1.2 二次函数的图象-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

∴ y=S△DEF =S△EAF +S△ADB = 1 2 (x-6)·x+9=12x 2-3x+9 (x>6). 1.2　二次函数的图象 第1课时 二次函数y=ax2 (a≠0)的图象 1. C 2. A 3. > 4. (1) ∵ 这个二次函数的图象的顶 点是原点,对称轴是y轴, ∴ 可设这个二次函数的表达式为 y=ax2. ∵ 点(-3,9)在该二次函数的图 象上, ∴ 9=a×(-3)2,即9a=9. ∴ a=1. ∴ 这个二次函数的表达式为y=x2. (2) 把x=1.1代入y=x2,得y= 1.12=1.21, ∴ 点(1.1,1.21)在这个函数的图 象上. 5. D 解析:当a<0时,∵ ab>0, ∴ b<0.此时函数y=ax2 的图象是 顶点在原点,开口向下的抛物线,函数 y=ax+b 的图象过第二、三、四象 限,符合条件的是D选项.同理,当 a>0时,b>0.此时函数y=ax2的图 象是顶点在原点,开口向上的抛物线, 函数y=ax+b的图象过第一、二、三 象限,没有符合条件的选项. 判断函数图象的方法 (1) 分类讨论法:按系数的正 负进行讨论. (2) 逐项排除法:假定选项中 某一函数图象正确,然后判断另一 函数图象是否合理. 6. A 解析:当抛物线y=ax2 经过 点(1,3)时,a=3;当抛物线y=ax2 经过点(3,1)时,a=19 ,观察题图,可 知实数a的取值范围是19≤a≤3. 7. -1 解析:∵ 关于x 的函数y= kxk 2-k 的图象是抛物线,∴ 此函数为 二次函数.∴ k2-k=2,即k2-k- 2=0,解得k1=-1,k2=2.∵ 抛物线 的开口向下,∴ k<0.∴ k=-1. 8. 8 解析:∵ 函数y= 1 3x 2 与 y=- 1 3x 2 的图象关于x 轴对称, ∴ 易得题图中的涂色部分的面积是 题图中正方形面积的一半.又∵ 边长 为4的正方形的面积为16,∴ 涂色部 分的面积是8. 9. (1) 由题意,得8=a·22,解得a=2. ∴ y=2x2. 又∵ 点B(-1,k)在二次函数y= 2x2的图象上, ∴ k=2×(-1)2=2. (2) 该二次函数图象的对称轴是y轴, 顶点坐标是(0,0),开口向上. (3) 当x=-3时,y=2×(-3)2= 18≠9. ∴ 该函数的图象不经过点(-3,9). (4) 令y=6,则2x2=6,解得x1= 3,x2=-3. ∴ 该函数图象上纵坐标为6的点的 坐标为(3,6),(-3,6). 10. 连结OB. ∵ 正方形OABC 的顶点B 在函数 y=x2在第一象限的图象上, ∴ 可设点B的坐标为(x,x2)(x>0). ∵ 点B 的横坐标与纵坐标之和为6, ∴ x+x2=6,解得x1=2,x2=-3 (不合题意,舍去). ∴ 点B 的坐标为(2,4). ∴ OB2=22+42=20. ∵ 四边形OABC是正方形, ∴ OB2=OA2+AB2=2OA2. ∴ OA2=10. ∴ 正方形OABC的面积为10. 11. 1 6 解析:设点A,B 的横坐标为 a(a>0),则易得点A 的纵坐标为a2, 点B 的纵坐标为a 2 4.∵ BE∥x 轴, ∴ 点F 的纵坐标为a 2 4.∵ F 是抛物 线C1:y=x2(x≥0)上的点,∴ 点F 的横坐标为 a 2 4 = 1 2a.∵ CD∥ x轴,∴ 点D 的纵坐标为a2.∵ D 是 抛物线C2:y= x2 4 (x≥0)上的点, ∴ 点 D 的横坐标为 4a2 =2a. ∴ AD=2a-a=a,BF=a-12a= 1 2a ,CE=a2-a 2 4 = 3 4a 2,OE= 1 4a 2.∴ S△OFB S△EAD = 1 2BF ·OE 1 2AD ·CE = 1 2× 1 2a× 1 4a 2 1 2×a× 3 4a 2 =16. 12. (1) ∵ 点A,B 在函数y= 1 4x 2 的图象上,点A,B 的横坐标分别为 -2,4, ∴ 易得A(-2,1),B(4,4). 设直线AB 对应的函数表达式为y= kx+b. ∴ -2k+b=1, 4k+b=4, 解得 k= 1 2 , b=2. ∴ 直线AB 对应的函数表达式为y= 1 2x+2. (2) 在y= 1 2x+2 中,令x=0,则 y=2, ∴ 点C的坐标为(0,2). ∴ OC=2. ∴ S△AOB=S△AOC+S△BOC= 1 2×2× 2+12×2×4=6. (3) 4. 解析:过OC 的中点作直线 AB 的平行线P1P2 交抛物线于点 P1,P2,连结P1A,P1B,P2A,P2B, 此时△P1AB 的面积和△P2AB 的面 积都等于△AOB 的面积的一半.作直 线P1P2 关于直线AB 的对称直线, 交抛物线于点 P3,P4,连结 P3A, P3B,P4A,P4B,此时△P3AB 的面 积和△P4AB 的面积都等于△AOB 的面积的一半.∴ 这样的点P 共有 4个. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 第2课时 二次函数y=a(x- m)2+k(a≠0)的图象 1. A 2. D 3. D 4. 答案不唯一, 如3 5. (1) ∵ 把抛物线y=a(x-h)2+k 先向左平移2个单位,再向上平移 4个单位,得到抛物线y= 1 2 (x+ 1)2-1, ∴ 可以看做是将抛物线y= 1 2 (x+ 1)2-1先向右平移2个单位,再向下 平移4个单位得到抛物线y=a(x- h)2+k. ∵ 将抛物线y= 1 2 (x+1)2-1先向 右平移2个单位,再向下平移4个单 位得到抛物线y= 1 2 (x-1)2-5, ∴ a=12 ,h=1,k=-5. (2) 抛物线y= 1 2 (x-1)2-5的开 口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐 标为(1,-5). 6. A 解析:∵ 抛物线y=(x+ m)2+n的顶点坐标为(-m,n),且由 题图,可知抛物线的顶点在第四象限, ∴ -m>0,n<0,即 m<0,n<0. ∴ 直线y=mx+n经过第二、三、四 象限,即不经过第一象限. 7. A 解析:∵ 抛物线y=ax2-1的 顶点坐标是(0,-1),抛物线y= a(x-1)2 的顶点坐标是(1,0),∴ 将 抛物线y=ax2-1向右平移1个单 位,再向上平移1个单位得到抛物线 y=a(x-1)2.∴ 将点A(2,3)向右 平移1个单位,再向上平移1个单位 得到点A'的坐标为(3,4). 8. A 解析:∵ 抛物线y=-(x+ 6)2+5向上平移后,对称轴不变, ∴ a+b 2 = c+d 2 ,即a+b=c+d①. 如图,平移前抛物线与x轴的两个交 点之间的距离小于平移后抛物线与 x轴的两个交点之间的距离,即b- a<d-c②.由①②,可知选项A正确. (第8题) 抛物线上纵坐标相等的点 与对称轴的关系 若点(a,n)和点(b,n)(a≠b) 在抛物线y=a(x-m)2+k(a≠ 0)上,则抛物线的对称轴也可以表 示为直线x=a+b2 . 根据这个关 系,可得a+b 2 =m. 特别地,当n=0 时,这两个点为抛物线与x 轴的 交点. 9. 8 解析:∵ 两个抛物线对应的函 数表达式的二次项系数相同,∴ 两个 抛物线的形状完全相同.∴ y1- y2=- 1 2x 2+1- -12x 2-1 =2. ∴ 易得S涂色部分=(y1-y2)×|2- (-2)|=2×4=8. 10. (1) ∵ y=4-(6-x)2=-(x- 6)2+4, ∴ 抛物线的对称轴为直线x=6. 把P(a,3)代入y=4-(6-x)2,得 4-(6-a)2=3,解得a=5或a=7. ∵ 点 P(a,3)在抛物线的对称轴 右侧, ∴ a=7. (2) ∵ 抛物线y=-(x-3)2 是由抛 物线y=-(x-6)2+4先向左平移 3个单位,再向下平移4个单位(或先 向下平移4个单位,再向左平移3个 单位)得到的, ∴ 根据勾股定理,得顶点移动的最短 路程为 32+42=5. 11. (1) ∵ 直线y=-3x+3与 x轴、y轴分别交于点A,B, ∴ A(1,0),B(0,3). ∵ 抛物线y=a(x-2)2+k经过点 A(1,0),B(0,3), ∴ a+k=0, 4a+k=3, 解得 a=1 , k=-1. ∴ a,k的值分别为1,-1. ∵ 抛物线y=a(x-2)2+k的对称 轴是直线x=2, ∴ 点A 与点C关于直线x=2对称. ∴ 点C的坐标为(3,0). (2) 设点Q 的坐标为(2,m),直线 x=2交x轴于点F,连结AQ,BQ,过 点B 作BE 垂直于直线x=2于点E. 易知AF=1,QF=m,BE=2,EQ= 3-m. 在Rt△AQF 中,AQ2=AF2+QF2= 1+m2. 在Rt△BQE 中,BQ2=BE2+EQ2= 4+(3-m)2. ∵ △ABQ 是以AB 为底边的等腰三 角形, ∴ AQ=BQ. ∴ 1+m2=4+(3-m)2. ∴ m=2. ∴ 点Q 的坐标为(2,2). 12. (1) ∵ 抛物线y=a(x-1)2+k 的对称轴为直线x=1,而C(-1,2), E(4,2)两点纵坐标相等, 又∵ 点C(-1,2)与对称轴相距2个 单位,点E(4,2)与对称轴相距3个 单位, ∴ C,E 两点不可能同时在抛物线上. (2) 点A 不在抛物线上. 理由:假设点A(1,0)在抛物线y= a(x-1)2+k(a>0)上, 则a(1-1)2+k=0,解得k=0. ∵ 抛物线经过五个点中的三个点, ∴ 将B(0,-1),C(-1,2),D(2, -1),E(4,2)代入,得出a 的值分别 为-1,12 ,-1,29. ∵ 点B,D 对应的a的值相等, ∴ 抛物线经过的点是B,D. 又∵ a>0,与a=-1矛盾, ∴ 假设不成立. ∴ 点A 不在抛物线上. (3) 由(1)(2),可得点A 不在抛物线 上,点C,E 不可能同时在抛物线上. ∴ 点B,D 在抛物线上. 当抛物线经过点B,C,D 时,将D(2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 -1),C(-1,2)代入y=a(x-1)2+ k中, 得 a+k=-1, 4a+k=2, 解得 a=1 , k=-2. 当抛物线经过点B,D,E 时,将D(2, -1),E(4,2)代入y=a(x-1)2+ k中, 得 a+k=-1, 9a+k=2, 解得 a=38 , k=-118. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 综上所述, a=1, k=-2 或 a=38 , k=-118. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 第3课时 二次函数y=ax2+ bx+c(a≠0)的图象 1. B 2. A 3. 1 4. (1) a<1 (2) (1,4) 5. y=x2-2x+3 6. (1) 由题意,可得A(0,0),B(18, 0),C(17,1.7),抛物线过原点, 设大门所在抛物线对应的函数表达式 为y=ax2+bx(a≠0). 把B,C两点的坐标代入,得 182a+18b=0, 172a+17b=1.7, 解得 a=-0.1 , b=1.8. ∴ 大门所在抛物线对应的函数表达 式为y=-0.1x2+1.8x. (2) ∵ y=-0.1x2+1.8x=-0.1(x- 9)2+8.1, ∴ 抛物线的顶点坐标为(9,8.1). ∴ 大门的高h为8.1m. 7. C 解析:由题表,可知二次函数的 图象经过点(-4,2),(1,2),∴ 对称 轴为直线x=-4+12 =- 3 2.∵ 点 (-5,m)关于直线x=-32 对称的点 为(2,-1),∴ m=-1. 8. D 解析:∵ y=x2-2x+3=(x- 1)2+2,∴ 抛物线y=x2-2x+3向 左平移1个单位,再向下平移2个单 位得到的抛物线对应的函数表达式为 y=x2.当x=-2时,y=4;当x=1 时,y=1;当x=0时,y=0;当x= -1时,y=1.故点(-1,1)在此抛物 线上. 9. A 解析:将A(m,4)代入y=- 8 x , 得4=-8m ,即m=-2,∴ A(-2, 4).将A(-2,4),B(0,-2)代入y= x2+bx+c,得 4-2b+c=4, c=-2, 解得 b=-1,c=-2.∴ 这个二次函数的 表达式为y=x2-x-2. 10. -6<M<6 解析:将(-1,0), (0,2)代 入 y=ax2+bx+c,得 0=a-b+c, 2=c, ∴ b=a+2.由题意, 得-b2a>0 ,a<0,∴ b>0.∴ a>-2. ∴ -2<a<0.∵ M=4a+2b+c= 4a+2(a+2)+2=6a+6=6(a+ 1),-6<6(a+1)<6,∴ -6< M<6. 11. (1) 该二次函数图象的顶点的横 坐标为- a-12×(-1)= a-1 2 . (2) ∵ y=-x2+(a-1)x+a= -[x2-(a-1)x-a]=-(x+ 1)(x-a), ∴ p=-1. (3) ∵ 二次函数图象的顶点在y 轴 的右侧, ∴ a-1 2 >0 ,解得a>1. 在y=-(x+1)(x-a)中,令y=0, 得-(x+1)(x-a)=0, ∴ x1=-1,x2=a. ∴ 抛物线与x 轴的两交点之间的距 离为a+1. 根据题意,得a+1≤3,解得a≤2. ∴ a的取值范围是1<a≤2. 12. (1) 由题意,得 a+b+1=0, 4a+2b+1=1, 解得 a=1, b=-2. ∴ 该二次函数的表达式为y=x2- 2x+1. ∵ y=x2-2x+1=(x-1)2, ∴ 函数图象的顶点坐标为(1,0). (2) 由题意,得P=p2+p+1,Q= q2+q+1, ∴ P+Q=p2+p+1+q2+q+1= p2+q2+p+q+2. ∵ p+q=2, ∴ p=2-q. ∴ P+Q=(2-q)2+q2+4=2(q- 1)2+6. ∵ p≠q,p+q=2, ∴ q≠1. ∴ P+Q>6. 13. (1) ∵ 抛物线y=-x2+bx+c 经过点A(-1,0),B(3,0), ∴ -1-b+c=0, -9+3b+c=0, 解得 b=2 , c=3. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=-x2+2x+3. ∴ 对称轴为直线x=- 22×(-1)=1. (2) 设点E(m,-m2+2m+3)(m< 0), ∵ 抛物线的对称轴为直线x=1, ∴ 点F 的横坐标为2-m,FE= 2-2m. ∵ 由题意,得点C 的纵坐标为3,点 D 的纵坐标为-m2+2m+3, ∴ CD=3-(-m2+2m+3)= m2-2m. ∵ FE=CD, ∴ 2-2m=m2-2m,解得m=- 2 或m=2(舍去). ∴ -m2+2m+3=1-22. ∴ E(-2,1-22). 专题特训一　求二次函数的 表达式 1. (1) 设二次函数的表达式为y= a(x-1)2+23. ∵ 二次函数的图象过点A(2,1), ∴ a+23=1 ,解得a=13. ∴ 该 二 次 函 数 的 表 达 式 为 y= 1 3 (x-1)2+23. (2) 点B 在这个二次函数的图象上. 理由:如图,过点A,B 分别作AC⊥ x轴,BD⊥x轴,垂足分别为C,D. 由题意,得OA=OB, ∵ ∠AOC=∠OBD=90°-∠BOD, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 4 1.2　二次函数的图象 第1课时 二次函数y=ax2(a≠0)的图象 ▶ “答案与解析”见P2 1. 下列关于二次函数y=2x2 的说法,正确 的是 ( ) A. 它的图象经过点(-1,-2) B. 它的图象的对称轴是直线x=2 C. 当x<0时,它的图象从左到右呈下降 趋势 D. 横坐标为0的点是它的图象的最高点 2. 若二次函数y=ax2 的图象经过点P(-2, 4),则该图象必经过点 ( ) A. (2,4) B. (-2,-4) C. (-4,2) D. (4,-2) 3. 二次函数y1=mx2,y2=nx2的图象如图所示, 则m n(填“>”或“<”). (第3题) 4. 已知一个二次函数的图象的顶点是原点,对 称轴是y轴,且经过点(-3,9). (1) 求这个二次函数的表达式. (2) 点(1.1,1.21)是否在这个函数的图 象上? 5. ★当ab>0时,函数y=ax2与y=ax+b的 图象大致是 ( ) A. B. C. D. 6. 如图,正方形四个顶点的坐标依次 为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛 物线y=ax2与该正方形有公共点, 则实数a的取值范围是 ( ) A. 1 9≤a≤3 B. 1 9≤a≤1 C. 1 3≤a≤3 D. 1 3≤a≤1 (第6题) (第8题) 7. 已知关于x的函数的表达式为y=kxk 2-k,则 当k= 时,它的图象是开口向下的 抛物线. 8. 转换法 如图,正方形的边长为4,以正方形的 中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数 y= 1 3x 2 与y=- 1 3x 2 的图象,则涂色部分 的面积是 . 9. 已知点A(2,8)与点B(-1,k)都在二次函数 y=ax2(a≠0)的图象上. (1) 求a和k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 5 (2) 写出该二次函数图象的对称轴、顶点坐 标及开口方向. (3) 判断该函数的图象是否经过点(-3,9). (4) 求该函数图象上纵坐标为6的点的坐标. 10. 如图,正方形OABC 的顶点B 在函数y= x2在第一象限的图象上.若点B 的横坐标 与纵坐标之和为6,求正方形 OABC 的 面积. (第10题) 11. 如图,垂直于x 轴的直线AB 分别 与抛物线C1:y=x2(x≥0)和抛物 线C2:y= x2 4 (x≥0)交于A,B 两 点,过点A 作CD∥x轴,分别与y轴和抛物 线C2交于点C,D,过点B 作EF∥x 轴, 分别与y轴和抛物线C1 交于点E,F,连 结 OF,OB,AE,ED,则 S△OFB S△EAD 的 值 为 . (第11题) 12. 如图,点A,B 在函数y= 1 4x 2的图象上.点 A,B 的横坐标分别为-2,4,直线AB 与 y轴交于点C,连结OA,OB. (1) 求直线AB 对应的函数表达式. (2) 求△AOB 的面积. (3) 若函数y= 1 4x 2的图象上存在点P,使 △PAB 的面积等于△AOB 的面积的一半, 则这样的点P 共有 个. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　二次函数 6 第2课时 二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)的图象 ▶ “答案与解析”见P3 1. 抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是 ( ) A. 第一、二象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第二、三象限 2. 关于二次函数y=(x-1)2+5,下列说法中 正确的是 ( ) A. 该函数图象的开口向下 B. 该函数图象的顶点坐标是(-1,5) C. 该函数图象有最高点 D. 该函数图象的对称轴为直线x=1 3. (2024·杭州拱墅段考)把抛物线y=3x2 向 左平移2个单位,再向上平移5个单位,得到 的抛物线对应的函数表达式为 ( ) A. y=3(x+2)2-5 B. y=3(x+5)2+2 C. y=3(x-2)2+5 D. y=3(x+2)2+5 4. 若抛物线y=2(x-m)2+6-3m 的顶点在 第四象限,则m 的值可以是 (写一 个即可). 5. 把抛物线y=a(x-h)2+k先向左平移2个 单位,再向上平移4个单位,得到抛物线y= 1 2 (x+1)2-1. (1) 试确定a,h,k的值. (2) 指出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方 向、对称轴和顶点坐标. 6. 二次函数y=(x+m)2+n的图象如图所示, 则一次函数y=mx+n的图象不经过 ( ) (第6题) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 将抛物线y=ax2-1平移后与抛物线y= a(x-1)2 重合,抛物线y=ax2-1上的点 A(2,3)同时平移到点A',则点A'的坐标为 ( ) A. (3,4) B. (1,2) C. (3,2) D. (1,4) 8. ★在平面直角坐标系中,抛物线y= -(x+6)2+5与x 轴相交于(a, 0),(b,0)两点,其中a<b.现在将此 抛物线向上平移,平移后的抛物线与x 轴相 交于(c,0),(d,0)两点,其中c<d,则下列叙 述正确的是 ( ) A. a+b=c+d,b-a<d-c B. a+b=c+d,b-a>d-c C. a+b<c+d,b-a<d-c D. a+b<c+d,b-a>d-c 9. 如图,抛物线y1=- 1 2x 2+1与y2=- 1 2x 2- 1分别经过点(-2,-1),(2,-3),则它们与 平行于y轴的两条平行线围成的涂色部分的 面积为 . (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 7 10. 如图,点P(a,3)在抛物线y=4-(6-x)2 上,且在抛物线的对称轴右侧. (1) 写出抛物线的对称轴,并求a的值. (2) 平移此抛物线,使平移后的抛物线对应 的函数表达式为y=-(x-3)2.求顶点移 动的最短路程. (第10题) 11. 如图,直线y=-3x+3与x 轴、y 轴分别 交于点A,B,抛物线y=a(x-2)2+k经过 点A,B,并与x 轴交于另一点C,其顶点 为P. (1) 求a,k的值及点C 的坐标. (2) 若抛物线的对称轴上有一点Q,且使得 △ABQ 是以AB 为底边的等腰三角形,求 点Q 的坐标. (第11题) 12. 已知A(1,0),B(0,-1),C(-1, 2),D(2,-1),E(4,2)五个点,抛 物线y=a(x-1)2+k(a>0)经过 其中三个点. (1) 求证:C,E 两点不可能同时在抛物线 y=a(x-1)2+k(a>0)上. (2) 点A 是否在抛物线y=a(x-1)2+k (a>0)上? 请说明理由. (3) 求a和k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　二次函数 8 第3课时 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 ▶ “答案与解析”见P4 1. (2024·宁波慈溪期中)二次函数y=x2-4x-5 的图象的对称轴是 ( ) A. 直线x=-2 B. 直线x=2 C. 直线x=-1 D. 直线x=1 2. 抛物线y=x2+6x+7可由抛物线y=x2平 移得到,正确的平移方法是 ( ) A. 先向左平移3个单位,再向下平移2个 单位 B. 先向左平移6个单位,再向下平移7个 单位 C. 先向上平移2个单位,再向左平移3个 单位 D. 先向右平移3个单位,再向上平移2个 单位 3. 若二次函数y=ax2+bx-3(a≠0)的图象 经过点(1,-2),则代数式a+b 的值为 . 4. (1) 若抛物线y=x2+2x+a的顶点在x轴 的下方,则a的取值范围是 . (2) 已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+ bx+c上的两点,则该抛物线的顶点坐标为 . 5. 如果将抛物线y=x2-2x向上平移,使得它 经过点A(0,3),那么所得新抛物线对应的函 数表达式为 . 6. 已知一抛物线形大门,其地面宽度AB=18m. 一同学站在门内,在离门脚点B1m远的点 D 处,垂直地面立起一根1.7m长的木杆,其 顶端恰好顶在抛物线形大门上的点C 处.建 立如图所示的平面直角坐标系.求: (1) 大门所在抛物线对应的函数表达式. (2) 大门的高h. (第6题) 7. 二次函数y=ax2+bx+c的若干组对应值 如下表所示: x … -5 -4 0 1 2 5 … y … m 2 4 2 -1 -16 … m 的值为 ( ) A. 4 B. 0 C. -1 D. -16 8. 将抛物线y=x2-2x+3向左平移1个单 位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定 经过 ( ) A. 点(-2,2) B. 点(1,-3) C. 点(0,6) D. 点(-1,1) 9. 如图,二次函数y=x2+bx+c的图象经过 点B(0,-2).若它与反比例函数y=- 8 x (x<0)的图象交于点A(m,4),则这个二次 函数的表达式为 ( ) (第9题) A. y=x2-x-2 B. y=x2-x+2 C. y=x2+x-2 D. y=x2+x+2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 9 10. 如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠ 0)过点(-1,0),(0,2),且顶点在第 一象限.设M=4a+2b+c,则M 的 取值范围是 . (第10题) 11. 已知二次函数y=-x2+(a-1)x+a(a为 常数)图象的顶点在y轴的右侧. (1) 写出该二次函数图象的顶点的横坐标 (用含a的代数式表示). (2) 若该二次函数的表达式可变形为y= -(x-p)(x-a)的形式,求p的值. (3) 若点A(m,n)在该二次函数的图象上, 且n>0,过点(m+3,0)作y 轴的平行线, 与该二次函数图象的交点恒在x轴的下方, 求a的取值范围. 12. 在平面直角坐标系中,已知二次函 数y=ax2+bx+1(a,b是常数, a≠0). (1) 若该二次函数的图象经过(1,0)和(2, 1)两点,求该二次函数的表达式,并写出函 数图象的顶点坐标. (2) 已知a=b=1,当x=p,q(p,q 是实 数,p≠q)时,该函数对应的函数值分别为 P,Q.若p+q=2,求证:P+Q>6. 13. 如图,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1, 0),B(3,0),与y轴交于点C. (1) 求该抛物线对应的函数表达式和对 称轴. (2) 点D 在射线CO 上,过点D 作x 轴的 平行线交抛物线于点E,F(点E 在点F 的 左侧),若FE=CD,求点E 的坐标. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　二次函数