24.1第2课时　垂直于弦的直径课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十四章　圆 24.1　圆的有关性质 第2课时　垂直于弦的直径 什么是轴对称图形？ 我们学过哪些轴对称图形？ 回 顾 知识点1 圆的轴对称性 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形． 线段 角 等腰三角形 矩形 菱形 等腰梯形 正方形 圆 　 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 探究 圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线. 圆有哪些对称轴？ O 如何来证明圆是轴对称图形呢？ B O A C D E 大胆猜想 已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E． 满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？ 思考 是轴对称图形． 左图是轴对称图形吗？ 证明：连结OA、OB. 则OA＝OB． 又∵CD⊥AB， ∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线. ∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称. B O A C D E 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 知识点2 垂径定理及其推论 显然，由上面的证明可知，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E，那么点A、B是关于CD所在直线的对称点，则AE=BE.把⊙O沿CD对折时，AD与BD重合，即AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ B O A C D E 垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧． 知识要点 垂径定理 B O A C D E 下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？ D O C A E B D O C A E B 图1 图2 图3 图4 D O C A E B O A E B 推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． AE＝BE AC＝BC AD＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD是直径，AB是弦， CD⊥AB ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 题设 结论 D O A B E C 垂径定理 N O A B M C D 为什么强调这里的弦不是直径？ 一个圆的任意两条 直径总是互相平分， 但它们不一定互相垂 直.因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立． 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论. 注意 两 三 条件 结论 命题 ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧． 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧． 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧． 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧． 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦． 垂径定理的推论 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 d + h = r d h a r 有哪些等量关系？ 在a，d，r，h 中，已知其中任意 两个量，可以求出 其它两个量． 课堂小结 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答. 1.如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为E. 若CD＝8，OD＝5，则BE的长为（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. ★如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD. 若OE＝3，CD＝8，则AD的长为 ⁠. （第2题） 4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图，线段AB＝10，AC＝8，点D，E在以AB为直径的半圆O上，且四边形ACDE是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F，求AE的长. （第3题） 解：过点E作EG⊥AB于点G，连接OE， 则OE＝OA＝ AB＝5，∠EGO＝∠EGA＝90°. ∵ 四边形ACDE是平行四边形，∴ DE＝AC＝8， DE∥AB. ∵ OF⊥DE，即∠OFE＝90°，∴ EF＝ DE＝4， ∠FOG＝90°.∴ 四边形OFEG是矩形.∴ OG＝EF＝4.∴ AG＝5－4 ＝1.在Rt△OEG中，EG＝ ＝ ＝3. ∴ 在Rt△AGE中，AE＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 4. 如图，AB是☉O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交 ☉O于点E. 若AC＝4 ，DE＝4，则BC的长是（　C　） A. 1 B. C. 2 D. 4 （第4题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图，在半径为3的☉O中，AB是直径，AC是弦，D是 的中点，AC与BD交于点E. 若E是BD的中点，则AC的长是（　D　） A. B. 3 C. 3 D. 4 （第5题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图，AB是☉O的直径，弦CD交AB于点E，BE＝1，AE＝5， ∠AEC＝30°，则CD的长为 ⁠. （第6题） 4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图，D是以AB为直径的半圆O上的一点，以OD为对角线作正方形OCDE，经过点C，E的直线分别与半圆O交于点F，G. 已知CE＝6，则FG的长为 ⁠. （第7题） 6 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. ★一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水 （如图），此时的水面宽AB为0.6米. （1） 求此时的水深（即阴影部分的弓形高）. 解：（1） 如图，过点O作OD⊥AB于点C， 交 于点D，连接OB. 由垂径定理， 得BC＝ AB＝0.3米.在Rt△OBC中， OC＝ ＝0.4（米）.∴ CD＝0.5－0.4＝0.1（米）. ∴ 此时的水深为0.1米. （第8题） （第8题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度. 解：（2） 当水位上升到圆心以下，水面宽为0.8米时， OC＝ ＝0.3（米）. ∴ 水面上升的高度为0.4－0.3＝0.1（米）. 当水位上升到圆心以上时， 易得水面上升的高度为0.4＋0.3＝0.7（米）. 综上所述，水面上升的高度为0.1米或0.7米. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图，点P的坐标为（4，0），☉P的半径为5，且☉P与x轴交于点 A，B，与y轴交于点C，D. 求： （1） 点A，B，C，D的坐标. 解：（1） 连接PC. ∵ AB⊥CD， ∴ O为CD的中点.在Rt△COP中，OC＝ ＝3， 即C（0，3）.∴ OD＝3，即D（0，－3）. ∵ OA＝AP－OP＝5－4＝1，∴ A（－1，0）. ∵ OB＝OP＋PB＝4＋5＝9，∴ B（9，0）. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 直线AC对应的函数解析式. 解：（2） 设直线AC对应的函数解析式为y＝kx＋b. 把A（－1，0），C（0，3）代入，得 解得 ∴ 直线AC对应的函数解析式为y＝3x＋3. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$