专题21.3 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（2个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版2012）

专题21.3 二次函数与一元二次方程重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 抛物线与x轴的交点问题 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型六 求x轴与抛物线的截线长 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 题型八 图象法解一元二次不等式 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型十 根据交点确定不等式的解集 拓展训练一 抛物线交点问题的综合 拓展训练二 图像法相关应用问题 拓展训练三 不等式综合求解问题 知识点一：二次函数图像与x轴交点 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 【即时训练】 1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）抛物线的图象与x轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．一个交点 C．两个交点 D．三个交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．令，根据判别式的符号求解即可． 【详解】解：令， 则， 故抛物线与x轴的交点个数为2， 故应选：C． 2．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与x轴交点问题，根据的大小与抛物线与x轴交点个数的关系求解． 【详解】解：抛物线（是常数）与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 知识点二：二次函数与一元一次不等式 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 【即时训练】 1．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图象可得出当时对应的x的值，然后结合函数图象求解即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，，， 结合函数图象可知，当成立的的取值范围是或． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：由图象得：当时，，即， 故答案为： 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标为和，则一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的解．题目中已给出交点坐标为和，因此方程的解可直接得出． 【详解】解：二次函数的图象与x轴的交点坐标为和，说明当时，对应的值为2和． 因此，方程的解为和． 故选D． 【例2】（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知在抛物线上． (1)求的值，并直接写出抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及函数与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）令，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式； （2）解：当时，， 解得：或， ∴抛物线与轴的交点坐标或． 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，关键是通过数形结合观察到图象过A点时，C的横坐标是最小值，过点B时，D的横坐标是最大值，能够正确地判断出点C横坐标最小、点D横坐标最大时抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出D点横坐标最大值． 【详解】解∶当点C横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为∶． 此时D点横坐标为5．则； 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且， 故，；由于此时D点横坐标最大， 故点D的横坐标最大值为8; 故选∶B． 2．（2023·四川泸州·模拟预测）二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（   ） A．1和2 B．1和 C．和2 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的图象与x轴的交点坐标，熟练掌握求二次函数的图象与x轴的交点坐标是解题的关键．根据二次函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0，可令，解方程，方程的解即为所求答案． 【详解】解：令，则， 解方程，得，， 所以二次函数的图象与x轴交点的横坐标是1和2． 故选：A． 3．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，则图象再次与轴相交时的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点坐标，解题的关键是根据抛物线与一元二次方程的关系，求出当时方程的解，可得结论． 【详解】解：∵抛物线的图象过点， 当时，得：， 解得：， ∴抛物线的图象与轴相交时的坐标为和， ∴抛物线的图象再次与轴相交时的坐标是． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·浙江·期中）已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)求该二次函数的与轴的交点坐标． 【答案】(1)；直线 (2)二次函数的与轴的交点坐标为， 【分析】本题考查的是抛物线和轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，确定抛物线的表达式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）令，得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； 对称轴为直线； （2）令，则， 解得或， 该二次函数的与轴的交点坐标为，． 【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）抛物线与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题； 求出时y的值即可． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，抛物线 与y 轴交于点B， 与 x 轴交于点A，C（点A在点C的右边）．求A点 、B 点 、C 点坐标． 【答案】，， 【分析】本题考查求抛物线顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，令，求出x的值，可求出A、C的坐标，令，求出y的值，可求出B 的坐标 【详解】解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴． 1．（2025·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点的坐标求法，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中，轴上的点横坐标都为0． 要求抛物线与轴交点的坐标，根据轴上点的坐标特征，令抛物线方程中，求出对应的值，即可得到交点坐标． 【详解】将代入抛物线方程中，可得． 抛物线与轴交点的坐标为， 故选：A． 2．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图像经过，如果实数表示的值，实数表示的值，那么的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与坐标轴交点问题，熟练掌握相关知识是解题关键．根据该函数图像与轴交于正半轴，可得；根据该函数图像经过，可得，，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：由图像可知，该函数图像与轴交于正半轴， ∴， ∵该函数图像经过， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级上·全国·期末）抛物线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，求出时，的值即可得到抛物线与轴的交点坐标，根据轴上点的横坐标为求出交点的纵坐标是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如图，抛物线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及抛物线与y轴的交点坐标，解题的关键是： （1）把A的坐标代入求解即可； （2）令，求出对应的y的值即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式； （2）解：令，则， ∴点的坐标为． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得的值，比较大小即可． 【详解】解：∵点 ，，在抛物线上， ∴ ∴ 故选C 【例2】（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分(直接在网格中作图即可)． (2)求当时对应的函数图象上的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数图象上点的坐标特征是解答的关键． （1）根据二次函数的对称性画图即可； （2）解方程即可． 【详解】（1）解：根据该二次函数的图象关于y轴对称，当时，，当时，， 故这个函数图象的另一部分如图所示： （2）解：当时，由得， ∴时对应的函数图象上的点的坐标为：或． 1．（2024·山西阳泉·三模）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨，的交点为坐标原点建立平面直角坐标系．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．抛物线的表达式为，若点A到轴的距离是，则，两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数自变量的值，两点之间的距离，根据题意可知，将其代入函数关系式求出x的值，进而得出答案． 【详解】根据题意可知， 当时，， 解得， ∴（）． 故选：A． 2．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：令，得到， 即， 解得：或6． 故选：B 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）二次函数的图象经过点，，则关于的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【详解】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据二次函数的图象经过点，，可以得到方程解为，，然后将所求方程变形，即可求得所求方程的解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【解答】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴当时，可以得到方程解为或， ∵方程可以转化为方程， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足函数关系．若小球的飞行高度不低于的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清晰捕捉的时长． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的自变量值， 依据题意，由，可令，则， 从而，进而可以判断得解； 【详解】解：令，即． 整理，得， 解得， ∴时，， ∴可被该设备清晰捕捉的时长为． 答：小球的可被该设备清晰捕捉的时长为； 【经典例题四 抛物线与x轴的交点问题】 【例1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若关于x的二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题， 根据二次函数与轴有交点则且，进而求出的取值范围即可， 熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的二次函数与x轴有交点， ∴且， ∴且， 故选：B． 【例2】（2025·山东青岛·二模）将抛物线向上平移个单位后，与轴只有一个交点，求a． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据抛物线的平移规律写出平移后抛物线的解析式，再根据根的判别式解方程即可． 【详解】解：根据题意，平移后的抛物线解析式为：， 平移后的抛物线与轴只有一个交点， ， 解得：． 1．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）抛物线与轴的交点个数（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题，求出判别式的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线与轴的交点个数为2个； 故选C． 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）二次函数的图象与轴有交点，则k的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，根据根的判别式与二次函数的定义列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， ，即， 解得且． 故选：D． 3．（2025·吉林长春·二模）二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． 首先根据抛物线与x轴有两个交点求的根的判别式的符号．设，，由根与系数的关系得到，，然后由列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点A，B， 令，即， ∴ 设，， ，， ， ， 解得，． 综上所述，m的值为4或． 故答案为：4或 4．（24-25九年级下·福建宁德·阶段练习）已知二次函数． (1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点． 【答案】(1)抛物线为，顶点坐标； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由二次函数的图象经过，则，从而抛物线为，进而计算可得顶点坐标； （2）依据题意，由，，，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过， ， ， 抛物线为， ， 顶点坐标． （2）证明：， ， 不论取何值，二次函数图象与轴总有两个公共点． 【经典例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图是二次函数的图像，则方程（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是掌握二次函数的性质． 根据抛物线与轴的交点情况，来判定方程根的情况． 【详解】解：根据二次函数图象与轴有且只有一个交点， ∴方程，有两个相等的实数根， 故选：B． 【例2】（2025·江苏泰州·三模）二次函数的图像过点，，函数有最大值为3． (1)图像的顶点坐标是_____； (2)若，是该函数图像上的两点，当时，判断，的大小关系； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，图像法解方程等； （1）由二次函数的性质得对称轴为直线，即可求解； （2）由二次函数的性质得，，由抛物线开口方向向下时，越靠近对称轴的点对应的函数值越大，即可求解； （3）令，画出的草图，由图像即可求解； 能熟练利用二次函数的性质及数形结合—图像法进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：图像过点，， 对称轴为直线， 图像的顶点坐标是； 故答案为：； （2）解：当时， 函数有最大值为3 ， ， ， ， ； （3）解：令， 画出的草图如下： 由图像得：当与在轴下方时，交点的横坐标为一正一负， 此时方程有一个正根和一个负根， ， 解得：． 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列图中、两点横坐标是方程两根的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的有关知识，解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．根据直线与二次函数的关系式得出方程，再整理并进行判断即可． 【详解】解：A．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（1）符合题意； B．由题意令得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（2）符合题意； C．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（3）符合题意； D．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（4）符合题意； 故选：D 2．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点，则方程的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．同时考查了二次函数的性质．根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的两个交点坐标为，，从而得到一元二次方程的解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为． 故选：A． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数图象的应用， 画出的图象，分别画出经过、的图象，然后然后数形结合即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根， ∴与有4个交点， ∵中，当即时，， ∴经过定点， 对于，当时，， 当时，，解得， ∴与y轴交于，与x轴交于，， 当经过时，如图， 则，解得， ∴， 此时与有3个交点， 当经过时，如图， 则， 解得， ∴， 此时与有3个交点， 观察图象发现：当时，与有4个交点， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江西南昌·期中）已知的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)求方程的解； (2)如果方程无实数根，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系， （1）根据函数图象与轴的交点坐标即可求解； （2）先确定二次函数的解析式，再根据函数图象即可求解； 利用数形思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：观察函数图象可知，图象与轴的交点坐标为，，与轴的交点坐标为， 将方程变形为，即的图象与轴的交点坐标， 由图象可知方程的解为，， ∴方程的解为，； （2）观察函数图象可知，的图象与轴的交点坐标为，，与轴的交点坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴的图象的顶点坐标为， ∵方程无实数根， 则由图象可得， ∴， ∴的取值范围为． 【经典例题六 求x轴与抛物线的截线长】 【例1】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长． 【详解】解：由题意得：， 解得：x＝−3或x＝5， 故在直线y＝−9上截得的线段的长为5−（−3）＝8， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系． 【例2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质； （1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）解：当时，， 得， ，， ， 或． 1．（23-24九年级上·安徽铜陵·阶段练习）抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可． 【详解】由解得，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线在轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数，当 时，，则当 时，的取值范围为 （   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意求得二次函数与轴的截线长，进而通过平移知识即可求解． 【详解】解：当 时，，二次项系数为 二次函数与轴有2个交点， 设与轴交于点， 令，则 即二次函数图像在轴上方的部分的“宽度”小于2， 当时，的取值范围为. 故选B 【点睛】本题考查了二次函数与轴的截线长，理解题意是解题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若抛物线与直线交于A，B两点，则点A与点B之间的距离 【答案】 【分析】联立方程组得，确定,，计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键． 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系；根据解析式求得点，令，设，，进而根据根与系数的关系得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，， ∴ 设，， 则， ∴， ∴ 【经典例题七 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：时，， 当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图1，在直角坐标系中画出抛物线和直线的图象，利用图象可以直接得到一元二次方程的解． (1)根据图1，直接写出一元二次方程的解； (2)请参考上述方法，再给出两种作图法求方程的解（分别画在图2和图3）． 【答案】(1)的解是，． (2)画图见解析 【分析】本题考查的是利用图象法求解一元二次方程的解，掌握数形结合的方法是关键； （1）由图1可得：抛物线和直线的图象的交点的横坐标为： ，，即方程的解； （2）由方程可得其解是函数函数与直线的交点的横坐标；或函数与直线的交点的横坐标；再画图即可． 【详解】（1）解：由图1可得：抛物线和直线的图象的交点的横坐标为： ，， ∴，是方程的解； ∴的解是，． （2）解：如图，方程的解是函数与直线的交点的横坐标； 如图，方程的解是函数与直线的交点的横坐标； ； 1．（23-24九年级上·全国·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】A 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：令， 由表格可知：时，，当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么最接近方程的一个根是（   ） x 1 y A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解；由题意知，函数值的绝对值越小，则自变量越接近对应一元二次方程的解，比较函数值的绝对值即可判断． 【详解】解：由表知，函数值的绝对值最小，对应的自变量值最接近一元二次方程的一个根， 故选：B． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是 【答案】 【分析】根据时，随的增大而减小，可得答案． 【详解】解：由的增减性，得 时，随的增大而减小． 当时，， 当时，， 的一个近似根， 由于的绝对值比更接近0，所以的一个近似根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 4．（24-25九年级下·全国·课后作业）用图象法求下列一元二次方程的近似根： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】分别画抛物线、、、，抛物线与x轴交点的横坐标即为所求． 【详解】（1）作函数图像如下： 图像与x轴相交于两点，观察图像，； （2）作函数图像如下： 图像与x轴相交于两点，观察图像，； （3）作函数图像如下： 图像与x轴相交于两点，观察图像，； （4）作函数图像如下： 图像与x轴相交于两点，观察图像， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的近似根，解决本题的关键是掌握方程的解是函数的图像在x轴交点的横坐标． 【经典例题八 图象法解一元二次不等式】 【例1】（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）一元二次不等式的解集为R，则必有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用函数角度求解一元二次不等式的解集问题，根据一元二次不等式解集为全体实数的条件，可转化为抛物线开口向下且与x轴无交点． 【详解】解：对于不等式的解集为R，抛物线必须开口向下（即），且与x轴无交点（即判别式）． 此时抛物线始终位于x轴下方，所有实数x均满足不等式． 选项B满足且， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的二次方程至少有一个整数根，试求出所有满足条件的正整数a． 【答案】1，3，6或10 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次不等式的解法等知识，先根据得到，，再根据a是正整数得到，从而求出x的取值范围，从而到x的所有可能整数解，继而求出对应的a值，即可的解．根据题意得到x的所有整数解是解题的关键． 【详解】解：原方程可化为， 当时，代入得：， ∴， ∴， ∵a是正整数， ∴且为整数， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵且x为整数， ∴，，，0，1，2， 依次代入，得：，  ，  ，  ，  ，  ， ∴满足条件的正整数的值有4个，分别为：1，3，6或10． 1．（23-24九年级上·广西玉林·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集． 【详解】解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）， 由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集， ∴x＜－1或x＞5． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是求出抛物线与x轴的交点坐标． 2．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），当y＞0时，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣3 B．x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 【答案】D 【分析】首先结合题意可确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标， 然后结合图象性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0）， ∴与x轴的另一个交点坐标为（1，0）， 要求当y＞0时， x的取值范围，实则求抛物线图象位于x轴上方部分对应的x的取值范围， 由图象可知，当或，满足题意， 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，理解抛物线的对称性，准确求出抛物线与x轴的所有交点是解题关键． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，将不等式变形为， 即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于两点， ∴由图象可知：的解集为：或； 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数． (1)求此函数图象的顶点坐标，与y轴交点，并指出它的开口方向； (2)直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，抛物线开口方向下，与y轴交点为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与不等式，掌握二次函数的顶点式对应的开口方向、与坐标轴交点、顶点坐标是解题的关键． （1）由题意写出顶点坐标，再根据二次项系数小于0确定出开口向下，令即可求出与y轴交点坐标； （2）求出该函数图象与轴的交点坐标为，，则可得出抛物线在轴上方部分的的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的解析式为， ∴顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口方向下， 当，， ∴与y轴交点为； （2）令，则， 整理得， 解得，， 所以该函数图象与轴的交点坐标为，， ∴时，的取值范围． 【经典例题九 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例1】（22-23九年级上·天津河西·期末）二次函数的图象如图所示．若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为(    ) A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点，结合图象即可求解． 【详解】解：一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点， 由图象得，，解得， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的解，解题的关键是用函数图象来处理方程根的问题． 【例2】（2025·安徽蚌埠·三模）已知点，是抛物线上任意两点． (1)若抛物线经过点，求此时该抛物线的顶点坐标； (2)设该抛物线的对称轴为直线． ①若对于，，都有，求的取值范围； ②若对于，，存在，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；②且 【分析】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的对称性，增减性，待定系数法求二次函数解析式，是解决问题的关键． （1）把代入求出b，然后转为顶点式解析式，即可作答． （2）因为是拋物线，所以把，，分别代入，得出对应的，再根据联立式子化简，计算即可作答． （3）先求出，再分三类，当时，当时，当且时，即可作答． 【详解】（1）解：由题意，将点代入抛物线中，得 ， 解得， 此时该抛物线的函数表达式为， 此时该抛物线的顶点坐标为． （2）①抛物线的对称轴为直线， ，即， 抛物线的函数表达式为． ，是抛物线上任意两点，，， ，． 对于，，都有， ， 解得或，即的取值范围为或． ②由①知抛物线的函数表达式为， ，． 当时，；当时，； 当时，；当时，． ，抛物线开口向下，对称轴为直线， ． 当时，一定存在大于的值； 当时，， ， 解得， ； 当且时，， ， 解得， 且， 综上所述，的取值范围为且． 1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据二次函数与轴的交点的横坐标，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4， 根据图象可知，当时，的取值范围是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 2．（2024·四川乐山·一模）已知二次函数与一次函数的图象交于和，则能使成立的的取值范围是 A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】试题分析：二次函数与一次函数的图象交于和，，那么从图象上来看就是二次函数的图象要比一次函数的图象高，在本题的图象中即是A点的左边和B点的右边部分，的取值范围为或 考点：一次函数和二次函数 点评：本题考查一次函数和二次函数的图象；要求考生熟练掌握其性质，会通过观察图象求解不等式的解 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程； （1）先将一般式化为顶点式，判断出抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质进行求解即可； （2）先通过解方程求出函数值为时，函数值为时，进而结合抛物线图象即可求解． 【详解】解：（1）， 对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 当时， ∵, ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，， 故答案为：． （2）， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 4．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点，在抛物线上．若，求a的取值范围 【答案】(1) (2)或． 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）把代入解析式，则有，利用对称轴即可求解； （2）根据，中横坐标与对称轴的距离，结合和分别讨论即可求解； 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， 整理得：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）当时，抛物线开口向上． 点到对称轴的距离． 点到对称轴的距离． ∵，且抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大， ∴，同时 解不等式组 解得； 当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， 点到对称轴的距离． 点到对称轴的距离． 若，； ∵， ∴ ． 解得 ． 若，． ∴ ． 解得：， ∵， ∴不等式无解 ． ∴当时，的取值范围是； 综上，a的取值范围是或． 【经典例题十 根据交点确定不等式的解集】 【例1】（24-25九年级下·广东广州·期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数交于A，B两点，且，抛物线的对称轴是． (1)求和a，b的值； (2)求点B的坐标并写出不等式的解集． 【答案】(1)，， (2)； 【分析】（1）把分别代入两个函数的解析式，确定k，结合得到，构造方程组解答即可； （2）设点B的横坐标为，根据，1是方程的两个根，利用根与系数关系，可以求得点B的坐标，利用数形结合思想，根据图象交点的横坐标确定不等式的解集即可． 本题考查了一次函数与二次函数的交点，解方程组，求不等式的解集，熟练掌握性质和求不等式解集是解题的关键． 【详解】（1）解：把分别代入解析式与中，得，， 由抛物线对称轴为直线， 故即， 故，， 解得， 故； 综上所述，，，． （2）解：根据题意，，，． 故函数解析式为与， 设点B的横坐标为，根据，1是方程的两个根， 故， 故， 解得， 故， 故点B， 根据题意，得不等式的解集为． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数为常数，，当时，，则二次函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据当时，，可得函数的对称轴为，且开口向下，据此可得答案． 【详解】解：当时，， 可得函数的对称轴为，且开口向下， 所以二次函数的图象的对称轴为，且开口向下， 故B、C、D选项错误； 故选：A． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． 由函数图象可知，当或时，函数在的图象的上方，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知， 当或时，函数在的图象的上方， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点根据二次函数与一次函数有交点即可求得两个交点的坐标，进而得出二次函数与一次函数所组成的一不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点，， ∴，， ∴，， ∴，， 根据函数图象，可得关于的不等式的解集为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知二次函数，其顶点为． (1)求点的坐标（用含的式子表示）； (2)一次函数与直线交于点，与直线交于点，若线段与二次函数只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)二次函数图象顶点的坐标为； (2)或． 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． （1）化成顶点式即可求得； （2）求出抛物线过N点时a的值，再结合图象求a的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象顶点的坐标为； （2）解：∵一次函数与直线交于点，与直线交于点， ∴，， ∵抛物线顶点的坐标为， ∴点在点的上方， ∵线段与二次函数只有一个交点， 则点N在抛物线上或抛物线下方， 当过点N时， ，即， 解得或， ∴或． 【拓展训练一 抛物线交点问题的综合】 【例1】（22-23九年级上·重庆南川·期末）如果关于的方程有非负整数解，且关于的二次函数与轴有交点，那么满足条件的所有整数的和为（    ） A．6 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】先解出分式方程，再根据非负整数解得出取值范围，再依据关于的二次函数与轴有交点，求出取值范围，最后求出的值，再求和即可． 【详解】 ∵关于的方程有非负整数解，是整数 ∴且 ∴，且,是整数 ∵关于的二次函数与轴有交点 ∴，且 ∴且 ∴取0，2， 4，5 ∴ 故选B． 【点睛】本题考查分式方程的解法和检验，二次函数与横轴的交点存在的判断条件，细心计算和全面考虑是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线． (1)若抛物线与轴交点的坐标为，求抛物线与轴交点的坐标； (2)证明：无论为何值，抛物线与轴必有交点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据抛物线与轴交点的坐标为，得，求得，转化为解一元二次方程解答即可； （2）转化为一元二次方程，根据根的判别式判断解答即可． 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握判别式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据抛物线与轴交点的坐标为，得， 解得， 故抛物线为， 令，则， 解得， 故抛物线与轴交点的坐标为 （2）证明：令，则， 故，，， ∴. ∴该一元二次方程总有实数根. ∴该抛物线与轴必有交点． 1．（23-24九年级上·河北沧州·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③无论a，b，c取何值，抛物线一定经过．其正确结论有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由对称轴及抛物线开口向上、与y轴的交点，来判断a、b、c的关系，即可判断①； 由抛物线经过点及与y轴的交点，即可判断②； 由对称性可得图象经过（-1，0），结合对称轴公式，即可判断③． 【详解】①抛物线对称轴为直线，即对称轴在y轴右侧 抛物线与y轴交于负半轴 故①正确； ②抛物线（a，b，c为常数，）经过点 故②正确； ③由对称得：抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0） 对称轴为直线 所以，无论a，b，c取何值，抛物线一定经过 故③正确； 综上，正确结论有3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握知识点，并能够通过图象获取信息是解题的关键． 2．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，过该函数顶点且与轴平行的直线与抛物线交于、两点，若，则和满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴交点问题以及二次函数图象上点的坐标特征，平行于x轴上的两点，依据题意，先求出抛物线与x轴的交点横坐标得出，再求出，然后根据，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，对于， 令，则， ∴， ∴，， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴令， ∴或， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 故选：D． 3．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线（a，b，c是常数，，）经过点，且．下列结论：①；②关于x的一元二次方程一定有一个根是大于的负数；③；④若，抛物线过点，，，，且，则．其中正确的结论是 （填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 把点代入抛物线，可得，根据a，c，m的值可判断b的值，即可判断①；令，则，可判断抛物线与x轴的两个交点都在负半轴，结合当时，，即可判断②；由，，可得，即可判断③；由，得到抛物线过点，因此抛物线对称轴为，判断四个点与对称轴的距离，得到，结合，，即可得到，，从而判断④ 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴．故①错误． ∵，，， ∴抛物线开口向下，交y轴于负半轴，对称轴， 令，则， ∴，， ∴，， ∴抛物线与x轴的两个交点都在负半轴， ∵抛物线经过点， ∴当时，， ∴抛物线与x轴有一个交点在与0之间， 即关于x的一元二次方程一定有一个根是大于的负数．故②正确． ∵抛物线经过点，， ∴， ∵， ∴， ∴．故③正确． ∵， ∴对于抛物线，当时，， ∴抛物线过点， ∵抛物线过点， ∴抛物线对称轴为， ∵， ，，， 又， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴．故④正确． 综上，正确的结论是②③④． 故答案为：②③④． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）抛物线的顶点坐标为，且图像经过点． (1)求函数解析式． (2)求抛物线与坐标轴交点坐标． 【答案】(1) (2)与y轴的交点坐标为，与x轴无交点 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式． （1）设顶点式，然后把代入求出即可得到抛物线解析式； （2）通过解方程得抛物线与轴的交点坐标；计算自变量为0时的函数值得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为； （2）解：当时，， 整理：，无实数解， 故抛物线与轴无交点， 当时，，则抛物线与轴的交点坐标为． 【拓展训练二 图像法相关应用问题】 【例1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项符合， 故选：． 【例2】（2024九年级上·陕西西安·竞赛）我们用min表示两个数中的较小数，如，求的最大值． 【答案】最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图象交点问题，以及数形结合的思想．正确理解题意是解题的关键．先令，求出二次函数与一次函数的图象交点，再结合图象及新定义即可解答． 【详解】解：令，解得， ， 由图像得，当时，最大值为，即的最大值为． 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用二次函数确定一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可． 根据二次函数与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【详解】解：从表中可以看出， 当时，， 当时，， ∴当对应的的值一定有， ∴一元二次方程的解的范围是． 故选：C． 2．（2023·内蒙古包头·二模）二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程的一个根；④当时，．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】①函数的对称轴为：x=(0+3)=，对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，即可求解； ②函数的对称轴为x=，故②错误，不符合题意； ③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，当x=3时，ax2+bx+c=3，即可求解； ④由③知，3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1，即可求解． 【详解】解：①函数的对称轴为：x=(0+3)=， 对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0， 故①正确，符合题意； ②函数的对称轴为x=，对称轴左侧，即时，y随x的增大而增大，故②错误，不符合题意； ③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x， 当x=3时，ax2+bx+c=3，故③正确，符合题意； ④由③知，3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为-1， 故当-1＜x＜3时，ax2+(b-1)x+c>0，故④正确，符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解方程或不等式． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由二次函数的图象的对称性得抛物线与轴的一个交点为，由轴的上方的图象对应的函数值大于，即可求解；会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】解：由图像得，对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点为， 抛物线与轴的一个交点为， 轴的上方的图象对应的函数值大于， 当时，； 不等式的解集为， 故答案：． 4．（24-25九年级上·四川自贡·期中）请阅读下列解题过程： 解一元二次不等式：． 解：设，解得则抛物线与x轴的交点坐标为和画出的大致图象： 由图象可知：当时函数图象在x轴下方，此时所以一元二次不等式的解集为． 通过上述解题过程的学习按其解题思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中渗透了下列数学思想中的 和 (只填序号) ①分类讨论思想；②转化思想；③数形结合思想 (2)用类似方法解的解集 ． (3)用类似的方法求一元二次不等式的解集． 【答案】(1)②，③ (2) (3)或 【分析】本题考查图象法求一元二次不等式的解集： （1）利用了转化思想和数形结合的思想； （2）利用题干方法即可得出结果； （3）利用图象法进行求解即可． 【详解】（1）解：上述解题过程中渗透了下列数学思想中的转化思想和数形结合的思想； 故答案为：②，③； （2）解：设，解得， 则抛物线与x轴的交点坐标为和， 画出的大致图象： 由图象可知：当时函数图象在x轴下方，此时， 所以一元二次不等式的解集为． （3）解：设，解得， 则抛物线与x轴的交点坐标为和， 画出的大致图象： 由图象可知：当或时函数图象在x轴上方，此时， 所以一元二次不等式的解集为或． 【拓展训练三 不等式综合求解问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知抛物线经过，，三点，且恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，二次函数的图象以及抛物线的对称性，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系． 由可得抛物线开口向下，根据抛物线对称轴为直线，结合图象求解． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， 解得， ， 解得， 综上，存在实数m，使得恒成立，m的取值范围为 故答案为：． 【例2】（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数（），点，都在该二次函数的图象上 (1)用含n的代数式表示m． (2)当时，y随x的增大而减小，求n的值范围 (3)若，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解不等式，解题的关键是理清题中多个参数，逐步根据关系列不等式求解． （1）根据A，C两点的坐标特征以及对称轴的求法，根据对称轴的不同求法列出等式，整理即可； （2）由题意得到抛物线开口向下，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而减小，又当时，y随x的增大而减小，则，即可求出n的值范围； （3）利用（1）中结论，分别将点B和点C代入函数表达式，q的范围列出相应不等式，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵都在二次函数的图象上， ∴对称轴为直线， 又对称轴为直线， ∴； （2）∵（）中，， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴； （3）∵，， ∴，解得：，此时对称轴在y轴右侧， 令，则， 令，则， 解得：，则，解得：； 令，则， ∵，， ∴ ， 整理得：， 令，再令， 解得：或， 如图，二次函数开口向上，与横轴交于和， 若，则或， 综上：n的取值范围是或， 故答案为：，或． 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）已知二次函数，当x时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：①a＞0时，二次函数图象开口向上，∵，∴，无法确定的正负情况，， ②a＜0时，二次函数图象开口向下，∵，∴，无法确定的正负情况， ， 综上所述，表达式正确的是．故选C． 考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．综合题． 2．（2025·湖南娄底·二模）若不等式组的解集不是空集，则的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集不是空集得出即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集不是空集， ∴， 当时，解得， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上，的取值范围为或． 故选：C． 3．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线和直线的图象在同一直角坐标系中．当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，先联立抛物线与直线的解析式，求出两个图象的交点坐标，再结合图象找到抛物线在直线上方时的自变量的范围即可． 【详解】解：联立，解得：或， ∴两个图象的交点坐标为：，； 由图象可知：时，； 故答案为：． 4．（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线上的两个不同点． (1)当时，有，求的值； (2)当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． （1）由题意，根据，得出点关于直线对称，再由中点坐标公式可得解． （2）根据题意得到即在时恒成立，分两种情况当时，当时分别进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，，对称轴为直线 ∵， ∴点关于直线对称. ∴， ∵； （2）∵点是抛物线上的两个不同点． ∴，， ∵当时，都有 ∴即在时恒成立， 当时，不等式化简为， 则， 解得， ∴，解得， 当时，不等式化简为， 解得或， ∴，解得， ∴， 综上可知，的取值范围是或． 1．（2025·广东惠州·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数与坐标轴的交点问题．求得三点的坐标，即可求解． 【详解】解：当时，，解得，， ∴点，． 当时，， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 2．（2025·河南·模拟预测）二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数图象与轴交点坐标，涉及解一元二次方程等知识，由题意，令，解一元二次方程即可得到答案．熟记二次函数图象与性质、解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数与轴交于两点， 令，则， ， ，即， 解得或， 点在点左侧， 点的坐标为， 故选：A． 3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数的值， 分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 故选：B． 4．（24-25九年级上·贵州·期末）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①，②，③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴的交点问题等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴可知，再由抛物线对称轴为直线得到，由此即可判断①；求出抛物线与x轴的另一个交点为即可判断②；根据抛物线与直线有两个不同的交点即可判断④，结合函数图象进行分析③即可作答． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵图象过点，且对称轴为直线 ∴， 即抛物线与x轴的另一个交点为， ∴，故②正确； ∵方程的根可以看作是抛物线与直线的交点的横坐标，而由函数图象可知抛物线与直线有两个不同的交点， ∴方程有实数根，故④正确； 无法知道y的最大值，故③不正确； ∴正确的有2个， 故选B． 5．（2025·江苏宿迁·一模）抛物线与直线交于两点，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于，则下列结论正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象和性质．掌握根与系数的关系是解题的关键．依据题意，抛物线与直线交于两点，分别为和，且，再根据解得即可． 【详解】解：抛物线与直线交于两点，分别为和，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于， 设， ，， ， ． 是方程的两根 ， ， ． 故选：C． 6．（2025·河南南阳·二模）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的图象与性质可得，则可得，再根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ， ∴方程根的判别式为， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）对于任意的未知数都满足，其中为常数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线与x轴交点问题，抛物线的图象性质，二次函数与不等式的关系，掌握抛物线与x轴无交点或只有唯一交点，则是解题的关键． 由于，所以不等式恒成立的条件是，据此列不等式求解即可． 【详解】解：， 函数的图象开口向上， 不等式恒成立的条件是， ． 解得． 故选：A． 8．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（    ） ；；；④；⑤若为任意实数，则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得时，进而判断②，将其中一个点转化为关于对称轴的对称点，然后再由抛物线在对称轴一次的x,y的关系，可判断③④，根据二次函数最值即可判断⑤． 【详解】解：根据图象可得，，， 对称轴为， ，即， ，故正确， 根据二次函数的图象与轴交于点， 可得二次函数的图象与轴的另一个交点为， 当时，，故正确； 根据二次函数与轴的交点在与之间，可得， 当时，， 即， ，解得，故正确； ，故正确； 当时，达到最大值， 因此对于任意实数，， ∴ 故错误； 综上所述，正确，正确结论有个， 故选：C． 9．（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（    ） A．6 B．8 C． D．7 【答案】A 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数与轴的交点为，． 首先根据一次函数 的图像交于点 ，可得，然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，进而可得，再结合求解即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ，解得：， 当时，，， 当时，， ∵函数 的图像与 轴仅有一个交点， 的图象与轴的交点为， ∴ 又∵， ∴ ， ∴，解得： ∴， 故选：A． 10．（2024·山东日照·二模）已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式等知识．数形结合是解题的关键． 由题意知，图象开口向下，即，对称轴为直线，则，，当时，，可得，可判断①的正误；图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，可判断②的正误；将代入得，，可判断③的正误；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，则关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1，由图象可知，，；可判断④的正误；由，可知过点，如图2，由图象可知，关于x的不等式，即的解集为，可判断⑤的正误． 【详解】解：由题意知，图象开口向下，即， 对称轴为直线，则， ∴， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，②错误，故不符合要求； 将代入得，，③正确，故符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∵关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1， 由图象可知，，；④正确，故符合要求； ∵， ∴过点，如图2， ∴关于x的不等式，即的解集为，⑤正确，故符合要求； ∴正确结论的个数为4个， 故选：B． 11．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数图像与y轴的交点的坐标． 令，得到，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 12．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系．二次项系数a决定抛物线的开口方向．常数项c是抛物线与y轴交点的纵坐标．对称轴公式，结合a的符号可判断b的符号．利用抛物线上特殊点的函数值符号，结合a、b、c的关系推导相关代数式的正负． 通过观察二次函数图象的开口方向、对称轴位置、y轴交点位置等，利用二次函数中a、b、c的符号与图象的关系，对称轴公式，以及特殊点的函数值来判断各个结论的正确性． 【详解】解：因为该二次函数的图象交y轴正半轴， 所以，故①错误； 因为抛物线的对称轴在y轴左侧， 所以， 因为， 所以，故②正确； 因为抛物线对称轴为， 所以， 所以所以该二次函数的解析式可改写为， 由图象可知，当时，，即，故③正确； 由图象可知，当时，， 当时，，两式相加，得， 因为， 所以， 所以，故④正确； 故答案为：②③④. 13．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）若抛物线与坐标轴有1个交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握抛物线与x轴交点个数的判定方法成为解题的关键． 已知抛物线与y轴交于点，由抛物线与坐标轴有1个交点，可得出抛物线与x轴没有交点，即没有实数根，则，据此列出关于m的不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点，由抛物线与坐标轴有1个交点， ∴与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，即，解得：． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知直线经过拋物线的顶点，且当时，，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数与不等式，涉及到二次函数和一次函数的性质，由直线经过拋物线的顶点得到，，结合当时，，得到抛物线和直线的大致图象，进而求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 将代入并整理得：， ∴， ∵当时，， ∴， ∴函数图象大致如下： 结合函数图象知，当时，x的取值范围是：， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·山东东营·阶段练习）已知二次函数的顶点为且过点，求该函数解析式，并求出它与x轴和y轴的交点坐标． 【答案】，与x轴的交点坐标为和，与y轴的交点坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求出对应的函数解析式，再分别求出函数值为0时的自变量的值和自变量的值为0时的函数值即可得到答案． 【详解】解：设二次函数解析式为， ∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， 在中，当时，， 当时，解得或， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，与y轴的交点坐标为． 17．（2025·河南周口·二模）如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式； （1）采用待定系数法进行求解即可； （2）令，求出点A的坐标为及，根据当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴ 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，， 解得，， ∴点A的坐标为，， 当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点， ∴． 18．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”． (1)任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”． (2)已知二次函数． ①求证：该函数图象上一定存在两个“点”． ②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题意是解题关键． （1）对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，则方程有解；即：方程有解；推出即可求解； （2）①令，则，根据即可求证；②设，由题意得函数图象与轴相交于点，，根据该函数图象开口向上，且，可推出当时，即，即可求解； 【详解】（1）解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”， 则方程有解； 即：方程有解； ∴； 二次函数满足要求； （2）解：①令，则， ， 一定存在两个“点”． ②设， 是的解， 函数图象与轴相交于点，， 该函数图象开口向上，且， 当时，即， ． 19．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）已知二次函数的图象如下图，请根据函数图象完成以下问题： (1)该函数的对称轴为 　 　，方程的解为 　 　； (2)当时，y的取值范围为 　 　； (3)当时，x的取值范围为 　 　； (4)当时，x的取值范围为 　 　． 【答案】(1)；， (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）利用的图象过点，，结合二次函数图象的对称性即可求出抛物线的对称轴，方程的解即为与直线的交点的横坐标，即可求解； （2）抛物线在对称轴直线右侧，函数值随的增大而增大，利用对称性求出点在抛物线上关于对称轴直线的对称点为，利用函数增减性结合图象即可求解； （3）先求出对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论； （4）先求出和对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：∵的图象过点，，其中，， ∴抛物线的对称轴为直线，与直线的交点为，， ∴方程的解为，， 故答案为：；，； （2）解：由图可知，又因为抛物线的对称轴为直线， ∴在对称轴直线右侧，函数值随的增大而增大， ∵， ∴点在抛物线上关于对称轴直线的对称点为， 又∵， ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：由图可知当时，或， 由图象知：当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． （4）解：由上知，当时，对应的自变量的值为或；当时，对应的自变量的值为或， 由图可知当时，对应的x的取值范围为或． 故答案为：或． 20．（2025·浙江台州·二模）已知二次函数（是常数）的图象经过． (1)当时，求二次函数的表达式； (2)若二次函数的图象经过， ①在（1）的条件下，当时，，求的值； ②若，恒有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法和二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求解； （2）①先求得，即可得，再代入求解即可；②先得出抛物线开口向上，可得时，恒有，从而得出对称轴，得出不等式，再求解即可． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 二次函数的图象经过， ， 解得， 二次函数的表达式是； （2）解：①当时，， ， ， ， ② 抛物线开口向上， ，恒有， ∴点M到对称轴的距离大于点 N到对称轴的距离， ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.3 二次函数与一元二次方程重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 抛物线与x轴的交点问题 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型六 求x轴与抛物线的截线长 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 题型八 图象法解一元二次不等式 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型十 根据交点确定不等式的解集 拓展训练一 抛物线交点问题的综合 拓展训练二 图像法相关应用问题 拓展训练三 不等式综合求解问题 知识点一：二次函数图像与x轴交点 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 【即时训练】 1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）抛物线的图象与x轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．一个交点 C．两个交点 D．三个交点 2．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 知识点二：二次函数与一元一次不等式 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 【即时训练】 1．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是 ． 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标为和，则一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知在抛物线上． (1)求的值，并直接写出抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标． 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2023·四川泸州·模拟预测）二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（   ） A．1和2 B．1和 C．和2 D．和 3．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，则图象再次与轴相交时的坐标是 ． 4．（23-24九年级上·浙江·期中）已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)求该二次函数的与轴的交点坐标． 【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）抛物线与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，抛物线 与y 轴交于点B， 与 x 轴交于点A，C（点A在点C的右边）．求A点 、B 点 、C 点坐标． 1．（2025·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图像经过，如果实数表示的值，实数表示的值，那么的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法确定 3．（24-25九年级上·全国·期末）抛物线与轴的交点坐标是 ． 4．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如图，抛物线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求点的坐标． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分(直接在网格中作图即可)． (2)求当时对应的函数图象上的点的坐标． 1．（2024·山西阳泉·三模）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨，的交点为坐标原点建立平面直角坐标系．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．抛物线的表达式为，若点A到轴的距离是，则，两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）二次函数的图象经过点，，则关于的一元二次方程的解为 ． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足函数关系．若小球的飞行高度不低于的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清晰捕捉的时长． 【经典例题四 抛物线与x轴的交点问题】 【例1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若关于x的二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【例2】（2025·山东青岛·二模）将抛物线向上平移个单位后，与轴只有一个交点，求a． 1．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）抛物线与轴的交点个数（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）二次函数的图象与轴有交点，则k的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 3．（2025·吉林长春·二模）二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为 ． 4．（24-25九年级下·福建宁德·阶段练习）已知二次函数． (1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点． 【经典例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图是二次函数的图像，则方程（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【例2】（2025·江苏泰州·三模）二次函数的图像过点，，函数有最大值为3． (1)图像的顶点坐标是_____； (2)若，是该函数图像上的两点，当时，判断，的大小关系； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，求的取值范围． 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列图中、两点横坐标是方程两根的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点，则方程的根为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·江西南昌·期中）已知的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)求方程的解； (2)如果方程无实数根，求的取值范围． 【经典例题六 求x轴与抛物线的截线长】 【例1】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【例2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 1．（23-24九年级上·安徽铜陵·阶段练习）抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数，当 时，，则当 时，的取值范围为 （   ） A． B． C． D．不能确定 3．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若抛物线与直线交于A，B两点，则点A与点B之间的距离 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【经典例题七 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图1，在直角坐标系中画出抛物线和直线的图象，利用图象可以直接得到一元二次方程的解． (1)根据图1，直接写出一元二次方程的解； (2)请参考上述方法，再给出两种作图法求方程的解（分别画在图2和图3）． 1．（23-24九年级上·全国·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么最接近方程的一个根是（   ） x 1 y A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 3．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是 4．（24-25九年级下·全国·课后作业）用图象法求下列一元二次方程的近似根： （1）； （2）； （3）； （4）． 【经典例题八 图象法解一元二次不等式】 【例1】（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）一元二次不等式的解集为R，则必有（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的二次方程至少有一个整数根，试求出所有满足条件的正整数a． 1．（23-24九年级上·广西玉林·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），当y＞0时，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣3 B．x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 4．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数． (1)求此函数图象的顶点坐标，与y轴交点，并指出它的开口方向； (2)直接写出当时x的取值范围． 【经典例题九 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例1】（22-23九年级上·天津河西·期末）二次函数的图象如图所示．若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为(    ) A． B．3 C． D．6 【例2】（2025·安徽蚌埠·三模）已知点，是抛物线上任意两点． (1)若抛物线经过点，求此时该抛物线的顶点坐标； (2)设该抛物线的对称轴为直线． ①若对于，，都有，求的取值范围； ②若对于，，存在，求的取值范围． 1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（2024·四川乐山·一模）已知二次函数与一次函数的图象交于和，则能使成立的的取值范围是 A． B． C． D．或 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 4．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点，在抛物线上．若，求a的取值范围 【经典例题十 根据交点确定不等式的解集】 【例1】（24-25九年级下·广东广州·期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【例2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数交于A，B两点，且，抛物线的对称轴是． (1)求和a，b的值； (2)求点B的坐标并写出不等式的解集． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数为常数，，当时，，则二次函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的不等式的解集为 ． 4．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知二次函数，其顶点为． (1)求点的坐标（用含的式子表示）； (2)一次函数与直线交于点，与直线交于点，若线段与二次函数只有一个交点，求的取值范围． 【拓展训练一 抛物线交点问题的综合】 【例1】（22-23九年级上·重庆南川·期末）如果关于的方程有非负整数解，且关于的二次函数与轴有交点，那么满足条件的所有整数的和为（    ） A．6 B．11 C．12 D．15 【例2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线． (1)若抛物线与轴交点的坐标为，求抛物线与轴交点的坐标； (2)证明：无论为何值，抛物线与轴必有交点． 1．（23-24九年级上·河北沧州·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③无论a，b，c取何值，抛物线一定经过．其正确结论有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，过该函数顶点且与轴平行的直线与抛物线交于、两点，若，则和满足的关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线（a，b，c是常数，，）经过点，且．下列结论：①；②关于x的一元二次方程一定有一个根是大于的负数；③；④若，抛物线过点，，，，且，则．其中正确的结论是 （填写序号） 4．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）抛物线的顶点坐标为，且图像经过点． (1)求函数解析式． (2)求抛物线与坐标轴交点坐标． 【拓展训练二 图像法相关应用问题】 【例1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2024九年级上·陕西西安·竞赛）我们用min表示两个数中的较小数，如，求的最大值． 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 2．（2023·内蒙古包头·二模）二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程的一个根；④当时，．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象，则不等式的解集是 ． 4．（24-25九年级上·四川自贡·期中）请阅读下列解题过程： 解一元二次不等式：． 解：设，解得则抛物线与x轴的交点坐标为和画出的大致图象： 由图象可知：当时函数图象在x轴下方，此时所以一元二次不等式的解集为． 通过上述解题过程的学习按其解题思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中渗透了下列数学思想中的 和 (只填序号) ①分类讨论思想；②转化思想；③数形结合思想 (2)用类似方法解的解集 ． (3)用类似的方法求一元二次不等式的解集． 【拓展训练三 不等式综合求解问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知抛物线经过，，三点，且恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数（），点，都在该二次函数的图象上 (1)用含n的代数式表示m． (2)当时，y随x的增大而减小，求n的值范围 (3)若，求n的取值范围． 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）已知二次函数，当x时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·二模）若不等式组的解集不是空集，则的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 3．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线和直线的图象在同一直角坐标系中．当时，x的取值范围是 ． 4．（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线上的两个不同点． (1)当时，有，求的值； (2)当时，都有，求的取值范围． 1．（2025·广东惠州·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 2．（2025·河南·模拟预测）二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·贵州·期末）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①，②，③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025·江苏宿迁·一模）抛物线与直线交于两点，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于，则下列结论正确的是(     ) A． B． C． D． 6．（2025·河南南阳·二模）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 7．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）对于任意的未知数都满足，其中为常数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（    ） ；；；④；⑤若为任意实数，则． A．个 B．个 C．个 D．个 9．（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（    ） A．6 B．8 C． D．7 10．（2024·山东日照·二模）已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 11．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为 12．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 13．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 14．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）若抛物线与坐标轴有1个交点，则m的取值范围是 ． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知直线经过拋物线的顶点，且当时，，则当时，的取值范围是 ． 16．（23-24九年级上·山东东营·阶段练习）已知二次函数的顶点为且过点，求该函数解析式，并求出它与x轴和y轴的交点坐标． 17．（2025·河南周口·二模）如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 18．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”． (1)任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”． (2)已知二次函数． ①求证：该函数图象上一定存在两个“点”． ②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围． 19．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）已知二次函数的图象如下图，请根据函数图象完成以下问题： (1)该函数的对称轴为 　 　，方程的解为 　 　； (2)当时，y的取值范围为 　 　； (3)当时，x的取值范围为 　 　； (4)当时，x的取值范围为 　 　． 20．（2025·浙江台州·二模）已知二次函数（是常数）的图象经过． (1)当时，求二次函数的表达式； (2)若二次函数的图象经过， ①在（1）的条件下，当时，，求的值； ②若，恒有，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$