1.5等腰三角形 同步课课练 2025-2026学年 苏科版（2024）八年级数学上册

1.5 等腰三角形 一、单选题 1．在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．等腰三角形的一条边长，另一条边长为，那么它的周长为（　　） A． B． C．和 D．不能确定 3．如图，在中，，，垂足为，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，若，则的长是（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 4．下列命题的逆命题不正确的是（   ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等边三角形的三个内角相等 5．如图，，，是直线上的三点，，，是直线外一点，且，，若动点从点出发，向点移动，移动到点停止，在形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C．等边三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形 6．已知：如图，，，，则不正确的结论是（    ）    A．与互为余角 B． C． D． 7．如图，已知是的中线．下列条件能使是等腰三角形的是（   ） ①；②；③ A．①②③ B．①和② C．②和③ D．①和③ 8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 9．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，，交于点D，，交于点E．图中等腰三角形共有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 10．如图，和都是等腰三角形，．，相交于点F，连接．给出下列结论∶①；②；③平分；④平分；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 11．等腰中，已知一内角等于，求三角形的底角为 ． 12．如图，，，若，则 ． 13．如图，若，且，，则的度数是 ． 14．如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则 ． 15．已知等腰三角形的两边长满足，则该等腰三角形的周长为 ． 16．如图，中，、的平分线相交于，过点且与平行．的周长为，的周长为，则的长为 ． 17．如图，是边长为的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为，则当是直角三角形时，t的值为 ． 18．如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为 ． 19．如图，，点、、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，从左起第个等边三角形的边长记为，第个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则 ． 20．如图，，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是 ． 三、解答题 21．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 22．如图，在中，，是底边上的高，E为的中点，求的长． 23．如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 24．如图，点是等边内一点，是外的一点，已知，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求的度数； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 25．如图，为线段上一点，分别以，为边，在的同侧作等边三角形和等边三角形，交于点，交于点． 求证： (1)； (2)为等边三角形； (3)． 26．问题探究 （1）如图，在直线的同侧有，两点，在直线上画出一点，使得的值最小； （2）如图，已知在等边中，点，，分别在边，，上，且满足，，求证：； 问题解决 （3）某公司搞旅游开发项目，准备在一块等边三角形的湿地种植荷花，供游客观赏．等边三角形湿地为如图所示的，为方便游客观赏，准备在点处建造一个观景亭，还需再开发三座木桥，和，两条玻璃栈道和，其中点为的中点，点，点分别在，上，且满足，为等边三角形，利用无人机测得点到河边的距离为千米，修建玻璃栈道的费用是每米元（宽度不计）．为节约成本，要求修建玻璃栈道的费用最少．请你帮该公司求出修建玻璃栈道最少需要多少钱? 27．（1）观察发现 如图1，在四边形中，平分，与互补，，则与的数量关系是______． （2）性质探究 如图2，在四边形中，平分，与互补，，则（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请根据图2的情况加以说明；若不成立，请说明理由． （3）问题拓展 如图3，在中，，平分，，点E为边上一点，当时，请直接写出线段的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.5 等腰三角形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B D D D C B B 11．或 【详解】解：①当是底角时，则答案为：； ②当是顶角时，底角为：； 所以底角的度数为或． 故答案为：或． 12．/14度 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【详解】解：， ， 即， ， ， ． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．4 【详解】解：∵， ∴为等腰直角三角形，且； 在中，， ∴． 故答案为：． 15．22 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9， ， 不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9， 能组成三角形， 周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长为22． 故答案为：22． 16． 【详解】解：平分， ， 又， ， ， ， 同理可得， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 17．1或2 【详解】解：根据题意，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是， ， 是边长为的等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 当时， ∴， ∴， 即， 解得：． 综上所述，的值为1或2． 故答案为：1或2． 18．16 【详解】解：如图，过作于，过作于， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ； 故答案为16． 19． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ，， 以此类推：， 故答案为：． 20． 【详解】解：作点关于直线的对称点，点关于的对称点，连接交于点交于点， 垂直平分垂直平分， ， ， ， ， 连接交于点，交于点，连接、，则， ， ， ， 此时的周长最小， ， 故答案为：． 21．(1)和 (2)和 (3)等腰三角形有：和；等边三角形有： 【详解】（1）解：以点C为顶点的三角形有和； （2）解：以为边的三角形有和； （3）解：∵， ∴等腰三角形有：和； 等边三角形有：． 22．4 【详解】解：∵在中，是底边上的高， ∴，即， ∵E为的中点， ∴． 23． 【详解】（1）证明：∵点F在的垂直平分线上， ∴， ， ， 于点， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：由条件可知， ， ， ， ， ． 24．(1)见解析 (2) (3)或或 【详解】（1）证明：， ． ， 是等边三角形； （2）是等边三角形， ． ． ， ， ， ； （3）是等边三角形， ． ， ， ， ． ①当时，， ． ②当时，， ． ③当时，， ． 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 25． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． （3）证明：∵是等边三角形， ∴， 由（2）已证：为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 26． 【详解】（1）解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，则， ∴， ∴的最小值等于线段的长，图中即为所求； （2）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交于点，连接，过点作交于点，连接，如图所示： ∴， 由（2）同理可得：， ∴，， ∵，即，， ∴，， ∴， ∴， ∴，点在上， ∴点关于的对称点为点，， ∵点是等边的边上的中点， ∴，米， ∵， ∴修建玻璃栈道最少需要费用为：元． 27．（1）；（2）；见解析；（3）4或2 【详解】解：（1）∵平分，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）；理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）如图3，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图3：取的中点F， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即点E与点F重合时也满足题意， ∴． 综上所述，的长为4或2． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$