第四章 一次函数（单元测试） -2025—2026学年北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数（单元测试） -2025—2026学年北师大版数学八年级上册 一、选择题 1．函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．下列正比例函数中，y随x的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 3．下列关于一次函数的说法中，错误的是（　　） A．其图象经过第一、二、四象限 B．其图象与轴的交点坐标为 C．其图象一定经过点 D．随的增大而减小 4．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 5．已知一次函数的图象经过点、，则、的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 6．小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图所示，交于点P的两条线段l1，l2分别表示小敏、小聪离B地的距离y(km)与已用时间x(h)之间的关系，则小敏、小聪行走的速度分别是(　　). A．3km/h和4km/h B．3km/h和3km/h C．4km/h和4km/h D．4km/h和3km/h 7．在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据． 时间x/分钟 6 10 15 … 时间 28 40 55 … 则加热18分钟时水的温度是（　　） A． B． C． D． 8．第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛.下列函数图象可以体现这次比赛过程的是(　　). A． B． C． D． 二、填空题 9．已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则m的值为　 　． 10．在弹性限度内，弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x kg之间是一次函数关系，其图象如图所示，则弹簧本身的长度为　 　． 11．已知y﹣2与x成正比例，且当x＝﹣1时y＝5，则y与x的函数关系式是 　 　． 12．十一月的中山公园菊花盛开，甲乙两人约定去中山公园游玩，甲开汽车，乙骑摩托车分别从A、B两地同时沿同一路线去中山公园，他们距离A地的路程y（km）随时间x（h）变化的图象如图所示，已知甲开汽车离A地的路程y（km）与行驶时间x（h）满足y＝50x，甲乙行驶　 　h，两人第一次相遇． 13．已知关于x的方程kx＋b＝0（k≠0）的解为x＝﹣2，在一次函数y＝kx＋b（k≠0）图象中，当x每增加1个单位时，y增加了3个单位．若点P（5，y）为一次函数y＝kx＋b（k≠0）图象上一点，则点P到x轴的距离为　 　． 14．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角线与△AOB全等，则OD的长为　 　． 三、解答题 15．某商场计划从厂家购进 两款衣服共 100 件，这两款衣服的进价和售价如下表．设购进 款衣服 件，商场总利润为 元． 品名 进价（元／件） 90 75 售价（元／件） 120 100 （1）求 关于 的函数关系式； （2）厂家规定 的进货数量不得超过 进货数量的两倍，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润； （3）为进一步激励销人员，商场准备实施奖励计划，每卖出一件 衣服奖励 元，每卖一件 衣服奖励 元，结果发现：若 100 件衣服均按原定售价卖完，无论购进 商品多少件，商场利润恒为 2000 元，求 ， 的值． 16． 某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示. （1）根据图象，求y关于x的函数表达式； （2）若商店销售的总成本不超过3000元，则销售单价至少为多少元? 17．，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系． （1）求，的函数关系式． （2）几小时后，甲乙两人相距？ 18．已知关于x的函数 （1）当m取什么值时，y是x的一次函数? （2）当m取什么值时，y是x的正比例函数? （3）当m取什么值时，该函数与函数y=-x+3是同一个函数? 19．如图，直线l上与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点． （1）点A坐标为（　　）；点B坐标为（　　）；线段的长为________． （2）当的面积是6时，求点P的坐标； （3）在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，否则，说明理由． 20．在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线，点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作．例如，点（，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）．根据定义，回答下列问题： （1）点（3，4）的一次反射点为　 　，二次反射点为　 　； （2）当点在第三象限时，点（，1），N（3，），Q（，）中可以是点的二次反射点的是　 　； （3）若点A在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，，求射线与轴所夹锐角的度数； （4）若点A在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵函数， ∴， 解得． 故选：D． 【分析】根据函数有意义的条件得到：，解此方程即可. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：A、因为，所以y随x的增大而增大，故本选项符合题意； B、因为，所以y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； C、因为，所以y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； D、因为，所以y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； 故答案为：A. 【分析】利用正比例函数的性质与系数的关系求解即可。 3．【答案】B 【解析】【解答】A 、k<0，经过二、四象限，b>0经过第一象限，A正确； B、当y=0时，x=1 与轴的交点坐标为（1，0），B错误； C、把 代入解析式成立，C正确； D、k<0， 随的增大而减小 ，D正确； 故答案为：B . 【分析】通过一次函数的图象性质和系数关系判断即可. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵直线与相交于点， ∴关于的方程的解是， 故选：C． 【分析】 观察图象知，两直线的交点横坐标就是关于的方程的解． 5．【答案】B 【解析】【解答】解：在一次函数中，， 随的增大而减小， 又点、在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：B． 【分析】 根据一次函数的性质：“，随的增大而增大；，随的增大而减小”；由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可解答． 6．【答案】D 【解析】【解答】解：小敏行走的速度是( m/h ). 小聪行走的速度是( m/h ). 故答案为：D. 【分析】根据函数图象，分别求出小敏、小聪的行走的速度. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：设y与x的解析式为， 由表格数据知：当时，； 当时，． ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为， 当时， （）， ∴加热18分钟时水的温度是． 故答案为：B。 【分析】设y与x的解析式为，根据表格中信息可知，当时，； 当时，，将以上两组数代入解析式中，得到关于k，b二元一次方程组，求出y与x的解析式，然后再将代入解析式，然后再进行求解即可。 8．【答案】B 【解析】【解答】解：A、乌龟比兔子早出发，兔子后出发，先到了，故不符合题意； B、乌龟比兔子早出发，早到终点，符合题意； C、乌龟先出发，兔子先到乌龟后到，不符合题意； D、乌龟先出发，与兔子同时到终点，不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据“ 让乌龟先跑一段距离我再去追 ”和“结果兔子又一次输掉了比赛”，可见乌龟早出发到兔子追不上，以此作答. 9．【答案】 【解析】【解答】解：如图， 对于直线， 当时，，解得，即，， 当时，，即， 直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4， ，即， 解得， 故答案为：． 【分析】先求出一次函数的图象与x、y轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式列出方程，再求出m的值即可。 10．【答案】10cm 【解析】【解答】解：设y与x之间的函数关系式为． 将，代入，得 ， 解得． ∴y与x之间的面数关系式为． 当时，． ∴弹簧本身的长度为10cm． 故答案为：10cm. 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再将x=0代入解析式求出y的值即可。 11．【答案】y=-3x+2 【解析】【解答】解：∵y﹣2与x成正比例， ∴设，当x＝﹣1时y＝5， 则 解得 故答案为：y=-3x+2 【分析】设，将x＝﹣1，y＝5代入解析式求出k的值，即可得到。 12．【答案】 【解析】【解答】解：设乙开离A地的路程y（km）与行驶时间x（h）满足y＝kx+b， 由图象知，此解析式过（0，10）和（3，100）两点， ∴， 解得， ∴乙开离A地的路程y（km）与行驶时间x（h）的解析式为y＝30x+10， 两人第一次相遇时50x＝30x+10， 解得x＝， ∴甲乙行驶h，两人第一次相遇， 故答案为：． 【分析】设乙开离A地的路程y（km）与行驶时间x（h）满足y＝kx+b，由图象知，此解析式过（0，10）和（3，100）两点，用待定系数法求出解析式，联立两解析式即可得出相遇时间。 13．【答案】21 【解析】【解答】解：∵关于x的方程kx＋b＝0（k≠0）的解为x＝﹣2， ∴一次函数y＝kx＋b（k≠0）图象经过点(-2，0)， ∵当x每增加1个单位时，y增加了3个单位， x从-2到5增加了7个单位， ∴y增加了37=21个单位， ∴点P的坐标为(5，21)， ∴点P到x轴的距离为21． 故答案为：21． 【分析】根据题意得出一次函数y＝kx＋b（k≠0）图象经过点(-2，0)，（-1，3），根据待定系数法求得解析式，进而求得P点的纵坐标，即可得到结论。 14．【答案】1+或3 【解析】【解答】解：在y＝﹣2x+2中， 当x＝0，则y＝2，当y＝0，则x＝1， ∴OA＝1，OB＝2，由勾股定理得AB＝， ①当∠ACD＝90°时，如图1， ∵△AOB≌△DCA， ∴AD＝AB＝， ∴OD＝1+； ②当∠ADC＝90°时，如图2， ∵AP⊥AB， ∴∠BAP＝∠AOB＝90°， ∴∠ABO+∠BAO＝∠CAD+∠BAO＝90°， ∴∠ABO＝∠CAD， ∵△AOB≌△CDA， ∴AD＝OB＝2， ∴OA+AD＝3， 综上所述：OD的长为1+或3． 故答案为：1+或3． 【分析】在y＝﹣2x+2中，当x＝0，则y＝2，当y＝0，则x＝1，得出OA＝1，OB＝2，由勾股定理得AB，①当∠ACD＝90°时，②当∠ADC＝90°时，分别求出OD的长即可。 15．【答案】（1）解：根据题意，得 2500， ∴y关于x的函数关系式为 （2）解：根据题意，得 解得 ∴y随x的增大而增大， 且x为非负整数， ∴当 时， y值最大， (件) 答：购进A款衣服66件、B款衣服34件才能获得最大利润，最大利润为2830元 （3）解：商场实施奖励计划后，商场总利润 根据题意，得，解得， 答： m的值为10， n的值为5 【解析】【分析】(1)根据“总利润=每件A款衣服的利润×购进A款衣服件数+每件B款衣服的利润×购进B款衣服件数”写出y关于x的函数关系式即可； (2)根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，再由一次函数的增减性，确定当x为何值时y值最大，求出其最大值及此时100--x的值即可； (3)根据“商场实施奖励计划后，商场总利润=(A款衣服的售价-A款衣服的进价 购进A款衣服件数+(B款衣服的售价-B款衣服的进价 购进B款衣服件数”写出y关于x的函数关系式，整理成为y关于x的一次函数的一般形式，令x的系数为0、常数项为2000列关于m和n的二元一次方程组并求解即可. 16．【答案】（1）解： 由图象可知 当x=40时，y=160；当x=120时，y=0； y关于x的函数表达式为y=kx+b 将x=40，y=160；x=120，y=0代入函数表达式可得 40k+b=160，120k+b=0 解之得 k=-2，b=240 y关于x的函数表达式为y=-2x+240。 （2）解：由题意得40y≤3000， ∴40(-2x+240)≤3000， ∴x≥82.5， ∴销售单价至少为82.5元. 【解析】【分析】（1）由图象可知 当x=40时，y=160；当x=120时，y=0，利用待定系数法可求出 y关于x的函数表达式 ； （2） 根据商店销售的总成本不超过3000元可得不等式40y≤3000，即40(-2x+240)≤3000，解得x≥82.5，即销售单价至少为82.5元。 17．【答案】（1）解：设解析式为， 由图可知经过点， ∴ 解得： ∴解析式为； 设解析式为， 由图可知经过点 ∴ 解得： ∴解析式为； （2）解：由题意得， 解得：或， ∴小时或小时后，甲乙两人相距． 【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解析式，求解即可； （2）根据题意列出方程，解方程，即可求解． （1）解：设解析式为，根据题意经过点， ∴ 解得： ∴解析式为 设解析式为，根据题意经过点 ∴ 解得： ∴解析式为 （2）解：依题意，或 解得：或 ∴小时或小时后，甲乙两人相距． 18．【答案】（1）解：根据题意得，m+1≠0，即m≠-1 （2）解：根据题意得，m2-1=0，且m≠-1， ∴ m=1 （3）解：根据题意得，m+1=-1且m2-1=3， ∴ m=-2 【解析】【分析】（1）根据一次函数的概念可知比例系数k≠0，即可求得； （2）根据正比例函数可得比例系数k不为0，且b=0，即可求得； （3）根据题意可知比例系数k和b均相等，即可求得. 19．【答案】解：（1），，. （2） ∵点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点． ∴设点P的坐标为 ∵的面积是6， ∴ 解得 ∴点P的坐标为或； （3）设点P的坐标为 ∵以O、P、Q为顶点的三角形与全等，且 ∴分，，三种情况分析； ∵点Q在y轴上，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点 ∴不成立； 当时，如下图： ∵，， ∴当成立时，得= ∴ ∴或 ∴点P的坐标为或 当成立时，得时， ∴ ∴点P的坐标为或； 当时，如下图： ∵的直角边的斜边 ∵，即和矛盾 ∴不成立； 综上可知：点P的坐标为：或或或 【解析】【解答】（1） ，当时，，解得 ∴点A坐标为：，； 当时， ∴点B坐标为：，； ∴ △AOB的面积=，即×3=OM ∴ 故答案为：，，. 【分析】（1）由 ，分别求出y=0时x值，x=0时y值，即得点A和点B坐标；由勾股定理求出AB的长，再利用△AOB的面积可求出OM的长. （2）可设点P的坐标为，可得，据此求出x值，即可求解； （3）设点P的坐标为，结合题意分，，三种情况，根据全等三角形的性质分别解答即可. 20．【答案】（1）（，4）；（4，） （2）（，1） （3）解：如图1中， ∵， ∴与轴的夹角为20°或70°， 根据对称性可知，与轴所夹锐角的度数为20°或70°； （4）如图2中，观察图象可知，当点A在轴上时，是等腰直角三角形． 如图3中，观察图象可知，当点A在直线上时，是等腰直角三角形． 综上所述，点A在轴上或直线上． 【解析】【解答】（1）点（3，4）的一次反射点为（，4），二次反射点为（4，）； 故答案为：（，4），（4，； （2）∵点在第三象限时， ∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限， ∴点M（，1），N（3，），Q（，）中可以是点A的二次反射点的是M（，1）； 故答案为：（，1）； 【分析】 （1）根据一次反射点，二次反射点的定义即可求出答案. （2）根据一次反射点，二次反射点的定义判断的位置即可求出答案. （3）作图，判断出射线与轴的夹角，即可求出答案. （4）利用图象法，结合等腰直角三角形的性质即可求出答案. （1）点（3，4）的一次反射点为（，4），二次反射点为（4，）； 故答案为：（，4），（4，； （2）∵点在第三象限时， ∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限， ∴点M（，1），N（3，），Q（，）中可以是点A的二次反射点的是M（，1）； 故答案为：（，1）； （3）如图1中， ∵， ∴与轴的夹角为20°或70°， 根据对称性可知，与轴所夹锐角的度数为20°或70°； （4）如图2中，观察图象可知，当点A在轴上时，是等腰直角三角形． 如图3中，观察图象可知，当点A在直线上时，是等腰直角三角形． 综上所述，点A在轴上或直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $$