第1章 专题特训二 二次函数的综合-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

的解为x1=2,x2=4. 8. -1≤t<8 解析:对称轴为直线 x=- b2×1=1 ,解得b=-2,∴ 二次 函数的表达式为y=x2-2x.当 x=-1时,y=1+2=3;当x=1时, y=1-2=-1;当x=4时,y=16- 2×4=8.∴ 当-1<x<4时,-1≤ y<8.∵ 方程x2+bx-t=0的解相 当于抛物线y=x2+bx 与直线y=t 的交点的横坐标,∴ -1≤t<8. 9. (3,0)或(4,0) 解析:当k=0时, 函数表达式为y=-x-3,它的“Y 函 数”表达式为y=x-3,它们的图象与 x轴都只有一个交点,∴ 它的“Y 函 数”图象与x轴的交点坐标为(3,0). 当k≠0时,此函数为二次函数,∵ 二 次函数y= k 4x 2+(k-1)x+k-3 的图象与x轴只有一个交点,∴ 二次 函 数 图 象 的 顶 点 在 x 轴 上,即 4×k4 (k-3)-(k-1)2 4×k4 =0,解 得 k=-1.∴ 二次函数的表达式为 y=- 1 4x 2-2x-4=-14 (x+4)2. ∴ 它 的“Y 函 数”表 达 式 为 y= -14 (x-4)2.令y=0,则- 1 4 (x- 4)2=0,∴ x1=x2=4.∴ 二次函数 的“Y 函数”图象与x轴的交点坐标为 (4,0).综上所述,它的“Y 函数”图象 与x轴的交点坐标为(3,0)或(4,0). 10. (1) ∵ 二次函数y=ax2+bx+c 的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4, 5)三点, ∴ 4a+2b+c=0, c=-1, 16a+4b+c=5, 解得 a=12 , b=-12 , c=-1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ y= 1 2x 2-12x-1. (2) 当y=0时,即 1 2x 2-12x- 1=0, 解得x1=2,x2=-1, ∴ D(-1,0). (3) 如图, 易知C,D 是两个函数图象的交点, ∴ 当-1<x<4时,一次函数的值大 于二次函数的值. (第10题) 11. (1) 把x=-0.5代入y=|x2- 2x|, 得y=|(-0.5)2-2×(-0.5)|= 1.25,即m=1.25. (2) 如图所示. (3) 答案不唯一.如当x>2时,y随x 的增大而增大. (4) ① 4. 解析:由函数图象,可知函 数图象与直线y= 1 2 有4个交点, ∴ 方程|x2-2x|= 12 有4个实 数根. ② 如图所示.0.4. (第11题) 专题特训二　二次函数的 综合 1. (1) ∵ 点B 的坐标为(1,0),OC= 3OB, ∴ OB=1,OC=3. ∴ 点C的坐标为(0,-3). (2) 将B(1,0),C(0,-3)代入y= ax2+3ax+c,得 a+3a+c=0, c=-3, 解 得 a=34 , c=-3. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= 3 4x 2+94x-3. (3) 如图,过点D 作直线DE∥y 轴, 交AC于点E,交x轴于点F,过点C 作CG⊥DE 于点G, 当y=0时,有 3 4x 2+94x-3=0 , 解得x1=-4,x2=1. ∴ 点A 的坐标为(-4,0). ∴ AB=5. 设直线AC对应的函数表达式为y= kx+b(k≠0), 将A(-4,0),C(0,-3)代入y=kx+b, 得 -4k+b=0, b=-3, 解得 k=- 3 4 , b=-3. ∴ 直线AC对应的函数表达式为y= -34x-3. 设点D 的坐标为t,34t 2+94t-3 , 则点E 的坐标为t,-34t-3 ,-4< t<0, ∴ ED=-34t-3- 34t2+94t- 3 =-34t2-3t. ∴ S四边形ABCD =S△ABC +S△AED + S△CED= 1 2AB ·OC+12ED ·AF+ 1 2ED ·CG=12AB ·OC+12ED · AO=12×5×3+ 1 2×4 -34t2- 3t =-32t2-6t+152=-32(t+ 2)2+272. ∵ -32<0 , ∴ 当t=-2时,四边形ABCD 的面 积取得最大值,最大值为27 2. ∴ 四边形ABCD 面积的最大值为272. (第1题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 2. (1) ∵ 抛物线y=ax2+bx+3过 点B(2,0),对称轴为直线x=-12 , ∴ 4a+2b+3=0, -b2a=- 1 2 , 解得 a=-12 , b=-12. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=- 1 2x 2-12x+3. (2) 令y=0,即- 1 2x 2-12x+3= 0,解得x1=-3,x2=2. ∴ A(-3,0). 令x=0,得C(0,3). ∵ 直线AC经过点A(-3,0),C(0,3), 设直线AC对应的函数表达式为y= kx+c,则 0=-3k+c, 3=c, ∴ k=1, c=3. ∴ 直线AC对应的函数表达式为y= x+3. ∴ ∠BAC=45°. ∵ PH⊥AO,PG⊥AC, ∴ ∠AQH=∠PQG=∠QPG=45°. ∴ △PQG 是等腰直角三角形. 设P m,-12m 2-12m+3 ,-3< m<0, ∴ Q(m,m+3). ∴ PQ=-12m 2-12m+3-m- 3=- 12m 2- 32m=- 1 2 m+ 3 2 2 +98. ∵ -12<0 , ∴ 当m=-32 时,PQ 的长取得最大 值,为9 8 ,此时P -32 ,21 8 . ∵ △PQG 是等腰直角三角形, ∴ 易得△PQG的周长=(2+1)PQ. ∴ △PQG 周 长 的 最 大 值 为 98 × (2+1)=928 + 9 8 ,此时点P 的坐 标为 -32 ,21 8 . 3. (1) 把(1,0),(0,5)代入y= -x2+bx+c, 得 0=-1+b+c, 5=c, 解得 b=-4 , c=5. ∴ 这个抛物线对应的函数表达式为 y=-x2-4x+5. (2) 令y=0,则0=-x2-4x+5, 解得x1=1,x2=-5. ∴ C(-5,0). 由y=-x2-4x+5=-(x+2)2+ 9,得顶点D(-2,9). 如图①,过顶点D 作DF⊥x 轴于点 F,交线段BC于点E. 设直线BC对应的函数表达式为y= kx+m.将B(0,5),C(-5,0)代入, 得 m=5, -5k+m=0, 解得 k=1 , m=5. ∴ 直线BC对应的函数表达式为y= x+5. ∴ 当x=-2时,y=3. ∴ E(-2,3). ∴ DE=6. 过点B 作BG⊥DE 于点G. ∴ S△BCD=S△BDE+S△CDE= 1 2DE · BG+12DE ·CF=12DE ·(BG+ CF)=12×6×5=15. (3) 存在. 若BC把△PCH 分为面积相等的两 部分,则需PH 与线段BC 的交点是 线段PH 的中点. 如图②,若设PH 与线段BC 的交点 为Q. 设点P(x,0),则点 Q(x,x+5), H(x,-x2-4x+5), ∵ Q 为PH 的中点, ∴ HQ=QP. ∴ -x2-4x+5-(x+5)=x+5,解 得x1=-1,x2=-5(舍去). ∴ 存在这样的点P,其坐标为(-1,0). (第3题) 4. (1) ∵ A(4,-5),且 四 边 形 ABOC为矩形, ∴ 易得C(0,-5). 将A(4,-5),C(0,-5)代入y= x2+bx+c,得 16+4b+c=-5, c=-5, 解得 b=-4, c=-5. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2-4x-5. (2) 由(1)知,抛物线y=x2-4x- 5=(x-2)2-9的对称轴为直线 x=2. ∵ 将抛物线y=x2-4x-5绕直线 x=a(0<a<2)翻转,设翻转后的抛 物线的对称轴为直线x=t, ∴ 2+t 2 =a. ∴ t=2a-2. ∴ 翻转后的抛物线对应的函数表达 式为y=[x-(2a-2)]2-9. 在y=[x-(2a-2)]2-9中,当y= 0时,解得x1=2a+1,x2=2a-5; 当y=-5时,解得x1=2a,x2= 2a-4. 如图,连结AO,BC交于点Q. 易得点Q 的坐标为 2,-52 . 又∵ 抛物线y=[x-(2a-2)]2-9 分别交线段OB,AC于D,E 两点, ∴ D(2a+1,0),E(2a,-5). ∵ 直线DE 刚好平分矩形ABOC 的 面积, ∴ 直线DE 必过矩形对角线的交点 Q 2,-52 . ∴ 易得点D 与点E 关于点Q 对称. ∴ 2a+1+2a 2 =2. ∴ a=34. (3) (2,-1). 解析:∵ 将抛物线旋 转180°,使点A 的对应点为A1(m- 2,n-4),其中 m≤2,又∵ A(4, -5),∴ 旋转中心为 m+2 2 ,n-9 2 . 由y=(x-2)2-9,可知原抛物线的 顶点为(2,-9),∴ 原顶点的对应点 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 为(m,n).∴ 旋转后的抛物线对应的 函数表达式为y=-(x-m)2+n. ∵ 旋 转 后 的 抛 物 线 仍 然 经 过 点 A(4,-5),∴ -(4-m)2+n=-5. ∴ n=(m-4)2-5.∵ m≤2,∴ 当 m=2时,n取得最小值,此时n=-1. ∴ 旋转后的抛物线的顶点达到最低 点时的坐标为(2,-1). (第4题) 第1章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 C 解析:∵ 抛物线y= ax2-4ax+1(a是常数,且a>0),当 x=0时,y=1,∴ 抛物线与y轴的交 点坐标是(0,1).故①正确.抛物线的 对称轴为直线x=--4a2a =2 ,故②错 误.当y=1时,则有ax2-4ax+1= 1,即ax(x-4)=0.∵ a>0,∴ x=0 或x=4.∵ 点A(x1,y1),B(x2,y2) 在抛物线y=ax2-4ax+1上且 y1=y2=1,不妨规定x1<x2,则易得 A(0,1),B(4,1).∴ AB=4.故③正 确.∵ a>0,∴ 抛物线的开口向上. ∴ 当x>2时,y随x的增大而增大. ∵ x1>x2>2,∴ y1>y2.故④错误. ∵ 当0≤x≤2时,y随x的增大而减 小,∴ 当x=0时,y 有最大值,最大 值为1.故⑤正确.综上所述,正确的 结论有3个. [变式] C 解析:∵ y=ax2-2ax+4 (a>0),∴ 抛物线的对称轴为直线x= 1,抛物线开口向上.∵ A(m-1,y1), B(m,y2),C(m+2,y3),∴ m-1<m< m+2.∵ y1>y3,∴ x1+x3 2 <1 ,即 m-1+m+2 2 <1 ,解 得 m < 12. ∵ y3>y2,∴ m+m+2 2 >1 ,解得 m>0.∴ 0<m<12. 典例2 C 解析:将x 轴向上平移 2个单位,将y轴向左平移3个单位, 相当于将抛物线 y=3(x-2) 2+1先 向下平移2个单位,再向右平移3个 单位,故抛物线在新的平面直角坐标 系中对应的函数表达式为 y=3(x- 2-3) 2+1-2,即y=3(x-5) 2-1. [变式] D 解析:将二次函数y= x2的图象向右平移2个单位,则平移 后的图象对应的函数表达式为y= (x-2)2,当x=2时,y=0,∴ 平移 后的图象过点(2,0).故①符合题意; 将二次函数y=x2 的图象向右平移 1个单位,再向下平移1个单位,则平 移后的图象对应的函数表达式为y= (x-1)2-1,当x=2时,y=0,∴ 平 移后的图象过点(2,0).故②符合题 意;将二次函数y=x2 的图象向下平 移4个单位,则平移后的图象对应的 函数表达式为y=x2-4,当x=2时, y=0,∴ 平移后的图象过点(2,0).故 ③符合题意;将二次函数y=x2 的图 象沿x 轴翻折,再向上平移4个单 位,则平移后的图象对应的函数表达 式为y=-x2+4,当x=2时,y=0, ∴ 平移后的图象过点(2,0).故④符 合题意.∴ 正确的有4种. 典例3 B 解析:由题图,得抛物线 开口向下,∴ a<0.又抛物线的对称 轴是直线x=-b2a=-1 ,∴ b=2a< 0.又抛物线与y 轴的交点在y 轴正 半轴上,∴ 当x=0时,y=c>0. ∴ b c<0. 故①错误.当x=-1时,y 取得最大值,为y=a-b+c,∴ 对于 任意实数m,当x=m 时,y=am2+ bm+c≤a-b+c.∴ am2+bm≤a- b.故②正确.由题图,可得当x=1 时,y=a+b+c<0,又∵ b=2a, ∴ 3a+c<0<1.故③正确.∵ y= ax2+bx+c,∴ x1+x2=- b a = -2aa=-2>-3. 故④错误.综上所 述,正确的结论有2个. [变式] D 解析:∵ 抛物线开口向 下,∴ a<0.∵ 对称轴为直线x= -b2a<0 ,∴ b<0.∵ 抛物线与y 轴 的交点在y 轴正半轴上,∴ c>0. ∴ abc>0.故①正确.∵ 抛物线的顶 点纵坐标大于2,∴ 4ac-b2 4a >2. ∵ a<0,∴ 4ac-b2<8a.∴ b2+ 8a>4ac.故②正确.当x=-1时, a-b+c=2,当x=1时,a+b+c< 0,∴ a-b+c+a+b+c<2.∴ a+ c<1.故③正确.∵ m,n(m<n)是方 程ax2+(b+2)x=x-c的两个根, ∴ m,n(m<n)是直线y=-x 与抛 物线y=ax2+bx+c两个交点的横 坐标.∴ m<-1,n>0.故④正确.综 上所述,正确的结论有4个. 典例4 (1) ① 3;6. 解析:根据小 球飞行的水平距离x(米)与小球飞行 的高度y(米)的变化规律表可知,抛 物线 的 顶 点 坐 标 为 (4,8),则 -b2a=4 , -b2 4a =8 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-12 , b=4. ∴ 二次函 数的表达式为y=- 1 2x 2+4x.当 y= 15 2 时,-12x 2+4x=152 ,解得 x1=3,x2=5.∴ m=3.当x=6时, n=-12×6 2+4×6=6. ② 联 立 y=- 1 2x 2+4x, y= 1 4x , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 x1=0, y1=0, x2= 15 2 , y2= 15 8. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 点A 的坐标为 15 2 ,15 8 . (2) ① 8. ② y=-5t2+vt=-5t-v10 2 + v2 20. 由题意,得v 2 20=8 ,解得v=4 10 (负值舍去). [变式] 设 该 果 商 将 荔 枝 按 每 吨 x万元定价时,每天的利润为w 万元, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 20 专题特训二　二次函数的综合 ▶ “答案与解析”见P9 类型一 最值问题 1. 如图,抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与 y轴交于点C,与x 轴交于A,B 两点,点A 在点B 左侧.点B 的坐标为(1,0),OC= 3OB,连结BC. (1) 求点C 的坐标. (2) 求抛物线对应的函数表达式. (3) 若D 是线段AC 下方抛物线上的动点, 连结AD,CD,求四边形ABCD 面积的最 大值. (第1题) 2. 如图,抛物线y=ax2+bx+3与 x轴交于A,B 两点,且点B 的坐标 为(2,0),与y 轴交于点C,抛物线 的对称轴为直线x=-12. 连结AC,BC,P 是抛物线上在第二象限内的一个动点.过点 P 作x轴的垂线PH,垂足为H,交AC 于点 Q.过点P 作PG⊥AC 于点G.求: (1) 抛物线对应的函数表达式. (2) △PQG 周长的最大值及此时点P 的 坐标. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 21 类型二 存在性问题 3. 如图,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(1, 0),B(0,5). (1) 求这个抛物线对应的函数表达式. (2) 设抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物 线的顶点为 D,试求出点C,D 的坐标和 △BCD 的面积. (3) P 是线段OC 上一点,过点P 作PH⊥ x轴,与抛物线交于点H.是否存在点P,使 得线段BC 把△PCH 分成面积相等的两部 分? 若存在,请求出点P 的坐标;若不存在, 请说明理由. (第3题) 类型三 抛物线的几何变换综合题 4. 如图,抛物线y=x2+bx+c经过点 A(4,-5),过点 A 分别向x 轴、 y轴作垂线,垂足分别为B,C,得到 矩形ABOC,且抛物线经过点C. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 将抛物线绕直线x=a(0<a<2)翻转, 分别交线段OB,AC 于D,E 两点.若直线 DE 刚好平分矩形ABOC 的面积,求a的值. (3) 将抛物线旋转180°,使点A 的对应点为 A1(m-2,n-4),其中m≤2.若旋转后的抛 物线仍然经过点A,直接写出旋转后的抛物 线的顶点达到最低点时的坐标. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　二次函数