4.3 一次函数的图象 课件 2025-2026学年 北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数 课时2 一次函数的图象与性质 4.3 一次函数的图象 八上数学 BSD 1.能熟练画出一次函数的图象,掌握一次函数的图象及性质. 2.探索并理解一次函数表达式中k，b的值对一次函数图象的影响. 3. 进一步理解正比例函数与一次函数的关系. 学习目标 问题 正比例函数y=kx的图象是一条过原点的直线，那么一次函数y=kx+b的图象又是怎样的呢?与正比例函数的表达式相比，一次函数的表达式多了一个b，b对函数图象会有什么影响? 课堂导入 (1) 用列表、描点、连线的方法画一次函数y=2x+1的图象. 列表： 知识点1 一次函数的图象 x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y=2x+1 … … -3 -1 1 3 5 新知探究 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. 连线：把这些点依次连接起来，得 到函数y=2x+1的图象，如图所示. 知识点1 一次函数的图象 1 2 y 3 4 5 -2 -3 4 5 3 2 O x 1 -1 -2 -1 y=2x+1 新知探究 (2) 一次函数y=2x+1的图象是一条直线吗? (2) 是一条直线. 知识点1 一次函数的图象 1 2 y 3 4 5 -2 -3 4 5 3 2 O x 1 -1 -2 -1 y=2x+1 新知探究 1 2 y 3 4 5 -2 -3 4 5 3 2 O x 1 -1 -2 -1 y=2x+1 (3) 一次函数y=2x+1的图象与正比例函数y=2x的图象有什么关系? (3) 一次函数y=2x+1的图象与正比例 函数y=2x的图象平行. 知识点1 一次函数的图象 y=2x 新知探究 (4) 一般地，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx的图象有什么关系? (4) 一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx的图象相互平行. 知识点1 一次函数的图象 新知探究 知识点1 一次函数的图象 一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，它与正比例函数y=kx的图象相互平行.因此，画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点画直线就可以了. 一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b． 新知探究 知识点1 一次函数的图象 一般地，一次函数y=kx+b的图象可以由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到. 新知探究 跟踪训练 在同一平面直角坐标系中，画函数y＝x＋3和y＝－4x－5的图象. 知识点1 一次函数的图象 x 0 y＝x＋3 0 3 －6 x 0 y＝－4x－5 0 －5 － 1 2 y 3 4 5 -2 -3 -1 -4 -5 4 5 3 2 O x 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 y＝x＋3 y＝－4x－5 新知探究 列表： 分别描点、连线，图象如图所示. 在一次函数y=3x+1，y=-x+1，y=3x-2，y=4x-3中，画出这四个函数的图象. 知识点2 一次函数图象特征和性质 x 0 1 y＝+1 1 4 y＝x+1 1 0 y＝-2 -2 1 y＝4-3 -3 1 新知探究 在一次函数y=3x+1，y=-x+1，y=3x-2，y=4x-3中， (1) 哪个函数y的值随着x值的增大而增大?哪个函数y的值随着x值的增大而减小？ 知识点2 一次函数图象特征和性质 (1) 函数y=3x+1，y=3x-2，y=4x-3，y的值随着x值的增大而增大； 函数y=-x+1，y的值随着x值的增大而减小. 新知探究 在一次函数y=3x+1，y=-x+1，y=3x-2，y=4x-3中， (2) 随着x值的增大，y的值增大速度最快的函数是哪个? (2) 是函数y=4x-3. 知识点2 一次函数图象特征和性质 新知探究 在一次函数y=3x+1，y=-x+1，y=3x-2，y=4x-3中， (3) 哪两个函数的图象相互平行? (3) 一次函数y=3x+1的图象与一次 函数y=3x-2的图象相互平行. 知识点2 一次函数图象特征和性质 新知探究 在一次函数y=3x+1，y=-x+1，y=3x-2，y=4x-3中， (4) 图象与y轴相交于同一点的函数有哪些? (4) 一次函数y=3x+1的图象与 一次函数y=-x+1的图象与y轴 相交于同一点. 知识点2 一次函数图象特征和性质 新知探究 一次函数 y=kx+b的图象经过点（0，b），与函数y=kx的图象平行. 在一次函数 y=kx+b 中，k的符号绝对函数的增减性： 当k＞0时，y的值随着x值的_____________； 当k＜0时， y的值随着x值的_____________. k值相同的几个一次函数的图象平行. 知识点2 一次函数图象特征和性质 增大而增大 增大而减小 新知探究 知识点2 一次函数图象特征和性质 一次函数 y=kx+b 中，b决定直线与y轴交点的位置： 当b＞0时， 图象与y轴的交点在x轴的上方； 当b＜0时， 图象与y轴的交点在x轴的下方； 当b = 0时， 图象与坐标原点相交． 新知探究 知识点2 一次函数图象特征和性质 一次函数 y＝kx＋b(k ，b为常数，k≠0) k ，b 符号 图象 与y轴交点 经过象限 变化趋势 k＞0 b＞0 b＜0 x y O y轴正半轴 第一、二、三象限 y随x的增大而增大 x y O y轴负半轴 第一、三、四象限 k＜0 b＞0 b＜0 x y O y轴正半轴 第一、二、四象限 y随x的增大而减小 x y O y轴负半轴 第二、三、四象限 新知探究 知识点2 一次函数图象特征和性质 跟踪训练 下列函数中： （1）y=-3.5 x+4，(2) y=0.2x-5，(3)y=6x，(4) y=-x-3， (5) y=8x-7. y的值随x增大而增大的函数是______________，图象从左向右看是下降的函数是__________. (2)(3)(5) (1)(4) 新知探究 1. 在同一平面直角坐标系中，画函数y＝2x＋1，y＝2x－1的图象. 这两条直线的位置有什么关系? x 0 y＝2x＋1 0 x 0 y＝2x－1 0 1 － 1 y 2 -1 2 1 O x -1 y＝2x＋1 －1 y＝2x－1 这两条直线互相平行. 随堂练习 21 2. 一次函数y=-x-2的大致图象为( ) D A B C D x y O x y O x y O x y O 随堂练习 22 3. 已知点 P(a，b)，Q(1，c)在一次函数y=4x+3的图象上，且a<1. 比较b与c的大小，并说明理由. 解：b<c. 理由如下： 根据一次函数y=4x+3的变化趋势，函数值y随自变量x的增大而增大， 所以当自变量a<1时，对应的函数值b<c. 随堂练习 23 4. 当k<0时，一次函数y=kx-k的图象不经过 (　　) A. 第一象限　　B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 C 解析：因为k<0，所以-k>0， 所以一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限. 随堂练习 24 5. 已知一次函数y=(1-2m)x+m-1 ， 求满足下列条件的m的值： (1) 函数值y 随x的增大而增大； (2) 函数图象与y 轴的负半轴相交； (3) 函数的图象过第二、三、四象限. 解：(1) 由题意，得1-2m>0， 解得m< ； (2) 由题意，得1-2m≠0且m-1<0， 即m<1且m≠ ； 随堂练习 25 5. 已知一次函数y=(1-2m)x+m-1 ， 求满足下列条件的m的值： (1) 函数值y 随x的增大而增大； (2) 函数图象与y 轴的负半轴相交； (3) 函数的图象过第二、三、四象限. (3) 由题意，得1-2m<0且m-1<0， 解得<m<1. 随堂练习 26 一次函数的图象与性质 图象 一条直线 可以由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到. 性质 在一次函数 y=kx+b 中， 当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大； 当k＜0时， y的值随着x值的增大而减小. 课堂小结 $$第四章 一次函数 课时1 正比例函数的图象与性质 4.3 一次函数的图象 八上数学 BSD 1. 理解函数图象的概念，掌握作函数图象的一般步骤. 2. 掌握正比例函数的图象与性质，并能灵活运用解答有关问题. 学习目标 下图反映摩天轮上的一点的高度h(m)与旋转时间t(min) 之间的关系. 借助图象可以直观地认识函数. 课堂导入 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象. 知识点1 函数的图象 新知探究 知识点1 函数的图象 思考 画正比例函数y=2x的图象. 为了画出函数的图象，首先需要选取一些自变量的值，并将自变量的值及其对应的函数值用表格表示. 列表时选取自变量x的哪些值呢?观察这个函数表达式，x可以取0吗?可以敢正数吗?可以取负数吗? x可以取0，可以取正数，可以取负数，取值范围是全体实数， 列表选值可灵活选便于计算的数，像-2，-1，0，1，2. 新知探究 画正比例函数y=2x图象的基本步骤如下. 列表： 知识点1 函数的图象 x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y ··· ··· -4 -2 0 2 4 新知探究 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点. 知识点1 函数的图象 (-2，-4)，(-1，-2)，(0，0)，(1，2)，(2，4) 新知探究 连线：把这些点依次连接起来，得到y=2x的图象. 知识点1 函数的图象 y=2x的图象有什么特征？ y=2x的图象是一条过原点的直线. y=2x 新知探究 知识点1 函数的图象 步骤 描述 注意 列表 列表给出一些自变量的值及其应的函数值. 根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取,并且取值要有代表性，以便全面地反映函数图象的全貌. 描点 以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. 描点时取点越多，图象就越准确. 连线 按照各点横坐标由小到大的顺序把这些点依次连接起来. 要用光滑的曲线将所描的点顺次连接起来. 画函数图象的一般步骤 新知探究 其他满足y=2x的点(x，y)也在画出的直线上吗? 知识点1 函数的图象 y=2x 在 新知探究 函数图象与函数表达式之间的对应关系： (1) 函数图象上任意点的坐标(x，y)均满足该图象对应的函数表达式，即函数图象是由满足该函数表达式的所有点组成的图形； (2) 满足函数表达式的任意一对x，y的值所对应的点(x，y)一定在该函数图象上. 知识点1 函数的图象 新知探究 跟踪训练 若点A(-2，m)在正比例函数y=-x的图象上，则m的值是( ). A. B. - C. 1 D. -1 知识点1 函数的图象 C 新知探究 思考 1. 画正比例函数图象的一般步骤是什么? (1) 列表；(2) 描点；(3) 连线． 2. 在列表时，是先取x的值还是先取y的值?另一个变量的值是如何确定的?连线时要注意什么? 先取x的值，再根据函数表达式求出y的值. 连线时要注意按照顺序用平滑的线连接. 知识点2 正比例函数图象特征和性质 新知探究 知识点2 正比例函数图象特征和性质 x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y ··· ··· 6 3 0 -3 -6 尝试 (1) 画正比例函数y=-3x的图象. 列表： 新知探究 画正比例函数y=-3x的图象. 描点： 以表中各对x，y的值为点的坐标， 在平面直角坐标系中描出相应的点. 连线： 顺次连接描出的各点，得到函数的 图象. 知识点2 正比例函数图象特征和性质 新知探究 (2) 正比例函数y=2x和y=-3x的图象有什么共同特点?一般地，正比例函数y=kx的图象有何特点? (2) 两者都是过原点的一条直线. 正比例函数y=kx的图象是一条经过原点(0，0)的直线. 知识点2 正比例函数图象特征和性质 新知探究 一般地，正比例函数y=kx (k为常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线. 知识点2 正比例函数图象特征和性质 正比例函数图象的画法： 画正比例函数的图象时，通常取(0，0)，(1，k)两点，再过这两点画直线，简记为“两点法”作图. 新知探究 操作 (1) 在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y=x，y=3x，y=-x和y=-4x的图象. 知识点2 正比例函数图象特征和性质 新知探究 (2) 上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化?相应图象上的点的变化趋势如何? 知识点2 正比例函数图象特征和性质 (2) 在正比例函数y=x，y=3x中， y的值随着x值的增大而增大， 图象从左向右上升； 新知探究 (2) 上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化?相应图象上的点的变化趋势如何? 知识点2 正比例函数图象特征和性质 在正比例函数y=-x，y=-4x中， y的值随着x值的增大而减小， 图象从左向右下降. 新知探究 在正比例函数y=kx中， 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大； 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小. 知识点2 正比例函数图象特征和性质 新知探究 正比例函数图象特征和性质： 知识点2 正比例函数图象特征和性质 函数表达式 函数图象 图象经过象限 函数变化趋势 x y O 一、三 x y O y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 二、四 y=kx(k<0) y=kx(k>0) 新知探究 思考 (1) 正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大，y的值都增大了，其中哪一个增大得更快?你能解释其中的道理吗? (1) 函数y=3x增加得更快.理由如下： x从0开始逐渐增大时，自变量每增加1个单位，y=x的函数值也相应增加1个单位， 而y=3x的函数值却相应增加3个单位， 因此y=3x的函数值比y=x的函数值增加得更快. 知识点2 正比例函数图象特征和性质 新知探究 (2) 类似地，正比例函数y=-x和y=-4x中，随着x值的增大，y的值 都减小了，其中哪减小得更快? (2) y=-4x的函数值减小得更快. 知识点2 正比例函数图象特征和性质 新知探究 跟踪训练 关于正比例函数y=5x的描述，正确的是( ) A. 图象过二、四象限 B. y随x的增大而减小 C. 图象过(1，) D. 图象是一条过原点的直线 D 知识点2 正比例函数图象特征和性质 新知探究 1. 已知 y 是 x 的正比例函数，且函数图象经过点 A(-3，6). (1) 求 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = -6 时，求对应的函数值 y； (3) 当 y = 2 时，求 x 的值. 解：(1) 设正比例函数的解析式为 y = kx(k ≠ 0). 因为图象经过点 A(-3，6)，所以 -3k = 6， 解得 k = -2. 所以 y 关于 x 的函数解析式是 y = -2x. 随堂练习 26 1. 已知 y 是 x 的正比例函数，且函数图象经过点 A(-3，6). (1) 求 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = -6 时，求对应的函数值 y； (3) 当 y = 2 时，求 x 的值. (2) 把 x = -6 代入 y = -2x，可得 y = 12. (3) 把 y = 2 代入 y = -2x，可得 x = -1. 随堂练习 27 2. 在同一平面直角坐标系中，画出下列正比例函数的图象. y=-1.5x y=-4x. y = -1.5x y = -4x 随堂练习 28 3. 正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是( ) A. 2 B. -2 C. D. - C x y O 随堂练习 29 4. 已知正比例函数y=(m+2)x经过第一、三象限，则常数m的取值范围是 . m>-2 随堂练习 30 5. 已知点A(1，-2)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象. (1) 求k的值； (2) 画出这个函数的图象； 解：(1) ∵ A(1，-2)在正比例函数 y=kx上， ∴ k×1=-2，即k=-2. (2) 作图如右. y =-2x 随堂练习 31 5. 已知点A(1，-2)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象. (3) 若-2≤x≤3，求y的取值范围. (3) 由题意， ∵ y=-2x，k=-2<0， ∴ y随x的增大而减小. 又∵ 当x=-2时，y=4； 当x=3时，y=-6. ∴ 当-2≤x≤3时，-6 ≤ y≤4. y =-2x 随堂练习 32 正比例函数图象与性质 一般取(0，0)，(1，k)两点画直线 画法 描点法 图象 列表；描点；连线 经过原点的一条直线 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大； 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小. 性质 课堂小结 $$