24.4第1课时　弧长和扇形面积课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十四章　圆 24.4　弧长和扇形面积 第1课时　弧长和扇形面积 （1）半径为R的圆,周长是多少？ C=2πR （3）1°圆心角所对弧长是多少？ （2）圆的周长可以看作是多少 度的圆心角所对的弧？ 1° O 360° 弧长公式 知识点1 140°圆心角所对的弧长是多少？ n° A B O 若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为 . 扇形的定义和面积公式 知识点2 如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形. 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 圆心角为1°的扇形所对的面积是多少？ 如何求扇形的面积？ 1° 想一想：圆的面积可以看作多少度的圆周角所对的扇形面积？ 扇形面积公式 在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积计算公式为 扇形的面积与扇形所在的圆的半径和弧所对的圆心角的度数有关系. S扇形＝ S圆 360 n ＝ πR2 360 n 弧长公式与扇形面积公式的区别 弧长与圆的周长有关,扇形的面积与圆的面积有关.因此,计算弧长时是 ；而计算扇形的面积时是 . n° l O 比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗? 探索弧长与扇形面积的关系 S R n° l O 弧长公式： 扇形面积公式： R 课堂小结 1. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是 上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD. 若BD⊥OC，则 的长为（　B　） A. B. C. D. π （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心， EF长为半径画弧，则 的长为 ⁠. （第2题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. （2024·深圳）如图，在矩形ABCD中，BC＝ AB，O为BC的中 点，OE＝AB＝4， 与AD相切，则扇形EOF的面积为 ⁠. （第3题） 4π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图，AC为四边形ABCD的对角线，∠CAD＝60°，∠ACD＝35°，∠ACB＝90°，△ABC的外接圆交CD于点E， 所对圆心角的度数为120°. （1） 求证：AD是△ABC的外接圆的切线. 解：（1） 设圆心为点O，连接OC. ∵ ∠ACB＝90°， ∴ AB是☉O的直径，即点O在AB上. ∵ 所对圆心角的度数为120°，∴ ∠AOC＝120°. ∵ OA＝OC，∴ ∠OAC＝∠OCA＝30°. ∵ ∠CAD＝60°，∴ ∠OAD＝∠OAC＋∠CAD＝90°. ∴ OA⊥AD. ∵ OA是☉O的半径，∴ AD是△ABC的外接圆的切线. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若△ABC的外接圆的半径为3，求 的长. 解：（2） 连接OE. ∵ ∠OCA＝30°，∠ACD＝35°， ∴ ∠OCD＝∠OCA＋∠ACD＝30°＋35°＝65°. ∵ OC＝OE，∴ ∠OEC＝∠OCD＝65°. ∴ ∠COE＝180°－∠OCE－∠OEC＝ 180°－65°－65°＝50°.∴ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （第4题） 5. 如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于直线b，然后把半圆 沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O 滚动的路径长为（　A　） A. 5π B. 2.5π C. 5＋2.5π D. 10 （第5题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图，正六边形ABCDEF的外接圆☉O的半径为2，过圆心O的两条 直线l1，l2的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为（　C　） A. π－ B. π－ C. π－ D. π－ （第6题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图所示为一 个花瓣造型的花窗示意图，该图形由六条等弧连接而成，六条弧所对应 的弦构成一个正六边形，中心为点O， 所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心.若AB＝2 ，则该图形的周长（图中实线部分的长度）为 ⁠. （第7题） 8π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将 △ABC绕直角顶点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，点C的对应点是 E，AC与DE相交于点F，则图中阴影部分的面积为 ⁠. （第8题） 2π－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. （1） 点A的坐标为 ，点C的坐标为 ⁠. （0，4）　 （3，1）　 （2） 画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到的△A'B'C. 解：（2） 如图所示. （第9题） （第9题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） 求点A旋转到点A'经过的路径长. 解：（3） ∵ AC＝3 ， ∴ 点A旋转到点A'经过的路径长为 ＝ π. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AB为直径作☉O交BC 于点D，过点D作DF⊥AC于点E，交BA的延长线于点F. （1） 求证：DF是☉O的切线. 解：（1） 连接OD. ∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C. ∵ OB＝OD，∴ ∠B＝∠ODB. ∴ ∠ODB＝∠C. ∴ AC∥OD. ∵ DF⊥AC， ∴ OD⊥DF. ∵ OD是☉O的半径， ∴ DF是☉O的切线. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若CE＝ ，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）. 解：（2） 连接AD. 设☉O的半径为r. ∵ 在Rt△CED中，CE＝ ，CD＝2， ∴ ED＝ ＝1.∴ 易知∠C＝30°. ∴ ∠B＝30°.∴ ∠AOD＝60°.∵ AB是☉O的直径， ∴ ∠ADB＝90°，即AD⊥BC. 又∵ AB＝AC，∴ CD＝BD＝2. 在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴ AD＝ AB＝r. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴ 易得BD＝ AD＝ r＝2.∴ r＝ .∴ AC＝AB＝2r＝ . ∴ AE＝AC－CE＝ － ＝ . ∴ S阴影＝S四边形AODE－S扇形OAD＝ × ×1－ ×π× ＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$