专题21.2 二次函数的图像与性质重难点题型专训（13个知识点+17大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版2012）

专题21.2 二次函数的图像与性质重难点题型专训 （13个知识点+17大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 y=ax²的图象和性质 题型二 y=ax²+k的图象和性质 题型三 y=a（x-h）²的图象和性质 题型四 y=a（x-h）²+k的图象和性质 题型五 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型六 画y=ax²+bx+c的图象 题型七 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型八 二次函数图象与各项系数符号 题型九 一次函数、二次函数图象综合判断 题型十 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型十一 两个二次函数图象综合判断 题型十二 根据二次函数的图象判断式子符号 题型十三 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型十四 根据二次函数的对称性求函数值 题型十五 y=ax²+bx+c的最值 题型十六 利用二次函数对称性求最短路径 题型十七 二次函数图象的平移 拓展训练一 二次函数的图像和性质综合问题 拓展训练二 函数及图像的综合判断问题 拓展训练三 函数及图像相关推导求值 知识点一：画二次函数图像 画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线. 【注意】 1）列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况. 2）由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值. 3)一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像. 【即时训练】 1．（23-24九年级上·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的开口方向向上，且图象经过原点，即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，顶点为，且经过原点． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标以及与x轴的交点． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知， ，两点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 【答案】． 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-2，然后比较三个点离直线x=-2的远近得到y1、y2、y3的大小关系． 【详解】解： ∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线x=−2， ∵， ，， ∴点C离直线x=−2最远，其次为A点，B距离x=−2最近 而抛物线开口向下， ∴所以根据图象可知： ； 故答案为：. 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征.解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当a＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a＜0时，距离对称轴越远的点，函数值越小. 知识点二：二次函数的图像和性质 二次函数的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下： 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，0） （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大； x＜0时，y随x的增大而减小. x＞0时，y随x的增大而减小； x＜0时，y随x的增大而增大. 最值 当x＝0时，函数图像有最低点， 有最小值0. 当x＝0时，函数图像有最高点， 有最大值0. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若拋物线的开口向上，则m的值可能为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴， ∴m的值可能为3． 故选：C． 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）拋物线的对称轴是 轴． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质，即可求得． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴该抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为： 知识点三：二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 k＞0 k＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，k） （0，k） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝0时，y有最小值k 当x＝0时，y有最大值k. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）抛物线的顶点在（   ） A．y轴上 B．x轴上 C．原点 D．第二象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质．根据抛物线的顶点式确定顶点坐标，进而判断其位置即可. 【详解】解：抛物线的顶点为， 顶点在轴上， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标“若二次函数的顶点式为，则它的顶点坐标为”，熟练掌握求二次函数的顶点坐标的方法是解题关键．直接根据二次函数的顶点式求解即可得． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 知识点四：二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 h＞0 h＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 （h，0） （h，0） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值0 当x＝h时，y有最大值0 【即时训练】 1．（22-23九年级上·云南玉溪·期中）抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第一象限 D．第二象限 【答案】A 【分析】根据抛物线的解析式可得出顶点坐标为，由此即可得． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，在轴上， 故选：A． 【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键． 2．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）抛物线顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像性质，直接根据的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：抛物线顶点的坐标为． 故答案为： 知识点五：二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 （h，k） （h，k） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值k 当x＝h时，y有最大值k 【即时训练】 1．（24-25九年级上·天津宁河·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法，解题关键是掌握抛物线顶点解析式的意义． 已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵是抛物线解析式的顶点式， ∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故选：D． 2．（22-23九年级上·湖北孝感·期中）函数的图象是一条 ，开口方向 ，顶点坐标为 ． 【答案】 抛物线 向下 【分析】根据二次函数的图象和性质进行解答即可． 【详解】解：函数的图象是一条抛物线； ∵， ∴抛物线的开口向下； 二次函数的顶点坐标为． 故答案为：抛物线；向下；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟记二次函数的图象和性质是解题的关键． 知识点六：二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x= x= 顶点坐标 (，) (，) 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而增大； x＜时，y随x的增大而减小. x＞时，y随x的增大而减小； x＜时，y随x的增大而增大. 最值 抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， 抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 【即时训练】 1．（2025·广东肇庆·一模）点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴点为顶点，其纵坐标为最大值；点、在对称轴右侧， 时，随增大而减小， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，若，，是这个函数图象上的三点，则，，的大小关系(从小到大)是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据自变量的大小，比较函数值的大小，解题的关键是熟悉二次函数的增减性．先求出二次函数的对称轴，结合二次函数的增减性即可判断． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴ 故答案为：． 知识点七：二次根式的平移 平移方式（n＞0) 顶点式 平移口诀 向左平移n个单位 左加 向右平移n个单位 右减 向上平移n个单位 上加 向下平移n个单位 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 补充： ① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. ② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. ③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. ④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同. ⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值. 【即时训练】 1．（2025·河南安阳·二模）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原二次函数解析式化为顶点式得到原二次函数的顶点坐标，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵平移前二次函数解析式为， ∴平移前的二次函数的顶点坐标为， ∴将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为，即， 故选：B． 2．（2025·西藏拉萨·一模）将二次函的图象向左平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是关键． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将二次函的图象向左平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为， 故答案为： ． 知识点八：待定系数法求二次函数解析式 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 【即时训练】 1．（22-23九年级上·河南南阳·期末）抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 从上表可知，时，的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据题意，利用待定系数法求出二次函数解析式，然后把代入解析式，即可得出答案． 【详解】解：把，、，和，代入， 可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴当时，的值为． 故选：D 【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、求函数值，解本题的关键在正确得出二次函数解析式． 2．（24-25九年级上·新疆吐鲁番·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且抛物线过点，则抛物线的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．根据抛物线的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，把点代入求出，即可得到完整解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为，即． 故答案为：． 知识点九：二次函数与各项系数之间的关系 二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． 【即时训练】 1．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图形开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算是关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴直线，与坐标轴交点的知识判定即可． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵对称轴直线为， ∴，故B选项正确，符合题意； ∵二次函数图象与轴交于正半轴， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵二次函数与轴有两个交点， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）二次函数的图象如图所示，那么 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想．首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，代入即可判断的正负． 【详解】解：∵图象开口方向向上， ∴， ∵图象的对称轴在x轴的正半轴上， ∴， ∵， ∴， ∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点十：用抛物线图像研究各项系数 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 5）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 6）特殊点代入确定a，b，c的关系. 7）根据抛物线的顶点，判断的大小. 【即时训练】 1．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图是抛物线的示意图，则c的值可以是（    ）．    A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】根据抛物线与轴的交点，确定出，结合选项求解即可． 【详解】解，由图象可得，抛物线与轴的交点在轴的上方，所以 结合选项，只有D选项符合，A、B、C选项不符合， 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 2．（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，以下结论：①；②；③；④过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的有 ．（填序号）    【答案】②④⑤ 【分析】此题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键． 由已知可得对称轴，，函数与y轴的交点，函数与y轴交点，则方程有两个不相等的实数根；由函数的对称性可得，与x轴的一个交点坐标为，另一个交点为，据此以此判断即可； 【详解】由图可知，开口方向向下，故， 抛物线与y轴交于正半轴，得， 抛物线的对称轴为，即 ， ∴，， 故③错误； ∴故①错误, 由图象与轴有两个交点，故，故②正确； 抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为：直线 ∴抛物线与x轴的另一个交点为，故④正确； 方程 的实数根，可以看成函数图象与直线交点横坐标， 抛物线与y轴交点， 当有两个不同的交点，即方程有两个不同的实数根，故⑤正确； 综上所述正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 知识点十一：二次函数对称变换 一般式的对称 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 【即时训练】 1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）若二次函数（b为常数）关于y轴对称，则b的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的对称轴为直线是解题关键． 由二次函数（b为常数）关于y轴对称，则对称轴为y轴，即可求解． 【详解】解：∵二次函数（b为常数）关于y轴对称，即二次函数对称轴为直线， ∴， 解得． 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）若抛物线与抛物线关于原点对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握关于原点对称的抛物线开口方向改变，开口大小不变，是解题的关键．根据关于原点对称的抛物线开口方向改变，大小不变，顶点坐标关于原点对称求出关于原点对称的解析式即可求解． 【详解】解：抛物线与抛物线关于原点对称，则顶点的横纵坐标互为相反数， ∵抛物线关于原点对称的抛物线解析式为， 又，， ， 故答案为：． 知识点十二：二次函数的对称性问题 1）抛物线上两点关于直线x=对称，则 ①这两点在同一高度，即两点的纵坐标相同； ②这两点到对称轴的距离相等，即两点的横坐标与x=的差的绝对值相等； 2）若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称. 3）已知一点的坐标为(x1，y)，对称轴为x=h，则这个点关于对称轴对称点的坐标为（2h-x1，y）. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． A．(3,0) B．(1,0) C．(0,3) D．(2,0) 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性求函数值，因为由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可作答． 【详解】解：由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为， 则， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为：A 2．（2025·山东德州·一模）已知二次函数经过两个不同点，，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先判定点关于抛物线的对称轴对称，再求解抛物线的对称轴为直线，从而可得答案. 【详解】解：二次函数经过两个不同点，， ∴点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； ∴ 故答案为：0． 知识点十三：最值问题 定义：二次函数的最值就是根据二次函数自变量x的取值范围，求出y的取值范围. 类型一：自变量x取全体实数，y在顶点处取得最值，根据a的正负判断函数是最大值还是最小值. 类型二：自变量x的取值范围为给定范围， 1）若对称轴在给定范围内，则x=时，二次函数取得最值，另一个最值在较对称轴较远的点处取得. 2）若对称轴不在给定范围内（），两个最值在两个端点处取得. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 ． A．12 B．13 C．11 D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数增减性得出其最值是解题的关键． 直接利用配方法求出二次函数最小值，进而利用二次函数增减性得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， 整理得：， 故当时，有最小值为； ∵， ∴当时，有最大值为； 故； 故答案为：B 2．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【答案】；5 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为， 故答案为；；5． 【经典例题一 y=ax²的图象和性质】 【例1】（25-26九年级上·全国·单元测试）已知抛物线经过三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．根据所给函数解析式，结合二次函数的图象与性质,得抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大．根据，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上， 则抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大． ∵抛物线经过三点， 则，，， ∵， ∴ 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，图象开口向上，对称轴左侧，随的增大而减小，对称轴右侧，随的增大而增大；图象开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小． （1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象即可； （2）根据二次函数图象，可得二次函数的性质． 【详解】解：（1）二次函数和的图象如图所示： （2）二次函数和的图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是轴，顶点坐标都是； 二次函数和的图象的不同点是：图象开口向上，图象开口向下（答案不唯一，合理即可）； 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答． 【详解】解：函数与的图象关于x轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）下表是二次函数中，x，y的部分对应值： x … 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … 则下列说法不正确的是（   ） A．图象开口向上 B．图象对称轴是y轴 C．图象顶点是原点 D．图象经过点 【答案】D 【分析】本题考查了的图象和性质，依据函数性质解题即可 【详解】解：由题意，把代入解得 ∴函数解析式为 ∴函数图像开口向上，对称轴是轴，图象顶点就是原点， ∴A，B，C的说法都正确，不符合题意 把代入函数解析式，左右不相等，故D选项说法错误，符合题意 故选： D． 3．（24-25九年级上·全国·期末）抛物线，开口 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ；抛物线，开口 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ．相比之下，抛物线 的开口程度较大． 【答案】 向上 y轴 向上 y轴 【分析】本题考查二次函数的相关知识．根据二次函数的性质逐一填写即可． 【详解】解：抛物线，开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴； 抛物线，开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴． 相比之下，抛物线的开口程度较大． 故答案为：向上，，y轴，向上，，y轴，． 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于另一点，求的面积． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，求得、的坐标是解题的关键．由抛物线的解析式求得的坐标，然后利用抛物线的对称性求得的坐标，即可求得，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：点在抛物线上， ， ， 过点作轴，交抛物线于另一点， 由抛物线的对称性可知，当时，， ， ， 的面积． 【经典例题二 y=ax²+k的图象和性质】 【例1】（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）下列各点中，在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，将各点代入，进行判断即可．掌握图象上的点的横纵坐标满足抛物线的解析式是解题的关键． 【详解】解：A、当时，，则点不在抛物线上，故本选项不符合题意； B、当时，，则点不在抛物线上，故本选项不符合题意； C、当时，，则点在抛物线上，故本选项符合题意； D、当时，，则点不在抛物线上，故本选项不符合题意； 故选：C 【例2】（24-25九年级上·天津河西·阶段练习）抛物线，根据下列条件求m值． (1)抛物线过原点； (2)抛物线最小值为． 【答案】(1)或 (2)m的值是1 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的最值问题是解答此题的关键． （1）直接把原点代入抛物线，求出m的值即可； （2）根据抛物线的解析式判断出其开口方向，进而可得出m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过原点， ∴当时，，即， 解得或； （2）解：∵抛物线中，，顶点坐标， ∴当时，二次函数的值最小， ∴， 解得， ∴m的值是1． 1．（2025·江苏泰州·三模）已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ） A．没有最大值，有最小值 B．没有最大值，也没有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．有最大值，也有最小值 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质．解题的关键在于表示出的代数值，从而转化为一次函数的性质．比较综合．根据二次函数的性质，表示出、的值，即可求解． 【详解】解：二次函数， 开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， ∴， ∵， 随t的增大而减小， ∵， ∴， ∴有最小值，没有最大值． 故选：． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）若，，则二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵，， ∴抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∵二次函数的对称轴为y轴， ∴二次函数的图象大致是： ． 故选：A． 3．（2025·广东广州·二模）已知点，在抛物线上，且，则 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物线表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：的对称轴为y轴， ∵， ∴开口向下，当时， y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 【答案】 【分析】根据题意得出对称轴为直线，在时，当时取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时取得最大值， ∴ 解得： 【经典例题三 y=a（x-h）²的图象和性质】 【例1】（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）若点，在抛物线上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，比较二次函数函数值的大小，先求出，的值，比较大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列二次函数的图像是由二次函数的图像怎样平移得到的？ (1)； (2)． 【答案】(1)向右平移3个单位长度 (2)向左平移1个单位长度 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减． （1）根据“左加右减”可以得解； （2）根据“左加右减”可以得解． 【详解】（1）解：的图像向右平移3个单位长度得到的图像； （2）解：的图像向左平移1个单位长度得到的图像． 1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．依据二次函数顶点式的性质，从开口方向和顶点坐标两个角度分析逐项判断即可 ． 【详解】解：函数， ， 抛物线开口向下， 选项A、B不符合题意， 抛物线的顶点坐标为（即顶点在x轴上，且横坐标为），选项C、D的抛物线开口向下，而选项C的抛物线顶点在x的负半轴上；选项D的抛物线顶点在x轴正半轴， 符合条件的是选项C， 故答案为：C． 2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）二次函数的图象的对称轴是（   ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数顶点式的对称轴为直线成为解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质求解即可． 【详解】解：对于二次函数，其形式符合顶点式，其中， 所以，函数的对称轴为直线． 故选D． 3．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下面是三位同学对某个二次函数的描述． 甲：图像的形状、开口方向与的相同； 乙：顶点在x轴上； 丙：对称轴是直线． 请写出这个二次函数的表达式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线，可得抛物线的顶点坐标为，再由抛物线的形状、开口方向与的相同，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的形状、开口方向与的相同， ∴可设二次函数的表达式为． 故答案为： 4．（24-25九年级上·北京·开学考试）若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【答案】(1)； (2)抛物线开口向下． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）先确定顶点坐标，再设顶点式然后把A点坐标代入求出a即可； （2）利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线 ∴抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为 把代入得 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下． 【经典例题四 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 【例1】（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的部分图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值2，无最小值 B．函数有最大值2，有最小值0 C．函数有最大值2，有最小值 D．函数有最大值，有最小值 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键． 直接根据函数图象即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，y最大； 当时，y最小． 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)a的取值范围是或 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，二次函数的性质， 运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 把代入，根据顶点式得到顶点坐标； 分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 此时顶点坐标为． （2）解：的对称轴为直线， 分以下两种情况讨论： ①当时，如图①． ，且当时，y随x的增大而增大， ，解得． 又； ②当时，如图②． 由题意，得关于对称轴对称的点的坐标为． ，且当时，y随x的增大而减小， ，解得． 又． 综上所述，a的取值范围是或． 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口方向向下 B．形状与相同 C．顶点是 D．函数最大值为4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及拋物线的开口方向的确定，是基础题，熟记性质是解题的关键． 根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、抛物线，抛物线开口向下，此选项正确； B、抛物线形状与相同，此选项正确； C、抛物线顶点坐标是，此选项错误； D、抛物线抛物线开口向下，顶点坐标是，函数有最大值为4，此选项正确． 故选：C． 2．（22-23九年级上·云南红河·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：． 3．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知点，都在二次函数的图像上，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，把和分别代入，求出、的值，根据求出的值进行比较即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 【答案】(1)开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； (2)当时，随的增大而增大； (3)当时，有最小值为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，根据所给解析式可以得解； （）依据题意，根据二次函数的增减性可以判断得解； （）依据题意，由开口向上，函数有最小值，进而可以得解． 【详解】（1）解：由抛物线的解析式为， ∴开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，有最小值为． 【经典例题五 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 【例1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）将二次函数化为的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了将二次函数一般式化为顶点式，掌握配方法是解题的关键． 根据配方法将一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解：∵，即， 故选：A． 【例2】（2025·广东广州·一模）已知． (1)化简T； (2)若是抛物线的顶点坐标，请求出T的值． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查分式的化简求值，抛物线的顶点坐标，理解题意，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键． （1）根据分式的加减运算法则计算即可； （2）将抛物线化为顶点式确定顶点坐标，然后代入（1）中结果求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， 代入（1）中结果得：原式． 1．（24-25九年级上·吉林·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的顶点式，则顶点坐标为，直接确定顶点坐标，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标确定，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由抛物线的解析式为，得，， 故顶点坐标为， 故选：D． 2．（2025·河南信阳·三模）已知抛物线 与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，解题关键是将函数表达式转化为顶点式． 先将函数表达式转化为顶点式，再根据顶点的纵坐标为求解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵顶点的纵坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：A． 3．（23-24九年级上·青海西宁·期中）抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求得函数解析式是解题的关键．根据二次函数图象平移的规律即可得到平移后的函数解析式． 【详解】解：∵， ∴抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是求小球在运动过程中的最大高度． 【答案】小球在运动过程中点额最大高度为 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意后将实际问题转换为数学问题是解题的关键． 根据二次函数的顶点坐标化简即可． 【详解】解：， 当时，最大，为， 小球在运动过程中的最大高度为． 【经典例题六 画y=ax²+bx+c的图象】 【例1】（23-24九年级上·重庆丰都·期末）如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图像（     ） A．y=x2+2x+1 B．y=x2-2x+1 C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2+2x+1 【答案】D 【分析】根据二次函数的图像和性质即可判断． 【详解】解：由A、B的函数的解析式可知抛物线开口向上，故不合题意； C．∵y=-x2-2x+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==-1，故C不合题意； D．∵y=-x2+2x+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==1，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图像，熟知二次函数的性质是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知抛物线． x … … y … … (1)试求出该抛物线顶点坐标． (2)选取适当的数据填入表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可； （2）利用描点法画出二次函数的图象． 此题主要考查了配方法求二次函数顶点坐标以及描点法画二次函数图象，正确利用顶点坐标选取其它点是解题关键． 【详解】（1）解： ， 故该抛物线顶点坐标为：； （2）解：如图所示： 0 1 2 3 1 1 图象如图所示： 1．（24-25九年级上·天津南开·期末）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x＋4图象的顶点在坐标轴上，则m的值一定不是（    ） A．2 B．6 C．﹣2 D．0 【答案】D 【分析】先把二次函数的解析式化为顶点式，再利用该函数图象的顶点在坐标轴上，可以得到关于 的方程，解方程从而可得答案． 【详解】解：∵二次函数 ∴该函数的顶点坐标为 ∵二次函数图象的顶点在坐标轴上， ∴或， 当时， 当时， 或 或 综上：或或 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标在坐标轴上的坐标特点是解题的关键． 2．（24-25九年级·湖北黄石·阶段练习）对于二次函数为，当自变量x<0时，函数图像在 （   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】判断出函数图象开口向上，与y轴交于（0，－2）即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数中的二次项系数a＞0， ∴函数图象开口向上， 当x＝0时，，即函数图象与y轴交于（0，－2）， ∴当自变量x<0时，函数图像在第二、三象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知二次函数，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 ． 【答案】a≤1 【分析】由函数图象可得函数的增减性，即可得答案． 【详解】解：∵由函数图象可知，当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴a≤1， 故答案为a≤1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（24-25九年级上·广东珠海·阶段练习）在平面直角坐标系中，用描点法画出 二次函数的图象． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用描点法画二次函数的图象，根据二次函数的解析式求出图象上的点是解题关键．将x和对应的y值列表，再在平面直角坐标系中描点，最后用曲线连接即可画出图形． 【详解】解：函数的x和对应的y值列表如下： x … 0 1 … y … 1 1 … 描点、连线画出抛物线如图： 【经典例题七 y=ax²+bx+c的图象与性质】 【例1】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）在抛物线（）上有，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质（对称性、增减性），熟记性质是解题关键． 先求出抛物线的对称轴，再根据其对称性、增减性即可求解． 【详解】解：∵抛物线为， ∴图象开口向下，且对称轴为， ∴当点与对称轴的距离越近，对应的函数值越大， ∵点，，在抛物线上， 点A与对称轴的距离为， 点B与对称轴的距离为， 点C与对称轴的距离为， 且， ，即． 故选：B． 【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数．填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握描点法和二次函数的性质是解题关键．分别求出、、、和时，的值，再利用描点法画出函数图象即可得； 【详解】解：对于二次函数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填入表格如下： ⋯ 0 1 2 3 ⋯ ⋯ 0 3 4 3 0 ⋯ 在坐标系中利用描点法画出此抛物线如下： ． 1．（2025·吉林长春·二模）对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．先确定抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质得当时，随的增大而减小，所以对称轴不能在直线的左边，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∵时，随的增大而减小， ∴，解得：， 故：B． 2．（2025·陕西西安·二模）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的是（    ） A． B．点、在二次函数图象上，则 C．当时，随增大而减小 D．若方程有实数根，则 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据抛物线的对称性求出其与轴的另一个交点在点和之间即可判断A；根据二次函数性质可直接判断B，C；根据二次函数性质得出函数值，即可判断D． 【详解】解：抛物线顶点为， 其对称轴为， 其与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， 选项A错误， ， ， 选项B错误， 对称轴， 时，随的增大而增大， 选项C错误． 抛物线的顶点为，开口朝上， 函数值， 直线与抛物线有交点，则．即有实数根，则，选项D正确． 答案：D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系，用“”连接： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，函数有最大值， ∵关于对称点为，， ∴． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·陕西渭南·期中）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)当为何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． （1）利用对称轴公式求抛物线对称轴即可； （2）根据抛物线的性质解答即可； 【详解】（1）解：由题意，抛物线对称轴为直线； （2）∵， ∴当时，随的增大而减小． 【经典例题八 二次函数图象与各项系数符号】 【例1】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，关于，，的符号判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握抛物线的开口向下；对称轴在轴左侧，，同号；抛物线与轴的交点即为的值． 根据开口方向可得，根据对称轴及抛物线与轴的交点可得，，即可得答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在轴左侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于轴正半轴， ∴， 综上所述：，，． 故选：A． 【例2】（23-24九年级上·吉林·期末）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定a、b、c的符号； (2)当x取何值时，；当x取何值时，． 【答案】(1)，， (2)；或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系： （1）根据抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置，利用二次函数图象与系数的关系求解； （2）根据抛物线与x轴交点位置，利用数形结合思想求解． 【详解】（1）解：抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， ， 抛物线与y轴交点位于y轴的正半轴， ， 综上可知，，，； （2）解：由所给图象可得，抛物线与x轴交点坐标为，， 当时，抛物线在x轴上方，当或时，抛物线在x轴下方， 当时，；当或时，． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过观察抛物线的开口方向确定二次项系数a大于0， 然后根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，判断出常数项c大于0， 再根据对称轴的位置推断b的符号与a的符号相反. 【详解】解：首先，观察抛物线的图象，抛物线开口向下，则二次项系数a必须小于0. 抛物线与y轴的正半轴相交，则常数项c必须大于0. 由于抛物线的对称轴在原点的右侧，那么a和b的符号相反，可以推断b必须大于0. 由此，只有选项C符合. 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握各项系数符号与二次函数图像的关系是解题的关键. 2．（2025·河南南阳·模拟预测）若抛物线的图象不经过第一象限，则以下正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数之间的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据题意，得出该函数图象的开口向下，与轴交于负半轴（或原点），对称轴在x的负半轴上，继而判断的符号，结合选项即可求解． 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第一象限， ∴该函数图象的开口向下，与轴交于负半轴（或原点），对称轴在x的负半轴上， ∴， ∴， ∴； 即． 故选D． 3．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如果抛物线其中a，b，c是常数，且在对称轴左侧的部分是y随着x的增大而减小，那么a ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，抛物线开口向上，即可求解． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， 抛物线开口向上， 故答案为： 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数（为常数，）．求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的公共点． 【答案】抛物线与轴总有两个不同的公共点 【分析】根据根的判别式进行求解，当时，二次函数有两个不相等的实根，即与轴总有两个不同的交点，由此即可求解． 【详解】解：， ， ∴抛物线与轴总有两个不同的公共点． 【点睛】本题主要考查二次函数与坐标轴有交点的条件，掌握二次函数图象与轴有两个交点的条件是的知识是解题的关键． 【经典例题九 一次函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（25-26九年级上·全国·单元测试）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．本题可先由一次函数，图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，但图象过点，求得，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：A． 【例2】（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线经过A(6，0)，顶点M在直线y=2x-7上，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称性求出顶点的横坐标，再代入直线y=2x-7，再将A及顶点坐标代入解析式，据此即可求出抛物线的解析式． 【详解】∵， ∴抛物线经过(0，0)， ∵抛物线经过(6，0)， ∴抛物线对称轴为直线x=-=3， ∴b=-6a，， 将x=3代入y=2x-7中得y=6-7=-1， ∴抛物线顶点坐标为(3，-1)， 将(3，-1)代入得， 解得a=， ∴． 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式，根据抛物线的对称性求出顶点的坐标是解题的关键． 1．（24-25九年级上·天津宁河·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键．先根据函数的图象确定系数，再推出一次函数的图象判断即可． 【详解】解：当二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴，则，， 此时一次函数的图象过一、二、四象限，A、B选项错误； 当二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，则，， 此时一次函数的图象过一、三、四象限，C选项正确、D选项错误； 故选：C 3．（2024·四川德阳·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四． 4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点． (1)求 b 的值； (2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点A（4，4）代入进行解答即可得； （2）由图像即可得． 【详解】（1）解：将点A（4，4）代入得， 解得． （2）解：由图像可知，当或时，． 【点睛】本题考查了正比函数，二次函数，解题的关键是掌握正比函数的性质和二次函数的性质． 【经典例题十 反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（2025·安徽·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：二次函数，对称轴直线为， 当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限； 当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限； 只有B选项符合题意， 故选：B ． 【例2】（22-23九年级下·福建福州·期中）如图，小方站在水平球台上打高尔夫球，球台到轴的距离为6米，与轴相交于点，弯道与球台交于点，且米，弯道末端垂直轴于，且米，从点处打出的高尔夫球沿抛物线运动，落在弯道的处，且到轴的距离为3米； (1)点的坐标为______，______；点的坐标为______，______； (2)红色球落在处后立即弹起，沿另外一条抛物线运动，若的最高点坐标为 ①求抛物线的解析式，并说明小球能否再次落在弯道上？ ②在轴上有托盘，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为，求的取值范围（托盘的厚度忽略不计）. 【答案】(1)，12，， (2)①，说明见解析；② 【分析】（1）根据题意得到F点坐标代入解析式求出反比例函数解析式，再求出点D坐标代入抛物线即可得到答案； （2）根据题意求出新抛物线的交点求出A点坐标，将横坐标及横坐标加2代入抛物线即可得到d的取值范围； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵，球台到轴的距离为6米， ∴， 将代入得， ， ∴， ∵到轴的距离为3米， ∴，故， 将代入得， ，解得：， 故答案为：，12，，； （2）解：解：①∵抛物线顶点， 设抛物线解析式为， 把代入，解得， ∴的表达式为， ∵点A在反比例函数，且米， ∴点A的坐标为，当时，， ∴与弯道不相交，小球不能落在弯道上. ②当时，； 当时，， 综上，； 【点睛】本题考查二次函数与反比例函数综合问题，解题的关键根据题意找点代入求出解析式，求出交点． 1．（24-25九年级上·河南商丘·期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数的图象与二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间的关系是解答本题的关键． 直接利用二次函数图象经过的象限得出，的取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案． 【详解】解：A、二次函数开口方向向上，则，对称轴位于轴的右侧，则，异号，即，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故A选项错误； B、二次函数开口方向向上，则，对称轴位于轴的左侧，则，同号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故B选项错误； C、二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧，则，异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故C选项错误； D、二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧，则，异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故D选项正确； 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质．根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】解：A、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； B、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； C、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； D、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，本选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级·上海·自主招生）反比例函数与二次函数的图像的交点个数为 ． 【答案】3个 【分析】根据数形结合的思想进行判断即可； 【详解】，画出图像如图所示： 即可得到有三个交点． 故答案是3． 【点睛】本题主要考查了二次函数与反比例函数的图象问题，准确分析是解题的关键． 4．（24-25八年级下·山东临沂·期末）在学习函数的中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象； … 0 1 2 3 4 5 … … 0 3 … （2）根据函数图象，小明写出了该函数性质； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是轴； ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值； ③该函数图象与坐标轴只有一个交点； ④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；其中正确的是__（只写序号） （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1），，见解析；（2）②③④；（3）或 【分析】（1）分别代入x求y． （2）观察图象，逐条分析判断即可． （3）根据图象及不等式分类讨论x＞0与x＜0解集． 【详解】解：（1）当x=-3时， 当x=3时， 故填：， 补全图象． （2）①该函数图象不是轴对称图形，故此条性质不正确； ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值，正确； ③该函数图象与坐标轴只有一个交点，正确； ④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，正确； 故答案为：②③④； （3）由图象得，或 【点睛】本题考查函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求不等式． 【经典例题十一 两个二次函数图象综合判断】 【例1】（23-25九年级上·浙江杭州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象． 【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标． 【例2】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 【答案】(1)为2，为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据，对称轴，求出的值，再把点代入函数即可求出的值； （2）根据顶点坐标公式得出和，再利用得出； （3）分情况根据对称轴的位置推出结论即可． 【详解】（1）解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）∵函数的最大值为， ∴，， ∵函数的最小值为， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，且， ①若，， 则， 即， ∵，， ∴， ②若，， 则， 即， ∵，， ∴， 综上可知，． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是解题的关键． 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得＝． 【详解】设A（m，m2），则B（m，m2）， ∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D， ∴C（2m，m2），D（m，m2）， ∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m， . 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关键． 2．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的特点进一步求解即可. 【详解】∵二次函数的图像为抛物线， ∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键. 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ． 【答案】或 【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， ∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ∴，， 又∵这条抛物线与抛物线形状相同， ∴，即， ∴这条抛物线的解析式为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键． 4．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知：函数． （1）当时， ①求随增大而增大时，的取值范围； ②当时，求的取值范围； ③当时，设的最大值与最小值之差为，当时，求的值． （2）若，连结.当此函数的图象与线段只有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①或；②；③或；（2）或或． 【分析】（1）①利用函数图像，直接作答即可； ②观察函数图像直接作答即可； ③分、、、四种情况分类讨论即可； （2）利用两个函数的对称轴都是直线，分类讨论所处的位置，即可得出答案． 【详解】（1）①或. 当时，函数变为 ， 函数图像如图所示： 函数的对称轴是直线， 所以通过观察图像可以得到当随增大而增大时，的取值范围是：或； ②； 通过观察图像可以得到：当时，； ③当，即时， ， 当时，由图象可知 当时， 由， 得， 当时， 舍去. 综上所述:或； 或或， ∵ ∴的对称轴为直线：， 的对称轴为直线：， ①由（1）可知：当时，函数与AB有两个交点，一个为（0,2），一个为（），满足条件； ②当时，函数变为：，此时只有一个交点，不合题意； ③当时，函数变为：，此时只有一个交点，不合题意； ④当时，此时的顶点坐标为， ∵， ∴与AB无交点； 对于函数一直小于0，因此与AB无交点； ⑤当时， 对于函数来说，当时，有最小值此时，因此函数与AB最多有一个交点， 对于函数，当时，有最大值，为，与AB无交点； ⑥当时， 对于函数来说，，因此与AB必有一个交点， 只须保证：与AB有一个交点即可， 当时，当时，有最大值为，根据对称性可知：此时与AB有两个交点， ∴当时，有三个交点，不合题意； 当时， 函数变为：，此时与AB共有两个交点； 当时：与AB有一个交点， ∴此时函数与AB有两个交点； ⑦当时， 对于函数：，与AB无交点， 当函数过时， 得：，解得：， ∵， ∴，此时与AB有两个交点， ∴当时，与AB有两个交点； 综上所述：当或或时，与AB只有两个交点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，利用了数形结合思想，分类讨论思想，牢记图像与性质以及对称轴不确定性的分类讨论思想的利用是解决本题的关键． 【经典例题十二 根据二次函数的图象判断式子符号】 【例1】（23-24九年级上·广西贵港·阶段练习）如图，已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）．其中正确的结论有（   ） A．①②⑤ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴及与y轴交点位置判断出， ，，据此可判断①；根据图当时所对应点的位置可判断②；由抛物线的对称性以及图象可判断③；由对称轴为及时的函数值可判断④；由于抛物线的顶点坐标及时的函数值可判断⑤． 【详解】解：由于抛物线的开口向下，因此， 由于抛物线的对称轴是直线，所以、异号，而，所以， 由于抛物线与轴的交点在轴的正半轴，因此， 所以， 因此①不正确； 由图象可知，当时，，即， 因此②正确； 由抛物线的对称性以及图象可知， 与对应的函数值相同，等于c，c大于0， 当时，， 因此③正确； 因为对称轴为，即， 而当时，， 所以， 即， 因此④不正确； 由于抛物线的顶点坐标为，即时，的值最大，即最大， 当时，， 即， 因此⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②③⑤， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答此题的关键是熟练掌握：抛物线的开口方向确定a的正负，对称轴的位置及a的符号确定b的符号，与y轴交点的位置确定c的符号． 【例2】（24-25九年级上·福建漳州·期末）我们知道： （1）观察以上结果，可以发现： ； ； （2）若点P（m,n)在抛物线上，且n>0，试化简： 【答案】(1)a,-a;(2)-m+1 【分析】(1)根据题目和二次根式的性质可直接得出结果； （2）由点P（m,n)在抛物线上可得，由n>0得据此推出 m-1即可求解. 【详解】（1）当a0时，，当a时，； （2）∵点P（m,n)在抛物线上， ∴ ∵n>0， ∴ ∴ ,∴ ∴m-1 ∴ . 故答案为：(1)a,-a;(2)-m+1. 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，抛物线上点的坐标特点. 1．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由图象可得：，，， ，故①正确； 当时，，故②正确； 当时，， 由得：， 则，即，故④错误； ，， ，故③正确； 综上，①②③正确，共3个． 故选：C． 2．（24-25八年级下·吉林·期中）如图，二次函数的对称轴是直线，且经过点，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质． 根据二次函数开口向下，与轴交于正半轴，得到，，由此即可判断选项A；再由二次函数对称轴为直线，得到，由此即可判断选项B；当时，，由此即可判断选项C；求出二次函数与轴的另一个交点坐标为，即可判断选项D． 【详解】解：二次函数开口向上，与轴交于负半轴， ，， ，故A结论错误，不符合题意； 二次函数对称轴为直线， ， ， ，故B结论错误，不符合题意； 当时，， ，故C结论错误，不符合题意； 二次函数经过点，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点坐标为， 当时，， 故D结论正确，符合题意． 故选D． 3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为3，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的不等式的解集为；； ④（t为任意实数）．其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查二次函数的图象及性质； 熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．先判断、、的值即可判断①；然后根据对称轴为得到，然后代入当时即可判断②；利用数形结合即可判断③；由时抛物线有最小值，即可得到，然后得到结论判断④. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 又∵对称轴位于y轴右侧， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵对称轴为， ∴，即， ∵当时，， ∴，故②正确； 借助图象可得关于x的不等式的解集为或，故③错误； ∵当时，二次函数有最小值， ∴， ∴，故④正确； 正确的是②④， 故答案为：②④． 4．（2022·江苏南京·一模）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求的值； (2)点是该函数图象上两点，若求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将，代入函数解析式求解； （2）由抛物线解析式及可得． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得， 故的值为，的值为； （2）解：由（1）得 点是该函数图象上两点， ， ， ， 点是图象上两点， ． 【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握待定系数法求函数解析． 【经典例题十三 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】根据纵坐标相等的两个点是对称点，对称点的横坐标和的一半是对称轴解答即可． 本题考查了对称点的判定，对称轴的计算，熟练掌握对称点的判定和对称轴的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和是对称点， 故抛物线的对称轴为直线， 故选：D． 【例2】（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，存在，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据抛物线的对称性解决问题即可． （2）利用二次函数性质存在点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离的情况即可解答． 【详解】（1）解：当，，，， 点和抛物线与y轴的交点关于直线对称， ， ， 抛物线的对称轴为直线． （2）解：，， 则，， ， ，， ，， 在的左侧，且点N在对称轴的右侧， 、是抛物线上任意两点，存在， ，， 1．（2025·四川乐山·模拟预测）已知二次函数的图象上有两点，若，当函数值取得最大值时，对应的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，顶点坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据两个对称点确定抛物线的对称轴，判定顶点为最高点即可确定的值． 【详解】解：由抛物线上可知，纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， 所以抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线的顶点为最高点， 所以，当函数值取得最大值时，对应的值为1． 故选：B 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上、两点的高度相同，到墙边的距离分别为，．若该墙的长度为，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了根据对称点求抛物线对称轴．根据B和C到的距离，求出中点到的距离，然后求出一个抛物线的宽度，最后根据墙的长度即可求解． 【详解】解：∵抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边的的距离分别为，， ∴中点到的距离为， ∴每个抛物线宽， ∵， ∴可以连续绘制6个这样的图案， 故选：B． 3．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由二次函数的顶点坐标知对称轴是直线，又图象与x轴的一个交点的横坐标是，从而根据对称性可得，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标． 【详解】解：由题意，二次函数的顶点坐标为， 对称轴是直线． 又图象与x轴的一个交点的横坐标是， 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为：． 故答案为：1． 4．（24-25九年级上·北京密云·期末）已知抛物线，，是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线． (1)当时． ①直接写出b与a满足的等量关系 ； ②若，则 ． (2)已知，，点在抛物线上．当时，总有，求t的取值范围． 【答案】(1)①；②4 (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可； ②利用二次函数的对称性即可求解； （2）由题意可知在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，据此即可得到关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：①∵， ． 故答案为：； ②∵是抛物线上两点，， ∴关于对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ， 故答案为：4； （2）解：由题意可知，在对称轴的左侧，在对称轴的右侧， ∵点在抛物线上，， ∴点关于对称轴的对称点为， ， 当点在对称轴的左侧时， ∵当时，总有， ∴，解得； 当点在对称轴的右侧时， ∵当时，总有， ∴，解得：； ∴的取值范围是或． 【经典例题十四 根据二次函数的对称性求函数值】 【例1】（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 【例2】（2025·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是解题关键． （1）①将代入即可求出该抛物线的对称轴； ②根据二次函数的性质即可求解； （2）因为不确定，所以要分类讨论，根据和分两种情况讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】（1）解：①将代入得， ∴该抛物线的对称轴为直线； 即该抛物线的对称轴为直线； ②∵， ∴该抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 分两种情况： ①当时，，在对称轴右侧， 当和是都在对称轴右侧，此时随增大而增大， ∵对于，，都有， ，， ； 即 当在对称轴左侧时，关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 此时随增大而增大， ∵， ∴， ∵对于，，都有， ，即， ， ∵， ∴此时没有符合条件的a存在； 综上分析可知：此时； ②当时，，在对称轴左侧， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，随增大而减小， ∵对于，，都有， ， ； 综上，的取值范围为或． 1．（2025·安徽滁州·二模）已知是抛物线上的点，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线，得开口方向向上，对称轴为直线，则当，，当，则，据此进行逐项分析就，即可作答． 【详解】解：∵抛物线，且， ∴开口方向向上，对称轴为， ∴越靠近对称轴的所对的函数值越小， 则当，，故A、B选项不符合题意； 当，则，故C选项符合题意； 当，则，故D选项不符合题意； 故选：C 2．（2025·河南周口·一模）已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据当和当时的函数值相同可得对称轴，再根据对称性可得当和当时的函数值相同，据此可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同， ∴， 故选：C． 3．（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）已知，是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入二次函数关系式即可求解． 【详解】解：∵，是二次函数图象上不同两点， ∴关于对称轴直线对称， ∴， ∴， 当时， ． 故答案为：2023． 4．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）． (1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）将抛物线的对称轴为求解即可； （2）分为两种情况，，根据，结合抛物线的增减性建立不等式解答即可． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为 （2）∵，所以分为两种情况， ①当时，对称轴为，开口向上， ∵,, ∴此时、都在对称轴的右侧， 又∵当时，y随x的增大而增大， 结合图象，若对于，，都有 则：， ∴ ②当时，对称轴为，开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵,, ∴此时在对称轴的右侧，在对称轴的左侧, 又∵抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点为， 结合图象，若对于，，都有． ∴   ∴   ∴ 综上，a的取值范围是或． 【经典例题十五 y=ax²+bx+c的最值】 【例1】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数的开口向上，对称轴为直线，当时，取得最小值为，再分别求出当和时的的值，即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线，当时，取得最小值为， ∵， ∴当时，，当时，， ∴当时，的取值范围是， 故选：C． 【例2】（2025·江苏南通·模拟预测）阅读以下材料： 如果两个正数a，b，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题： ①已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； ②已知，则自变量x取何值时，函数有最小值，并求出最小值． 【答案】①，；②时，函数有最小值，最小值为4 【分析】本题考查了求最值的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． ①把原函数化成，即可得到解答； ②由题意可得，得到时，y的最小值为4 ． 【详解】解：①∵， 则，， 故， 当且仅当，即时，函数有最小值为， 故答案为：，； ②， ∵，则， 故， 当且仅当，即时，y的最小值为4， 故自变量时，函数有最小值，最小值为4． 1．（24-25九年级下·安徽六安·开学考试）已知，，，则k的最大值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，将k化为是解答的关键．先根据已知得到，进而得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】∵， ∴． ∴． ∵，， ∴当时，k取最大值，最大值为5． 故选：B． 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值，有最大值2 D．有最小值，有最大值3 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的最值，正确识别函数图象，理解最值的意义是解题的关键． 依据题意，由函数图象可看出其最大值和最小值，逐个判断可以得解． 【详解】解：由图象可知当时，有最小值 ，当时，有最大值 3 ， ∴函数有最小值，有最大值3， 故选：D． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）实数x，y满足，设，则w的最大值是 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了二次函数的最值问题．由已知可以确定，将，用x表示，并用配方法表示出顶点形式，进而根据x的取值范围，求出w的最大值． 【详解】解：由，得知， 又， ， 由此可见，当时，w随着x的增大而减小， 又因为， 故当时，w的最大值是0． 故答案为：0． 4．（24-25九年级上·全国·期末）某商品的进价为每件30元，以每件50元售出，每周可卖出200件．现决定降价促销，发现每降价2元，每周可多卖出20件． (1)当销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？ (2)当售价定为何值时，每周的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)销售单价定为40元时，商店可获利3000元 (2)当定价为50元时，每周的销售利润最大．最大利润是4000元 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是转化为函数问题，根据函数的性质求解． （1）设销售单价定为元，根据题意列出方程即可； （2）根据二次函数最值的求法计算即可． 【详解】（1）解：设销售单价定为元，降价后销量为：， 由题意得：， ， ， ， ， ∴，（舍去）， ∴， 答：销售单价定为40元时，商店可获利3000元； （2）解：设当售价定为时，每周的销售利润为， 由（1）知： ； ∴当时，每周的销售利润最大．最大利润是元． 答：当定价为50元时，每周的销售利润最大．最大利润是4000元． 【经典例题十六 利用二次函数对称性求最短路径】 【例1】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 【例2】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A，点B和点C的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标． 【答案】（1）A（﹣2，0），B（1，0），C（0，﹣2）．（2）P（，） 【分析】（1）利用二次函数图像与x轴交点时，y=0，代入式子即可求出x值，即可求出A、B两点坐标，图像与y轴相交，x=0，带入可以求出y值，即可求出C点坐标； （2）有题可知本问考查的是“两定一动”，故需要利用“将军饮马”的方法进行解题，B点关于对称轴的对称点为A点，连接AC，AC与对称轴的交点即为P点，求出AC所在直线解析式，之后求出与对称轴交点即为P点坐标． 【详解】解：（1）由 y＝0，得 x2+x-2＝0 解得 x＝-2，x＝1， ∴A（-2，0），B（1，0）， 由 x＝0，得 y＝-2， ∴C（0，-2）． （2）连接AC与对称轴的交点即为点P． 设直线 AC 为 y＝kx+b， 则﹣2k+b＝0，b＝﹣2： 得 k＝﹣1， y＝﹣x﹣2． 对称轴为 x＝， 当 x＝时， y＝-2＝， ∴P（，）． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的基本性质，以及“两定一动”的动点问题，熟练掌握二次函数中的综合运用是解题的关键． 1．（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（    ） A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，） 【答案】D 【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1， 连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点， 当x＝﹣1时，y＝﹣1， 当x＝2时，y＝﹣4， 所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）， 设直线A′B为 当x=0时，y=-2 即C（0，-2） 故选D 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键． 3．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，抛物线经过点，与轴交于点过点且平行于轴的直线交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）6；（3）存在，，理由见解析． 【分析】（1）将点代入函数解析式求解即可确定函数解析式； （2）当时，，可确定点B的坐标，然后由对称轴及轴，可得点C的坐标，据此得出，，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）根据B、C关于抛物线的对称轴对称，可得点P为直线AC与抛物线对称轴的交点，此时，的周长最小，设直线AC的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后联合对称轴求解即可确定点P的坐标． 【详解】解：（1）将代入中， 得：， 解得： 抛物线的解析式：； 当时，， ∴， 由（1）知，抛物线的对称轴：， ∵轴， ∴点、关于对称轴对称，则， ，， ； （3）如图所示：点B、C关于抛物线的对称轴对称， ∴点P为直线AC与抛物线对称轴的交点，此时，的周长最小， 设直线AC的解析式为，代入、，得： ， 解得 ， 直线：； 点P为直线AC与抛物线对称轴的交点， ∴， 解得 ， ． 【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数与一次函数交点及二次函数的基本性质等，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键． 【经典例题十七 二次函数图象的平移】 【例1】（2025九年级上·浙江·专题练习）把抛物线先沿轴翻折，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点以及平移的规律是解答此题的关键．根据点关于轴对称的特点即可得出，即，然后根据平移的规律即可得到答案． 【详解】解：∵点关于轴对称时“横坐标相等，纵坐标互为相反数”， ∴把抛物线先沿轴翻折得到，即， 再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为． 故选：C． 【例2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）把抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线．试确定a，h，k的值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移特点，得出，，，然后再求出，，即可． 【详解】解：∵抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线， ∴，，， ∴，，． 1．（2025·甘肃张掖·三模）将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数平移问题，根据平移后的抛物线的表达式为：，再根据平移后的抛物线与抛物线重合，得出，求出结果即可． 【详解】解：抛物线的表达式为， 平移后的抛物线的表达式为： ， ∵平移后的抛物线与抛物线重合， ∴， 解得． 故选：A． 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，根据“左加右减，上加下减”平移变化规律求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线为． 故选：C 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，将抛物线解析式化为顶点式，根据平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【详解】解：抛物线， 将其向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得到新抛物线为， 即． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象如下图所示，直接在平面直角坐标系中画出二次函数和的图象，并解决下列问题： 将抛物线向_______平移_______个单位得到抛物线． 【答案】图见解析，左，6 【分析】本题主要考查了画二次函数图象、二次函数的平移等知识点，正确画出函数图象成为解题的关键． 先在坐标系内画出二次函数和的图象，然后根据函数图象即可解答． 【详解】解：二次函数和的图象如图所示． 所以将抛物线向左平移6个单位得到抛物线． 故答案为：左，6． 【拓展训练一 二次函数的图像和性质综合问题】 【例1】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图象得到的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：从一次函数的图象开始： A、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象一致， 故A图象正确，符合题意； B、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故B图象错误，不符合题意； C、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴右侧，与选项图象不一致， 故C图象错误，不符合题意； D、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故D图象错误，不符合题意； 故选：A． 【例2】（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． (1)当时，求的值； (2)点是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是或． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）当时，抛物线，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）由二次函数的性质可得抛物线的对称轴为，且．然后分和两种情况，分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线． 所以该抛物线的对称轴为，即． （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为，且． 当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立； ①若，此时， 则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （ⅰ）当时，，成立． （ⅱ）当时， 点关于对称轴的对称点为． ． ． 当时，成立． （ⅲ）当时，不合题意，舍去． ②若，此时，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 满足题意． 综上所述，的取值范围是或． 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由抛物线为，则抛物线开口向上，对称轴是直线，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合，，是抛物线上的点，可得，，，，进而可以得解． 【详解】解：∵抛物线为， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， 又∵，，是抛物线上的点， ∴，，，， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）二次函数的图象如图，给出下列五个结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确结论的个数是(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 由图可知，二次函数开口向下,，与x轴两个交点，对称轴，当时,，从而得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为，图象与y轴正半轴相交， ∴， ∴， 故①不正确； 由图象可知当时,， ∴， 故②正确； ∵对称轴为，与x轴的一个交点在和之间， ∴与x轴的另一个交点在和之间， ∴当时,， ∴， 故③不正确； ∵对称轴为， ∴，即， 故④正确； ∵， ∴， 故⑤不正确． ∴正确的个数有2个， 故选：C． 3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如果抛物线的顶点的轨迹是一个规则的图形，那么称这个轨迹为该抛物线的“顶线”．那么抛物线的“顶线”是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的顶点坐标公式，将抛物线的顶点的横坐标和纵坐标分别用含有a的代数式表示出来，进而可得与之间的关系式． 本题主要考查了抛物线的顶点坐标公式，熟记公式是解题的关键． 【详解】解：根据抛物线的顶点坐标公式可得抛物线的顶点的 横坐标为， 纵坐标为， ∴， ∴抛物线的“顶线”是． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知二次函数 (1)用配方法将化为的形式；并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)直接写出当取何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)画图见解析 (3)当时，随的增大而减小 【分析】（）利用配方法求出二次函数的顶点式，进而得到对称轴和顶点坐标； （）利用五点法画图即可； （）根据二次函数的性质解答即可； 本题考查了二次函数的顶点式，画二次函数图象，二次函数的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：当时，，即点，对称点为； 当时，，即点，对称点为； 画函数图象如下： （3）解：当时，随的增大而减小． 【拓展训练二 函数及图像的综合判断问题】 【例1】（2025·宁夏银川·一模）同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限， 当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限， ∴符合题意的是选项， 故选：． 【例2】（2023·河南商丘·一模）中考复习中，小明对初中学习过的三个函数进行总结，并把三种函数组合成分段函数 小明对这个分段函数利用函数的学习方法进行分析，以下是小明的分析过程，请补充完整： (1)列表： x 0 1 2 3 4 y 1 2 3 2 1 0 2 n 0 解析式中的______，表格中的______； (2)描点，连线： 请画出函数图象； (3)分析图象：根据函数图象，写出函数的一条性质：____________； (4)拓展研究： ①若直线与该函数图象有一个交点，则k的取值范围：____________； ②若直线与该函数图象有两个交点，则k的取值范围：____________； ③若直线与该函数图象有三个交点，则k的取值范围：____________； ④若直线与该函数图象有四个交点，则k的取值范围：____________； ⑤若直线与该函数图象有四个交点，则k的取值范围：____________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)该函数有最大值3（答案不唯一） (4)①3；②或；③或；④；⑤ 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先描点，然后连线即可； （3）根据（2）中所画函数图象进行求解即可； （4）根据函数图象进行求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：，； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由函数图象可知，该函数有最大值3； 故答案为：该函数有最大值3（答案不唯一）； （4）解：①由函数图象可知，当时，直线与该函数图象有一个交点， 故答案为：3； ②由函数图象可知，当 或，直线与该函数图象有两个交点， 故答案为：或； ③由函数图象可知，当或时，直线与该函数图象有三个交点， 故答案为：或； ④由函数图象可知，当时，直线与该函数图象有四个交点， 故答案为：； ④由函数图象可知，当，即时，直线与该函数图象有四个交点， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数综合，正确画出对应的函数图象是解题的关键． 1．（24-25九年级上·广东江门·期末）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在一、三象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限， ∴， ∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴， ∴， ∴一次函数经过二、三、四象限， 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东韶关·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象判断系数的符号，式子的符号，根据图象判断①和②，特殊点判断③和④即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴，；故②正确； ∴；故①错误， 由图象可知：当时，，故③正确； 当时，， ∵， ∴；故④正确； 故正确的结论为②③④； 故选B． 3．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）过点的抛物线与轴交点的横坐标分别为，且，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据题目给出的信息，画出二次函数图象，利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：过点的抛物线与轴交点的横坐标分别为，且，，画出图象如图所示， ∵抛物线开口向下，∴， ∵对称轴在y轴左侧，∴， ∵，∴，①正确； ∵，， ∴，即， ，，②正确； 根据图象得，，， 第二个不等式乘以3加上第一个不等式得，解得，，③正确； ∵，∴， ∵，∴，， ，④正确； 故答案为：①②③④． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）对于方程m2+2（1+）=0，用一般的方法去分母将是一个一元三次方程，且好像没有整数解．请你考虑可以采取什么特殊方法找到它的解的范围，要求这个范围在相邻的两个整数之间，并写出这两个整数． 【答案】m2+2（1+）=0的解在﹣2与﹣1之间． 【分析】根据等式的性质，可化简方程，根据函数与方程的关系，可得答案． 【详解】解：由等式的性质，得 m2+2=﹣． 在同一平面直角坐标系内画出n=m2+2，n=﹣， ， 由图象，得 n=m2+2与n=﹣的交点坐标在﹣2与﹣1之间， 即方程m2+2（1+）=0的解在﹣2与﹣1之间． 【点评】本题考查了函数图象，利用等式的性质把方程转化成m2+2=﹣，利用函数与方程的关系是解题关键． 【拓展训练三 函数及图像相关推导求值】 【例1】（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，得出，两点关于抛物线的对称轴对称，据此得出，之间的关系，再将点和点代入二次函数解析式，进一步得出，之间的关系，最后用表示出和即可解决问题．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，在二次函数图象上， ∴，两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵，在二次函数图象上， ∴，， ∴， ∴， ∵在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 【答案】(1)此二次函数图象的对称轴是直线 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2），正确设二次函数的顶点式是解题关键． （1）先求出二次函数经过点和，再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得； （2）先根据（1）设二次函数的解析式为，再求出，判断出，，从而可得，据此建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，， ∴这个二次函数的图象经过点， 又∵这个二次函数的图象经过点， ∴此二次函数图象的对称轴是直线． （2）解：由（1）可设二次函数的解析式为， ∵这个二次函数的图象上存在两点，， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 1．（2025·内蒙古·模拟预测）抛物线经过四点，且，若存在正数，使得当时，总有成立，则正数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，已知抛物线上对称的两点，求抛物线的对称轴；由抛物线经过点和可知，对称轴为直线；点的横坐标在内，其关于对称轴的对称范围为；为确保当在时，需或，结合即可求解； 【详解】解：由点和纵坐标相同，抛物线的对称轴为直线； 抛物线在与部分是对称的；若在此范围内，则可能与相等； 为避免，需使完全不在内； 则应满足或； 故的取值范围为或，对应选项C； 故选：C． 2．（2025·福建泉州·模拟预测）抛物线图象上有三点，，．其中，，，以下说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．若，、、三点在对称轴的同一侧 C．当，存在 D．当，总有 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象性质，涉及对称轴、开口方向及函数值比较．掌握二次函数图象性质是解题的关键． 根据对称轴公式求得对称轴判断A错误；根据二次函数单调性判断B错误，C正确，D错误． 【详解】A．抛物线为，故对称轴为，故A错误； B．抛物线开口向下（），对称轴为．左侧（）函数递增，右侧（）函数递减．若，可能存在三点分布在对称轴两侧的情况．例如，在左侧，、在右侧，此时最大，最小，与条件一致，故三点未必在同一侧，故B错误； C． 当时，存在．例如：，取，，，计算得，，，满足，故C正确； D． 当时，并非总有．例如：，取，，，计算得，，，此时，不符合题意，故D错误． 综上，正确答案为C． 3．（24-25九年级下·安徽池州·期中）抛物线经过点． （1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ． （2）若对于，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可知抛物线过点，，利用抛物线的对称性即可求解； （2）先求出抛物线的对称轴是直线，再分两种情况：当时；当时；分别结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，， 若，则抛物线过点，， 该抛物线的对称轴是直线， 故答案为：1； （2）抛物线经过点，，，， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ①当时，此时抛物线开口向上， 当时，随着的增大而增大， 对于，，都有， ， ，不合题意，舍去； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， 对于，，都有， ， 解得， 综上，当时，都有． 故答案为：． 4．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）将抛物线解析数化为顶点式，即可求解； （2）根据抛物线解析式得到抛物线的对称轴为．根据抛物线的开口方向分两种情况讨论：①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．再分别分三种情况讨论三个点的函数值大小，即可求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为． 对于，，； ①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． ∵，， ∴，． 设点关于对称轴的对称点为， 则，． ∴． ∴． （Ⅰ）当时，有． ∵， ∴， ∴，不符合题意． （Ⅱ）当时，有． ∵，， ∴． ∴，符合题意； （Ⅲ）当时，令，则． ∴，不符合题意． ②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． ∵，， ∴． 设点关于对称轴的对称点为， 则，． ∴． （Ⅰ）当时，有，． 令，则，即． ∴，不符合题意． （Ⅱ）当时，有，则． 若，有，则，符合题意； 若， 设点关于对称轴的对称点为， 则，． ∴． ∴， ∴． ∴，符合题意． （Ⅲ）当时，有． ∴，不符合题意． 综上所述，的取值范围是或． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数解析式特征是关键．对于二次函数，其顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象上有两点，则的值是（    ） A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定 【答案】B 【解析】直接把各点坐标代入二次函数的解析式，求出y1，y2的值即可. 【详解】∵二次函数y=−(x−2)2+a 的图象上有两点(-1，y1)，(5， y2)， y1 =-(-1-2)2 +a， y2 = (5-2)2+a， ∴y1-y2=-(-1-2)2+a+ (5-2)2-a=-×9+×9=0， 故选B. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，包括图像上点的坐标特点，比较函数值的大小，熟悉并灵活运用二次函数的图像和性质是解题的关键. 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，数形结合是关键．根据的图象的开口向下，得出，抛物线的对称轴在x的正半轴，得，整理得，因为函数与y轴的交点在正半轴，得，即可作答． 【详解】解：由图象的开口向下可知， ∵抛物线的对称轴在x的正半轴， ∴对称轴， ∴，， ∵函数与y轴的交点在正半轴， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级上·贵州·期中）已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，读懂图象，找到交点坐标是解答关键． 根据图象可知二次函数和一次函数的图象相交两点来求解． 【详解】解：由图象可知 二次函数与一次函数的图象的交点坐标是和， 所以，． 故选：B． 5．（2024九年级·全国·竞赛）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数和一次函数图像，二次函数的性质，观察图像可知：，，，得出二次函数的图像开口向上，对称轴，与y轴的交点在y轴的负半轴，即可得出答案． 【详解】解：观察图像可知：，，， ∴二次函数的图像开口向上，对称轴，与y轴的交点在y轴的负半轴， 故选：B． 6．（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 【答案】B 【分析】分两种情况讨论，通过解不等式和，可对各项进行判断． 【详解】解：当时，， 整理得， ， ，解得或； 当时，， 整理得， ， ，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 7．（2025·江苏扬州·一模）通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判断新函数的图象与一次函数的图象的交点个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值二次函数图象与一次函数图象的交点个数判断，掌握函数图象的画法，数形集合是解题的关键．先画出两个函数的图象，然后数形结合就可以得出答案． 【详解】解：， 或时，，当时，， 过、、 ， 其开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 将的图象在轴下方的部分对称到上方，得到的图象， 一次函数，当时，，当时，，当时，，故一次函数过和和，如图所示： 从图象可知，交点个数为3个， 故选：C． 8．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据当时，可判断A；根据图象可得，即，即可判断B、C；由图象可知，结合二次函数的对称性可得时，可判断D． 【详解】解：由图象可知，当时，， ∴， ∴，故A错误，不合题意； ∵，， ∴，， ∴，，故B、C错误，不合题意； ∵二次函数的图象关于对称，且， ∴当时，， ∴， ∴，故D正确，符合题意； 故选：D． 9．（23-24九年级上·江西宜春·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与系数的关系，由二次函数图象判定系数大小、由系数正负决定一次函数与反比例函数的图象，牢记各函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数的图象开口向下 对称轴在轴左侧，由左同右异得 函数图象与轴交点位于轴正半轴 则反比例函数的图象位于一、三象限 一次函数图象的图象位于二、三、四象限 所以选项符合题意． 故选：． 10．（2024·山东淄博·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①函数图象的顶点在第四象限内； ②和3是关于的方程的两个根； ③，其中正确的结论个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表格数据得出对称轴为直线，当时，与其对应的函数值，则，，即可判断①；根据二次函数的对称性可知：关于对称轴的对称点为，即可判断②；根据对称轴可得，根据当时，与其对应的函数值，得出，进而可得，根据对称性可得二次函数的图象过点，，得出，当时，得出，结合，即可判断③． 【详解】解：①根据图表可知： 二次函数的图象过点，， 对称轴为直线，， 当时，与其对应的函数值， ，， 函数图象的顶点在第四象限内；故①正确： ②根据二次函数的对称性可知：关于对称轴的对称点为， 即和3是关于的方程的两个根， ②正确； ③对称轴为直线， ， ， 当时，与其对应的函数值， ，即， ． 对称轴为直线，二次函数的图象过点，， ，当时，， ， ． ， ③错误． 故选：C． 11．（24-25九年级下·全国·随堂练习）若点在抛物线上，写出一个在抛物线上的点（顶点除外）： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．根据二次函数图象上点的坐标特征，把点代入，即可求出，然后令，则，进而可得点抛物线上． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， 令，则， ∴点抛物线上． 故答案为：． 12．（24-25九年级下·全国·随堂练习）把二次函数化为的形式： ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）若函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质．熟悉二次函数的性质求出a与b的正负是解题的关键． 通过观察二次函数图象的开口方向和对称轴位置来确定a、b的正负，再根据一次函数中a、b的正负判断其图象经过的象限即可． 【详解】解：观察二次函数的图象， 可知图象开口向上．即． 由图象可知对称轴，即， 又因为已经得出，且， 则． 对于一次函数，其中，， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故答案为：四． 14．（24-25九年级下·安徽六安·期中）已知抛物线，点，是抛物线上两点，且． （1）抛物线的对称轴为 （用含有的式子表示）； （2）当时，始终满足，则的取值范围是 ． 【答案】 直线 或 【分析】本题考查了抛物线的对称性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）令，可求得抛物线与x轴的两个交点坐标，即可求得对称轴； （2）分与两种情况考虑，利用二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：（1）令，则； ∵， ∴； 即抛物线与x轴交于点， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：直线； （2）当时，， 抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小， ∵当，且时，始终满足， ∴， 解得：； ∴； 当时，， 抛物线开口向下，抛物线对称轴的右侧，函数值y随自变量的增大而减小； ∵当，且时，始终满足， ∴， 即， ∴； 综上，或； 故答案为：或． 15．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有 ．（填写正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等；①先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，即可判断①；根据对称性得出，即可判断②，根据二次函数的性质得出最大值为，即可判断③；取，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，即可判断④． 【详解】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， ∴，故①正确； ∵且， 设，则关于对称， ∴，故②错误， ∵时，函数有最大值为， 若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则纵坐标为， ∴ 即，故③正确 取，连接，，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为．故④正确 故答案为：①③④． 16．（22-23九年级上·青海西宁·阶段练习）（1）求抛物线的顶点坐标及对称轴方程； （2）当为何值时，随的增大而增大 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴方程为；（2） 【分析】本题考查了二次函数的性质．解题时，利用了数形结合的数学思想，减少了繁琐的计算过程． （1）由顶点式可得顶点坐标及对称轴方程． （2）开口向下时在对称轴的左侧随的增大而增大，可得到答案． 【详解】解：（1）， 抛物线顶点坐标为，对称轴方程为． （2）， ∴抛物线开口向下， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大． 17．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）将抛物线（a为常数）的图象向上平移1个单位后，图象经过点． (1)求原抛物线的函数表达式． (2)已知点，在抛物线上． ①求证：； ②若，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)①见解析；②或． 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意得，，从而图象向上平移1个单位后，可得新抛物线为，结合图象经过点，求出a即可判断得解； （2）①由（1）抛物线为，结合点，在上，从而，，故，进而可以判断得解； ②依据题意，由抛物线为，故抛物线的对称轴是直线，再结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴图象向上平移1个单位后，可得新抛物线为． 又∵图象经过点， ∴． ∴． ∴原抛物线的函数表达式为； （2）①证明：由（1）抛物线为， ∵点，在上， ∴，． ∴ ． ∵对于任意的实数m都有， ∴； ②解：由①知，． ∵ ∴， ∴， ∴或． 18．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 【答案】(1)①n = 2；②（0，1） (2)1 【分析】（1）①根据点P的横坐标比1大，将点P代入即可求得n的值． ②根据当图象与y轴有交点时，x值为0；将x = 0代入求出y值，即可得出交点坐标． （2）当n = 1分别代入两个函数表达式中，求出各自表达式的最大值，最后两者取最大值即可． 【详解】（1）①解：∵在点P（2，2）中，x ≥ 1 ∴将点P（2，2）代入函数 中得 解得 ②解：求此函数的图象与y轴的交点，即求当时，函数图象与y轴的交点． ∵当 时，函数表达式为 ∴当， ∴此函数的图象与y轴的交点为(0，1)． （2）解：当n = 1时，函数表达式为 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为 ，在右侧，函数图象随x的增大而减小． ∴当x = 1时，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当 时，函数有最大值1． 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为． ∴当，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当n = 1时，此函数的最大值为1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据x值的取值判断函数表达式和用顶点式求函数最大值是解本题的关键． 19．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． (1)若，求该抛物线的对称轴； (2)已知，抛物线上，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）把代入，再将函数解析式化成顶点式，即可求解； （2）根据题意，得抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为，由抛物线的性质得当时，y 随x增大而增大，当时，y 随x增大而减小，再根据，，则当点A在点B左侧时，则，当点A在点B右侧时，则．然后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：∵ ∴抛物线的开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∵，， 当点在点左侧时，即， ∴， 当点在点右侧时，即， ∴． ①当，即时，此时点在对称轴右侧或顶点处， 当点在点左侧时，即， 由图象知，恒成立， 即时符合题意； 当点在点右侧时，即， 则， ∵关于对称轴的对称点， 此时要使，应有：， 化简得：， 又∵， ∴应有， 即； 综上，； ②当，即时，此时点在对称轴左侧， 当点在点左侧时，即， 则， ∵关于对称轴的对称点， 此时要使，应有：， 化简得：， 又∵， ∴， 即； 当点在点右侧时，即， 由图象知，恒成立， ∴； 综上：； 由①②得，． 20．（2025九年级上·全国·专题练习）已知抛物线经过点，将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（），再次经过点A． (1)若时，求m的值． (2)求m与k的关系式． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围． 【答案】(1)0或3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，分类讨论的数学思想的运用是解题的关键． （1）把代入，即可求解； （2）求得平移后的函数解析式，根据题意得到，消去a即可求得； （3）根据对称轴直线，分对称轴在区间左侧、右侧、区间内三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得或， 故m的值为0或3． （2）解：抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（）后得到抛物线的解析式为， ∵平移后的图象也经过点， ∴， 消去a，得； （3）解：对称轴为直线． ①当时， 当时，y取最大值， 当时，代入得y取最小值， 所以， 解得（舍去）． ②当时， ．当时， 当 时，代入得y取到最大值， 当时，代入得y取到最小值， 所以，符合题意． ．当时， 当时，y取到最大值， 当时，y取到最小值 所以 解得（均舍去）． 综上所述，． 由，得． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.2 二次函数的图像与性质重难点题型专训 （13个知识点+17大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 y=ax²的图象和性质 题型二 y=ax²+k的图象和性质 题型三 y=a（x-h）²的图象和性质 题型四 y=a（x-h）²+k的图象和性质 题型五 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型六 画y=ax²+bx+c的图象 题型七 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型八 二次函数图象与各项系数符号 题型九 一次函数、二次函数图象综合判断 题型十 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型十一 两个二次函数图象综合判断 题型十二 根据二次函数的图象判断式子符号 题型十三 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型十四 根据二次函数的对称性求函数值 题型十五 y=ax²+bx+c的最值 题型十六 利用二次函数对称性求最短路径 题型十七 二次函数图象的平移 拓展训练一 二次函数的图像和性质综合问题 拓展训练二 函数及图像的综合判断问题 拓展训练三 函数及图像相关推导求值 知识点一：画二次函数图像 画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线. 【注意】 1）列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况. 2）由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值. 3)一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像. 【即时训练】 1．（23-24九年级上·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知， ，两点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 知识点二：二次函数的图像和性质 二次函数的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下： 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，0） （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大； x＜0时，y随x的增大而减小. x＞0时，y随x的增大而减小； x＜0时，y随x的增大而增大. 最值 当x＝0时，函数图像有最低点， 有最小值0. 当x＝0时，函数图像有最高点， 有最大值0. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若拋物线的开口向上，则m的值可能为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）拋物线的对称轴是 轴． 知识点三：二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 k＞0 k＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，k） （0，k） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝0时，y有最小值k 当x＝0时，y有最大值k. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）抛物线的顶点在（   ） A．y轴上 B．x轴上 C．原点 D．第二象限 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）抛物线的顶点坐标是 ． 知识点四：二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 h＞0 h＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 （h，0） （h，0） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值0 当x＝h时，y有最大值0 【即时训练】 1．（22-23九年级上·云南玉溪·期中）抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第一象限 D．第二象限 2．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）抛物线顶点的坐标为 ． 知识点五：二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 （h，k） （h，k） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值k 当x＝h时，y有最大值k 【即时训练】 1．（24-25九年级上·天津宁河·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·湖北孝感·期中）函数的图象是一条 ，开口方向 ，顶点坐标为 ． 知识点六：二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x= x= 顶点坐标 (，) (，) 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而增大； x＜时，y随x的增大而减小. x＞时，y随x的增大而减小； x＜时，y随x的增大而增大. 最值 抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， 抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 【即时训练】 1．（2025·广东肇庆·一模）点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，若，，是这个函数图象上的三点，则，，的大小关系(从小到大)是 ． 知识点七：二次根式的平移 平移方式（n＞0) 顶点式 平移口诀 向左平移n个单位 左加 向右平移n个单位 右减 向上平移n个单位 上加 向下平移n个单位 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 补充： ① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. ② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. ③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. ④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同. ⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值. 【即时训练】 1．（2025·河南安阳·二模）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·西藏拉萨·一模）将二次函的图象向左平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ． 知识点八：待定系数法求二次函数解析式 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 【即时训练】 1．（22-23九年级上·河南南阳·期末）抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 从上表可知，时，的值为（    ） A． B． C． D．0 2．（24-25九年级上·新疆吐鲁番·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且抛物线过点，则抛物线的关系式是 ． 知识点九：二次函数与各项系数之间的关系 二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． 【即时训练】 1．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）二次函数的图象如图所示，那么 （填“>”“<”或“=”）． 知识点十：用抛物线图像研究各项系数 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 5）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 6）特殊点代入确定a，b，c的关系. 7）根据抛物线的顶点，判断的大小. 【即时训练】 1．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图是抛物线的示意图，则c的值可以是（    ）．    A． B． C．0 D．3 2．（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，以下结论：①；②；③；④过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的有 ．（填序号）    知识点十一：二次函数对称变换 一般式的对称 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 【即时训练】 1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）若二次函数（b为常数）关于y轴对称，则b的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1 2．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）若抛物线与抛物线关于原点对称，则的值为 ． 知识点十二：二次函数的对称性问题 1）抛物线上两点关于直线x=对称，则 ①这两点在同一高度，即两点的纵坐标相同； ②这两点到对称轴的距离相等，即两点的横坐标与x=的差的绝对值相等； 2）若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称. 3）已知一点的坐标为(x1，y)，对称轴为x=h，则这个点关于对称轴对称点的坐标为（2h-x1，y）. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． A．(3,0) B．(1,0) C．(0,3) D．(2,0) 2．（2025·山东德州·一模）已知二次函数经过两个不同点，，则 ． 知识点十三：最值问题 定义：二次函数的最值就是根据二次函数自变量x的取值范围，求出y的取值范围. 类型一：自变量x取全体实数，y在顶点处取得最值，根据a的正负判断函数是最大值还是最小值. 类型二：自变量x的取值范围为给定范围， 1）若对称轴在给定范围内，则x=时，二次函数取得最值，另一个最值在较对称轴较远的点处取得. 2）若对称轴不在给定范围内（），两个最值在两个端点处取得. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 ． A．12 B．13 C．11 D．2 2．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【经典例题一 y=ax²的图象和性质】 【例1】（25-26九年级上·全国·单元测试）已知抛物线经过三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）下表是二次函数中，x，y的部分对应值： x … 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … 则下列说法不正确的是（   ） A．图象开口向上 B．图象对称轴是y轴 C．图象顶点是原点 D．图象经过点 3．（24-25九年级上·全国·期末）抛物线，开口 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ；抛物线，开口 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ．相比之下，抛物线 的开口程度较大． 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于另一点，求的面积． 【经典例题二 y=ax²+k的图象和性质】 【例1】（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）下列各点中，在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·天津河西·阶段练习）抛物线，根据下列条件求m值． (1)抛物线过原点； (2)抛物线最小值为． 1．（2025·江苏泰州·三模）已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ） A．没有最大值，有最小值 B．没有最大值，也没有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．有最大值，也有最小值 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）若，，则二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·二模）已知点，在抛物线上，且，则 （填“”、“”或“”）． 4．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 【经典例题三 y=a（x-h）²的图象和性质】 【例1】（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）若点，在抛物线上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列二次函数的图像是由二次函数的图像怎样平移得到的？ (1)； (2)． 1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）二次函数的图象的对称轴是（   ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 3．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下面是三位同学对某个二次函数的描述． 甲：图像的形状、开口方向与的相同； 乙：顶点在x轴上； 丙：对称轴是直线． 请写出这个二次函数的表达式： ． 4．（24-25九年级上·北京·开学考试）若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【经典例题四 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 【例1】（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的部分图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值2，无最小值 B．函数有最大值2，有最小值0 C．函数有最大值2，有最小值 D．函数有最大值，有最小值 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口方向向下 B．形状与相同 C．顶点是 D．函数最大值为4 2．（22-23九年级上·云南红河·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知点，都在二次函数的图像上，则与的大小关系是 ． 4．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 【经典例题五 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 【例1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）将二次函数化为的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东广州·一模）已知． (1)化简T； (2)若是抛物线的顶点坐标，请求出T的值． 1．（24-25九年级上·吉林·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南信阳·三模）已知抛物线 与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·青海西宁·期中）抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得到的抛物线的解析式是 ． 4．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是求小球在运动过程中的最大高度． 【经典例题六 画y=ax²+bx+c的图象】 【例1】（23-24九年级上·重庆丰都·期末）如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图像（     ） A．y=x2+2x+1 B．y=x2-2x+1 C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2+2x+1 【例2】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知抛物线． x … … y … … (1)试求出该抛物线顶点坐标． (2)选取适当的数据填入表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象． 1．（24-25九年级上·天津南开·期末）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x＋4图象的顶点在坐标轴上，则m的值一定不是（    ） A．2 B．6 C．﹣2 D．0 2．（24-25九年级·湖北黄石·阶段练习）对于二次函数为，当自变量x<0时，函数图像在 （   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知二次函数，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·广东珠海·阶段练习）在平面直角坐标系中，用描点法画出 二次函数的图象． 【经典例题七 y=ax²+bx+c的图象与性质】 【例1】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）在抛物线（）上有，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数．填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … 1．（2025·吉林长春·二模）对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·二模）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的是（    ） A． B．点、在二次函数图象上，则 C．当时，随增大而减小 D．若方程有实数根，则 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系，用“”连接： ． 4．（23-24九年级上·陕西渭南·期中）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)当为何值时，随的增大而减小？ 【经典例题八 二次函数图象与各项系数符号】 【例1】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，关于，，的符号判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（23-24九年级上·吉林·期末）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定a、b、c的符号； (2)当x取何值时，；当x取何值时，． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南南阳·模拟预测）若抛物线的图象不经过第一象限，则以下正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如果抛物线其中a，b，c是常数，且在对称轴左侧的部分是y随着x的增大而减小，那么a ．（填“”或“”） 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数（为常数，）．求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的公共点． 【经典例题九 一次函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（25-26九年级上·全国·单元测试）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【例2】（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线经过A(6，0)，顶点M在直线y=2x-7上，求抛物线的解析式． 1．（24-25九年级上·天津宁河·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川德阳·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 象限． 4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点． (1)求 b 的值； (2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． 【经典例题十 反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（2025·安徽·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23九年级下·福建福州·期中）如图，小方站在水平球台上打高尔夫球，球台到轴的距离为6米，与轴相交于点，弯道与球台交于点，且米，弯道末端垂直轴于，且米，从点处打出的高尔夫球沿抛物线运动，落在弯道的处，且到轴的距离为3米； (1)点的坐标为______，______；点的坐标为______，______； (2)红色球落在处后立即弹起，沿另外一条抛物线运动，若的最高点坐标为 ①求抛物线的解析式，并说明小球能否再次落在弯道上？ ②在轴上有托盘，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为，求的取值范围（托盘的厚度忽略不计）. 1．（24-25九年级上·河南商丘·期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数的图象与二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级·上海·自主招生）反比例函数与二次函数的图像的交点个数为 ． 4．（24-25八年级下·山东临沂·期末）在学习函数的中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象； … 0 1 2 3 4 5 … … 0 3 … （2）根据函数图象，小明写出了该函数性质； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是轴； ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值； ③该函数图象与坐标轴只有一个交点； ④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；其中正确的是__（只写序号） （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留一位小数，误差不超过0.2） 【经典例题十一 两个二次函数图象综合判断】 【例1】（23-25九年级上·浙江杭州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【例2】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ． 4．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知：函数． （1）当时， ①求随增大而增大时，的取值范围； ②当时，求的取值范围； ③当时，设的最大值与最小值之差为，当时，求的值． （2）若，连结.当此函数的图象与线段只有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【经典例题十二 根据二次函数的图象判断式子符号】 【例1】（23-24九年级上·广西贵港·阶段练习）如图，已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）．其中正确的结论有（   ） A．①②⑤ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【例2】（24-25九年级上·福建漳州·期末）我们知道： （1）观察以上结果，可以发现： ； ； （2）若点P（m,n)在抛物线上，且n>0，试化简： 1．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·吉林·期中）如图，二次函数的对称轴是直线，且经过点，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为3，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的不等式的解集为；； ④（t为任意实数）．其中正确的是 ．（只填写序号） 4．（2022·江苏南京·一模）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求的值； (2)点是该函数图象上两点，若求证：． 【经典例题十三 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．直线 D．直线 【例2】（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，存在，求t的取值范围． 1．（2025·四川乐山·模拟预测）已知二次函数的图象上有两点，若，当函数值取得最大值时，对应的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上、两点的高度相同，到墙边的距离分别为，．若该墙的长度为，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 ． 4．（24-25九年级上·北京密云·期末）已知抛物线，，是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线． (1)当时． ①直接写出b与a满足的等量关系 ； ②若，则 ． (2)已知，，点在抛物线上．当时，总有，求t的取值范围． 【经典例题十四 根据二次函数的对称性求函数值】 【例1】（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（2025·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 1．（2025·安徽滁州·二模）已知是抛物线上的点，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2025·河南周口·一模）已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 3．（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）已知，是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为 ． 4．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）． (1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 【经典例题十五 y=ax²+bx+c的最值】 【例1】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏南通·模拟预测）阅读以下材料： 如果两个正数a，b，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题： ①已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； ②已知，则自变量x取何值时，函数有最小值，并求出最小值． 1．（24-25九年级下·安徽六安·开学考试）已知，，，则k的最大值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值，有最大值2 D．有最小值，有最大值3 3．（2025九年级上·全国·专题练习）实数x，y满足，设，则w的最大值是 ． 4．（24-25九年级上·全国·期末）某商品的进价为每件30元，以每件50元售出，每周可卖出200件．现决定降价促销，发现每降价2元，每周可多卖出20件． (1)当销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？ (2)当售价定为何值时，每周的销售利润最大，最大利润是多少？ 【经典例题十六 利用二次函数对称性求最短路径】 【例1】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A，点B和点C的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标． 1．（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（    ） A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，） 3．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    4．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，抛物线经过点，与轴交于点过点且平行于轴的直线交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题十七 二次函数图象的平移】 【例1】（2025九年级上·浙江·专题练习）把抛物线先沿轴翻折，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）把抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线．试确定a，h，k的值． 1．（2025·甘肃张掖·三模）将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为 ． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象如下图所示，直接在平面直角坐标系中画出二次函数和的图象，并解决下列问题： 将抛物线向_______平移_______个单位得到抛物线． 【拓展训练一 二次函数的图像和性质综合问题】 【例1】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． (1)当时，求的值； (2)点是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围． 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）二次函数的图象如图，给出下列五个结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确结论的个数是(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如果抛物线的顶点的轨迹是一个规则的图形，那么称这个轨迹为该抛物线的“顶线”．那么抛物线的“顶线”是 ． 4．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知二次函数 (1)用配方法将化为的形式；并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)直接写出当取何值时，随的增大而减小？ 【拓展训练二 函数及图像的综合判断问题】 【例1】（2025·宁夏银川·一模）同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·河南商丘·一模）中考复习中，小明对初中学习过的三个函数进行总结，并把三种函数组合成分段函数 小明对这个分段函数利用函数的学习方法进行分析，以下是小明的分析过程，请补充完整： (1)列表： x 0 1 2 3 4 y 1 2 3 2 1 0 2 n 0 解析式中的______，表格中的______； (2)描点，连线： 请画出函数图象； (3)分析图象：根据函数图象，写出函数的一条性质：____________； (4)拓展研究： ①若直线与该函数图象有一个交点，则k的取值范围：____________； ②若直线与该函数图象有两个交点，则k的取值范围：____________； ③若直线与该函数图象有三个交点，则k的取值范围：____________； ④若直线与该函数图象有四个交点，则k的取值范围：____________； ⑤若直线与该函数图象有四个交点，则k的取值范围：____________． 1．（24-25九年级上·广东江门·期末）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 2．（24-25九年级上·广东韶关·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）过点的抛物线与轴交点的横坐标分别为，且，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号） 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）对于方程m2+2（1+）=0，用一般的方法去分母将是一个一元三次方程，且好像没有整数解．请你考虑可以采取什么特殊方法找到它的解的范围，要求这个范围在相邻的两个整数之间，并写出这两个整数． 【拓展训练三 函数及图像相关推导求值】 【例1】（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 1．（2025·内蒙古·模拟预测）抛物线经过四点，且，若存在正数，使得当时，总有成立，则正数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（2025·福建泉州·模拟预测）抛物线图象上有三点，，．其中，，，以下说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．若，、、三点在对称轴的同一侧 C．当，存在 D．当，总有 3．（24-25九年级下·安徽池州·期中）抛物线经过点． （1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ． （2）若对于，都有，则的取值范围是 ． 4．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象上有两点，则的值是（    ） A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·贵州·期中）已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2024九年级·全国·竞赛）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 7．（2025·江苏扬州·一模）通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判断新函数的图象与一次函数的图象的交点个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·江西宜春·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东淄博·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①函数图象的顶点在第四象限内； ②和3是关于的方程的两个根； ③，其中正确的结论个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．（24-25九年级下·全国·随堂练习）若点在抛物线上，写出一个在抛物线上的点（顶点除外）： ． 12．（24-25九年级下·全国·随堂练习）把二次函数化为的形式： ． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）若函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第 象限． 14．（24-25九年级下·安徽六安·期中）已知抛物线，点，是抛物线上两点，且． （1）抛物线的对称轴为 （用含有的式子表示）； （2）当时，始终满足，则的取值范围是 ． 15．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有 ．（填写正确结论的序号） 16．（22-23九年级上·青海西宁·阶段练习）（1）求抛物线的顶点坐标及对称轴方程； （2）当为何值时，随的增大而增大 17．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）将抛物线（a为常数）的图象向上平移1个单位后，图象经过点． (1)求原抛物线的函数表达式． (2)已知点，在抛物线上． ①求证：； ②若，直接写出m的取值范围． 18．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 19．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． (1)若，求该抛物线的对称轴； (2)已知，抛物线上，若对于，，都有，求的取值范围． 20．（2025九年级上·全国·专题练习）已知抛物线经过点，将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（），再次经过点A． (1)若时，求m的值． (2)求m与k的关系式． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$