1.1 二次函数-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

第1章　二次函数 1.1　二次函数 1. C 2. B 利用二次函数的定义求字母的 值时,易忽略二次项系数不为0 根据二次函数自变量的最高 次数是2,列出关于所求字母的方 程后求解时,易忽略二次项系数不 为0这一条件而导致多解. 3. y=16π-πx2 0<x<4 4. S= 1 2t 2(0<t≤3) 5. (1) ∵ y=x(-2x+1)-x= -2x2, ∴ 二次项系数为-2,一次项系数为 0,常数项为0. (2) ∵ y=x2+(x-1)2=2x2- 2x+1, ∴ 二次项系数为2,一次项系数为 -2,常数项为1. 6. A 解析:该函数的二次项系数、一 次项系数和常数项分别为 m+n, -(m-n)和 mn2. 根 据 题 意,得 (m+n)-(m-n)=12 , (m+n)+(m-n)=2, 解 得 m=1, n=14. ∴ 常 数 项 为 mn2 = 1×14 2 = 1 8. 7. A 解析:∵ 四边形ABCD 是正 方 形,∴ ∠EBF = ∠ECG =45°, EB=EC,AC⊥BD.又∵ EG⊥EF, ∴ ∠BEC = ∠FEG = 90°. ∴ ∠BEC - ∠FEC = ∠FEG - ∠FEC, 即 ∠BEF = ∠CEG. ∴ △BEF≌△CEG.∴ BF=CG= x,EF =EG.∴ CF =5-x. ∵ ∠FEG=90°,∴ FG2=EF2 + EG2=2EF2.在Rt△CFG 中,FG2= CF2+CG2,即FG2=(5-x)2+x2= 2x2-10x+25.∵ y= 1 2EG ·EF= 1 2EF 2,∴ y= 1 4FG 2=14 (2x2- 10x+25)=12x 2-52x+ 25 4.∵ 点 F 能与点B 或点C 重合,∴ 0≤x≤ 5.∴ y与x之间的函数表达式为y= 1 2x 2-52x+ 25 4 (0≤x≤5). 8. -1或±2或±3或±2 解析:① 当m+1=0时,是二次函 数,此时m=-1;② 当m2-2=2, m+1+2≠0时,是二次函数,此时 m=±2;③ 当m2-2=1时,是二次 函数,此时m=±3;④ 当m2-2=0 时,是二次函数,此时m=± 2.综上 所述,m=-1或±2或±3或±2. 9. y=x2-4x+7 4 解析:∵ 当 x=1时,ax2=1,∴ 1=a×12,解得 a=1.∴ ax2+bx+c=x2+bx+c. ∵ 当x=-1时,x2+bx+c=12;当 x = 0 时,x2 +bx +c = 7, ∴ (-1)2+(-1)×b+c=12, 02+0×b+c=7, 即 1-b+c=12, c=7, 解得 b=-4 , c=7. ∴ y与 x之间的函数表达式为y=x2-4x+ 7.∴ 当x=3时,y=32-4×3+ 7=4. 10. (1) ∵ 镜子的宽是x 米,镜子的 长与宽的比是2∶1, ∴ 镜子的长是2x米. ∴ y=2x2×120+2(2x+x)×30+ 45=240x2+180x+45. (2) 由 题 意,得 240x2 +180x+ 45=195. 整理,得8x2+6x-5=0,解得x1= 0.5,x2=-1.25(不合题意,舍去). ∴ x=0.5,则2x=1. ∴ 这面镜子的长和宽分别是1米和 0.5米. 11. (1) 由y=y1+y2,y1与x2成正 比,y2与x-2成正比, 可设y1=k1x2(k1≠0),y2=k2(x- 2)(k2≠0), 则y=k1x2+k2(x-2). ∵ 当x=1时,y=1;当x=-1时, y=-5, ∴ k1-k2=1, k1-3k2=-5, 解得 k1=4, k2=3. ∴ y 关于x 的函数表达式为y= 4x2+3(x-2)=4x2+3x-6. (2) 当x=0时,y=4×02+3×0- 6=-6. 12. (1) ∵ ∠BAC=90°,AB=AC= 6,D 为BC的中点, ∴ ∠BAD = ∠DAC = ∠B = ∠C=45°. ∴ AD=BD=CD. 又∵ AE=CF, ∴ △AED≌△CFD. (2) ∵ △AED≌△CFD, ∴ S△AED=S△CFD. ∴ S四边形AEDF =S△AED +S△ADF = S△CFD+S△ADF=S△ADC= 1 2S△ABC= 1 4AB ·AC=14×6×6=9. (3) 根据题意,得CF=AE=x, 由(1)(2),可得△AED≌△CFD, S四边形AEDF=9, ∴ AF=6-x. ∴ S△AEF = 1 2AF ·AE=12 (6- x)·x=-12x 2+3x. ∴ y=S△DEF=S四边形AEDF-S△AEF= 9- -12x2+3x =12x2-3x+ 9(0≤x≤6). (4) 根据题意,得AF=BE=x-6, AD=BD,∠DAC=∠ABD=45°, ∴ ∠DAF=∠DBE=135°. ∴ △ADF≌△BDE. ∴ S△ADF=S△BDE. ∴ S四边形ADEF- S△ADF=S四边形ADEF- S△BDE,即S△DEF=S△EAF+S△ADB. ∵ S△ADB= 1 2S△ABC= 1 4AB ·AC=9, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 ∴ y=S△DEF =S△EAF +S△ADB = 1 2 (x-6)·x+9=12x 2-3x+9 (x>6). 1.2　二次函数的图象 第1课时 二次函数y=ax2 (a≠0)的图象 1. C 2. A 3. > 4. (1) ∵ 这个二次函数的图象的顶 点是原点,对称轴是y轴, ∴ 可设这个二次函数的表达式为 y=ax2. ∵ 点(-3,9)在该二次函数的图 象上, ∴ 9=a×(-3)2,即9a=9. ∴ a=1. ∴ 这个二次函数的表达式为y=x2. (2) 把x=1.1代入y=x2,得y= 1.12=1.21, ∴ 点(1.1,1.21)在这个函数的图 象上. 5. D 解析:当a<0时,∵ ab>0, ∴ b<0.此时函数y=ax2 的图象是 顶点在原点,开口向下的抛物线,函数 y=ax+b 的图象过第二、三、四象 限,符合条件的是D选项.同理,当 a>0时,b>0.此时函数y=ax2的图 象是顶点在原点,开口向上的抛物线, 函数y=ax+b的图象过第一、二、三 象限,没有符合条件的选项. 判断函数图象的方法 (1) 分类讨论法:按系数的正 负进行讨论. (2) 逐项排除法:假定选项中 某一函数图象正确,然后判断另一 函数图象是否合理. 6. A 解析:当抛物线y=ax2 经过 点(1,3)时,a=3;当抛物线y=ax2 经过点(3,1)时,a=19 ,观察题图,可 知实数a的取值范围是19≤a≤3. 7. -1 解析:∵ 关于x 的函数y= kxk 2-k 的图象是抛物线,∴ 此函数为 二次函数.∴ k2-k=2,即k2-k- 2=0,解得k1=-1,k2=2.∵ 抛物线 的开口向下,∴ k<0.∴ k=-1. 8. 8 解析:∵ 函数y= 1 3x 2 与 y=- 1 3x 2 的图象关于x 轴对称, ∴ 易得题图中的涂色部分的面积是 题图中正方形面积的一半.又∵ 边长 为4的正方形的面积为16,∴ 涂色部 分的面积是8. 9. (1) 由题意,得8=a·22,解得a=2. ∴ y=2x2. 又∵ 点B(-1,k)在二次函数y= 2x2的图象上, ∴ k=2×(-1)2=2. (2) 该二次函数图象的对称轴是y轴, 顶点坐标是(0,0),开口向上. (3) 当x=-3时,y=2×(-3)2= 18≠9. ∴ 该函数的图象不经过点(-3,9). (4) 令y=6,则2x2=6,解得x1= 3,x2=-3. ∴ 该函数图象上纵坐标为6的点的 坐标为(3,6),(-3,6). 10. 连结OB. ∵ 正方形OABC 的顶点B 在函数 y=x2在第一象限的图象上, ∴ 可设点B的坐标为(x,x2)(x>0). ∵ 点B 的横坐标与纵坐标之和为6, ∴ x+x2=6,解得x1=2,x2=-3 (不合题意,舍去). ∴ 点B 的坐标为(2,4). ∴ OB2=22+42=20. ∵ 四边形OABC是正方形, ∴ OB2=OA2+AB2=2OA2. ∴ OA2=10. ∴ 正方形OABC的面积为10. 11. 1 6 解析:设点A,B 的横坐标为 a(a>0),则易得点A 的纵坐标为a2, 点B 的纵坐标为a 2 4.∵ BE∥x 轴, ∴ 点F 的纵坐标为a 2 4.∵ F 是抛物 线C1:y=x2(x≥0)上的点,∴ 点F 的横坐标为 a 2 4 = 1 2a.∵ CD∥ x轴,∴ 点D 的纵坐标为a2.∵ D 是 抛物线C2:y= x2 4 (x≥0)上的点, ∴ 点 D 的横坐标为 4a2 =2a. ∴ AD=2a-a=a,BF=a-12a= 1 2a ,CE=a2-a 2 4 = 3 4a 2,OE= 1 4a 2.∴ S△OFB S△EAD = 1 2BF ·OE 1 2AD ·CE = 1 2× 1 2a× 1 4a 2 1 2×a× 3 4a 2 =16. 12. (1) ∵ 点A,B 在函数y= 1 4x 2 的图象上,点A,B 的横坐标分别为 -2,4, ∴ 易得A(-2,1),B(4,4). 设直线AB 对应的函数表达式为y= kx+b. ∴ -2k+b=1, 4k+b=4, 解得 k= 1 2 , b=2. ∴ 直线AB 对应的函数表达式为y= 1 2x+2. (2) 在y= 1 2x+2 中,令x=0,则 y=2, ∴ 点C的坐标为(0,2). ∴ OC=2. ∴ S△AOB=S△AOC+S△BOC= 1 2×2× 2+12×2×4=6. (3) 4. 解析:过OC 的中点作直线 AB 的平行线P1P2 交抛物线于点 P1,P2,连结P1A,P1B,P2A,P2B, 此时△P1AB 的面积和△P2AB 的面 积都等于△AOB 的面积的一半.作直 线P1P2 关于直线AB 的对称直线, 交抛物线于点 P3,P4,连结 P3A, P3B,P4A,P4B,此时△P3AB 的面 积和△P4AB 的面积都等于△AOB 的面积的一半.∴ 这样的点P 共有 4个. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 1 教材思维导图 2 1.1　二次函数 ▶ “答案与解析”见P1 1. (2024·舟山段考)下列函数是二次函数的为 ( ) A. y=3x B. y=-3x+5 C. y=-3x2+5x-2D. y= 2 3x2+1 2. 易错题 (2024·宁波镇海期中)若y=(2- a)xa 2-2是二次函数,则a的值是 ( ) A. ±2 B. -2 C. 2 D. 无法确定 3. 在半径为4cm的圆中,挖去一个半径为xcm 的圆面,剩下的圆环的面积为ycm2,则y与 x之间的函数表达式为 ,其 中自变量x的取值范围是 . 4. 如图,在Rt△ABO 中,AB⊥OB,且AB= OB=3,设直线x=t截此三角形所得的涂色 部分的面积为S,则S 与t之间的函数表达 式为 (写出自变量的取值 范围). (第4题) 5. 把下列二次函数化成一般形式,并分别指出 二次项系数、一次项系数和常数项. (1) y=x(-2x+1)-x. (2) y=x2+(x-1)2. 6. 已知关于x 的函数y=(m+n)x2+ mn 2 - (m-n)x(m+n≠0)的二次项系数与一次项 系数的和为1 2 ,差为2,则常数项为 ( ) A. 1 8 B. 1 2 C. 1 16 D. 1 4 7. 如图,正方形ABCD 的边长为5,F 是BC 上一动点,过对角线的交点E 作EG⊥EF,交CD于点G,连结FG. 设BF 的长为x,△EFG 的面积为y,则y与 x之间的函数表达式为 ( ) (第7题) A. y= 1 2x 2-52x+ 25 4 (0≤x≤5) B. y= 1 2x 2-52x+ 25 4 (0<x<5) C. y=2x2-10x+25(0≤x≤5) D. y=2x2-10x+25(0<x<5) 8. 若y=(m+1)xm 2-2+2x2+3(x≠0)是关于 x的二次函数,则m= . 9. 观察下面的表格: x -1 0 1 ax2 1 ax2+bx+c 12 7 若y=ax2+bx+c,则由表格中信息,得y与 x 之间的函数表达式为 ;当 x=3时,y的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　二次函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋注:标“★”的题目设有“方法归纳”,标“易错题”的设有“易错警示”,详见“答案与解析”. 3 10. 新情境·日常生活 在一矩形镜面玻璃的四周 镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜 子.镜子的长与宽的比是2∶1.已知镜面玻 璃的价格是每平方米120元,边框的价格是 每米30元,另外制作这面镜子还需加工费 45元.设制作这面镜子的总费用是y元,镜 子的宽是x米. (1) 求y与x之间的函数表达式. (2) 如果制作这面镜子共花了195元,求这 面镜子的长和宽. 11. 已知y=y1+y2,y1 与x2 成正比,y2 与 x-2成正比,当x=1时,y=1;当x=-1 时,y=-5. (1) 求y关于x的函数表达式. (2) 当x=0时,求y的值. 12. 已知在△ABC 中,∠BAC=90°, AB=AC=6,D 为BC 的中点. (1) 如图①,若E,F 分别是AB, AC上的点,且 AE=CF,求证:△AED≌ △CFD. (2) 在(1)的条件下,求四边形AEDF 的 面积. (3) 若点F,E 分别从点C,A 同时出发,以 每秒1个单位的速度沿CA,AB 运动,到点 A,B 时停止(如图①).设△DEF 的面积为 y,点F 运动的时间为xs,求y与x之间的 函数表达式. (4) 在(3)的条件下,若点F,E 分别沿CA, AB 的延长线继续运动(如图②),求此时y 与x之间的函数表达式. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　二次函数