4.1 函数（课件）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数 4.1 函数 八上数学 BSD 1. 经历生活中的实例，总结出函数的概念和表示方法，能举出函数的实例，能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系. 2. 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围会求函数值，理解函数值的意义. 学习目标 问题 万物皆变，大到天体、小到分子都处在不停的运动变化之中，如何从数学的角度来刻画这些运动变化并寻找规律呢? 函数是刻画变量之间关系的常用模型，下面就让我们一起来 认识函数. 课堂导入 知识点1 函数 思考 想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的? 由低变高， 再由高变低. 新知探究 下图反映了摩天轮上的一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的关系. 知识点1 函数 h/m t/min O 新知探究 Y 值 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 14 36 47 36 14 3 14 36 47 36 14 3 h/m t/min O 知识点1 函数 t/分 0 1 2 3 4 5 … h/米 … 36 14 36 47 14 3 (1) 根据上图填写下表： 新知探究 Y 值 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 14 36 47 36 14 3 14 36 47 36 14 3 知识点1 函数 (2) 对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？ 对于给定的时间t， 相应的高度h随之确定. h/m t/min O 新知探究 Y 值 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 14 36 47 36 14 3 14 36 47 36 14 3 1.圆柱形物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 知识点1 函数 层数n 1 2 3 4 5 … 物体总数y … 6 10 15 1 3 填写下表： … 新知探究 2.一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到-273.15℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273.15℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(单位：K)与摄氏温度t(单位：℃)之间有如下数量关系：T=t+273.15，T ≥0. (1) 当t分别为-43 ℃ ，-27 ℃ ，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？ 知识点1 函数 当t=-43 ℃时，T= -43 +273.15=230.15（K） ； 当t=-27 ℃时，T= -27 +273.15=246.15（K） ； 当t=0 ℃时，T= 0 +273.15=273.15（K）； 当t=18 ℃时，T= 18 +273.15=291.15（K）. 新知探究 知识点1 函数 2.一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到-273.15℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273.15℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(单位：K)与摄氏温度t(单位：℃)之间有如下数量关系：T=t+273.15，T ≥0. (2) 给定一个大于-273.15 ℃的t值，你能求出相应的T值吗？ 给定一个大于-273 .15℃的t值，代入关系式即可以求出相应的T值. 新知探究 上面三个问题都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点? 在上面各例中，都有两个变量， 给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值. 知识点1 函数 新知探究 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们 称y是x的函数，其中x是自变量. 知识点1 函数 不能说y是函数 注意：自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应， 但对于自变量x的几个不同值，y的值可以相同. 新知探究 跟踪训练 下列变量间的关系不是函数关系的是(　　) A. 长方形的宽一定，其长与面积 B. 正方形的周长与面积 C. 等腰三角形的底边长与面积 D. 圆的周长与半径 知识点1 函数 C 新知探究 表示函数的方法有哪些呢? 图象： 优点：能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势. 缺点：由自变量的值常常难以找到准确的、与它对应的函数值. 知识点2 函数的表示方式 新知探究 表示函数的方法有哪些呢? 表格： 优点：能直接看出表格中自变量的每一个值和与它对应的函数值. 缺点：表格中列出的对应值是有限的，不能反映出函数变化的全貌. 知识点2 函数的表示方式 新知探究 表示函数的方法有哪些呢? 关系式： 热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系： T=t+273.15，T ≥0. 优点：能准确地反映整个变化过程中自变量与函数值的对应关系. 缺点：从函数关系式中不易直观地看出函数的变化趋势，而且有些函数不能用关系式法表示. 知识点2 函数的表示方式 新知探究 知识点2 函数的表示方式 注意： (1) 一般地，函数的三种表示方法可以相互转化. (2) 并不是所有的函数都可以用这三种方式表示出来，如气温关于时间的函数，只能用表格和图象表示，而不能用关系式来表示. 新知探究 跟踪训练 轮船从甲港以30n mile/h的速度匀速驶向相距500n mile的乙港. 设轮船与乙港的距离为s(n mile)，航行时间t(h) ，s是t的函数吗?用含t的代数式表示s. 解：s是t的函数. 轮船与乙港的距离s随航行时间t的变化而变化，当t取一个确定的值时，s有唯一的值与它对应， 所以s是t的函数，t是自变量. 它们之间的关系可以表示为s=500-30t. 知识点2 函数的表示方式 新知探究 知识点3 自变量和函数值 层数n 1 2 3 4 5 … 物体总数y … 6 10 15 1 3 填写下表： n取正整数 … 自变量能取哪些值？ 新知探究 知识点3 自变量和函数值 一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到-273.15℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273.15℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(单位：K)与摄氏温度t(单位：℃)之间有如下数量关系：T=t+273.15，T ≥0. t ≥ -273.15 自变量能取哪些值？ 新知探究 函数自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体叫作函数自变量的取值范围. 求函数自变量的取值范围时一般需满足： ① 使函数关系式有意义； ② 使实际问题有意义. 知识点3 自变量和函数值 新知探究 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值. 知识点3 自变量和函数值 新知探究 跟踪训练 已知函数y=，当x=-2时，函数y的值为（ ） A. 3 B.-3 C. D. − 知识点3 自变量和函数值 B 新知探究 1. 按图示的运算程序，输入一个实数 x ，便可输出一个相应的实数y. y是x的函数吗?为什么? 解：y是x的函数． 理由：y和x是两个变量， y随x的变化而变化， 对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应. y与x的关系符合函数的定义，所以y是x的函数． 随堂练习 24 A B C D 2. 下列曲线中表示y是x的函数的是(　　). C 随堂练习 25 3. 小汽车开始行驶时，油箱中原有油56L，如果每小时耗油8L，那么油箱中剩余油量y(L)与行驶时间x(h)之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ，当x=4时，函数值y= .当油箱中剩余油量为8L时，自变量x= . 解析：由题意，得油箱中剩余油量y(L)与行驶时间x(h)之间的函数关系式是y=56-8x；由实际问题的意义，可得自变量x的取值范围是0≤x≤7；当x=4时，y=56-8×4=24；当y=8时，8=56-8x，解得x=6. 24 6 y=56-8x 0≤x≤7 随堂练习 26 函数 表示方式：表格、关系式、图象. 概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量. 自变量的取值范围：使函数关系式有意义；使实际问题有意义. 函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值. 课堂小结 $$