专题01 二次根式的识别和参数问题的六种模型（高效培优专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题01 二次根式的识别和参数问题的六种模型 目录 题型一：二次根式的识别 1 题型二：求二次根式中的参数 3 题型三：二次根式有意义的条件 5 题型四：利用二次根式的性质化简 6 题型五：最简二次根式的判断 8 题型六：已知最简二次根式求参数 10 题型一：二次根式的识别 1．下列根式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，根据形如的式子，叫二次根式，逐一判断得到答案即可； 【详解】解：首先排除B 和D，而的根指数是3，故选项A错误， 故选：C． 2．下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数为非负数，即可得出答案． 【详解】解：，不是二次根式； 是二次根式； 当时，不是二次根式； 当时，，不是二次根式； ，是二次根式； 不是二次根式． 综上，，是二次根式，一共2个． 故选：B． 3．下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的识别，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键． 根据二次根式的概念逐一判断即可． 【详解】解：A：，为二次根式，故A正确； B：，二次根式被开方数为非负数，为负数，故B不符合题意； C：为5的立方根，故C不符合题意； D：为的立方根，故D不符合题意； 故选：A． 4．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的定义，把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式； B、∵，∴不是二次根式； C、当时，，不是二次根式； D、∵，∴一定是二次根式． 故选：D． 5．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的定义是关键． 根据二次根式的定义：形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当x≥0时，是二次根式，当x＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当，即时，是二次根式，当，即时，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、当时，是二次根式，当时，不是二次根式，故此选项不符合题意； D、因为，所以是二次根式，故此选项符合题意； 故选∶D． 6．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     B．∵的根指数是3，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     C．∵，∴是二次根式，故此选项符合题意； D．当即时，不是二次根式，故此选项不符合题意；     故选：C． 题型二：求二次根式中的参数 7．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 8．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 9．若是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键．得出是一个平方数，进而求解即可． 【详解】解：∵是一个整数， ∴是一个平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 10．当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，即，取最小值， 此时的值最小，最小值为， 故答案为：，． 11．二次根式是一个整数，那么正整数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质化简后判断是个平方数，即可求解． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数的最小值是， 故答案为：． 12．已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据题意可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数的值为1，此时，满足条件． 故答案为：1 题型三：二次根式有意义的条件 13．若有意义，则a的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，然后解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：D． 14．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式被开方数为非负数，列出一元一次不等式，然后求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，， ∴， 故选：D． 15．要使式子 有意义，则x的值（    ） A．不超过 B．不小于 C．不超过 D．不小于 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数列不等式，解不等式即可． 【详解】解：要使式子 有意义，则， 解得， 即x的值不超过， 故选A． 16．已知，则y的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入原式即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴且 ∴， 代入原式，得， 故答案为：3． 17．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得：． 故答案为：． 18．使式子有意义的的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件以及解一元一次不等式组，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出关于的一元一次不等式组，解一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：且， 故答案为：且． 题型四：利用二次根式的性质化简 19．下列与结果相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘除法：熟练掌握二次根式的除法法则是解决问题的关键．利用二次根式的除法法则进行判断． 【详解】解：． 故选：A． 20．若，则a的值不可以是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质求出a的取值范围，从而判断即可． 【详解】解：， ， 的值不可以是， 故选：A． 21．下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式的性质化简，即可解答． 【详解】解：A．，选项计算错误，故不符合题意； B．，选项计算正确，故符合题意 C．，选项计算错误，故不符合题意； D． ，选项计算错误，故不符合题意； 故选：B． 22．以下二次根式，①，②，③，④，其中有一个与其他二次根式的值不相等，则这个二次根式是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质：和是解题的关键．利用二次根式的性质化简即可解答． 【详解】解：①； ②； ③； ④； ∴与其他二次根式的值不相等的是①， 故选：A． 23．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，根据化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 24．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质、是解题的关键；利用二次根式的性质化简即可，注意这里字母a只能取非正数． 【详解】解：由题意知，， ； 故答案为：． 题型五：最简二次根式的判断 25．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的概念．最简二次根式应该根号里没(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数中不含分母．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断． 【详解】A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、，不能化简，是最简二次根式，本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：C． 26．下列二次根式属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义即可判断． 最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽的因式；（3）被开方数不含分母． 【详解】A．含有能开的尽的因式16，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意； B．含有能开的尽的因式4，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意； C．里有分母，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意； D．为最简二次根式，故选项正确，符合题意； 故选：D． 27．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握这个概念是解题的关键．满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 28．下列式子：．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义、立方根等知识点，根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：中，最简二次根式有，，一共2个， 故选：B． 29．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，解题关键是掌握二次根式的性质． 利用二次根式的性质化简，对四个式子分别化简，再作出判断． 【详解】解：是最简二次根式，故A选项符合题意； ，不是最简二次根式，故B选项不符合； ，不是最简二次根式，故C选项不符合； ，不是最简二次根式，故D选项不符合， 故选：A． 30．在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐个分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：，，，不是最简二次根式，是最简二次根式， 故答案为：． 题型六：已知最简二次根式求参数 31．若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式需满足：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：（答案不唯一）． 32．若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【详解】解：依题意，， 解得：， 且，符合题意， 故答案为：． 33．已知与是同类二次根式，则的最小整数值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查同类二次根式．根据“化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式”，先将化简为，根据被开方数相同，即可求解． 【详解】解：∵与是同类二次根式， ∴， ∴的最小整数值为3， 故答案为：3． 34．若是最简二次根式，则整数的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是最简二次根式，且为整数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故答案为：3． 35．已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 36．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，由，且与是同类二次根式，则分时，时，时，时，进行讨论，然后求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同， ∴时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； ∴符合条件的正整数的值为，，， ∴的最小值为， 故答案为：． 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25．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 26．下列二次根式属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 27．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 28．下列式子：．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 30．在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 题型六：已知最简二次根式求参数 31．若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是 ． 32．若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 33．已知与是同类二次根式，则的最小整数值为 ． 34．若是最简二次根式，则整数的最小值为 ． 35．已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 36．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$