第1章 专题特训一 求二次函数的表达式-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

-1),C(-1,2)代入y=a(x-1)2+ k中, 得 a+k=-1, 4a+k=2, 解得 a=1 , k=-2. 当抛物线经过点B,D,E 时,将D(2, -1),E(4,2)代入y=a(x-1)2+ k中, 得 a+k=-1, 9a+k=2, 解得 a=38 , k=-118. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 综上所述, a=1, k=-2 或 a=38 , k=-118. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 第3课时 二次函数y=ax2+ bx+c(a≠0)的图象 1. B 2. A 3. 1 4. (1) a<1 (2) (1,4) 5. y=x2-2x+3 6. (1) 由题意,可得A(0,0),B(18, 0),C(17,1.7),抛物线过原点, 设大门所在抛物线对应的函数表达式 为y=ax2+bx(a≠0). 把B,C两点的坐标代入,得 182a+18b=0, 172a+17b=1.7, 解得 a=-0.1 , b=1.8. ∴ 大门所在抛物线对应的函数表达 式为y=-0.1x2+1.8x. (2) ∵ y=-0.1x2+1.8x=-0.1(x- 9)2+8.1, ∴ 抛物线的顶点坐标为(9,8.1). ∴ 大门的高h为8.1m. 7. C 解析:由题表,可知二次函数的 图象经过点(-4,2),(1,2),∴ 对称 轴为直线x=-4+12 =- 3 2.∵ 点 (-5,m)关于直线x=-32 对称的点 为(2,-1),∴ m=-1. 8. D 解析:∵ y=x2-2x+3=(x- 1)2+2,∴ 抛物线y=x2-2x+3向 左平移1个单位,再向下平移2个单 位得到的抛物线对应的函数表达式为 y=x2.当x=-2时,y=4;当x=1 时,y=1;当x=0时,y=0;当x= -1时,y=1.故点(-1,1)在此抛物 线上. 9. A 解析:将A(m,4)代入y=- 8 x , 得4=-8m ,即m=-2,∴ A(-2, 4).将A(-2,4),B(0,-2)代入y= x2+bx+c,得 4-2b+c=4, c=-2, 解得 b=-1,c=-2.∴ 这个二次函数的 表达式为y=x2-x-2. 10. -6<M<6 解析:将(-1,0), (0,2)代 入 y=ax2+bx+c,得 0=a-b+c, 2=c, ∴ b=a+2.由题意, 得-b2a>0 ,a<0,∴ b>0.∴ a>-2. ∴ -2<a<0.∵ M=4a+2b+c= 4a+2(a+2)+2=6a+6=6(a+ 1),-6<6(a+1)<6,∴ -6< M<6. 11. (1) 该二次函数图象的顶点的横 坐标为- a-12×(-1)= a-1 2 . (2) ∵ y=-x2+(a-1)x+a= -[x2-(a-1)x-a]=-(x+ 1)(x-a), ∴ p=-1. (3) ∵ 二次函数图象的顶点在y 轴 的右侧, ∴ a-1 2 >0 ,解得a>1. 在y=-(x+1)(x-a)中,令y=0, 得-(x+1)(x-a)=0, ∴ x1=-1,x2=a. ∴ 抛物线与x 轴的两交点之间的距 离为a+1. 根据题意,得a+1≤3,解得a≤2. ∴ a的取值范围是1<a≤2. 12. (1) 由题意,得 a+b+1=0, 4a+2b+1=1, 解得 a=1, b=-2. ∴ 该二次函数的表达式为y=x2- 2x+1. ∵ y=x2-2x+1=(x-1)2, ∴ 函数图象的顶点坐标为(1,0). (2) 由题意,得P=p2+p+1,Q= q2+q+1, ∴ P+Q=p2+p+1+q2+q+1= p2+q2+p+q+2. ∵ p+q=2, ∴ p=2-q. ∴ P+Q=(2-q)2+q2+4=2(q- 1)2+6. ∵ p≠q,p+q=2, ∴ q≠1. ∴ P+Q>6. 13. (1) ∵ 抛物线y=-x2+bx+c 经过点A(-1,0),B(3,0), ∴ -1-b+c=0, -9+3b+c=0, 解得 b=2 , c=3. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=-x2+2x+3. ∴ 对称轴为直线x=- 22×(-1)=1. (2) 设点E(m,-m2+2m+3)(m< 0), ∵ 抛物线的对称轴为直线x=1, ∴ 点F 的横坐标为2-m,FE= 2-2m. ∵ 由题意,得点C 的纵坐标为3,点 D 的纵坐标为-m2+2m+3, ∴ CD=3-(-m2+2m+3)= m2-2m. ∵ FE=CD, ∴ 2-2m=m2-2m,解得m=- 2 或m=2(舍去). ∴ -m2+2m+3=1-22. ∴ E(-2,1-22). 专题特训一　求二次函数的 表达式 1. (1) 设二次函数的表达式为y= a(x-1)2+23. ∵ 二次函数的图象过点A(2,1), ∴ a+23=1 ,解得a=13. ∴ 该 二 次 函 数 的 表 达 式 为 y= 1 3 (x-1)2+23. (2) 点B 在这个二次函数的图象上. 理由:如图,过点A,B 分别作AC⊥ x轴,BD⊥x轴,垂足分别为C,D. 由题意,得OA=OB, ∵ ∠AOC=∠OBD=90°-∠BOD, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 ∠ACO=∠ODB=90°, ∴ △AOC≌△OBD. ∴ DO=AC=1,BD=OC=2. ∴ B(-1,2). 当x=-1时,y= 1 3× (-1-1)2+ 2 3=2 , ∴ 点B 在这个二次函数的图象上. (第1题) 2. (1) 设二次函数的表达式为y= ax2+bx+c, 将A,B,C三点坐标代入,得 9a+3b+c=0, c=-3, 4a-2b+c=5, 解得 a=1, b=-2, c=-3. ∴ 二次函数的表达式为y=x2- 2x-3. ∵ y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴ 顶点P 的坐标为(1,-4). (2) 列表: x -1 0 1 2 3 y 0 -3 -4 -3 0 如图,二次函数的图象即为所求. 过点P 作PD⊥x轴于点D, ∴ 四 边 形 OBPA 的 面 积 = S梯形ODPB+S△APD= 1 2× (3+4)×1+ 1 2×2×4= 15 2. (第2题) 3. (1) 当x=0时,y=- 1 2x+ 4=4, ∴ A(0,4). 当y=0时,- 1 2x+4=0 ,解得 x=8. ∴ B(8,0). 设抛物线对应的函数表达式为y= a(x+2)(x-8), 把A(0,4)代入,得a×2×(-8)=4, 解得a=-14. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= -14 (x+2)(x-8),即y=- 1 4x 2+ 3 2x+4. (2) ∵ y=- 1 4x 2+32x+4= -14 (x-3)2+254 , ∴ M 3,254 . 如图,过点M 作MD⊥x轴于点D, 则四边形AOBM 的面积=S梯形AODM+ S△BDM= 1 2× 4+ 25 4 ×3+12×5× 25 4=31. (第3题) 4. 连结AB,A'B'. ∵ 平移前后的抛物线的形状相同, ∴ 线段AB 与抛物线C1 组成的空白 部分的面积等于线段A'B'与抛物线 C2组成的涂色部分的面积. ∴ S四边形A'B'BA=S涂色部分=9. ∵ 沿x轴方向平移后点A,B 的对应 点分别为A',B', ∴ AA'=BB',AA'∥BB'∥x轴. ∴ 四边形A'B'BA 为平行四边形. ∵ A(m,5),B(n,2), ∴ 点A 到BB'的距离=yA-yB= 5-2=3,即▱A'B'BA 的边B'B 上的 高为3. ∵ S四边形A'B'BA=9, ∴ 3BB'=9. ∴ BB'=3. ∴ 抛物线C2 是由抛物线C1:y= 1 2x 2-2x+3=12 (x-2)2+1沿 x轴向左平移3个单位得到的. ∴ 抛物线C2 对应的函数表达式为 y= 1 2 (x-2+3)2+1= 12 (x+ 1)2+1. 1.3　二次函数的性质 1. D 2. B 3. D 4. -1 5. 3≤ y≤11 6. (1) 由题意,得抛物线经过 点 C 2,94 ,A(8,0). ∴ 4a+2b=94 , 64a+8b=0, 解得 a=-316 , b=32. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 该抛物线对应的函数表达式为 y=- 3 16x 2+32x. (2) ∵ y = - 3 16x 2 + 32x = -316 (x-4)2+3, ∴ 当x=4时,y取得最大值. ∴ 蔬菜大棚离地面的最大高度是 3m. (3) 由题意,知当y=1.5时,DE 的 宽度取得最大值. ∴ 令-316x 2+32x=1.5 ,解得x1= 4+22,x2=4-22. ∴ DE=x1-x2=4+22-(4- 22)=42(m). ∴ 横梁DE 的宽度最大是42m. 7. B 解析:∵ 抛物线y=ax2+4ax+ 3的对称轴为直线x=-4a2a=-2 , ∴ ①正确.当x=0时,y=3,则点(0, 3)在抛物线上,∴ ②正确.当a>0 时,若x1>x2>-2,则y1>y2;当 a<0时,若x1>x2>-2,则y1<y2, ∴ ③错误.当y1=y2 时,点P1(x1, y1),P2(x2,y2)关于直线x=-2对 称,则x1+x2=-4,∴ ④错误.综上 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 10 专题特训一　求二次函数的表达式 ▶ “答案与解析”见P4 类型一 利用顶点式求函数表达式 方法归纳:已知抛物线的顶点的坐标或对称轴对应的 函数表达式,则可设顶点式y=a(x-m)2+k.利用 顶点坐标为(m,k),对称轴为直线x=m 来求得相应 的系数. 1. 如图,二次函数的图象的顶点坐标为1,23 , 现将等腰三角尺的直角顶点放在原点O, 一个锐角顶点A 在此二次函数的图象上,而 另一个锐角顶点B 在第二象限,且点A 的坐 标为(2,1). (1) 求该二次函数的表达式. (2) 判断点B 是否在这个二次函数的图象 上,并说明理由. (第1题) 类型二 利用一般式求函数表达式 方法归纳:当题目给出(或可求出)函数图象上的三个 点的坐标时,可设一般式y=ax2+bx+c(a,b,c为 常数,a≠0),从而转化成解一个三元一次方程组,以 求得a,b,c的值. 2. 已知二次函数的图象经过A(3,0),B(0, -3),C(-2,5)三点. (1) 求这个二次函数的表达式及函数图象顶 点P 的坐标. (2) 在如图所示的平面直角坐标系中画出这 个二次函数的图象(要列表画图),并求四边 形OBPA 的面积. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 11 类型三 利用交点式求函数表达式 方法归纳:已知图象与 x 轴交于不同的两点(x1,0), (x2,0),设二次函数的表达式为y=a(x-x1)(x- x2),再根据题目条件求出a的值. 3. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=- 1 2x+ 4与y轴交于点A,与x轴交于点B,点C 的 坐标为(-2,0). (1) 求经过A,B,C 三点的抛物线对应的函 数表达式. (2) 如果 M 为抛物线的顶点,连结 AM, BM,求四边形AOBM 的面积. (第3题) 类型四 利用平移变换求函数表达式 方法归纳:利用平移变换求函数表达式时,若函数表 达式不是顶点式,一般需先化成顶点式,然后根据抛 物线平移的规律求解. 4. 如图,A(m,5),B(n,2)是抛物线 C1:y= 1 2x 2-2x+3上的两点,将 抛物线C1向左平移,得到抛物线C2,点A, B 的对应点分别为A',B'.若曲线段AB 扫 过的面积为9(图中的涂色部分),求抛物线 C2对应的函数表达式. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　二次函数