重难点专题2.1直线与圆中的对称问题（高效培优专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

第 1 页 共 6 页 重难点专题 01 直线与圆中的对称问题 题型一：点的对称点 题型二：直线的对称直线 题型三：圆的对称问题 题型一：点的对称点 (1)点 P(x0，y0)关于点 A(a，b)的对称点为 P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点 P(x0，y0)关于直线 y＝kx＋b的对称点为 P′(x′，y′)，则 l垂直平分线段 PP' 则有 �'−�0 �'−�0 ∙ � =− 1, �'+�0 2 = � ∙ � '+�0 2 + �, 可求出 x′，y′. (3)常见的一些特殊的对称点 点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，－y)，关于 y 轴的对称点为(－x，y)． 点(x，y)关于直线 y＝x的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x 的对称点为(－y，－x)． 点(x，y)关于直线 x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b 的对称点为(x,2b－y)． 点关于点 ( )，a b 的对称点为 (2 2 )， a x b y ． 点(x, y)关于直线 x + y = k的对称点为(k − y, k − x)，关于直线 x − y = k的对称点为(k + y, x − k)． 1-1.(24-25 高二上·江苏盐城·期中)已知直线 : 2 6 0l x y   ，则点  1,1M 关于直线 l的对称点 N的坐标为( ) A．  1,5 B．  5, 1 C．  5,1 D．  1, 5 1-2.(23-24 高二上·四川遂宁·期中)已知直线 l： 0x y  ，则点  1,4A  关于 l对称的点的坐标为( ) A．  4,1 B．  4, 1 C．  1, 4  D．  1,4 1-3.(24-25 高二下·湖北·期中)已知点  2,4A 关于直线 l对称的点为  1,2B  ，则直线 l的方程为( ) A． 4 6 15 0x y   B．6 4 15 0x y   C．6 4 15 0x y   D． 4 6 15 0x y   1-4.(2025·内蒙古呼和浩特·二模)若点 1 3,2 2A        关于直线 y kx 对称的点在圆  2 23 4x y   上，则 k的值为( ) A．1 B． 2 C． 3 D．2 第 2 页 共 6 页 1-5.(24-25 高二上·安徽合肥·期末)已知点  1,2A  关于直线 2 0l x y  ： 的对称点为 B，设直线m经过点 B， 则当点  3 0C ， 到直线m的距离最大时，直线m的方程为( ) A． 3 0x y   B． 3 0x y   C． 3 0x y   D． 3 0x y   1-6.(24-25 高二上·内蒙古呼和浩特·期中)在平面直角坐标系 xOy中，若圆 1C ：      2 2 24 1 0x y r r     上 存在点 P，且点 P关于直线 1y x  的对称点 Q在圆 2C ：  2 24 9x y   上，则 r的取值范围是( ) A．  2, B．  2,8 C． 2 8, D．  ,8 1-7.(24-25 高二上·江苏南通·阶段练习)已知 P，Q是直线 : 1 0l x y   上两动点，且 | | 2PQ  ，点 ( 4,6)A  ， (0,6)B ，则 | | | | | |AP PQ QB  的最小值为( ) A．10 2 B．10 2 C．10 2 D．12 1-8.(多选)(24-25 高二上·陕西西安·阶段练习)下列说法中，正确的有( ) A．直线 1 0x y   在 y轴上的截距是 1 B．当 m变化时，圆 2 2 ( 2) 2 0x y m x y      恒过定点有且只有一个 C．过  1 1,x y ，  2 2,x y 两点( 1 2x x ， 1 2y y )的所有直线的方程为 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x      D．直线 2 3 0x y   关于点  3,2 对称的直线方程是 2 11 0x y   1-9.(多选)(24-25 高二上·陕西铜川·阶段练习)点  , 4A m 和点  1 ,3B m  关于直线 : 3 0l x ny   对称，则( ) A． AB的中点坐标为 1 7, 2 2      B． 1n  C．直线 l的斜率为 1 D． 0m  1-10.(多选)(24-25高二上·四川雅安·期中)已知点  2,1P ，  1,0Q ，H 在直线 1 0x y   上，则 HP HQ 的 值可能为( ) A． 2 2 B． 11 C． 10 D．3 1-11.(多选)(24-25高二上·福建福州·期中)已知直线 : 2 8 0l x y   和两点 (2 0) ( 2, 4)A B  , , .在直线 l上有一点P， 则 PA PB 的最小值和 PA PB 的最值为( ) A． PA PB 的最小值为 12 B． PA PB 的最小值为 6 C． PA PB 的最小值为 4 2 D． PA PB 的最大值为 2 2 第 3 页 共 6 页 1-12.(25-26 高二上·全国·期末)将一张坐标纸折叠一次，使点  2,0 与  6,8 重合，则折痕所在直线的方程 是 . 1-13.(24-25 高二下·上海·阶段练习)已知点    1, 3 , 5, 2A B ，点 P在 y轴上，则 AP BP 的最小值 为 . 题型二：直线的对称直线 (1)直线关于点对称 法一：在已知直线上任取两点，求出它们关于已知点的对称点坐标，再由两对称点式求出对称直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． (2)若直线�1上的 A、B 关于直线�的对称点分别为�', �'，则�1关于直线�的对称直线�'必然经过点�', �'； 2-1.(24-25 高二上·北京丰台·期末)与直线2 1 0x y   关于 x轴对称的直线方程为( ) A． 2 1 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 1 0x y   D． 2 1 0x y   2-2.(24-25 高二上·天津红桥·阶段练习)直线 2 1 0x y   关于直线 1x  对称的直线方程是( ) A． 2 1 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 3 0x y   D． 2 3 0x y   2-3.(24-25 高二上·上海·阶段练习)以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为 1 的正方形的四条边的方程为 ( )． A． 1x y  B． 1x y  C． 2 2 x y  D． 2 2 x y  2-4.(24-25 高二上·四川凉山·期末)设点    1, 2 , 0,A B m ，若直线 AB关于 y轴对称的直线与圆    2 22 3 10x y    相切，则m的值为( ) A． 1 B．0 C． 12 D．1 2-5.(24-25 高二上·浙江杭州·阶段练习)已知光线从点  6,3A  射出，经直线 2 10 0x y   反射，且反射光线 所在直线过点 ( 8, 3)B   ，则反射光线所在直线的方程是( ) A．3 2 +18 0x y  B． 2 3 7 0x y   C．3 2 30 0x y   D．2 3 25 0x y   2-6.(2025 高三·全国·专题练习)在等腰直角 ABCV 中， 4,AB AC P  是边 AB上异于 ,A B的一点，光线从点 P 出发，经 ,BC CA发射后又回到原点 P (如图)．若光线QR经过 ABCV 的重心，则 AP等于( ) 第 4 页 共 6 页 A．2 B．1 C． 8 3 D． 4 3 2-7.(24-25 高二上·重庆长寿·期末)圆 2 2 2 4 6 0x y mx my     关于直线 8 0mx y   对称，则实数m  ( ) A． 2 B．4 C． 2 或 4 D．2 或 4 2-8.(2025 高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系 xOy中，已知射线 1 : ( 0)l y x x  ， 2 : 0( 0)l y x  ，半圆 2: 1 ( 4)C y x   ，现从点 (1,0)A 向 x轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线 1 2,l l 时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为 k，若光线始终与半圆C没有交点，则 k的取值 范围为( ) A． 15 6 2, , 8 12 4                   B． 15 2, ,8 4              C． 2 , 4        D． 15 2, 8 4        2-9.(多选)(24-25 高二下·广西·开学考试)已知直线  : 2 3 3 3 0l m x my m     的倾斜角为 3π 4 ，则( ) A． 3m  B．直线 l在两坐标轴上的截距相等 C．  , 2 3m m  为直线 l的一个方向向量 D．直线 l关于 y轴对称的直线 l的方程为 2 0x y   2-10.(2025 高三·全国·专题练习)已知一束光线通过点  3,5A  ，经直线 : 3 4 4 0l x y   反射．如果反射光线 通过点  2,15B ，则反射光线所在直线的方程是 ． 题型三：圆的对称问题 3-1.(24-25 高三下·浙江湖州·阶段练习)若直线 1 0x y   是圆    2 2 1x a y b    的一条对称轴，则 2 2a b 的最小值是( ) A． 1 8 B． 1 4 C． 12 D．1 3-2. (2025·北京西城·一模)在平面直角坐标系 xOy中，若从点  0,A t 发出的光线经过点  10B , ，且被 x轴反射 后将圆    2 2: 4 3 1C x y    平分，则实数 t  ( ) A．1 B． 2 C．3 D． 4 第 5 页 共 6 页 3-3.(多选)(23-24 高二上·江苏连云港·期末)已知圆C： 2 2 4 2 0x y y    ，则下列说法正确的有( ) A．圆C关于直线 0x y  对称的圆的方程为  2 22 2x y   B．直线 1 0x y   被圆C截得的弦长为 6 2 C．若圆C上有四个点到直线 0x y m   的距离等于 2 2 ，则m的取值范围是  1,3 D．若点  ,P x y 是圆C上的动点，则 2 2x y 的取值范围是 2 2,2 2    3-4.(多选)(23-24 高二上·贵州遵义·期末)已知直线 l： 2 0x y   ，圆 C：  2 22 4x y   ，则下列结论正确 的是( ) A．与直线 l平行且与圆 C相切的直线方程为 2 2 0x y    B．点 P在直线 l上，过点 P作圆 C的一条切线，切点为 M，则 PM 的最小值为 2 C．点 P在直线 l上，点 Q在圆 C上，则 PQ 的最小值为 2 2 D．若圆C与圆 C关于直线 l对称，则圆C的方程为：    2 22 4 4x y    3-5.(多选)(24-25 高二上·江西南昌·期末)已知直线 : 2 0l mx y m    和圆 2 2: ( 1) ( 2) 9C x y    相交于 M， N，下列说法正确的是( ) A．直线 l过定点 ( 1, 2) B．若圆C关于 l对称，则 1m  C．CM CN   的最小值为 9 D．圆C上到直线 l的距离为 3 2 的点恰好有三个，则 3 7 7 m  3-6.(多选)(19-20 高二上·辽宁丹东·期末)圆 2 2 4 1 0x y x    ( ) A．关于点  2,0 对称 B．关于直线 0y  对称 C．关于直线 3 2 0x y   对称 D．关于直线 2 0x y   对称 3-7.(多选)(24-25 高二上·广东佛山·阶段练习)下列命题正确的是( ) A．直线  0mx y m m   R 恒过定点  1,0 B．两平行直线 2 3 0x y   与 2 4 5 0x y   之间的距离是 2 5 5 C．过点  2,1P 作圆 2 2 5x y  的切线，则切线方程为 2 5 0x y   D．圆 2 2( 4) ( 2) 1x y    关于直线3 4 5 0x y   对称的圆的方程为： 2 2( 2) ( 6) 1x y    第 6 页 共 6 页 3-8.(多选)(24-25 高二上·山东德州·期末)以下四个命题表述正确的是( ) A．若点    4,3 , 3,5A B 到直线 : 2 1 0l x ay   的距离相等，则 a的值为 1 或 2 . B．设O为坐标原点，直线  3 1y x   过抛物线  2: 2 0C y px p  的焦点，且与C交于 ,M N两点，则 16 3 3 MN  C．若圆  2 2( ) 1 0x a y a    与圆 2 2( 2) 25x y   有公共点，则实数 a的取值范围为 2 3,4 2   D．点  4,5P 关于直线 3 3y x  的对称点的坐标为  2,7 3-9.(23-24 高二上·云南昭通·期中)已知圆C与圆D： 2 2 4 2 3 0x y x y     关于 x轴对称，则圆C的方程 为 ． 3-10.(2025 高三·全国·专题练习)圆C与圆 2 2( 1) 1x y   关于直线 2y x  对称，则圆C的方程为 ． 3-11.(2025 高三·全国·专题练习)曲线C与曲线 2 2 3 5 1x y x y    关于直线 2y x  对称，则曲线C的方程 为 ． 重难点专题01 直线与圆中的对称问题 题型一：点的对称点 题型二：直线的对称直线 题型三：圆的对称问题 题型一：点的对称点 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则垂直平分线段 则有可求出x′，y′. (3)常见的一些特殊的对称点 点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． 点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． 点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 1-1.(24-25高二上·江苏盐城·期中)已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为(  ) A． B． C． D． 1-2.(23-24高二上·四川遂宁·期中)已知直线：，则点关于对称的点的坐标为(    ) A． B． C． D． 1-3.(24-25高二下·湖北·期中)已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为(   ) A． B． C． D． 1-4.(2025·内蒙古呼和浩特·二模)若点关于直线对称的点在圆上，则的值为(   ) A．1 B． C． D．2 1-5.(24-25高二上·安徽合肥·期末)已知点关于直线的对称点为，设直线经过点，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为(    ) A． B． C． D． 1-6.(24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中)在平面直角坐标系xOy中，若圆：上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆：上，则r的取值范围是(    ) A． B． C． D． 1-7.(24-25高二上·江苏南通·阶段练习)已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为(    ) A． B． C． D．12 1-8.(多选)(24-25高二上·陕西西安·阶段练习)下列说法中，正确的有(    ) A．直线在y轴上的截距是1 B．当m变化时，圆恒过定点有且只有一个 C．过，两点(，)的所有直线的方程为 D．直线关于点对称的直线方程是 1-9.(多选)(24-25高二上·陕西铜川·阶段练习)点和点关于直线对称，则(   ) A．的中点坐标为 B． C．直线的斜率为1 D． 1-10.(多选)(24-25高二上·四川雅安·期中)已知点，，在直线上，则的值可能为(   ) A． B． C． D．3 1-11.(多选)(24-25高二上·福建福州·期中)已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为(   ) A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 1-12.(25-26高二上·全国·期末)将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是 . 1-13.(24-25高二下·上海·阶段练习)已知点，点在轴上，则的最小值为 . 题型二：直线的对称直线 (1)直线关于点对称 法一：在已知直线上任取两点，求出它们关于已知点的对称点坐标，再由两对称点式求出对称直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． (2)若直线上的A、B关于直线的对称点分别为，则关于直线的对称直线必然经过点； 2-1.(24-25高二上·北京丰台·期末)与直线关于x轴对称的直线方程为(    ) A． B． C． D． 2-2.(24-25高二上·天津红桥·阶段练习)直线关于直线对称的直线方程是(   ) A． B． C． D． 2-3.(24-25高二上·上海·阶段练习)以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为(    )． A． B． C． D． 2-4.(24-25高二上·四川凉山·期末)设点，若直线关于轴对称的直线与圆相切，则的值为(   ) A． B．0 C． D．1 2-5.(24-25高二上·浙江杭州·阶段练习)已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是( ) A． B． C． D． 2-6.(2025高三·全国·专题练习)在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点(如图)．若光线经过的重心，则等于(    ) A．2 B．1 C． D． 2-7.(24-25高二上·重庆长寿·期末)圆关于直线对称，则实数(   ) A． B．4 C．或4 D．2或 2-8.(2025高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 2-9.(多选)(24-25高二下·广西·开学考试)已知直线的倾斜角为，则(    ) A． B．直线在两坐标轴上的截距相等 C．为直线的一个方向向量 D．直线关于轴对称的直线的方程为 2-10.(2025高三·全国·专题练习)已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 题型三：圆的对称问题 3-1.(24-25高三下·浙江湖州·阶段练习)若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是(   ) A． B． C． D．1 3-2. (2025·北京西城·一模)在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数(   ) A． B． C． D． 3-3.(多选)(23-24高二上·江苏连云港·期末)已知圆：，则下列说法正确的有(    ) A．圆关于直线对称的圆的方程为 B．直线被圆截得的弦长为 C．若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是 D．若点是圆上的动点，则的取值范围是 3-4.(多选)(23-24高二上·贵州遵义·期末)已知直线：，圆C：，则下列结论正确的是(    ) A．与直线平行且与圆C相切的直线方程为 B．点在直线上，过点作圆C的一条切线，切点为M，则的最小值为2 C．点P在直线上，点Q在圆C上，则的最小值为 D．若圆与圆C关于直线对称，则圆的方程为： 3-5.(多选)(24-25高二上·江西南昌·期末)已知直线和圆相交于M，N，下列说法正确的是( ) A．直线过定点 B．若圆关于对称，则 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 3-6.(多选)(19-20高二上·辽宁丹东·期末)圆(　　) A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 3-7.(多选)(24-25高二上·广东佛山·阶段练习)下列命题正确的是(    ) A．直线恒过定点 B．两平行直线与之间的距离是 C．过点作圆的切线，则切线方程为 D．圆关于直线对称的圆的方程为： 3-8.(多选)(24-25高二上·山东德州·期末)以下四个命题表述正确的是(    ) A．若点到直线的距离相等，则a的值为1或. B．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则 C．若圆与圆有公共点，则实数的取值范围为 D．点关于直线的对称点的坐标为 3-9.(23-24高二上·云南昭通·期中)已知圆与圆：关于轴对称，则圆的方程为 ． 3-10.(2025高三·全国·专题练习)圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ． 3-11.(2025高三·全国·专题练习)曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题01 直线与圆中的对称问题 题型一：点的对称点 题型二：直线的对称直线 题型三：圆的对称问题 题型一：点的对称点 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则垂直平分线段 则有可求出x′，y′. (3)常见的一些特殊的对称点 点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． 点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． 点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 1-1.(24-25高二上·江苏盐城·期中)已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为(  ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】由对称可知直线，且中点在上，设点坐标，可得方程组，解方程组即可. 【详解】设，则中点，且， 由，两点关于直线对称，且， 则，解得，即，故选：B. 1-2.(23-24高二上·四川遂宁·期中)已知直线：，则点关于对称的点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】根据垂直斜率关系，以及中点在直线上即可列方程求解. 【详解】设点关于对称的点为，则，解得，故选：B 1-3.(24-25高二下·湖北·期中)已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】求两点的对称轴 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且，所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得.故选：C. 1-4.(2025·内蒙古呼和浩特·二模)若点关于直线对称的点在圆上，则的值为(   ) A．1 B． C． D．2 【答案】C【难度】0.65【知识点】求两圆的交点坐标、求点关于直线的对称点 【分析】点在圆上，由题意分析可知对称点必是圆与圆的公共点，通过计算，即可得出答案. 【详解】因点的坐标满足，则点在圆上， 因直线过的圆心，则点关于直线对称的点必然在圆上， 联立，得， 因圆与圆仅有唯一公共点， 因此点关于直线对称的点只能是点，设直线与线段交于点， 因，，则由垂径定理可得，， 则在中，，因此.故选：C 1-5.(24-25高二上·安徽合肥·期末)已知点关于直线的对称点为，设直线经过点，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】由两条直线垂直求方程、求点关于直线的对称点 【分析】设出点坐标，先根据对称得到方程，求出点坐标，数形结合得到，直线垂直于直线时，点到直线的距离最大，根据的斜率求出直线的斜率为，得到直线方程. 【详解】设，因为点关于直线的对称点为， 所以，解得，即 设点到直线的距离为，又直线经过点，所以当垂直于直线时，取得最大值， 而，因此直线的斜率为，所以直线的方程为，即.故选：B 1-6.(24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中)在平面直角坐标系xOy中，若圆：上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆：上，则r的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】先设出点P坐标为，根据题意表示出点Q坐标为；再根据点在圆上列出方程组，得出点P 的几何意义是表示圆和圆的交点；最后利用两点间距离公式和两圆的位置关系列出关于r的不等式，求解即可. 【详解】设点P坐标为，点Q坐标为.因为点P和点Q关于直线对称， 所以，整理得：，即点Q坐标为. 因为点P在圆：上，点Q在圆：上， 所以，即. 则是方程组的解， 则圆和圆的位置关系是相切或者相交. 又因为圆的圆心坐标为圆，半径为； 圆的圆心坐标为圆，半径为， 所以两圆的圆心间距离为， 则由两圆的位置关系可得：，解得：.故选：C. 1-7.(24-25高二上·江苏南通·阶段练习)已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为(    ) A． B． C． D．12 【答案】A【难度】0.4 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】依题意，设点，推得点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式表示的几何意义将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和最小问题解决. 【详解】不妨设点在点的左边，因直线的倾斜角为， 且，则点的坐标为， 则， 记， 则可将理解为点到的距离之和， 即点到直线的距离之和，依题即需求距离之和的最小值. 如图，作出点关于直线的对称点,则， 连接，交直线于点,则即的最小值， 且, 故的最小值为.故选：A. 1-8.(多选)(24-25高二上·陕西西安·阶段练习)下列说法中，正确的有(    ) A．直线在y轴上的截距是1 B．当m变化时，圆恒过定点有且只有一个 C．过，两点(，)的所有直线的方程为 D．直线关于点对称的直线方程是 【答案】CD【难度】0.85【知识点】判断点与圆位置关系、直线方程及辨析 【分析】根据直线截距的概念判断A的真假；求出圆经过的顶点，判断B的真假；根据直线两点式方程的意义判断C的真假；根据两直线的位置关系判断D的真假. 【详解】对A：直线中，令得，所以直线在轴上的截距为，故A错误； 对B：令得：或，所以当变化时，圆恒过定点和，故B错误； 对C：根据直线两点式方程的概念知，C正确； 对D：设点关于点的对称点为，则， 由点在直线上，得，故D正确.故选：CD 1-9.(多选)(24-25高二上·陕西铜川·阶段练习)点和点关于直线对称，则(   ) A．的中点坐标为 B． C．直线的斜率为1 D． 【答案】ABD【难度】0.94【知识点】已知两点求斜率、求点关于直线的对称点、已知直线垂直求参数 【分析】根据题意可知直线为的垂直平分线，由两直线垂直的关系表式计算可判断得出结论. 【详解】易知的中点坐标为，则点在直线上， 所以，解得，所以直线的斜率为. 又因为，所以，解得.故选：ABD 1-10.(多选)(24-25高二上·四川雅安·期中)已知点，，在直线上，则的值可能为(   ) A． B． C． D．3 【答案】BC【难度】0.85【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】利用对称性以及两点间的距离公式来求得正确答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即关于的对称点为，且， 所以，当三点共线时取等号， 故BC选项符合题意，故选：BC 1-11.(多选)(24-25高二上·福建福州·期中)已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为(   ) A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC【难度】0.65【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知(直线与直线的交点离点更近)，即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值， 即最小值是，为.故选：AC 1-12.(25-26高二上·全国·期末)将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是 . 【答案】【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求点关于直线的对称点 【分析】设，，则折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，故先求出AB中点坐标，又因为折痕与直线AB垂直，进而求出折痕所在直线的斜率，然后用点斜式求出折痕所在直线方程. 【详解】设，，则线段AB的中点坐标为， 又，所以折痕所在直线的斜率为1， 故折痕所在直线的方程为，即.故答案为：. 1-13.(24-25高二下·上海·阶段练习)已知点，点在轴上，则的最小值为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】依题意作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，计算即得的最小值. 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点.故答案为：. 题型二：直线的对称直线 (1)直线关于点对称 法一：在已知直线上任取两点，求出它们关于已知点的对称点坐标，再由两对称点式求出对称直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． (2)若直线上的A、B关于直线的对称点分别为，则关于直线的对称直线必然经过点； 2-1.(24-25高二上·北京丰台·期末)与直线关于x轴对称的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】直线关于直线对称问题【分析】设对称直线上的点为，求它关于轴的对称点并代入已知直线的方程，所得方程即为所求的直线方程. 【详解】设对称直线上的点为，则其关于轴的对称点在直线上， 所以，即.故选：B. 2-2.(24-25高二上·天津红桥·阶段练习)直线关于直线对称的直线方程是(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线， ，故选：D 2-3.(24-25高二上·上海·阶段练习)以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为(    )． A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】直线关于直线对称问题、求直线关于点的对称直线 【分析】方程所得图形关于原点、轴对称且点在图形上，即可得. 【详解】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 若在图形上，则、、均在图形上， 显然、满足，、不满足， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为1的正方形， 所以，点在图形上，故方程为.故选：D 2-4.(24-25高二上·四川凉山·期末)设点，若直线关于轴对称的直线与圆相切，则的值为(   ) A． B．0 C． D．1 【答案】A【难度】0.85【知识点】直线关于直线对称问题、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据对称求解直线的方程，即可根据相切关系，结合点到直线的距离公式求解. 【详解】由可得，故直线关于轴对称的直线斜率为，且经过点，故直线方程为，圆的圆心和半径分别为， 由相切可得，解得，故选：A 2-5.(24-25高二上·浙江杭州·阶段练习)已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即.故选：B. 2-6.(2025高三·全国·专题练习)在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点(如图)．若光线经过的重心，则等于(    ) A．2 B．1 C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程，由于光线经过的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标，即可求解. 【详解】以为坐标原点，建立如图直角坐标系，可得， 故直线BC的方程为，则的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过重心，代入得， 化简得或(舍去)，故，所以.故选：D 2-7.(24-25高二上·重庆长寿·期末)圆关于直线对称，则实数(   ) A． B．4 C．或4 D．2或 【答案】C【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先得出圆的圆心，再根据圆关于直线对称得出圆心在直线上计算求参. 【详解】圆的圆心为，且，即， 因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，则， 化简得，所以或，满足.故选：C. 2-8.(2025高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】求直线交点坐标、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】设反射前光线所在直线方程为，分四种情况讨论，即①当光线不发生反射时；②当光线只发生一次反射时，；③当光线发生两次反射时，④当光线发生三次反射时，利用几何法即圆心到直线的距离大于半径，通过分析进而求解； 【详解】由题意知半圆的圆心为，半径为1，设反射前光线所在直线方程为． ①如图：当光线不发生反射时，光线所在直线的斜率，若此时光线与半圆无交点，则半圆圆心到光线所在直线的距离，解得，即． ②当光线只发生一次反射时，反射光线不与轴非负半轴相交，由，得则反射光线所在直线方程为，即，所以，解得．令半圆圆心到反射光线所在直线的距离1，解得，又，所以此时要使光线与半圆没有交点，则． ③当光线发生两次反射时，讨论如下．当时，第一次反射后光线所在直线与轴非负半轴有交点，交点为，则第二次反射后光线所在直线方程为，所以，解得．令半圆圆心到第二次反射光线的距离，得，故此时要使光线与半圆无交点，则．当时，易知第一次反射后光线过点，第二次反射后光线所在直线方程为，与半圆没有交点．综上，． ④当光线发生三次反射时，由得则第三次反射光线所在直线方程为，即，所以，即．令半圆圆心到第三次反射光线的距离，得，故此时要使光线与半圆无交点，则． 综上，的取值范围为．故选：A． 2-9.(多选)(24-25高二下·广西·开学考试)已知直线的倾斜角为，则(    ) A． B．直线在两坐标轴上的截距相等 C．为直线的一个方向向量 D．直线关于轴对称的直线的方程为 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线的倾斜角 【分析】利用直线的倾斜角可求判断A；求得直线与两坐标轴上的截距判断B；利用直线的斜率可求得一个方向向量判断C；求得点(2，0)关于轴对称的点的坐标为，可求直线的方程判断D. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以，解得，故A正确． 直线在两坐标轴上的截距均为2，故B正确． 由方程，可得直线的一个方向向量为，故C错误． 直线过点，因为点(2，0)关于轴对称的点的坐标为，所以直线经过点， 故直线关于轴对称的直线的方程为，故D正确．故选：ABD. 2-10.(2025高三·全国·专题练习)已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 【答案】【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即.故答案为：. 题型三：圆的对称问题 3-1.(24-25高三下·浙江湖州·阶段练习)若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是(   ) A． B． C． D．1 【答案】C【难度】0.85【知识点】基本不等式求和的最小值、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题设易知直线过圆心得，再应用基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题设，直线过圆心，则， 由，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：C 3-2. (2025·北京西城·一模)在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】由标准方程确定圆心和半径、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、已知斜率求参数【分析】点关于轴的对称点为，分析可知，点、、圆心三点共线，结合可求得的值. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，由对称性可知，点、、圆心三点共线， 则，即，解得.故选：A. 3-3.(多选)(23-24高二上·江苏连云港·期末)已知圆：，则下列说法正确的有(    ) A．圆关于直线对称的圆的方程为 B．直线被圆截得的弦长为 C．若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是 D．若点是圆上的动点，则的取值范围是 【答案】AC【难度】0.85【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦、求点关于直线的对称点、求点到直线的距离【分析】把圆化成标准方程，得到圆心坐标和半径，利用圆的几何性质，解决对称问题，弦长问题，点到直线距离和取值范围. 【详解】圆：，化成标准方程为，圆心为，半径为. 圆关于直线对称的圆，圆心坐标为，半径为，方程为，A选项正确； 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为，B选项错误； 若圆上有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离小于， 即，解得，即的取值范围是，C选项正确； 若点是圆上的动点，满足，则， 由圆心坐标和半径可知，，则， 所以的取值范围是，D选项错误.故选：AC 3-4.(多选)(23-24高二上·贵州遵义·期末)已知直线：，圆C：，则下列结论正确的是(    ) A．与直线平行且与圆C相切的直线方程为 B．点在直线上，过点作圆C的一条切线，切点为M，则的最小值为2 C．点P在直线上，点Q在圆C上，则的最小值为 D．若圆与圆C关于直线对称，则圆的方程为： 【答案】BD【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、切线长 【分析】运用直线与圆相切的条件即可判断选项A；根据切线长，将所求问题转化为求的最小值，进而利用点到直线的距离公式，即可判断选项B；要使最小，只需最小即可，利用选项B即可判断选项C；利用点关于点的对称即可判断选项D. 【详解】对于选项A，因为直线：，设与直线平行的直线为：， 圆：，圆心，因为直线圆C相切， 则圆心到直线的距离，解得， 所以与直线平行且与圆C相切的直线方程为，所以A错误； 对于选项B，因为点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则， 所以在中，，要使最小，只需最小， 因为点在直线上，圆心，则的最小值即为点到直线的距离， 即，，所以B正确； 对于选项C，点P在直线上，点Q在圆C上，圆心，要使最小，只需直线过圆心， 则，只需最小，由选项B知，，则，所以C错误； 对于选项D，圆与圆关于直线对称，则点与点关于对称，设， 因为直线斜率为，直线与直线垂直，则， 又的中点在直线上，所以，解得，所以， 则圆的方程为：，所以D正确.故选：BD. 3-5.(多选)(24-25高二上·江西南昌·期末)已知直线和圆相交于M，N，下列说法正确的是( ) A．直线过定点 B．若圆关于对称，则 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】A选项，直线变形后求出定点坐标；B选项，根据圆心在直线上求的值；C选项，表达出，求出最小值；D选项，由题可得圆心到直线的距离，从而求出. 【详解】A选项，根据题意变形为， 故直线过定点，A正确； B选项，若圆关于对称，则圆心在直线上，即，解得，故B正错误； C选项， ， 因为的最小值为，如图， 当三点共线时，的最小值为，故C正确； D选项，，半径为，因为圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 所以圆心到直线的距离，即，解得，D错误.故选：AC. 3-6.(多选)(19-20高二上·辽宁丹东·期末)圆(　　) A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】ABC【难度】0.94【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】将圆的方程转化为标准方程，可得圆心，进而判断各选项. 【详解】由圆的方程为，即，即圆心的坐标为， A选项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，A选项正确； B选项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，B选项正确； C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，C选项正确； D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线不过圆心，D选项不正确；故选：ABC. 3-7.(多选)(24-25高二上·广东佛山·阶段练习)下列命题正确的是(    ) A．直线恒过定点 B．两平行直线与之间的距离是 C．过点作圆的切线，则切线方程为 D．圆关于直线对称的圆的方程为： 【答案】ACD【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点关于直线的对称点、求平行线间的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】对于A，由，通过即可判断；对于B，由距离公式即可求解；对于C，由圆心到直线的距离等于半径即可求解；对于D，确定圆心的对称点，即可判断； 【详解】对于A：，即，令，解得， 即直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线，即， 则直线与之间的距离，故B不正确； 对于C：因为点在圆上，，所以切线的斜率， 所以切线方程为，即，故C正确； 对于D：圆的圆心为，圆的圆心为，且半径均为1， 点与的中点为， 因为在直线上，且，由直线的斜率， 所以，所以点与关于直线对称，故D正确.故选：ACD 3-8.(多选)(24-25高二上·山东德州·期末)以下四个命题表述正确的是(    ) A．若点到直线的距离相等，则a的值为1或. B．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则 C．若圆与圆有公共点，则实数的取值范围为 D．点关于直线的对称点的坐标为 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、与抛物线焦点弦有关的几何性质、已知点到直线距离求参数、求点关于直线的对称点 【分析】对于A选项，根据点到直线距离公式，构造方程计算即可； 对于B选项，先求得抛物线方程为，再结合韦达定理和抛物线定义计算即可；对于C选项，求出圆心距，进而由位置关系构造不等式计算即可；对于D选项，设点关于直线的对称点为，运用中点及直线垂直性质计算即可. 【详解】对于A选项，根据点到直线距离公式，对于点到直线的距离，点到直线的距离.因为，即，也就是. 当时，解得；当时，解得.所以A选项正确. 对于B选项，对于抛物线，其焦点坐标为. 直线过焦点，可得，解得，则抛物线方程为. 联立直线与抛物线方程，将代入得. 设，，根据韦达定理.则，所以B选项错误. 对于C选项，两圆的圆心分别为，，半径分别为，. 两圆有公共点，则.，. 对于，解得或(因为，舍去). 对于，解得.综合得，所以C选项正确. 对于D选项，设点关于直线的对称点为. 则中点在直线上，且， 由得 ①.又 ②. 联立①②求解，由①得.将代入②解得. 将代入得.所以D选项正确.故选：ACD. 3-9.(23-24高二上·云南昭通·期中)已知圆与圆：关于轴对称，则圆的方程为 ． 【答案】【难度】0.94 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、求点关于直线的对称点、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程. 【详解】圆：，即，则圆心，半径， 因为圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，两圆半径相等， 则圆心，半径，所以，圆的方程为．故答案为：. 3-10.(2025高三·全国·专题练习)圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ． 【答案】/【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】先求出圆心关于直线的对称点，从而求出对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设关于直线的对称点为， 则，解得，故圆心关于直线的对称点为， 则对称圆的方程为．故答案为： 3-11.(2025高三·全国·专题练习)曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 【答案】【难度】0.65 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、求点关于直线的对称点、曲线与方程的概念 【分析】设出曲线上任意一点，由此点坐标表示出其对称点的坐标，再根据其对称点在所给曲线上，代入即可求出最终结果. 【详解】设曲线上任意一点为，该点关于直线的对称点为， 则，解得：，所以点关于直线的对称点为， 因为点关于直线的对称点在曲线上， 则曲线的方程为，即， 故答案为：. 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 18 页 重难点专题 01 直线与圆中的对称问题 题型一：点的对称点 题型二：直线的对称直线 题型三：圆的对称问题 题型一：点的对称点 (1)点 P(x0，y0)关于点 A(a，b)的对称点为 P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点 P(x0，y0)关于直线 y＝kx＋b的对称点为 P′(x′，y′)，则 l垂直平分线段 PP' 则有 �'−�0 �'−�0 ∙ � =− 1, �'+�0 2 = � ∙ � '+�0 2 + �, 可求出 x′，y′. (3)常见的一些特殊的对称点 点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，－y)，关于 y 轴的对称点为(－x，y)． 点(x，y)关于直线 y＝x的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x 的对称点为(－y，－x)． 点(x，y)关于直线 x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b 的对称点为(x,2b－y)． 点关于点 ( )，a b 的对称点为 (2 2 )， a x b y ． 点(x, y)关于直线 x + y = k的对称点为(k − y, k − x)，关于直线 x − y = k的对称点为(k + y, x − k)． 1-1.(24-25 高二上·江苏盐城·期中)已知直线 : 2 6 0l x y   ，则点  1,1M 关于直线 l的对称点 N的坐标为( ) A．  1,5 B．  5, 1 C．  5,1 D．  1, 5 【答案】B【难度】0.94【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】由对称可知直线MN l ，且MN中点在 l上，设点 N坐标，可得方程组，解方程组即可. 【详解】设  ,N a b ，则MN中点 1 1,2 2 a bP       ，且 1 1MN bk a    ， 由M ， N两点关于直线 : 2 6 0l x y   对称，且 2lk  ， 则 12 1 1 1 12 6 0 2 2 b a a b              ，解得 5 1 a b     ，即  5, 1N  ，故选：B. 1-2.(23-24 高二上·四川遂宁·期中)已知直线 l： 0x y  ，则点  1,4A  关于 l对称的点的坐标为( ) A．  4,1 B．  4, 1 C．  1, 4  D．  1,4 【答案】B【难度】0.94【知识点】求点关于直线的对称点 第 2 页 共 18 页 【分析】根据垂直斜率关系，以及中点在直线上即可列方程求解. 【详解】设点  1,4A  关于 l对称的点为  ,A a b ，则 4 1 1 1 4 0 2 2 b a a b           ，解得 4, 1a b   ，故选：B 1-3.(24-25 高二下·湖北·期中)已知点  2,4A 关于直线 l对称的点为  1,2B  ，则直线 l的方程为( ) A． 4 6 15 0x y   B．6 4 15 0x y   C．6 4 15 0x y   D． 4 6 15 0x y   【答案】C【难度】0.85【知识点】求两点的对称轴 【分析】分析可知，直线 l为线段 AB的垂直平分线，求出线段 AB的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线 l为线段 AB的垂直平分线，且 4 2 2 2 1 3AB k    ，所以直线 l的斜率为 3 2  ， 又因为线段 AB的中点为 1 ,3 2 M      ，所以直线 l的方程为 3 13 2 2 y x        ， 整理可得6 4 15 0x y   .故选：C. 1-4.(2025·内蒙古呼和浩特·二模)若点 1 3,2 2A        关于直线 y kx 对称的点在圆  2 23 4x y   上，则 k的值为( ) A．1 B． 2 C． 3 D．2 【答案】C【难度】0.65【知识点】求两圆的交点坐标、求点关于直线的对称点 【分析】点A在圆 2 2 1x y  上，由题意分析可知对称点必是圆 2 2 1x y  与圆  2 23 4x y   的公共点，通 过计算 tan 3 BDBOD OD    ，即可得出答案. 【详解】因点A的坐标满足 221 3 1 2 2             ，则点A在圆 2 2 1x y  上， 因直线 y kx 过 2 2 1x y  的圆心，则点A关于直线 y kx 对称的点必然在圆 2 2 1x y  上， 联立   2 2 2 2 1 3 4 x y x y        ，得 1 0 x y    ， 因圆 2 2 1x y  与圆  2 23 4x y   仅有唯一公共点  10B , ， 因此点A关于直线 y kx 对称的点只能是点 B，设直线 y kx 与线段 AB交于点D， 因 1AO BO  ， 2 23 11 3 2 2 AB               ，则由垂径定理可得， 2 2 3 11 2 4 2 ABOD OB          ， 第 3 页 共 18 页 则在Rt ODB△ 中， 3tan 2 3 2 BDBOD OD      ，因此 3tank BOD  .故选：C 1-5.(24-25 高二上·安徽合肥·期末)已知点  1,2A  关于直线 2 0l x y  ： 的对称点为 B，设直线m经过点 B， 则当点  3 0C ， 到直线m的距离最大时，直线m的方程为( ) A． 3 0x y   B． 3 0x y   C． 3 0x y   D． 3 0x y   【答案】B【难度】0.85【知识点】由两条直线垂直求方程、求点关于直线的对称点 【分析】设出 B点坐标，先根据对称得到方程，求出 B点坐标，数形结合得到，直线m垂直于直线 BC时， 点  3 0C ， 到直线m的距离最大，根据 BC的斜率求出直线m的斜率为1，得到直线方程. 【详解】设  ,B a b ，因为点  1,2A  关于直线 2 0l x y  ： 的对称点为 B， 所以 2 1 1 1 2 2 0 2 2 b a a b           ，解得 0 3 a b    ，即  0,3B ． 设点  3,0C 到直线m的距离为 d，又直线m经过点 B，所以当m垂直于直线 BC时， d取得最大值， 而 3 0 1 0 3BC k     ，因此直线m的斜率为1，所以直线m的方程为 3 0y x   ，即 3 0x y   .故选：B 1-6.(24-25 高二上·内蒙古呼和浩特·期中)在平面直角坐标系 xOy中，若圆 1C ：     2 2 24 1 0x y r r     上 存在点 P，且点 P关于直线 1y x  的对称点 Q在圆 2C ：  2 24 9x y   上，则 r的取值范围是( ) A．  2, B．  2,8 C． 2 8, D．  ,8 【答案】C【难度】0.65【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围、求点关 于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】先设出点 P坐标为  1 1,x y ，根据题意表示出点 Q坐标为  1 11, 1y x  ；再根据点在圆上列出方程组， 得出点 P  1 1,x y 的几何意义是表示圆      2 2 24 1 0x y r r     和圆    2 25 1 9y x    的交点；最后利 用两点间距离公式和两圆的位置关系列出关于 r的不等式，求解即可. 【详解】设点 P坐标为  1 1,x y ，点 Q坐标为  2 2,x y .因为点 P和点 Q关于直线 1y x  对称， 所以 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 y y x x y y x x          ，整理得： 2 1 2 1 1 1 x y y x      ，即点 Q坐标为  1 11, 1y x  . 因为点 P在圆 1C ：      2 2 24 1 0x y r r     上，点 Q在圆 2C ：  2 24 9x y   上， 所以           2 2 2 1 1 2 2 1 1 4 1 0 1 4 1 9 x y r r y x             ，即           2 2 2 1 1 2 2 1 1 4 1 0 5 1 9 x y r r y x            . 则 1 1 x x y y    是方程组           2 2 2 2 2 4 1 0 5 1 9 x y r r y x            的解， 第 4 页 共 18 页 则圆      2 2 24 1 0x y r r     和圆    2 25 1 9y x    的位置关系是相切或者相交. 又因为圆      2 2 24 1 0x y r r     的圆心坐标为圆  4,1 ，半径为 r； 圆    2 25 1 9y x    的圆心坐标为圆  15 ， ，半径为3， 所以两圆的圆心间距离为    2 24 1 5 1 5        ， 则由两圆的位置关系可得： 3 5 3r r    ，解得： 2 8r  .故选：C. 1-7.(24-25 高二上·江苏南通·阶段练习)已知 P，Q是直线 : 1 0l x y   上两动点，且 | | 2PQ  ，点 ( 4,6)A  ， (0,6)B ，则 | | | | | |AP PQ QB  的最小值为( ) A．10 2 B．10 2 C．10 2 D．12 【答案】A【难度】0.4 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】依题意，设点 ( , 1)P x x  ，推得点 ( 1, 2)Q x x  ，利用两点间距离公式计算 | | | | | |AP PQ QB  ，利 用距离公式表示的几何意义将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和最小问题解决. 【详解】不妨设点 ( , 1)P x x  在点Q的左边，因直线 : 1 0l x y   的倾斜角为 45， 且 | | 2PQ  ，则点Q的坐标为 ( 1, 2)x x  ， 则 2 2 2 2| | | | | | 2 ( 4) ( 5) ( 1) ( 4)AP PQ QB x x x x           ， 记 2 2 2 2( 4) ( 5) ( 1) ( 4)d x x x x        ， 则可将d理解为点 ( , )M x x 到    4,5 , 1,4D C  的距离之和， 即点    4,5 , 1,4D C  到直线 y x 的距离之和，依题即需求距离之和的最小值. 如图，作出点  1,4C  关于直线 y x 的对称点C ,则  4, 1C  ， 连接DC，交直线 y x 于点 N ,则 | | | |CN DN 即 d的最小值， 且    2 24 4 1 5 10CN DN DN C N DC           , 故 | | | | | |AP PQ QB  的最小值为10 2 .故选：A. 1-8.(多选)(24-25 高二上·陕西西安·阶段练习)下列说法中，正确的有( ) A．直线 1 0x y   在 y轴上的截距是 1 B．当 m变化时，圆 2 2 ( 2) 2 0x y m x y      恒过定点有且只有一个 第 5 页 共 18 页 C．过  1 1,x y ，  2 2,x y 两点( 1 2x x ， 1 2y y )的所有直线的方程为 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x      D．直线 2 3 0x y   关于点  3,2 对称的直线方程是 2 11 0x y   【答案】CD【难度】0.85【知识点】判断点与圆位置关系、直线方程及辨析 【分析】根据直线截距的概念判断 A 的真假；求出圆经过的顶点，判断 B 的真假；根据直线两点式方程的 意义判断 C 的真假；根据两直线的位置关系判断 D 的真假. 【详解】对 A：直线 1 0x y   中，令 0x  得 1y   ，所以直线在 y轴上的截距为 1 ，故 A 错误； 对 B：令 0x  得： 2 2 0y y    2y   或 1y  ，所以当m变化时，圆 2 2 ( 2) 2 0x y m x y      恒过定 点  0, 2 和  0,1 ，故 B 错误； 对 C：根据直线两点式方程的概念知，C 正确； 对 D：设点  ,x y 关于点  3,2 的对称点为  0 0,x y ，则 0 0 6 4 x x y y       0 0 6 4 x x y y      ， 由点  0 0,x y 在直线 2 3 0x y   上，得    2 6 4 3 0x y      2 11 0x y   ，故 D 正确.故选：CD 1-9.(多选)(24-25 高二上·陕西铜川·阶段练习)点  , 4A m 和点  1 ,3B m  关于直线 : 3 0l x ny   对称，则( ) A． AB的中点坐标为 1 7,2 2      B． 1n  C．直线 l的斜率为 1 D． 0m  【答案】ABD【难度】0.94【知识点】已知两点求斜率、求点关于直线的对称点、已知直线垂直求参数 【分析】根据题意可知直线 l为 AB的垂直平分线，由两直线垂直的关系表式计算可判断得出结论. 【详解】易知 AB的中点坐标为 1 7, 2 2      ，则点 1 7, 2 2      在直线 l上， 所以 1 7 3 0 2 2 n     ，解得 1n  ，所以直线 l的斜率为 1 . 又因为 AB l ，所以 3 4 ( 1) 1 1 m m         ，解得 0m  .故选：ABD 1-10.(多选)(24-25高二上·四川雅安·期中)已知点  2,1P ，  1,0Q ，H 在直线 1 0x y   上，则 HP HQ 的 值可能为( ) A． 2 2 B． 11 C． 10 D．3 【答案】BC【难度】0.85【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】利用对称性以及两点间的距离公式来求得正确答案. 【详解】设点  1,0Q 关于直线 1 0x y   的对称点为  ,Q a b ， 则 1 1 1 1 0 2 2 b a a b           ，解得 1 2 a b     ，即  1,0Q 关于 1 0x y   的对称点为  1,2Q  ，且 HQ HQ  ， 第 6 页 共 18 页 所以 2 23 1 10HP HQ HP HQ PQ        ，当 , ,Q H P 三点共线时取等号， 故 BC选项符合题意，故选：BC 1-11.(多选)(24-25高二上·福建福州·期中)已知直线 : 2 8 0l x y   和两点 (2 0) ( 2, 4)A B  , , .在直线 l上有一点P， 则 PA PB 的最小值和 PA PB 的最值为( ) A． PA PB 的最小值为 12 B． PA PB 的最小值为 6 C． PA PB 的最小值为 4 2 D． PA PB 的最大值为 2 2 【答案】AC【难度】0.65【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求 PA PB 的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关 系求 PA PB 的最值，即可得答案. 【详解】令 ( , )A a b 是 (2,0)A 关于 : 2 8 0l x y   的对称点，则 2 2 2 2 8 0 2 2 b a a b            ， 所以 2, 8a b   ，即 ( 2,8)A  ， P为 A B 与 l的交点， 如下图 | | | |PA PA  ，则 12PA PB PA PB A B     ， 当且仅当 , ,B P A共线且 P在线段 A B 上时取等号，即 PA PB 的最小值为 12； 由图知 AB PA PB AB    (直线 AB与直线 l的交点离A点更近)，即 4 2 4 2PA PB    ， 当且仅当 , ,B P A 共线且 P在射线 BA上时取最小值，但无最大值， 即最小值是 P A P B   ，为 4 2 .故选：AC 1-12.(25-26 高二上·全国·期末)将一张坐标纸折叠一次，使点  2,0 与  6,8 重合，则折痕所在直线的方程 是 . 【答案】 6 0x y   【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求点关于直线的对称点 【分析】设  2,0A ，  6,8B  ，则折痕所在直线是线段 AB的垂直平分线，故先求出 AB中点坐标，又因为 折痕与直线 AB垂直，进而求出折痕所在直线的斜率，然后用点斜式求出折痕所在直线方程. 第 7 页 共 18 页 【详解】设  2,0A ，  6,8B  ，则线段 AB的中点坐标为  2 6 0 8, 2, 4 2 2         ， 又 8 0 1 6 2AB k      ，所以折痕所在直线的斜率为 1， 故折痕所在直线的方程为 4 2y x   ，即 6 0x y   .故答案为： 6 0x y   . 1-13.(24-25 高二下·上海·阶段练习)已知点    1, 3 , 5, 2A B ，点 P在 y轴上，则 AP BP 的最小值 为 . 【答案】 61【难度】0.85【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】依题意作点  1, 3A  关于 y轴的对称点 ( 1, 3)A   ，连接 A B ，交 y轴于点 P，连接 AP，则 | | | |AP A P ， 计算即得 AP BP 的最小值. 【详解】如图作出点  1, 3A  关于 y轴的对称点 ( 1, 3)A   ，连接 A B ，交 y轴于点 P， 连接 AP，则 | | | |AP A P ，此时 2 2(5 1) (2 3) 61AP BP A P BP A B          即为最小值. 理由：在 y轴上任取点 P，连接 , ,A P AP BP   ，易得 | | | |AP A P   ， 则 AP BP A P BP A B AP BP         ， 故上述点 P即是使 AP BP 取得最小值的点.故答案为： 61 . 题型二：直线的对称直线 (1)直线关于点对称 法一：在已知直线上任取两点，求出它们关于已知点的对称点坐标，再由两对称点式求出对称直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． (2)若直线�1上的 A、B 关于直线�的对称点分别为�', �'，则�1关于直线�的对称直线�'必然经过点�', �'； 2-1.(24-25 高二上·北京丰台·期末)与直线2 1 0x y   关于 x轴对称的直线方程为( ) A． 2 1 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 1 0x y   D． 2 1 0x y   【答案】B【难度】0.94【知识点】直线关于直线对称问题【分析】设对称直线上的点为  ,P x y ，求它关于 x轴的对称点并代入已知直线的方程，所得方程即为所求的直线方程. 【详解】设对称直线上的点为  ,P x y ，则其关于 x轴的对称点  ,Q x y 在直线上2 1 0x y   ， 所以  2 1 0x y    ，即 2 1 0x y   .故选：B. 2-2.(24-25 高二上·天津红桥·阶段练习)直线 2 1 0x y   关于直线 1x  对称的直线方程是( ) A． 2 1 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 3 0x y   D． 2 3 0x y   第 8 页 共 18 页 【答案】D【难度】0.85【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为  ,P x y ，利用对称的性质得到点 P 关于直线 1x  对称的点为  2 ,P x y  代入直线 2 1 0x y   即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为  ,P x y ，该点关于直线 1x  对称的点的坐标为  0 0,P x y ， 则 0 0 1 2 y y x x      ,故对称点坐标为  2 ,P x y  ，代入直线 2 1 0x y   ， 2 2 1 0 2 3 0x y x y         ，故选：D 2-3.(24-25 高二上·上海·阶段练习)以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为 1 的正方形的四条边的方程为 ( )． A． 1x y  B． 1x y  C． 2 2 x y  D． 2 2 x y  【答案】D【难度】0.65【知识点】直线关于直线对称问题、求直线关于点的对称直线 【分析】方程所得图形关于原点、 ,x y轴对称且点 2 2 2 2( ,0), ( ,0), (0, ), (0, ) 2 2 2 2   在图形上，即可得. 【详解】由题设，方程所得图形关于原点、 ,x y轴对称， 若 ( , )x y 在图形上，则 ( , )x y  、 ( , )x y 、 ( , )x y 均在图形上， 显然 1 x y 、 2 2 x y  满足， 1x y  、 2 2 x y  不满足， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为 1 的正方形， 所以，点 2 2 2 2( ,0), ( ,0), (0, ), (0, ) 2 2 2 2   在图形上，故方程为 2 2 x y  .故选：D 2-4.(24-25 高二上·四川凉山·期末)设点    1, 2 , 0,A B m ，若直线 AB关于 y轴对称的直线与圆    2 22 3 10x y    相切，则m的值为( ) A． 1 B．0 C． 12 D．1 【答案】A【难度】0.85【知识点】直线关于直线对称问题、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据对称求解直线的方程，即可根据相切关系，结合点到直线的距离公式求解. 【详解】由    1, 2 , 0,A B m 可得 2ABk m  ，故直线 AB关于 y轴对称的直线斜率为 2 m ，且经过点  0,B m ，故直线方程为  2y m x m   ，圆    2 22 3 10x y    的圆心和半径分别为  2,3 , 10r  ， 由相切可得    22 2 2 3 10 1 2 m m m        ，解得 1m   ，故选：A 2-5.(24-25 高二上·浙江杭州·阶段练习)已知光线从点  6,3A  射出，经直线 2 10 0x y   反射，且反射光线 所在直线过点 ( 8, 3)B   ，则反射光线所在直线的方程是( ) A．3 2 +18 0x y  B． 2 3 7 0x y   C．3 2 30 0x y   D．2 3 25 0x y   第 9 页 共 18 页 【答案】B【难度】0.94【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、直线的点斜式方程及辨析、求 点关于直线的对称点【分析】求出  6,3A  关于直线 2 10 0x y   的对称点为C的坐标，由 ,B C都在反射 光线所在直线上得直线方程. 【详解】设 ( 6,3)A  关于直线 2 10 0x y   的对称点为 ( , )C x y ， 则 3( 6) 10 0 2 3 1 6 2 yx y x            ，解得 2 1 x y     ，即 ( 2,1)C  ， 所以反射光线所在直线方程为 3 11 ( 2) 8 2 y x       ，即 2 3 7 0x y   .故选：B. 2-6.(2025 高三·全国·专题练习)在等腰直角 ABCV 中， 4,AB AC P  是边 AB上异于 ,A B的一点，光线从点 P 出发，经 ,BC CA发射后又回到原点 P (如图)．若光线QR经过 ABCV 的重心，则 AP等于( ) A．2 B．1 C． 8 3 D． 4 3 【答案】D【难度】0.85【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】建立直角坐标系，设点 P的坐标，可得 P关于直线 BC的对称点 1P的坐标，和 P关于 y轴的对称 点 2P 的坐标，由 1 2, , ,P Q R P四点共线可得直线的方程，由于光线QR经过 ABCV 的重心，代入可得关于 a的 方程，解得 P的坐标，即可求解 AP . 【详解】以A为坐标原点，建立如图直角坐标系，可得    4,0 , 0,4B C ， 故直线 BC的方程为 4x y  ，则 ABCV 的重心为 0+0+4 0+0+4 3 3       ， ，即 4 4, 3 3       ， 设  ,0P a ,其中0 4a  ，则点 P关于直线 BC的对称点  1 ,P x y ， 满足   0 4 2 2 0 1 1 a x y y x a             ，解得 4 4 x y a     ，即  1 4,4P a ， 易得 P关于 y轴的对称点  2 ,0P a ，由光的反射原理可知 1 2, , ,P Q R P四点共线， 直线QR的斜率为   4 0 4 4 4 a ak a a         ，故直线 QR的方程为  4 4 ay x a a     ， 由于直线QR过 ABCV 重心 4 4, 3 3       ，代入得 4 4 4 3 4 3 a a a        ， 第 10 页 共 18 页 化简得 4 3 a  或 0a  (舍去)，故 4 ,0 3 P      ，所以 4 3 AP  .故选：D 2-7.(24-25 高二上·重庆长寿·期末)圆 2 2 2 4 6 0x y mx my     关于直线 8 0mx y   对称，则实数m  ( ) A． 2 B．4 C． 2 或 4 D．2 或 4 【答案】C【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先得出圆的圆心，再根据圆关于直线对称得出圆心在直线上计算求参. 【详解】圆 2 2 2 4 6 0x y mx my     的圆心为  , 2m m  ，且 2 24 16 24 0m m   ，即 2 6 5 m  ， 因为圆关于直线 8 0mx y   对称，所以圆心在直线上，则 2 2 8 0m m    ， 化简得   4 2 0m m   ，所以 4m  或 2m   ，满足 2 6 5 m  .故选：C. 2-8.(2025 高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系 xOy中，已知射线 1 : ( 0)l y x x  ， 2 : 0( 0)l y x  ，半圆 2: 1 ( 4)C y x   ，现从点 (1,0)A 向 x轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线 1 2,l l 时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为 k，若光线始终与半圆C没有交点，则 k的取值 范围为( ) A． 15 6 2, , 8 12 4                   B． 15 2, , 8 4              C． 2 , 4        D． 15 2, 8 4        【答案】A【难度】0.4【知识点】求直线交点坐标、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、由直线与圆的 位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】设反射前光线所在直线方程为 ( 1)y k x  ，分四种情况讨论，即①当光线不发生反射时；②当光线 只发生一次反射时，；③当光线发生两次反射时，④当光线发生三次反射时，利用几何法即圆心到直线的距 离大于半径，通过分析进而求解； 【详解】由题意知半圆C的圆心为 (4,0)，半径为 1，设反射前光线所在直线方程为 ( 1)y k x  ． ①如图：当光线不发生反射时，光线所在直线的斜率 (0,1]k  ，若此时光线与半圆C无交点，则半圆圆心 (4,0) 到光线所在直线的距离 2 | 4 | 1 1 k kd k     ，解得 2 4 k  ，即 2 ,1 4 k       ． ②当光线只发生一次反射时，反射光线不与 x轴非负半轴相交，由 ( 1)y k x y x     ，得 , 1 , 1 kx k ky k         则反射光线所在 直线方程为 1 1 1 k ky x k k k        ，即 1 1y x k   ，所以 10 1 k   ，解得 1k  ．令半圆圆心 (4,0)到反射光线 第 11 页 共 18 页 所在直线的距离 1 2 | 4 | 1 kd k     1，解得 15 8 k   ，又 1k  ，所以此时要使光线与半圆C没有交点，则 (1, )k  ． ③当光线发生两次反射时，讨论如下．当 1k   时，第一次反射后光线所在直线与 x轴非负半轴有交点，交 点为 ( ,0)k ，则第二次反射后光线所在直线方程为 1 ( )y x k k     1 1x k   ，所以 10 1 k    ，解得 1k   ．令 半圆圆心 (4,0)到第二次反射光线的距离 2 2 | 4 | 1 1 kd k     ，得 15 8 k   ，故此时要使光线与半圆C无交点，则 15 , 1 8 k        ．当 1k   时，易知第一次反射后光线过点A，第二次反射后光线所在直线方程为 1y x  ， 与半圆C没有交点．综上， 15 , 1 8 k       ． ④当光线发生三次反射时，由 1 1, , y x k y x        得 , 1 , 1 kx k ky k           则第三次反射光线所在直线方程为 1 1 k ky k x k k         ，即 y kx k   ，所以 0 1k   ，即 1 0k   ．令半圆圆心 (4,0)到第三次反射光线 的距离 3 2 | 4 | 1 1 k kd k     ，得 6 12 k   ，故此时要使光线与半圆C无交点，则 61, 12 k          ． 综上， k的取值范围为 15 6 2, ,8 12 4                   ．故选：A． 2-9.(多选)(24-25 高二下·广西·开学考试)已知直线  : 2 3 3 3 0l m x my m     的倾斜角为 3π 4 ，则( ) A． 3m  B．直线 l在两坐标轴上的截距相等 第 12 页 共 18 页 C．  , 2 3m m  为直线 l的一个方向向量 D．直线 l关于 y轴对称的直线 l的方程为 2 0x y   【答案】ABD【难度】0.85【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线的倾斜角 【分析】利用直线 l的倾斜角可求m判断 A；求得直线与两坐标轴上的截距判断 B；利用直线的斜率可求得 一个方向向量判断 C；求得点(2，0)关于 y轴对称的点的坐标为  2,0 ，可求直线 l的方程判断 D. 【详解】因为直线 l的倾斜角为 3π 4 ，所以 2 3 1m m     ，解得 3m  ，故 A 正确． 直线 : 2 0  l x y 在两坐标轴上的截距均为 2，故 B 正确． 由方程 2 0x y   ，可得直线 l的一个方向向量为  3, 3 ，故 C 错误． 直线 l过点    0,2 , 2,0 ，因为点(2，0)关于 y轴对称的点的坐标为  2,0 ，所以直线 l经过点    0, 2 , 2, 0 ， 故直线 l关于 y轴对称的直线 l的方程为 2 0x y   ，故 D 正确．故选：ABD. 2-10.(2025 高三·全国·专题练习)已知一束光线通过点  3,5A  ，经直线 : 3 4 4 0l x y   反射．如果反射光线 通过点  2,15B ，则反射光线所在直线的方程是 ． 【答案】18 51 0x y   【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先求出  3,5A  关于直线 l的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点  2,15B 和对称点，从而得 到反射光线所在直线方程. 【详解】设点  3,5A  关于直线 l的对称点为  0 0,A x y ，则 0 0 0 0 3 53 4 4 0 2 2 5 4 3 3 x y y x              ， 解得 0 03, 3x y   ，故  3, 3A  . 由于反射光线所在直线经过点  3, 3A  和  2,15B ， 所以反射光线所在直线的方程为  3 1515 2 3 2 y x     ，即18 51 0x y   .故答案为：18 51 0x y   . 题型三：圆的对称问题 3-1.(24-25 高三下·浙江湖州·阶段练习)若直线 1 0x y   是圆    2 2 1x a y b    的一条对称轴，则 2 2a b 的最小值是( ) A． 1 8 B． 1 4 C． 12 D．1 【答案】C【难度】0.85【知识点】基本不等式求和的最小值、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题设易知直线过圆心得 1a b  ，再应用基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题设，直线 1 0x y   过圆心 ( , )a b ，则 1a b  ， 由 2 2 2( ) 1 2 2 b aa b  ，当且仅当 1 2 a b  时取等号，所以 2 2a b 的最小值为 1 2 .故选：C 3-2. (2025·北京西城·一模)在平面直角坐标系 xOy中，若从点  0,A t 发出的光线经过点  10B , ，且被 x轴反射 第 13 页 共 18 页 后将圆    2 2: 4 3 1C x y    平分，则实数 t  ( ) A．1 B． 2 C．3 D． 4 【答案】A【难度】0.85【知识点】由标准方程确定圆心和半径、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、 已知斜率求参数【分析】点A关于 x轴的对称点为  0,M t ，分析可知，点M 、B、圆心  4,3C 三点共线， 结合 BM BCk k 可求得 t的值. 【详解】如下图所示： 点A关于 x轴的对称点为  0,M t ，由对称性可知，点M 、 B、圆心  4,3C 三点共线， 则 BM BCk k ，即 0 3 0 1 0 4 1 t     ，解得 1t  .故选：A. 3-3.(多选)(23-24 高二上·江苏连云港·期末)已知圆C： 2 2 4 2 0x y y    ，则下列说法正确的有( ) A．圆C关于直线 0x y  对称的圆的方程为  2 22 2x y   B．直线 1 0x y   被圆C截得的弦长为 6 2 C．若圆C上有四个点到直线 0x y m   的距离等于 2 2 ，则m的取值范围是  1,3 D．若点  ,P x y 是圆C上的动点，则 2 2x y 的取值范围是 2 2,2 2    【答案】AC【难度】0.85【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦、求点关于直线的对称 点、求点到直线的距离【分析】把圆化成标准方程，得到圆心坐标和半径，利用圆的几何性质，解决对称 问题，弦长问题，点到直线距离和取值范围. 【详解】圆C： 2 2 4 2 0x y y    ，化成标准方程为  22 2 2x y   ，圆心为  0,2C ，半径为 2r  . 圆C关于直线 0x y  对称的圆，圆心坐标为  2,0 ，半径为 2，方程为  2 22 2x y   ，A 选项正确； 圆心  0,2C 到直线 1 0x y   的距离为 2 1 2 22 d     ， 所以直线 1 0x y   被圆C截得的弦长为 2 22 6r d  ，B 选项错误； 若圆C上有四个点到直线 0x y m   的距离等于 2 2 ，则圆心  0,2C 到直线 0x y m   的距离小于 2 2 ， 即 2 2 22 m   ，解得1 3m  ，即m的取值范围是  1,3 ，C 选项正确； 若点  ,P x y 是圆C上的动点，满足 2 2 4 2 0x y y    ，则 2 2 4 2x y y   ， 第 14 页 共 18 页 由圆心坐标和半径可知， 2 2 2 2y    ，则6 4 2 4 2 6 4 2y     ， 所以 2 2x y 的取值范围是 6 4 2,6 4 2   ，D选项错误.故选：AC 3-4.(多选)(23-24 高二上·贵州遵义·期末)已知直线 l： 2 0x y   ，圆 C：  2 22 4x y   ，则下列结论正确 的是( ) A．与直线 l平行且与圆 C相切的直线方程为 2 2 0x y    B．点 P在直线 l上，过点 P作圆 C的一条切线，切点为 M，则 PM 的最小值为 2 C．点 P在直线 l上，点 Q在圆 C上，则 PQ 的最小值为 2 2 D．若圆C与圆 C关于直线 l对称，则圆C的方程为：    2 22 4 4x y    【答案】BD【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、切线长 【分析】运用直线与圆相切的条件即可判断选项 A；根据切线长 2 4PM CP  ，将所求问题转化为求 CP 的最小值，进而利用点到直线的距离公式，即可判断选项 B；要使 PQ 最小，只需 PQ CP r  最小即可， 利用选项 B 即可判断选项 C；利用点关于点的对称即可判断选项 D. 【详解】对于选项 A，因为直线 l： 2 0x y   ，设与直线 l平行的直线 l为： 0( 2)x y m m    ， 圆C：  2 22 4x y   ，圆心  2,0 , 2C r  ，因为直线 : 0( 2)l x y m m     圆 C相切， 则圆心  2,0C 到直线 : 0( 2)l x y m m     的距离 2 2 2 0 2 1 1 m d r       ，解得 2 2 2m    ， 所以与直线 l平行且与圆 C相切的直线方程为 2 2 2 0   x y ，所以 A 错误； 对于选项 B，因为点 P在直线 l上，过点 P作圆C的一条切线，切点为M ，则CM PM ， 所以在Rt CPM 中， 2 2PM CP CM  2 22 4CP r CP    ，要使 PM 最小，只需 CP 最小， 因为点 P在直线 l上，圆心  2,0C ，则 CP 的最小值即为点  2,0C 到直线 2 0x y   的距离 2 2 2 0 2 2 2 1 1     ， 即 min 2 2CP  ，   2 min 2 2 4 2PM    ，所以 B 正确； 对于选项 C，点 P在直线 l上，点 Q在圆 C上，圆心  2,0 , 2C r  ，要使 PQ 最小，只需直线 PQ过圆心， 则 PQ CP r  ，只需 CP 最小，由选项 B 知， min 2 2CP  ，则 min 2 2 2PQ   ，所以 C 错误； 对于选项 D，圆C与圆C关于直线 l对称，则点C与点C关于 l对称，设  ,C x y ，  2,0C 因为直线 2 0l x y  : 斜率为1，直线C C 与直线 2 0l x y  : 垂直，则 1  C Ck ， 又C C 的中点 2 , 2 2 x y      在直线 2 0l x y  : 上，所以 1 2 2 2 0 2 2 y x x y           ，解得 2 4 x y     ，所以  2,4C  ， 则圆C的方程为：    2 22 4 4x y    ，所以 D正确.故选：BD. 第 15 页 共 18 页 3-5.(多选)(24-25 高二上·江西南昌·期末)已知直线 : 2 0l mx y m    和圆 2 2: ( 1) ( 2) 9C x y    相交于 M， N，下列说法正确的是( ) A．直线 l过定点 ( 1, 2) B．若圆C关于 l对称，则 1m  C．CM CN   的最小值为 9 D．圆C上到直线 l的距离为 3 2 的点恰好有三个，则 3 7 7 m  【答案】AC【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】A 选项，直线变形后求出定点坐标；B 选项，根据圆心在直线上求m的值；C 选项，表达出 9cosCM CN MCN     ，求出最小值；D选项，由题可得圆心到直线的距离 3 2 d  ，从而求出 3 7 7 m   . 【详解】A 选项，根据题意  : 1 2 0l m x y    变形为  2 1y m x   ， 故直线过定点  1, 2A  ，A 正确； B 选项，若圆C关于 l对称，则圆心  1,2C 在直线上，即 2 2 0m m    ，解得 0m  ，故 B 正错误； C 选项， cos 9cosCM CN CM CN MCN MCN          ， 因为 cos MCN 的最小值为 1 ，如图， 当 , ,M C N 三点共线时，CM CN   的最小值为 9 ，故 C 正确； D选项， 2 2: ( 1) ( 2) 9C x y    ，半径为3，因为圆C上到直线 l的距离为 3 2 的点恰好有三个， 所以圆心到直线的距离 3 2 d  ，即 2 2 2 2 3 2( 1) m m m       ，解得 3 7 7 m   ，D 错误.故选：AC. 3-6.(多选)(19-20 高二上·辽宁丹东·期末)圆 2 2 4 1 0x y x    ( ) A．关于点  2,0 对称 B．关于直线 0y  对称 C．关于直线 3 2 0x y   对称 D．关于直线 2 0x y   对称 【答案】ABC【难度】0.94【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 第 16 页 共 18 页 【分析】将圆的方程转化为标准方程，可得圆心，进而判断各选项. 【详解】由圆的方程为 2 2 4 1 0x y x    ，即  2 22 5x y   ，即圆心的坐标为  2,0 ， A 选项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点  2,0 是圆心，A 选项正确； B 选项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线 0y  过圆心，B 选项正确； C 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线 3 2 0x y   过圆心，C 选项正确； D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线 2 0x y   不过圆心，D 选项不正确；故选：ABC. 3-7.(多选)(24-25 高二上·广东佛山·阶段练习)下列命题正确的是( ) A．直线  0mx y m m   R 恒过定点  1,0 B．两平行直线 2 3 0x y   与 2 4 5 0x y   之间的距离是 2 5 5 C．过点  2,1P 作圆 2 2 5x y  的切线，则切线方程为 2 5 0x y   D．圆 2 2( 4) ( 2) 1x y    关于直线3 4 5 0x y   对称的圆的方程为： 2 2( 2) ( 6) 1x y    【答案】ACD【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点关于直线的对称点、求平行线间的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】对于 A，由  1 0m x y   ，通过 1 00 x y     即可判断；对于 B，由距离公式即可求解；对于 C，由圆 心到直线的距离等于半径即可求解；对于 D，确定圆心的对称点，即可判断； 【详解】对于 A：  0mx y m m   R ，即  1 0m x y   ，令 1 00 x y     ，解得 1 0 x y    ， 即直线  0mx y m m   R 恒过定点  1,0 ，故 A 正确； 对于 B：直线 2 3 0x y   ，即 2 4 6 0x y   ， 则直线 2 4 6 0x y   与 2 4 5 0x y   之间的距离 2 2 6 5 5 102 4 d     ，故 B 不正确； 对于 C：因为点  2,1P 在圆 2 2 5x y  上， 1 0 1 2 0 2OP k    ，所以切线的斜率 2k   ， 所以切线方程为  1 2 2y x    ，即 2 5 0x y   ，故 C 正确； 对于 D：圆 2 2( 4) ( 2) 1x y    的圆心为  4, 2C  ，圆 2 2( 2) ( 6) 1x y    的圆心为  2,6D  ，且半径均为 1， 点  4, 2C  与  2,6D  的中点为  1,2 ， 因为  1,2 在直线3 4 5 0x y   上，且   2 6 4 4 2 3CD k       ，由直线 3 4 5 0x y   的斜率 3 4 k  ， 所以 1CDk k   ，所以点  4, 2C  与  2,6D  关于直线3 4 5 0x y   对称，故 D 正确.故选：ACD 3-8.(多选)(24-25 高二上·山东德州·期末)以下四个命题表述正确的是( ) A．若点    4,3 , 3,5A B 到直线 : 2 1 0l x ay   的距离相等，则 a的值为 1 或 2 . 第 17 页 共 18 页 B．设O为坐标原点，直线  3 1y x   过抛物线  2: 2 0C y px p  的焦点，且与C交于 ,M N两点，则 16 3 3 MN  C．若圆  2 2( ) 1 0x a y a    与圆 2 2( 2) 25x y   有公共点，则实数 a的取值范围为 2 3,4 2   D．点  4,5P 关于直线 3 3y x  的对称点的坐标为  2,7 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、与抛物线焦点弦有关的几何性质、 已知点到直线距离求参数、求点关于直线的对称点 【分析】对于 A选项，根据点到直线距离公式，构造方程计算即可；对于 B选项，先求得抛物线方程为 2 4y x ， 再结合韦达定理和抛物线定义计算即可；对于 C 选项，求出圆心距，进而由位置关系构造不等式计算即可； 对于 D 选项，设点 (4,5)P 关于直线 3 3y x  的对称点为 0 0( , )Q x y ，运用中点及直线垂直性质计算即可. 【详解】对于 A 选项，根据点到直线距离公式，对于点 (4,3)A 到直线 : 2 1 0l x ay   的距离 1 2 | 2 4 3 1| 4 ad a      ， 点 (3,5)B 到直线 l的距离 2 2 | 2 3 5 1| 4 ad a      .因为 1 2d d ，即 2 2 | 2 4 3 1| | 2 3 5 1| 4 4 a a a a          ，也就是 | 9 3 | | 7 5 |a a   . 当9 3 7 5a a   时，解得 1a  ；当9 3 (7 5 )a a    时，解得 2a   .所以 A 选项正确. 对于 B 选项，对于抛物线 2 2 ( 0)y px p  ，其焦点坐标为 ( ,0) 2 p . 直线 3( 1)y x= - - 过焦点 ( ,0) 2 p ，可得0 3( 1) 2 p    ，解得 2p  ，则抛物线方程为 2 4y x . 联立直线与抛物线方程 2 3( 1) 4 y x y x       ，将 3( 1)y x= - - 代入 2 4y x 得 23 10 3 0x x   . 设 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ，根据韦达定理 1 2 10 3 x x  .则 1 2 10 16| | 2 3 3 MN x x p      ，所以 B 选项错误. 对于 C 选项，两圆的圆心分别为 1( ,0)C a ， 2(0,2)C ，半径分别为 1 1r  ， 2 5r  . 两圆有公共点，则 1 2 1 2 1 2| | | |r r C C r r    . 21 2| | 4C C a  ， 24 4 6a   . 对于 24 4a  ，解得 2 3a  或 2 3a   (因为 0a  ，舍去 2 3a   ). 对于 2 4 6a   ，解得 4 2 4 2a   .综合得 2 3 4 2a  ，所以 C 选项正确. 对于 D 选项，设点 (4,5)P 关于直线 3 3y x  的对称点为 0 0( , )Q x y . 则 PQ中点 0 0 4 5( , ) 2 2 x y  在直线 3 3y x  上，且 3 1PQk    ， 由 3 1PQk    得 0 0 5 3 1 4 y x      ①.又 0 05 43 3 2 2 y x     ②. 联立①②求解，由①得 0 03 19x y   .将 0 03 19x y   代入②解得 0 7y  . 将 0 7y  代入 0 03 19x y   得 0 2x   .所以 D 选项正确.故选：ACD. 第 18 页 共 18 页 3-9.(23-24 高二上·云南昭通·期中)已知圆C与圆D： 2 2 4 2 3 0x y x y     关于 x轴对称，则圆C的方程 为 ． 【答案】 2 2( 2) ( 1) 2x y    【难度】0.94 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、求点关于直线的对称点、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程. 【详解】圆D： 2 2 4 2 3 0x y x y     ，即 2 2( 2) ( 1) 2x y    ，则圆心 (2,1)D ，半径 2r  ， 因为圆C与圆D关于 x轴对称，即圆心 (2,1)D 与圆心C关于 x轴对称，两圆半径相等， 则圆心 (2, 1)C  ，半径 2r  ，所以，圆C的方程为 2 2( 2) ( 1) 2x y    ．故答案为： 2 2( 2) ( 1) 2x y    . 3-10.(2025 高三·全国·专题练习)圆C与圆 2 2( 1) 1x y   关于直线 2y x  对称，则圆C的方程为 ． 【答案】    2 22 1 1x y    / 2 2 4 2 4 0x y x y     【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】先求出圆心  1,0 关于直线 2y x  的对称点，从而求出对称圆的方程. 【详解】圆 2 2( 1) 1x y   的圆心为  1,0 ，半径为1， 设  1,0 关于直线 2y x  的对称点为  ,m n ， 则 12 2 2 1 1 n m n m         ，解得 2 1 m n    ，故圆心  1,0 关于直线 2y x  的对称点为  2,1 ， 则对称圆的方程为 2 2( 2) ( 1) 1x y    ．故答案为： 2 2( 2) ( 1) 1x y    3-11.(2025 高三·全国·专题练习)曲线C与曲线 2 2 3 5 1x y x y    关于直线 2y x  对称，则曲线C的方程 为 ． 【答案】 2 2 9 11 0x y x y     【难度】0.65 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、求点关于直线的对称点、曲线与方程的概念 【分析】设出曲线C上任意一点，由此点坐标表示出其对称点的坐标，再根据其对称点在所给曲线上，代 入即可求出最终结果. 【详解】设曲线C上任意一点为  ,x y ，该点关于直线 2y x  的对称点为  0 0,x y ， 则 0 0 0 0 2 2 2 1 x x y y y y x x         ，解得： 0 0 2 2 y x x y      ，所以点  ,x y 关于直线 2y x  的对称点为  2 ,2y x  ， 因为点  ,x y 关于直线 2y x  的对称点在曲线 2 2 3 5 1x y x y    上， 则曲线C的方程为    2 2(2 ) (2 ) 3 2 5 2 1y x y x        ，即 2 2 9 11 0x y x y     ， 故答案为： 2 2 9 11 0x y x y     .