 “<”“>”或“=”). (第8题) (第9题) 9. 如图,在扇形AOB 中,∠AOB=90°.P 为 AB ︵ 上的一点,过点P 作PC⊥OA,垂足为 C,PC 与AB 交于点D.若PD=2,CD=1, 则该扇形的半径为 . 10. 如图,在矩形ABCD 中,AB=3, AD=4.过点 D 作DE⊥AC 于 点E. (1) 求DE 的长. (2) 若以点A 为圆心作圆,B,C,D,E 四点 中至少有1个点在圆内,且至少有1个点在 圆外,求☉A 的半径r的取值范围. (第10题) 11. 新情境·日常生活 如图,在城市A 的正北方 向50km的B 处,有一无线电信号发射塔. 已知该发射塔发射的无线电信号的有效半 径为100km,AC 是一条公路,从A 城发往 C 城的班车的速度为60km/h. (1) 当班车从A 城出发开往C 城时,某人在 班车上立即打开无线电收音机,班车行驶了 0.5h的时候接收信号最强.此时班车到发 射塔的距离是多少千米(离发射塔越近,信 号越强)? (2) 班车从A 城到C 城共行驶了2h,请判 断到C 城后是否还能接收到信号,并说明 理由. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　圆的基本性质 42 第2课时 确定圆的条件及三角形外接圆 ▶ “答案与解析”见P19 1. 如图,点A,B,C 在同一条直线上,点D 在直 线AB 外,过这4个点中的任意3个点,能画 圆的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (第1题) (第2题) 2. 如图,AC,BE 是☉O 的直径,弦AD 与BE 交于点F.下列三角形中,外心不是点O 的为 ( ) A. △ABE B. △ACF C. △ABD D. △ADE 3. 如图,点O 是△ABC 的外心,则∠1+∠2+ ∠3的度数为 ( ) (第3题) A. 60° B. 75° C. 90° D. 105° 4. 若AB=4cm,则过点A,B 且半径为3cm的 圆有 个. 5. 如图,林林家的房前有一块矩形空地,空地上 有A,B,C 三棵树,林林想建一个圆形花坛, 且使三棵树都在花坛的边上. (1) 请你帮林林把花坛的位置画出来(尺规 作图,不写作法,保留作图痕迹). (2) 在△ABC 中,∠A=90°,AB=8,AC= 6,试求林林家圆形花坛的面积. (第5题) 6. 有下列命题:① 直角三角形的外心在三角形 的边上;② 任意一个圆一定有一个内接三角 形,而且只有一个内接三角形;③ 到三角形 三个顶点距离相等的点是三角形的外心; ④ 三角形的外心到三角形三条边的距离相 等.其中,正确的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 平面内经过不在同一条直线上的四个点,可 以确定圆的个数为 ( ) A. 1或3 B. 3或4 C. 1或3或4 D. 1或2或3或4 8. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线,EF 垂直平分AC,交AD 于点O. 若OA=3,则△ABC 外接圆的面积为( ) A. 3π B. 4π C. 6π D. 9π (第8题) (第9题) 9. 如图,在7×5的网格中,每个小正方形的边 长均为1,点O,A,B,C,D,E 均在格点上, 点O 是△ABC 的外心,在不添加其他字母的 情况下,外心也是点O 的三角形(除△ABC 外)有 . 10. 如图,点O 是△ABC 的外心,OD⊥AB, OE⊥AC,垂足分别为D,E,OD,OE 的中 点分别为M,N,连结MN.若 MN=1,则 BC= . (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 43 11. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2- 4ax+2(a>0)交y轴于点A,B 是点A 关 于对称轴的对称点,C 是抛物线的顶点.若 △ABC 的外接圆经过原点O,则点C 的坐 标为 . (第11题) 12. 如图①,D 是四边形ABEC 内的一点, AB=BC,∠ABC=∠DBE,BD=BE,连 结AD,ED. (1) 求证:∠BAD=∠BCE. (2) 如图②,当点D 是△ABC 的外接圆圆 心时,请判断四边形BDCE 的形状,并证明 你的结论. (第12题) 13. 已知直线l对应的函数表达式为 y=x-4,点A,B 的坐标分别为 (0,2),(2,0),设P 为直线l上一 动点.当P,A,B 三点不能作出一个圆时, 点P 的坐标为 ( ) A. (3,-1) B. (1,-3) C. (-3,1) D. (-1,3) 14. 新考法·新定义题 根据三角形外心 的概念,我们可以引入一个新定 义:到三角形的两个顶点距离相等 的点,叫做三角形的准外心. 根 据准外心的定义,探究如下问题:在 Rt△ABC 中,∠A=90°,BC=10,AB=6, 如果准外心点P 在AC 边上,求PA 的长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　圆的基本性质 心O 成功走出这个迷宫的概率为 4 12= 1 3. (第5题) 6. (1) 1 3. (2) 列表如下: aa+b b -6 -1 5 6 0 5 11 -7 -13 -8 -2 4 -2 3 9 由表,可知共有9种等可能的结果,其 中a+b>0的结果有4种,a+b<0 的结果有4种. ∴ P(小聪获胜)=49 ,P(小明获 胜)=49. ∵ P(小聪获胜)=P(小明获胜), ∴ 这个游戏公平. 第3章　圆的基本性质 3.1　圆 第1课时 圆的相关概念及点 与圆的位置关系 1. B 2. B 3. D 4. 2 5. 如图,连结AC.在矩形ABCD 中, AB =3cm,BC =AD =4cm, ∠B=90°, ∴ AC= AB2+BC2= 32+42= 5(cm). ∵ ☉A 的半径为4cm, ∴ 点B 在☉A 内,点D 在☉A 上,点 C在☉A 外. (第5题) 6. D 7. B 解析:如图,用字母标注已知格 点,连结AB,AC,AD,AE,AF,AG, AH,AI.由 勾 股 定 理,得 AB = 32+32=32,AC=AE=AH= 32+42=5,AD= 22+22=22, AF=AI= 12+42 = 17,AG= 22+52 = 29.∵ 29>5> 32> 17>22,∴ 距点A 最近的 4个点依次为D,F,I,B.易知除点A 外恰好有3个点在圆内时,一定是最 近的3个点D,F,I 在圆内,即r> 17.同时点 B 在圆外或圆上,即 r≤32.∴ r的取值范围是 17< r≤32. (第7题) 8. = 解析:如图,连结 OP,OQ. ∵ AB⊥CD,PE⊥CD,PF⊥AB, ∴ ∠PEO=∠EOF=∠OFP=90°. ∴ 四边形OEPF 是矩形.∴ EF= OP.同理,可得 MN=OQ.∵ OP= OQ,∴ EF=MN. (第8题) 9. 5 解析:∵ OA=OB,∠AOB= 90°,∴ ∠OAB=∠OBA=45°.又 ∵ PC ⊥OA,∴ ∠DCA =90°. ∴ ∠CDA=45°.∴ ∠CDA=∠OAB. ∴ CA=CD=1.连结OP,设扇形的 半径为R,则OC=R-1.∵ PD=2, CD=1,∴ PC=2+1=3.在Rt△OCP 中,由勾股定 理,得 OC2+PC2= OP2,即(R-1)2+32=R2,解得R= 5.∴ 该扇形的半径为5. 10. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ CD=AB=3,AD⊥CD. ∴ AC= AD2+CD2= 42+32=5. ∵ DE⊥AC, ∴ 1 2AC ·DE=12CD ·AD. ∴ DE=CD ·AD AC = 3×4 5 = 12 5. (2) 由(1),知DE=125 , ∴ AE = AD2-DE2 = 42- 125 2 =3.2. ∵ AD=4,AC=5,AB=3, ∴ AB<AE<AD<AC. ∵ 以点A 为圆心作圆,B,C,D,E 四 点中至少有1个点在圆内,且至少有 1个点在圆外, ∴ 点B 在圆内,点C在圆外. ∴ ☉A 的半径r的取值范围是3< r<5. 11. (1) 如图,过点B 作BM⊥AC 于 点M. ∵ 班车行驶了0.5h的时候接收信号 最强,即到达点M 处, ∴ AM=60×0.5=30(km). 又∵ AB=50km, ∴ 由 勾 股 定 理,得 BM = AB2-AM2= 502-302=40(km). ∴ 此 时 班 车 到 发 射 塔 的 距 离 是 40km. (2) 能. 理由:如图,连结BC. ∵ AC=60×2=120(km),AM= 30km, ∴ CM =AC-AM =120-30= 90(km). ∴ 由 勾 股 定 理,得 BC = BM2+CM2=10 97km. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 ∵ 10 97<100, ∴ 到C城后还能接收到信号. (第11题) 第2课时 确定圆的条件 及三角形外接圆 1. C 2. B 3. C 4. 2 5. (1) 如 图,☉O 即 为 所 求 作 的 花坛. (2) ∵ ∠A=90°,AB=8,AC=6, ∴ BC= AB2+AC2=10. ∴ △ABC 的外接圆半 径 为10÷ 2=5. ∴ 林林家圆形花坛的面积为π× 52=25π. (第5题) 6. B 7. C 解析:分三种情况:① 当四个 点中有三个点在同一条直线上,另外 一个点不在这条直线上时,可以确定 3个圆;② 当四个点中任意三个点都 不在同一条直线上,并且四个点不共 圆时,则任意三个点都能确定一个圆, 一共可以确定4个圆;③ 当四个点共 圆时,只能确定1个圆.综上所述,可 以确定圆的个数为1或3或4. 8. D 解析:∵ AB=AC,AD 是 ∠BAC 的 平 分 线,∴ BD =CD, AD⊥BC.∵ EF 垂直平分AC,∴ 点 O 是△ABC外接圆的圆心.∵ OA= 3,∴ △ABC 外接圆的面积为π× 32=9π. 9. △ABD,△ACD,△BCD 解析:连结OA,OB,OC,OD,OE.由 题意,得OA= 12+22= 5,OB= 12+22=5,OC= 12+22=5,OD= 12+22=5,OE= 12+32= 10, ∴ OA=OB=OC=OD≠OE.∴ 除 △ABC 外,△ABD,△ACD,△BCD 的外心也是点O. 10. 4 解析:如图,连结DE.∵ OD, OE 的中点分别是M,N,∴ MN= 1 2DE.∵ MN=1,∴ DE=2.∵ 点 O 是△ABC 的外心,OD⊥AB,OE⊥ AC,∴ AD=BD,AE=CE.∴ DE 是△ABC的中位线.∴ DE=12BC. ∴ BC=2DE=4. (第10题) 11. (2,1-5) 解析:连结OB 交对 称轴于点O'.易得A(0,2).∵ 抛物线 的对称轴为直线x=--4a2a =2 , 点A,B 关于对称轴对称,∴ 点B 的 坐标为(4,2).∵ △ABC 的外接圆经 过原点O,∴ 易知外接圆的圆心是线 段 OB 的 中 点 O'.∴ O'(2,1). ∵ OB= 22+42=25,∴ O'C= 5.∴ 点C的坐标为(2,1-5). 12. (1) ∵ ∠ABC = ∠DBE, ∴ ∠ABC+ ∠CBD = ∠DBE + ∠CBD,即∠ABD=∠CBE. 在△ABD 和△CBE 中, BA=BC, ∠ABD=∠CBE, BD=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△CBE. ∴ ∠BAD=∠BCE. (2) 四边形BDCE 是菱形. ∵ ∠ABC=∠DBE, ∴ ∠ABC - ∠DBC = ∠DBE - ∠DBC,即∠ABD=∠CBE. 在△ABD 和△CBE 中, BA=BC, ∠ABD=∠CBE, BD=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△CBE. ∴ AD=CE. ∵ 点D 是△ABC的外接圆圆心, ∴ DA=DB=DC. 又∵ BD=BE, ∴ BD=BE=CE=CD. ∴ 四边形BDCE 是菱形. 13. A 解析:设直线AB 对应的函数 表达式为y=kx+b.将 A(0,2), B(2,0)代 入,得 b=2, 2k+b=0, 解 得 k=-1, b=2. ∴ 直线AB 对应的函数表 达 式 为 y = - x + 2.联 立 y=-x+2, y=x-4, 解得 x=3 , y=-1. ∴ 当点 P 的坐标为(3,-1)时,P,A,B 三点 在同一条直线上.∴ 当P,A,B 三点 不能作出一个圆时,点P 的坐标为 (3,-1). 14. ∵ 在 Rt△ABC 中,∠A=90°, BC=10,AB=6, ∴ AC = BC2-AB2 = 102-62=8. 如图,连结PB. 设PA=x,若 PB=PC,则 PB= PC=8-x. 在Rt△PAB 中, ∵ PB2=PA2+AB2, ∴ (8-x)2=x2+62. ∴ x=74. ∴ PA=74. 若PA=PC,则PA=4. 在Rt△PAB 中,不存在PA=PB. ∴ PA 的长为4或74. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91