第23章　图形的相似 专题训练 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册

专题训练五　相似三角形的判定与性质　　　 相似三角形判定定理的综合运用 1.如图,在平行四边形ABCD中,E是边AD的延长线上一点,连结BE交边CD于点F,交对角线AC于点G. (1)求证:△BGC∽△EGA. (2)若,求的值. 2.(2025上海浦东新区月考)如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,AF⊥CD,垂足为F. (1)求证:△ABE∽△ADF. (2)若EF∥BD,求证:AB=AD. 用相似三角形的性质证比例式 3.如图,在△ABC中,点D在边AB上,点E在线段CD上,且∠BAE=∠ACD=∠B. (1)求证:. (2)当E为CD的中点时,求证:. 用相似三角形的性质证等积式 4.如图所示,在平行四边形ABCD中,点E是边CD上一点,点F是边AD的中点,BE=DE+AB. (1)求证:EF⊥BF. (2)如果BE平分∠CBF,求证:DF·AD=CD·CE. 用相似三角形的性质求线段的长度 5.如图,在△ABC中,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,DE∥AC,EF∥AB. (1)求证:△BDE∽△EFC. (2)若,且BC=20,求线段BE的长. 6.如图,在△ABC中,AB=2,将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN,且CN∥BM,线段MA的延长线与CN交于点P,AM=3,CN=. (1)求证:△ABM∽△CBN. (2)求AP的长. 用相似三角形的性质求面积 7.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且BD=AD,CE=AE. (1)求证:△ADE∽△ABC. (2)连结BE、CD交于点F,若S△DEF=2,求四边形DBCE的面积. 用相似三角形的性质解决实际生活问题 8.△ABC表示一块直角三角形空地,已知∠ACB=90°,边AC=4 m,BC=3 m.现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池,现有方案一、方案二分别如图1、图2所示,请你分别计算两种方案中水池的边长,并比较哪种方案的正方形水池的面积更大. 图1　图2 【详解答案】 1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC∥AD. ∴∠GAE=∠GCB,∠GEA=∠GBC. ∴△BGC∽△EGA. (2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC=AD. 设BC=AD=2x, ∵△BGC∽△EGA,∴. ∴AE=3x,∴DE=x. 同(1)可证△DEF∽△CBF, ∴. 2.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABE=∠ADF,∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°, ∴△ABE∽△ADF. (2)∵EF∥BD,∴,又∵BC=AD,DC=AB,∴, ∵△ABE∽△ADF,∴, ∴,∴AB2=AD2, ∴AB=AD. 3.证明:(1)∵∠ACD=∠BAE, ∠BAC=∠BAE+∠CAE, ∠AED=∠ACD+∠CAE, ∴∠AED=∠BAC,∵∠DAE=∠B, ∴△AED∽△BAC,∴. (2)∵∠ADE=∠CDA,∠DAE=∠ACD, ∴△DAE∽△DCA, ∴,∵DE=CE, ∴,∴, ∵∠DAC=∠BAC,∠ACD=∠B, ∴△ACD∽△ABC, ∴AC2=AD·AB,∴. 4.证明:如图,延长EF交BA的延长线于点M. (1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴CD∥AB,∴∠D=∠MAF, ∵点F是边AD的中点,∴AF=DF, 又∵∠MFA=∠EFD, ∴△MFA≌△EFD, ∴EF=MF,DE=AM,∵BE=DE+AB,∴BE=AM+AB=BM, ∴EF⊥BF. (2)∵BE平分∠CBF, ∴∠EBC=∠EBF, 由(1)得BM=BE,EF=MF, ∴∠MBF=∠EBF, ∴∠MBF=∠EBF=∠EBC, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠C=∠BAF,AD=BC,AB=CD, ∴△BCE∽△BAF,∴, ∵AF=DF,∴, ∴DF·AD=CD·CE. 5.解:(1)证明:在△ABC中,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,DE∥AC,EF∥AB, ∴∠B=∠CEF,∠BED=∠C, ∴△BDE∽△EFC. (2)若, 则,∵EF∥AB, ∴△EFC∽△BAC,∴, ∵BC=20,∴,∴EC=12, ∴BE=BC-EC=20-12=8. 6.解:(1)证明:∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN,∴AB=MB,BC=BN,∠ABC=∠MBN,∴,∴∠MBN+∠ABN=∠ABC+∠ABN,即∠ABM=∠CBN,∴△ABM∽△CBN. (2)由(1)知,△ABM∽△CBN, ∴∠BMA=∠BNC, ∵CN∥BM,∴∠BMA=∠APN, ∴∠APN=∠BNC,又∵BC=BN, ∴∠BNC=∠BCN, ∴∠APN=∠BCN,∴BC∥MP, ∴四边形BCPM为平行四边形, ∴BC=PM,∵△ABM∽△CBN, ∴,即, ∴CB=5,∴PM=5, ∴AP=PM-AM=5-3=2. 7.解:(1)证明:∵BD=AD,CE=AE, ∴AD=AB, AE=AC,∴. 又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC. (2)∵△ADE∽△ABC, ∴,∠ADE=∠ABC, ∴DE∥BC,∴△DEF∽△CBF, ∴, ∴BF=2EF,CF=2DF, .∵S△DEF=2, ∴S△DBF=2S△DEF=2×2=4, S△CEF=2S△DEF=2×2=4, S△CBF=4S△DEF=4×2=8, ∴S四边形DBCE=S△DEF+S△DBF+S△CEF+S△CBF=2+4+4+8=18. ∴四边形DBCE的面积是18. 8.解:设正方形的边长为x m. 方案一:∵DE∥BC,∴, ∴,∴x=. 方案二:如图,作CH⊥AB于点H,交DG于点P, 则四边形DPHE是矩形, ∵∠ACB=90°,AC=4 m,BC=3 m, ∴AB==5 m, ∵S△ABC=AB·CH=AC·BC, ∴CH= m. ∵PH=DE=x m, ∴CP=CH-PH=m. ∵DG∥AB,∴△CDG∽△CAB, ∴,∴, 解得x=.∵, ∴方案一的正方形水池的面积更大. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练四　相似三角形的基本模型 “A”字型相似 模型展示 　 　 若DE∥BC,则△ADE∽△ABC 若∠1=∠2,则△ADE∽△ABC 1.(2024河南中考)如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E为OC的中点,EF∥AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为 (　　) A. B.1 C. D.2 第1题图　　　第2题图 2.(2024滨州中考)如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是　　　　　　　　.(写出一种情况即可)  3.如图,已知△ADE∽△ABC,DE=3,BC=9. (1)求的值. (2)若AE=4,求AC的长. “X”字型相似 模型展示 　 　 若DE∥BC,则△ADE∽△ABC 若∠1=∠2,则△ADE∽△ABC 4.将一副三角板按如图所示的方式放置,则的值为　　　　.  5.如图,在△ABC中,AB=AC,BC恰好是∠ABD的平分线. (1)求证:△APC∽△DPB. (2)若AP=BP=1,AD=CP,求DP的长. “母子”型相似 模型展示 　 　 若AC⊥BC,CD⊥AB,则△ACD∽△ABC 若∠1=∠2,则△ACD∽△ABC 6.如图,点D是△ABC的边AB上一点,∠ABC=∠ACD. (1)求证:△ABC∽△ACD. (2)当AD=2,AB=3时,求AC的长. 7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高. (1)求证:△ABD∽△CBA. (2)若AB=6,BC=10,求BD的长. “手拉手”型相似 模型展示 若∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC 8.如图,∠DAB=∠CAE,请你再添加一个条件,使得△ADE∽△ABC.则下列选项不成立的是 (　　) A.∠D=∠B B.∠E=∠C C. D. 9.如图,D为△ABC内的一点,E为△ABC外的一点,且∠ABC=∠DBE,∠BAD=∠BCE. (1)求证:△ABD∽△CBE. (2)若AB∶DB=5∶2,AC=6,直接写出线段DE的长度:　　　　.  一线三等角型相似 模型展示 若∠1=∠2=∠3,则△ABC∽△CDE 10.如图,在矩形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,DE⊥EF,EF⊥FG,BE=3,BF=2,FC=6,则DG的长是 (　　) A.4 B. C. D.5 11.如图,等边三角形ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,∠ADE=60°. (1)求证:△ABD∽△DCE. (2)若BD=4,CE=,求△ABC的边长. 【详解答案】 1.B　解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OC=AC,∵点E为OC的中点,∴CE=OC=AC,∵EF∥AB,∴△CEF∽△CAB,∴,即,∴EF=1.故选B. 2.∠ADE=∠C(答案不唯一) 解析:∵∠DAE=∠BAC,∴添加条件∠ADE=∠C,可以判定△ADE∽△ACB.(答案不唯一) 3.解:(1)∵△ADE∽△ABC, ∴. (2)∵,AE=4, ∴AC=3AE=12. 4.　解析:由题意得AB∥CD, ∴△ABO∽△CDO,∴, ∵△ABC是等腰直角三角形,设AB=a,则BC=a,∴CD=a, ∴. 5.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵BC是∠ABD的平分线, ∴∠ABC=∠DBC,∴∠C=∠DBC, 又∵∠APC=∠DPB, ∴△APC∽△DPB. (2)设DP=x,∵AP=PB=1, ∴AD=AP+DP=1+x, 又∵AD=CP,∴CP=1+x, 由(1)得△APC∽△DPB, ∴AP∶DP=PC∶PB, 即1∶x=(x+1)∶1,∴x2+x=1, ∴x2+x-1=0, 解得x1=,x2=(不合题意,舍去).∴DP=. 6.解:(1)证明:∵∠ABC=∠ACD, ∠CAB=∠DAC, ∴△ABC∽△ACD. (2)∵△ABC∽△ACD,∴,即,∴AC=. 7.解:(1)证明:∵AD是斜边BC上的高,∴∠BDA=90°. ∵∠BAC=90°,∴∠BDA=∠BAC. 又∵∠B为公共角, ∴△ABD∽△CBA. (2)由(1)知△ABD∽△CBA, ∴,∴,∴BD=3.6. 8.D　解析:∵∠DAB=∠CAE, ∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE, ∴∠DAE=∠BAC,∴当添加条件∠D=∠B时,△ADE∽△ABC,故选项A不符合题意;当添加条件∠E=∠C时,△ADE∽△ABC,故选项B不符合题意;当添加条件时,△ADE∽△ABC,故选项C不符合题意;当添加条件时,△ADE和△ABC不一定相似,故选项D符合题意.故选D. 9.解:(1)证明:∵∠ABC=∠DBE, ∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC, ∴∠ABD=∠CBE, ∵∠BAD=∠BCE, ∴△ABD∽△CBE. (2)2.4 10.B　解析:∵EF⊥FG,∴∠EFB+∠GFC=90°,∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠B=∠C=90°,AB=CD,∴∠GFC+∠FGC=90°, ∴∠EFB=∠FGC,∴△EFB∽△FGC, ∴,∵BE=3,BF=2,FC=6,∴,∴CG=4,同理可得△DAE∽△EBF,∴, ∴,∴AE=,∴BA=AE+BE=+3=,∴DG=CD-CG=-4=.故选B. 11.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠B=∠C=60°,AB=BC, ∴∠BAD+∠ADB=120°. ∵∠ADE=60°, ∴∠ADB+∠EDC=120°, ∴∠DAB=∠EDC, ∴△ABD∽△DCE. (2)∵△ABD∽△DCE,∴, ∵BD=4,CE=,∴, 解得AB=6. 学科网（北京）股份有限公司 $$