第1章 二次函数 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

22 第1章整合拔尖 ▶ “答案与解析”见P11 数学(浙教版)九年级全一册 23 考点一 二次函数的图象与性质 典例1 (2024·西宁)A(x1,y1),B(x2,y2)是 抛物线y=ax2-4ax+1(a是常数,且a>0)上 的两个点.有下列结论:① 抛物线与y轴的交点 坐标是(0,1);② 抛物线的对称轴是直线x= -2;③ 当y1=y2=1时,AB=4;④ 当x1> x2>2时,y1<y2;⑤ 当0≤x≤2时,y 有最大 值是1.其中,正确结论的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 [变式](2024·宁波镇海二模)在平面直角坐标 系中,已知抛物线y=ax2-2ax+4(a>0).若 A(m-1,y1),B(m,y2),C(m+2,y3)为抛物 线上三点,且总有y1>y3>y2,则m 的取值范 围是 ( ) A. m<1 B. m>32 C. 0<m<12 D. 1<m<32 考点二 二次函数图象的平移规律 典例2 已知抛物线对应的函数表达式为 y= 3(x-2)2 +1,若将x 轴向上平移2个单位,将 y轴向左平移3个单位,则该抛物线在新的平面 直角坐标系中对应的函数表达式为 ( ) A. y=3(x+1) 2+3 B. y=3(x-5) 2+3 C. y=3(x-5) 2-1 D. y=3(x+1) 2-1 此题可以转化为求将抛物线向下平移2个单 位,再向右平移3个单位后所得抛物线对应的函数表 达式,将抛物线直接利用二次函数图象的平移规律, 左加右减,上加下减,进而得出答案. [变式]要使二次函数y=x2的图象平移或翻折 后经过点(2,0),有下列4种方法:① 向右平移 2个单位;② 向右平移1个单位,再向下平移 1个单位;③ 向下平移4个单位;④ 沿x 轴翻 折,再向上平移4个单位.其中,正确的有 ( ) A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 考点三 二次函数图象与系数的关系 典例3 (2024·绥化)二次函数y=ax2+bx+ c(a≠0)的部分图象如图所示,对称轴为直线 x=-1,有下列结论:① b c>0 ;② am2+bm≤ a-b(m 为任意实数);③ 3a+c<1;④ 若 M(x1,y),N(x2,y)是抛物线上不同的两个点, 则x1+x2≤-3.其中,正确的结论有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (典例3图) [变式](2024·杭州西湖段考)如右上图,二次 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过 点(-1,2),且与x 轴交点的横坐标分别为x1, x2,其中-2<x1<-1,0<x2<1,顶点纵坐标 大于2.有下列结论:① abc>0;② b2+8a> 4ac;③ a+c<1;④ 若m,n(m<n)是方程 ax2+(b+2)x=x-c的两个根,则m<-1, n>0.其中,正确的结论有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 考点四 二次函数在生活中的实际应用 典例4 (2024·江西)如图,一小球从斜坡点O 处向一定的方向弹出,小球的飞行路线可以看做 是二次函数y=ax2+bx(a<0)的图象,斜坡可 以看做是一次函数y= 1 4x 的图象,小球飞行的 水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变 化规律如下表: x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 72 6 152 8 152 n 72 … (1) ① m= ,n= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　二次函数 24 ② 若小球落在斜坡上的点A 处,求点A 的 坐标. (2) 小球的飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)之 间的函数表达式为y=-5t2+vt. ① 小球飞行的最大高度为 米. ② 求v的值. (典例4图) [变式](2024·广东)某果商以每吨2万元的价 格收购早熟荔枝,销往国外,若按每吨5万元的 价格出售,平均每天可出售100吨.市场调查显 示:如果每吨每降价1万元,那么每天的销售量 相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的 利润最大? 最大利润是多少万元? 考点五 抛物线与几何图形 典例5 (2024·福建)如图,二次函数y=x2+ bx+c的图象与x 轴交于A,B 两点,与y轴交 于点C,其中A(-2,0),C(0,-2). (1) 求二次函数的表达式. (2) 若P 是二次函数图象上的一点,且点P 在 第二象限,线段PC 交x轴于点D,△PDB 的面 积是△CDB 的面积的2倍,求点P 的坐标. (典例5图) [变式]如图,在平面直角坐标系中,菱形ABDC 的边AB 在x 轴上,顶点C 在y 轴上,A(-3, 0),C(0,4),抛物线y=ax2-8ax+c经过点C, 且顶点M 在直线BC 上,则a的值为 ( ) A. 2 5 B. 1 2 C. 3 4 D. 2 3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 25 1. 若二次函数y=a2x2-bx-c的图象过六个 不同的点:A(-1,n),B(5,n-1),C(6,n+ 1),D(2,y1),E(2,y2),F(4,y3),则y1, y2,y3的大小关系是 ( ) A. y1<y2<y3 B. y1<y3<y2 C. y2<y3<y1 D. y2<y1<y3 2. 某水利工程公司开挖的沟渠,蓄水之后截面 呈抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标 系,并标出相关数据(单位:m).某学习小组 探究之后得出如下结论,其中,正确的为 ( ) (第2题) A. AB=24m B. 沟底所在抛物线对应的函数表达式为y= 1 25x 2-5 C. 沟渠最深处到水面CD 的距离为3.2m D. 若沟渠中水面的宽度减少为原来的一半, 则最深处到水面的距离减少为原来的1 3 3. 易错题 把二次函数y=x2+4x+m 的图象 先向上平移1个单位,再向右平移3个单位, 如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一 个公共点,那么m 的取值范围是 . 4. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象如图所示,有下列结论:① abc> 0;② 8a+c<0;③ 若抛物线与y轴 (第4题) 的交点在点(0,-3),(0,-2) 之间(包含边界),则a 的取 值范围是2 3≤a≤1 ;④ 若点 A(t,m),B(1-t,n),C(3-t, p)均在二次函数的图象上,t<0,则n<m< p.其中,正确的结论是 (填序号). 5. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=-x2+bx+c与x轴交于点A, B,与y轴交于点C,且直线y=x- 6过点B,与y 轴交于点D,点C 与点D 关 于x轴对称,P 是线段OB 上一动点,过点P 作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线BD 于点N. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 连结 MD,MB,当△MDB 的面积最大 时,求点P 的坐标. (3) 在(2)的条件下,在y 轴上是否存在点 Q,使得以Q,M,N 为顶点的三角形是直角 三角形? 若存在,求出点Q 的坐标;若不存 在,请说明理由. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　二次函数 为(m,n).∴ 旋转后的抛物线对应的 函数表达式为y=-(x-m)2+n. ∵ 旋 转 后 的 抛 物 线 仍 然 经 过 点 A(4,-5),∴ -(4-m)2+n=-5. ∴ n=(m-4)2-5.∵ m≤2,∴ 当 m=2时,n取得最小值,此时n=-1. ∴ 旋转后的抛物线的顶点达到最低 点时的坐标为(2,-1). (第4题) 第1章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 C 解析:∵ 抛物线y= ax2-4ax+1(a是常数,且a>0),当 x=0时,y=1,∴ 抛物线与y轴的交 点坐标是(0,1).故①正确.抛物线的 对称轴为直线x=--4a2a =2 ,故②错 误.当y=1时,则有ax2-4ax+1= 1,即ax(x-4)=0.∵ a>0,∴ x=0 或x=4.∵ 点A(x1,y1),B(x2,y2) 在抛物线y=ax2-4ax+1上且 y1=y2=1,不妨规定x1<x2,则易得 A(0,1),B(4,1).∴ AB=4.故③正 确.∵ a>0,∴ 抛物线的开口向上. ∴ 当x>2时,y随x的增大而增大. ∵ x1>x2>2,∴ y1>y2.故④错误. ∵ 当0≤x≤2时,y随x的增大而减 小,∴ 当x=0时,y 有最大值,最大 值为1.故⑤正确.综上所述,正确的 结论有3个. [变式] C 解析:∵ y=ax2-2ax+4 (a>0),∴ 抛物线的对称轴为直线x= 1,抛物线开口向上.∵ A(m-1,y1), B(m,y2),C(m+2,y3),∴ m-1<m< m+2.∵ y1>y3,∴ x1+x3 2 <1 ,即 m-1+m+2 2 <1 ,解 得 m < 12. ∵ y3>y2,∴ m+m+2 2 >1 ,解得 m>0.∴ 0<m<12. 典例2 C 解析:将x 轴向上平移 2个单位,将y轴向左平移3个单位, 相当于将抛物线 y=3(x-2) 2+1先 向下平移2个单位,再向右平移3个 单位,故抛物线在新的平面直角坐标 系中对应的函数表达式为 y=3(x- 2-3) 2+1-2,即y=3(x-5) 2-1. [变式] D 解析:将二次函数y= x2的图象向右平移2个单位,则平移 后的图象对应的函数表达式为y= (x-2)2,当x=2时,y=0,∴ 平移 后的图象过点(2,0).故①符合题意; 将二次函数y=x2 的图象向右平移 1个单位,再向下平移1个单位,则平 移后的图象对应的函数表达式为y= (x-1)2-1,当x=2时,y=0,∴ 平 移后的图象过点(2,0).故②符合题 意;将二次函数y=x2 的图象向下平 移4个单位,则平移后的图象对应的 函数表达式为y=x2-4,当x=2时, y=0,∴ 平移后的图象过点(2,0).故 ③符合题意;将二次函数y=x2 的图 象沿x 轴翻折,再向上平移4个单 位,则平移后的图象对应的函数表达 式为y=-x2+4,当x=2时,y=0, ∴ 平移后的图象过点(2,0).故④符 合题意.∴ 正确的有4种. 典例3 B 解析:由题图,得抛物线 开口向下,∴ a<0.又抛物线的对称 轴是直线x=-b2a=-1 ,∴ b=2a< 0.又抛物线与y 轴的交点在y 轴正 半轴上,∴ 当x=0时,y=c>0. ∴ b c<0. 故①错误.当x=-1时,y 取得最大值,为y=a-b+c,∴ 对于 任意实数m,当x=m 时,y=am2+ bm+c≤a-b+c.∴ am2+bm≤a- b.故②正确.由题图,可得当x=1 时,y=a+b+c<0,又∵ b=2a, ∴ 3a+c<0<1.故③正确.∵ y= ax2+bx+c,∴ x1+x2=- b a = -2aa=-2>-3. 故④错误.综上所 述,正确的结论有2个. [变式] D 解析:∵ 抛物线开口向 下,∴ a<0.∵ 对称轴为直线x= -b2a<0 ,∴ b<0.∵ 抛物线与y 轴 的交点在y 轴正半轴上,∴ c>0. ∴ abc>0.故①正确.∵ 抛物线的顶 点纵坐标大于2,∴ 4ac-b2 4a >2. ∵ a<0,∴ 4ac-b2<8a.∴ b2+ 8a>4ac.故②正确.当x=-1时, a-b+c=2,当x=1时,a+b+c< 0,∴ a-b+c+a+b+c<2.∴ a+ c<1.故③正确.∵ m,n(m<n)是方 程ax2+(b+2)x=x-c的两个根, ∴ m,n(m<n)是直线y=-x 与抛 物线y=ax2+bx+c两个交点的横 坐标.∴ m<-1,n>0.故④正确.综 上所述,正确的结论有4个. 典例4 (1) ① 3;6. 解析:根据小 球飞行的水平距离x(米)与小球飞行 的高度y(米)的变化规律表可知,抛 物线 的 顶 点 坐 标 为 (4,8),则 -b2a=4 , -b2 4a =8 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-12 , b=4. ∴ 二次函 数的表达式为y=- 1 2x 2+4x.当 y= 15 2 时,-12x 2+4x=152 ,解得 x1=3,x2=5.∴ m=3.当x=6时, n=-12×6 2+4×6=6. ② 联 立 y=- 1 2x 2+4x, y= 1 4x , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 x1=0, y1=0, x2= 15 2 , y2= 15 8. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 点A 的坐标为 15 2 ,15 8 . (2) ① 8. ② y=-5t2+vt=-5t-v10 2 + v2 20. 由题意,得v 2 20=8 ,解得v=4 10 (负值舍去). [变式] 设 该 果 商 将 荔 枝 按 每 吨 x万元定价时,每天的利润为w 万元, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 ∴ w=(x-2)[100+50(5-x)]= -50(x-4.5)2+312.5. ∵ -50<0, ∴ 当x=4.5时,w 取得最大值,最大 值为312.5. ∴ 该果商将荔枝按每吨4.5万元定 价时,才能使每天的利润最大,最大利 润是312.5万元. 典例5 (1) 将A(-2,0),C(0,-2) 代入 y=x2+bx+c, 得 4-2b+c=0, c=-2, 解得 b=1 , c=-2. ∴ 二次函数的表达式为y=x2+ x-2. (2) 设点P的坐标为(m,n),m<-2, n>0. ∵ △PDB 的面积是△CDB 的面积 的2倍, ∴ S△PDB S△CDB=2 ,即 1 2BD ·n 1 2BD ·OC =2. ∴ n OC=2. 又∵ OC=2, ∴ n=2OC=4. 由m2+m-2=4,解得 m1=-3, m2=2(舍去). ∴ 点P 的坐标为(-3,4). [变式] B 解析:∵ A(-3,0), C(0,4),∴ OA=3,OC=4.∴ AC= OA2+OC2=5.∵ 四边形ABDC 是菱 形,∴ AB =CD =AC=5. ∴ OB=AB-OA=2.∴ B(2,0).设 直线BC 对应的函数表达式为y= kx+b,∴ b=4, 2k+b=0, 解得 k=-2 , b=4. ∴ 直线 BC 对应的函数表达式为 y=-2x+4.∵ 抛物线y=ax2- 8ax+c经过点C,∴ c=4.∴ y= ax2-8ax+4.∴ xM=- -8a 2a =4 , yM= 4a×4-(-8a)2 4a =4-16a. ∴ M(4,4-16a).∵ 顶点M 在直线BC 上,∴ 4-16a=-8+4.∴ a=12. ［综合素能提升］ 1. D 解析:设该二次函数图象的对 称轴为直线x=m.∵ 二次函数y= a2x2-bx-c的图象过点A(-1,n), B(5,n-1),C(6,n+1),∴ 易得该图 象开口向上,对称轴直线x=m 满足 -1+5 2 <m< -1+6 2 ,即2<m<2.5. 设点D,E,F 到对称轴的距离分别为 d,e,f.∴ 2- 2<d<2.5- 2,2- 2<e<2.5-2,4-2.5<f<4-2. ∴ f>d>e.∵ 开口向上的抛物线上 的点距离对称轴越远,点的纵坐标越 大,函数值也越大,∴ y2<y1<y3. 2. C 解析:AB=15-(-15)= 30(m),故A错误.设沟底所在抛物线 对应的函数表达式为y=ax2+bx+c (a≠0),将A(-15,0),B(15,0),P(0, -5)代入,得 0=(-15)2a-15b+c, 0=152a+15b+c, -5=c, 解得 a=145 , b=0, c=-5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ 沟底所在抛物线对 应的函数表达式为y= 1 45x 2-5.故B 错误.当x=12时,y= 1 45×12 2-5= -1.8,-1.8-(-5)=3.2(m),∴ 沟 渠最 深 处 到 水 面 CD 的 距 离 为 3.2m.故C正确.当沟渠中水面的宽 度减少为原来的一半,即水面宽度为 12m时,将x=6代入y= 1 45x 2-5, 得y= 1 45×6 2-5=45-5=- 21 5 ,此 时最深处到水面的距离为-215- (-5)=0.8(m),减少为原来的0.83.2= 1 4 ,故D错误. 3. m>3 解析:∵ 二次函数y= x2+4x+m=(x+2)2+m-4,∴ 把 它的图象先向上平移1个单位,再向 右平移3个单位后得到的图象对应的 函数表达式为y=(x+2-3)2+m- 4+1=x2-2x+m-2.∵ 平移后所 得抛物线与坐标轴有且只有一个公共 点,而抛物线与y 轴一定有一个交 点,∴ 这个公共点为抛物线与y轴的 交点.分两种情况:① 若这个公共点 为坐标原点,则m-2=0,∴ m=2. 此时抛物线对应的函数表达式为y= x2-2x,易知此抛物线与坐标轴有两 个交点,不合题意.② 若这个公共点 不是坐标原点,则此抛物线与x 轴无 交点,即方程x2-2x+m-2=0没有 实数根,∴ (-2)2-4×1×(m- 2)=-4m+12<0,解得m>3.综上 所述,m 的取值范围是m>3. 不能误认为原点是 抛物线与x轴的交点 解答这类题目时须注意,坐标 原点既是抛物线与x 轴的交点又 是与y轴的交点,故这也是满足题 意的一种情况,虽然本题这种情况 不符合题意,但是若条件改为向右 平移2个单位,其他条件不变,则 这种情况也符合题意. 4. ①③④ 解析:∵ 抛物线开口向 上,∴ a>0.∵ 抛物线的对称轴为直 线x=1,即-b2a=1 ,∴ b=-2a<0. ∵ 抛物线与y轴的交点在y 轴的负 半轴上,∴ c<0.∴ abc>0.故①正 确.∵ x=-1时,y=0,∴ a-b+ c=0.∴ a+2a+c=0.∴ c=-3a. ∴ 8a+c=8a-3a=5a>0.故②错 误.∵ 抛物线与y 轴的交点在点(0, -3),(0,-2)之 间(包 含 边 界), ∴ -3≤c≤-2,即-3≤-3a≤-2, 解得2 3≤a≤1. 故③正确.∵ t<0, ∴ 点A 到直线x=1的距离为1-t, 点B 到直线x=1的距离为1-t- 1=-t.∵ 1-t>-t,即点A 到直线 x=1的距离大于点B 到直线x=1 的距离,∴ m>n.同理可得p>m. ∴ n<m<p.故④正确.综上所述,正 确的结论是①③④. 5. (1) 在y=x-6中,令y=0,得 y=x-6=0,解得x=6. ∴ B(6,0). 令x=0,得y=x-6=-6, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 ∴ D(0,-6). ∵ 点C与点D 关于x轴对称, ∴ C(0,6). 把点B,C 的坐标代入y=-x2+ bx+c中,得 -36+6b+c=0, c=6, 解得 b=5, c=6. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=-x2+5x+6. (2) 设P(m,0),则 M(m,-m2+ 5m+6),N(m,m-6), ∴ MN=-m2+5m+6-(m- 6)=-m2+4m+12. ∴ 易得△MDB 的面积=12MN · OB=-3m2+12m+36=-3(m- 2)2+48. ∵ -3<0, ∴ 当m=2时,△MDB 的面积最大, 此时,点P 的坐标为(2,0). (3) 存在. 由(2),知M(2,12),N(2,-4). 当∠QMN=90°时,QM∥x 轴,则 Q(0,12). 当∠MNQ=90°时,NQ∥x 轴,则 Q(0,-4). 当∠MQN=90°时,设Q(0,n), 则QM2+QN2=MN2, 即4+(12-n)2+4+(n+4)2= (12+4)2, 解得n=4±2 15. ∴ Q(0,4+2 15)或(0,4-2 15). 综上所述,存在以Q,M,N 为顶点的 三角形是直角三角形.点Q 的坐标为 (0,12)或(0,-4)或(0,4+2 15)或 (0,4-2 15). 第2章　简单事件的概率 2.1　事件的可能性 1. D 2. D 3. D 4. 随机 5. > 6. (A,B,D,E,F),(A,B,D,E, G),(A,B,D,F,G),(A,B,E,F, G),(A,C,D,E,F),(A,C,D,E, G),(A,C,D,F,G),(A,C,E,F, G),(B,C,D,E,F),(B,C,D,E, G),(B,C,D,F,G),(B,C,E,F,G). 7. C 解析:“翻开九年级上册数学课 本,恰好是第88页”是随机事件,故 A错误;“太阳从西方升起”是不可能 事件,故B错误;“明天会下雨”是随机 事件,故C正确;“射击运动员射击 一次,命中十环”是随机事件,故 D 错误. 8. C 解析:由题图可知,区域1对应 扇形圆心角的度数为360°-(50°+ 125°+65°)=120°.∵ 区域3对应扇 形圆心角的度数最大,∴ 指针落在区 域1,2,3,4内可能性最大的是区 域3. 9. D 解析:画树状图如图所示.由 图,可知共有6种等可能的结果, ∴ 小松鼠走出笼子的路线(经过两道 门)的不同可能有6种. (第9题) 10. 5 解析:∵ 一副扑克牌有13张 红桃牌,甲有5张红桃牌,乙有4张红 桃牌,∴ 剩余4张红桃牌.∴ 丁的红 桃牌有0,1,2,3,4张,共5种不同的 情况. 11. (1) 答案不唯一,如盒中装有红球 2个、黄球8个. (2) 答案不唯一,如盒中装有红球 8个、黄球2个. (3) 答案不唯一,如盒中装有红球 8个、黄球2个. (4) 答案不唯一,如盒中装有红球 9个、黄球1个. 12. 列表如下: 第1张和 第2张 3 4 5 6 3 7 8 9 4 7 9 10 5 8 9 11 6 9 10 11 由表可知,抽取的2张牌的数字之和 为偶数共有4种可能. 13. (1) 画树状图如图所示. (2) 由树状图可知,共有4种等可能 的结果,其中“闯关成功”有1种可能, “闯关失败”有3种可能, ∴ “闯关失败”的可能性较大. (第13题) 2.2　简单事件的概率 第1课时 概率公式 1. A 2. C 3. D 4. 5 9 5. 1 4 6. 由题意,可知袋子里装有红、黄、蓝 三种颜色的球共15个,其中蓝色球 5个,红色1号球1个,5号球3个. (1) 摸出蓝色球的概率为5 15= 1 3. (2) 摸出的是红色1号球的概率 为1 15. (3) 摸出的是5号球的概率为315= 1 5. 7. A 解析:∵ 在一个不透明的口袋 里有红、黄、蓝三种颜色的小球,这些 小球除颜色外完全相同,其中有5个 黄球,4个蓝球,随机摸出一个蓝球的 概率是 1 3 ,∴ 设红球有 x 个,则 4 5+4+x= 1 3 ,解得x=3.∴ 随机摸 出一个红球的概率是 3 5+4+3= 1 4. 8. C 解析:如图,第三枚棋子可摆放 的位置共有14种,其中这三枚棋子所 在格点恰好是等腰三角形顶点的有 8种,∴ 这三枚棋子所在格点恰好是 等腰三角形顶点的概率为8 14= 4 7. (第8题) 9. 1 2 解析:∵ 关于x 的方程(k- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31