23.3.2　相似三角形的判定 同步练 2025-2026学年 华东师大版（2024）九年级数学上册

23.3.2　相似三角形的判定 第1课时　相似三角形的判定定理1 相似三角形的判定定理1： 分别相等的两个三角形相似． 考点　利用两角分别相等判断两个三角形相似 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证： △ADE∽△ABC. 两角分别相等的两个三角形相似．特别地，两个直角三角形，若有一对锐角相等，则它们一定相似． 【变式训练】 如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D，使得BC＝CD.求证：△AEB∽△CED. 知识点　相似三角形的判定定理1 1.在△ABC和△A′B′C′中，若∠A＝69°，∠B＝40°，∠B′＝40°，∠C′＝20°，则这两个三角形( ) A.不相似 B．相似 C．全等 D．无法确定 2.下列三角形一定相似的是( ) A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个直角三角形 D．有一角为70°的两个等腰三角形 3.（河南安阳期中）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有( ) A．△ADE∽△AEF B．△ECF∽△AEF C．△ADE∽△ECF D．△ADE∽△ABF 4.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∠B的平分线交AC于点D，则与△ABC相似的三角形为 ． 5.如图，三个三角形中，相似的是 ．（填序号） 　　 6.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，且∠ADE＝60°，BD＝1，CE＝，则△ABC的边长为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 7.（安徽合肥肥西县期末）如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BD＝9，AD＝4，那么CD＝ ；AC＝ ． 9.（海南海口秀英区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高． (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【母题P76T7】如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1.证明△AFD∽△DCE，并计算点A至直线DE的距离．（精确到0.1） 【变式】如图，在矩形ABCD中，已知AD>AB，在边AD上取点E，连结CE，过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F. (1)证明：△AEF∽△DCE； (2)若AB＝2，AE＝3，AD＝7，求线段AF的长． 10.（推理能力）已知，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G. 特例解析：(1)如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：＝； 类比探究：(2)如图2，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B＋∠EGC＝180°，求证：＝. 　　 第2课时　相似三角形的判定定理2、3 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似． 考点1　利用两边成比例且夹角相等判断两个三角形相似 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D，E分别在AB，AC上，BD＝2，CE＝5.求证：△AED∽△ABC. 当条件中有一角相等或两边成比例时通常考虑此方法． 【变式训练】 1.如图，点B、C分别在△ADE的边AD、AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5.求证：△ABC∽△AED. 考点2　利用三边成比例判断两个三角形相似 【典例2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，若△ABC和△EFD的顶点都在格点上，则△ABC与△EFD相似吗？请说明理由． 本题主要考查了勾股定理，三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似． 【变式训练】 2.（海南陵水县期末）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( ) 　　　 知识点1　相似三角形的判定定理2 1.（海南海口龙华区校级期中）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( ) A.∠B＝∠D B．＝ C．∠C＝∠AED D．＝ 2.如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC2＝AD·AB，则( ) A．△ADC∽△ACB B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△CDB D．无相似三角形 3.如图，点D为△ABC的边AB上一点，AD＝2，BD＝6，AC＝4.求证：△ACD∽△ABC. 知识点2　相似三角形的判定定理3 4.已知△ABC的三边长分别为6 cm、7.5 cm、9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似( ) A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm 5.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连结DE，若只从边的角度考虑，使△ADE∽△ACB，需添加一个条件： ． 6.根据图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x与y的值． 易错易混点　受思维定式，未分类讨论而出错 7.如图，AB，CD交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36，当OA＝ 时，△AOC与△BOD相似． 8.（浙江杭州下城区期中）在△ABC中，AC＝6，AB＝9，D是AC边上一点，且AD∶DC＝1∶2，若E为AB边上的点，△ABC与以A、D、E为顶点的三角形相似，则AE的长度为( ) A．3 B．4.5 C．或3 D．2或4.5 9.（海南东方一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是( ) A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．＝ D．＝ 10.如图1，已知：∠E＝∠C. (1)求证：△ADE∽△ABC； (2)如图2，分别连结CE，BD，请判断△ACE与△ABD是否相似，若相似，请给出证明，若不相似，请说明理由． 【母题P97T15】如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD？ 【变式】如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2.问：当AB等于 时，这两个直角三角形相似． 11.（空间观念）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： (1)试证明三角形△ABC为直角三角形； (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的3个格点并且与△ABC相似，并予以证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.3.2　相似三角形的判定 第1课时　相似三角形的判定定理1 相似三角形的判定定理1：　两角　分别相等的两个三角形相似． 考点　利用两角分别相等判断两个三角形相似 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证： △ADE∽△ABC. 证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB， ∵∠CEB＝∠AED， ∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE， ∴∠D＝∠ABC＝90°， ∴△ADE∽△ABC. 两角分别相等的两个三角形相似．特别地，两个直角三角形，若有一对锐角相等，则它们一定相似． 【变式训练】 如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D，使得BC＝CD.求证：△AEB∽△CED. ∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE. ∵BC＝CD，∴∠CDE＝∠CBE＝∠ABE. 又∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED. 知识点　相似三角形的判定定理1 1.在△ABC和△A′B′C′中，若∠A＝69°，∠B＝40°，∠B′＝40°，∠C′＝20°，则这两个三角形(　B　) A.不相似 B．相似 C．全等 D．无法确定 2.下列三角形一定相似的是(　B　) A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个直角三角形 D．有一角为70°的两个等腰三角形 3.（河南安阳期中）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有(　C　) A．△ADE∽△AEF B．△ECF∽△AEF C．△ADE∽△ECF D．△ADE∽△ABF 4.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∠B的平分线交AC于点D，则与△ABC相似的三角形为　△BCD　． 5.如图，三个三角形中，相似的是　(2)与(3)　．（填序号） 　　 6.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，且∠ADE＝60°，BD＝1，CE＝，则△ABC的边长为(　A　) A．3 B．4 C．5 D．6 ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°＝∠C，∵∠ADC＝∠ABC＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE，且∠ABC＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴＝，∴AB＝3. 7.（安徽合肥肥西县期末）如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形共有(　C　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BDA＝∠BDC＝∠CEA＝∠CEB＝90°. ∵∠FBE＝∠ABD，∴△FBE∽△ABD. ∵∠BFE＝∠CFD，∴△BFE∽△CFD. ∵∠FCD＝∠ACE，∴△CFD∽△CAE， ∴△BFE∽△CAE. 综上，图中与△BEF相似的三角形有△BAD、△CFD、△CAE共3个． 8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BD＝9，AD＝4，那么CD＝　6　；AC＝　2　． ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴CD2＝AD·BD，∵AD＝4，BD＝9，∴CD＝6，在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝52，∴AC＝2. 9.（海南海口秀英区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高． (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)若AD＝3，BD＝2，求CD的长． (1)∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， ∴∠BCD＋∠B＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD. (2)∵△ACD∽△CBD， ∴＝，∴CD2＝AD·DB. ∵AD＝3，BD＝2，∴CD2＝6， ∵CD＞0，∴CD＝. 【母题P76T7】如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1.证明△AFD∽△DCE，并计算点A至直线DE的距离．（精确到0.1） ∵∠CDE＝90°－∠ADE＝∠DAF，∠DCB＝∠AFD＝90°， ∴△AFD∽△DCF，∴＝， ∵AB＝3，AD＝2，CE＝1， ∴DE＝＝， ∴AF＝＝≈1.9. 【变式】如图，在矩形ABCD中，已知AD>AB，在边AD上取点E，连结CE，过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F. (1)证明：△AEF∽△DCE； (2)若AB＝2，AE＝3，AD＝7，求线段AF的长． (1)∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∵CE⊥EF，∴∠AEF＋∠DEC＝90°， 又∵∠F＋∠AEF＝90°， ∴∠F＝∠DEC，∴△AEF∽△DCE； (2)∵四边形ABCD为矩形， ∴DC＝AB＝2， ∵AE＝3，AD＝7，∴ED＝AD－AE＝4， ∵△AEF∽△DCE，∴＝， ∴＝，∴AF＝6. 10.（推理能力）已知，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G. 特例解析：(1)如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：＝； 类比探究：(2)如图2，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B＋∠EGC＝180°，求证：＝. 　　 (1)∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝90°，AB＝CD， ∵DE⊥CF，∴∠FGD＝90°， ∴∠ADE＋∠CFD＝∠DCF＋∠CFD＝90°， ∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF， ∴＝， 又∵AB＝CD，∴＝； (2)如图，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF， ∴∠CMF＝∠CFM，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD， ∴∠A＝∠CDM，∠B＋∠A＝180°， ∵∠B＋∠EGC＝180°，∠EGF＋∠EGC＝180°， ∴∠EGF＋∠A＝180°， ∴∠AED＋∠AFG＝180°， ∵∠CFM＋∠AFG＝180°， ∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF， ∴△ADE∽△DCM，∴＝， 又∵AB＝CD，CM＝CF，∴＝. 第2课时　相似三角形的判定定理2、3 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似． 考点1　利用两边成比例且夹角相等判断两个三角形相似 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D，E分别在AB，AC上，BD＝2，CE＝5.求证：△AED∽△ABC. 证明：∵AB＝6，BD＝2，∴AD＝4， ∵AC＝8，CE＝5，∴AE＝3， ∴＝＝，＝＝， ∴＝，∵∠EAD＝∠BAC， ∴△AED∽△ABC. 当条件中有一角相等或两边成比例时通常考虑此方法． 【变式训练】 1.如图，点B、C分别在△ADE的边AD、AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5.求证：△ABC∽△AED. ∵AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5. ∴AE＝5，AD＝6，∴＝＝，＝＝， ∴＝， ∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED. 考点2　利用三边成比例判断两个三角形相似 【典例2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，若△ABC和△EFD的顶点都在格点上，则△ABC与△EFD相似吗？请说明理由． 解：△ABC与△EFD相似．理由如下： 由勾股定理，可得AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5， EF＝＝，ED＝＝2， DF＝＝， ∴＝＝＝， ∴△ABC∽△EFD. 本题主要考查了勾股定理，三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似． 【变式训练】 2.（海南陵水县期末）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是(　A　) 　　　 知识点1　相似三角形的判定定理2 1.（海南海口龙华区校级期中）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(　D　) A.∠B＝∠D B．＝ C．∠C＝∠AED D．＝ 2.如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC2＝AD·AB，则(　A　) A．△ADC∽△ACB B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△CDB D．无相似三角形 3.如图，点D为△ABC的边AB上一点，AD＝2，BD＝6，AC＝4.求证：△ACD∽△ABC. ∵AD＝2，BD＝6，∴AB＝8， ∴＝＝，＝＝，∴＝， 又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC. 知识点2　相似三角形的判定定理3 4.已知△ABC的三边长分别为6 cm、7.5 cm、9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似(　C　) A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm 5.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连结DE，若只从边的角度考虑，使△ADE∽△ACB，需添加一个条件：　＝＝　． 6.根据图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x与y的值． 相似．∵∠B＝∠D＝90°，∴x＝CD＝＝4，y＝＝10，∴＝＝＝，∴△ABC∽△EDC. 易错易混点　受思维定式，未分类讨论而出错 7.如图，AB，CD交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36，当OA＝　54或　时，△AOC与△BOD相似． ∵OC＝45，OD＝30，OB＝36，若△AOC∽△BOD，∴＝，即＝，解得OA＝54；若△AOC∽△DOB，∴＝，即＝，解得OA＝，综上所述，OA的长为54或. 8.（浙江杭州下城区期中）在△ABC中，AC＝6，AB＝9，D是AC边上一点，且AD∶DC＝1∶2，若E为AB边上的点，△ABC与以A、D、E为顶点的三角形相似，则AE的长度为(　C　) A．3 B．4.5 C．或3 D．2或4.5 ∵AC＝6，AD∶DC＝1∶2， ∴AD＝2，DC＝4.由题意，知当△ABC与以A、D、E为顶的三角形相似时，存在以下两种情况： ①当△ACB∽△ADE时， ＝，即＝，解得AE＝3. ②当△ABC∽△ADE时， ＝，即＝，解得AE＝. 综上，当△ABC与以A、D、E为顶点的三角形相似时，AE的长度为3或. 9.（海南东方一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是(　C　) A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．＝ D．＝ 10.如图1，已知：∠E＝∠C. 　 (1)求证：△ADE∽△ABC； (2)如图2，分别连结CE，BD，请判断△ACE与△ABD是否相似，若相似，请给出证明，若不相似，请说明理由． (1)∵∠E＝∠C，∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC； (2)△ACE与△ABD相似， 证明：由(1)可知：△ADE∽△ABC， ∴＝，∴＝， ∵∠CAE＝∠BAD，∴△ACE∽△ABD. 【母题P97T15】如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD？ BD＝. 【变式】如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2.问：当AB等于　3或3　时，这两个直角三角形相似． ∵∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2，∴CD＝＝，设AB＝x，当AC∶AD＝AB∶AC时，△ABC∽△ACD，∴＝，解得AB＝3；当AB∶AC＝AC∶CD时，△ABC∽△CAD，∴＝，解得AB＝3，∴AB＝3或3. 11.（空间观念）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： (1)试证明三角形△ABC为直角三角形； (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的3个格点并且与△ABC相似，并予以证明． (1)∵AB2＝20，AC2＝5，BC2＝25， ∴AB2＋AC2＝BC2， 根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形； (2)△ABC和△DEF相似．理由如下： 由(1)中数据得AB＝2，AC＝，BC＝5， 又∵DE＝4，DF＝2，EF＝2. ∴＝＝＝＝， ∴△ABC∽△DEF； (3)如图：连结P2P5、P2P4、P4P5， ∵P2P5＝，P2P4＝，P4P5＝2， AB＝2，AC＝，BC＝5， ∴＝＝＝， ∴△ABC∽△P4P5P2. 学科网（北京）股份有限公司 $$