24.1第3课时　弧、弦、圆心角课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十四章　圆 24.1　圆的有关性质 第3课时　弧、弦、圆心角 圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？ · 圆是中心对称图形 它的对称中心是圆心 思考 知识点1 圆的旋转不变性及圆心角 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 B A ∠AOB为圆心角 O · 圆心角∠AOB 所对的弦为AB， 所对的弧为AB. ⌒ 判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 【对应练习】 任意给圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弦 弧 这三个量之间会有什么关系呢？ B A O · 探究 知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系 如图，在⊙O中将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 显然∠AOB＝∠A'OB' AB＝A'B' AB ＝ A'B' ⌒ ⌒ B A A' B' ● O 探究 AB＝A'B' AB ＝ A'B' ⌒ ⌒ 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠AO'B'，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ 由∠AOB＝∠AO'B'得到 B A ● O A' B' ● O' 探究 圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. AB ＝ A'B' ⌒ ⌒ ∵∠AOB＝∠AO'B' ∴AB＝A'B' A B O · A' B' 定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ · · A' B' A B 思考 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____， 所对的弦________； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角______，所对的弧_______． 同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． ① 圆心角 弧 ③ 弦 知一得二 理解 在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦的弦心距相等吗? ① 圆心角 ② 弧 ③ 弦 ④ 弦心距 知一得三 思考 A' B' A B O · C' C 课堂小结 在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的 弧相等,所对的弦相 等,所对的弦的弦心 距相等． 1.四个元素： 圆心角、弦、弧、弦心距 2.四个相等关系： ① 圆心角 ② 弧 弦 ④ 弦心距 1. 如图，AB是☉O的直径，四边形ABCD内接于☉O. 若BC＝CD＝ DA＝4cm，则☉O的直径AB为（　D　） A. 5cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm （第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图，在☉O中，AB＝2CD，那么下列选项中，正确的是（　A　） A. ＞2 B. ＜2 C. ＝2 D. 与2 的大小关系无法确定 （第2题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 如图，AB和DE是☉O的直径，AC∥DE. 若BE＝6，则CE＝ ⁠. （第3题） 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图，以▱ABCD的顶点A为圆心、AB长为半径作☉A，分别交BC，AD于点E，F，交BA的延长线于点G，连接AE，EG. （1） 求证： ＝ . 解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC. ∴ ∠EAF＝∠AEB，∠GAF＝∠B. ∵ AE＝AB，∴ ∠B＝∠AEB. ∴ ∠EAF＝∠GAF. ∴ ＝ . （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若∠EAG＝140°，求∠D的度数. 解：（2） ∵ ∠EAG＝140°， ∴ ∠EAF＝∠GAF＝70°. ∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ AB∥CD. ∴ ∠D＝∠GAF＝70°. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图，在☉O中，若 ＝2 ，则下列关于弦AB与弦AC之间的关系中，正确的是（　D　） A. AB＝AC B. AB＝2AC C. AB＞2AC D. AB＜2AC （第5题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线 折叠，点O恰好落在 上的点D处，折痕交OA于点C，则 所对的 圆心角的度数为（　B　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图，AB是☉O的直径，C是上半圆的一个三等分点（靠近点A），D是 的中点，P是直径AB上的一个动点.若☉O的半径为2，则PC＋PD的最小值是 ⁠. （第7题） 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图，半圆O的直径AB＝3，弦AC与弦BD相交于点E，OD⊥AC，垂足为F，AC＝BD，则弦AC的长为 ⁠. （第8题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图，∠AOB＝90°，C，D是 的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F，连接CD. （1） 求∠AEC的度数. 解：（1） 连接AC，DB. ∵ C，D是 的三等分点， ∴ AC＝CD＝DB. ∵ ∠AOB＝90°， ∴ ∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°.∵ OA＝OB， ∠AOB＝90°，∴ ∠OAB＝∠OBA＝45°. ∴ ∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝30°＋45°＝75°. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 求证：AE＝BF＝CD. 解：（2） ∵ ∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°， ∠AEC＝75°，OA＝OC， ∴ ∠ACO＝ （180°－∠AOC）＝ ×（180°－30°） ＝75°.∴ ∠AEC＝∠ACO. ∴ AE＝AC. 同理，可得BF＝DB. ∴ AE＝BF＝CD. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图，AD，BC是☉O的弦，且AD＝BC，连接AB，CD. （1） 求证：CD＝AB. 解：（1） ∵ AD＝BC，∴ ＝ . ∴ － ＝ － ，即 ＝ .∴ CD＝AB. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 连接BD. 若 ＝ ＋ ，BD＝24，AB＝4 ，求☉O的 半径. 解：（2） 如图，过点O作OE⊥BD于点E， 延长OE交☉O于点F，连接OB，BF. ∴ ＝ ， ＝ ＋ ，BE＝DE. ∵ BD＝24， ∴ BE＝DE＝12.∵ ＝ ＋ ， ＝ ， ∴ ＝ .∴ AB＝BF＝4 .∴ 在Rt△BEF中， EF＝ ＝8.设☉O的半径为r，则OE＝r－8. 在Rt△OBE中，∵ BE2＋OE2＝OB2， ∴ 122＋（r－8）2＝r2，解得r＝13.∴ ☉O的半径为13. （第10题答案） （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图，AB是☉O的直径，点D，C在☉O上，∠DOC＝90°，AC ＝2，BD＝2 ，则☉O的半径为（　D　） A. B. C. ＋1 D. （第11题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$