重难点专训04 不等式中的恒（能）成立问题（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点专训04 不等式中的恒（能）成立问题 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：一元二次不等式在上的恒成立问题 2 题型二：一元二次不等式在上的有解问题 4 题型三：一元二次不等式在区间上的恒成立问题 5 题型四：一元二次不等式在区间上的有解问题 7 题型五：给定参数的一元二次不等式恒成立问题 9 题型六：基本不等式中的恒成立问题 11 题型七：基本不等式中的有解问题 13 题型八：双变量的恒成立和有解问题 15 重难专题分层过关练 17 巩固过关 17 创新提升 24 一、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 1、对任意实数，不等式恒成立⇔或 2、对任意实数，不等式恒成立⇔或 二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题 方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)； 方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即. 三、给定参数范围的不等式恒成立问题 解决给定参数范围的不等式恒成立问题，关键是明确“主元”与“参数”的选择：通常以已知范围的量作为主元，以需求解范围的量作为参数，通过交换变元与参数的位置，将原不等式构造成以参数为变量的函数。 接着根据主元的取值范围，分析该函数的单调性或最值情况，列出关于参数的不等式（组）——若函数在主元取值范围内恒正（或恒负），则可通过端点值或最值满足的条件建立关系式。 最后求解不等式（组），得到参数的取值范围，过程中需注意结合函数性质准确判断不等关系方向，确保逻辑严谨。 四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： 1、对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒. 2、对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒. 题型一：一元二次不等式在上的恒成立问题 典例1-1．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 典例1-2．（多选）对R上定义运算；.若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的（    ） A．最小值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最大值是2 变式1-1．若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 变式1-2．已知二次函数满足：且，则 . 题型二：一元二次不等式在上的有解问题 典例2-1．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（多选）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．若，满足不等式，求实数的取值范围 . 题型三：一元二次不等式在区间上的恒成立问题 典例3-1．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 典例3-2．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．，恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 变式3-2．已知对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型四：一元二次不等式在区间上的有解问题 典例4-1．若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例4-2．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 变式4-1．若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 变式4-2．我们定义关于x的不等式，为“飞升不等式”． (1)当时，求“飞升不等式”的解集； (2)若存在，使“飞升不等式”成立，求实数a的取值范围． 题型五：给定参数的一元二次不等式恒成立问题 典例5-1．当时，有解，则实数的取值范围是 . 典例5-2．若不等式对满足的所有都成立，求的范围. 变式5-1．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知时，不等式恒成立，求的取值范围. 题型六：基本不等式中的恒成立问题 典例6-1．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 典例6-2．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式6-1．不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 变式6-2．已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型七：基本不等式中的有解问题 典例7-1．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 典例7-2．已知正实数x，y，满足．若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是 （用区间表示） 变式7-1．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．若关于的方程有解，则的取值范围为 . 题型八：双变量的恒成立和有解问题 典例8-1．已知函数，若对任意，存在，使，则实数a的最大值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 典例8-2．已知实数，函数，若对任意，总存在，使得，则a的最大值为 . 变式8-1．设二次函数，若存在实数，对任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式8-2．常数，函数 若，存在，对任意，恒成立，求的最小值. 巩固过关 1．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．，使得关于的不等式 有解，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则m的取值范围是 . 4．（1）设函数的最大值是，若对于任意的恒成立，则的取值范围是 ； （2）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 . 5．已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是 . 6．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若两个正实数x，y满足，且存在，使不等式有解，则实数k的取值范围为 ． 8．已知命题：方程有实数根，命题：在时恒成立.若与至少有一个为假命题，求实数的取值范围. 9．已知二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为，在中，边上的高为，且． (1)求的值； (2)若对任意，总存在，使不等式成立，求的取值范围． 10．已知：，求： (1)的最小值； (2)，恒成立，求实数的取值范围. 11．已知函数，不等式的解集是. (1)求的解析式； (2)若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围. 创新提升 1．已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 2．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 3．已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 4．已知函数． (1)若方程的两根分别是，满足，求实数的值； (2)若对，都存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专训04 不等式中的恒（能）成立问题 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：一元二次不等式在上的恒成立问题 2 题型二：一元二次不等式在上的有解问题 4 题型三：一元二次不等式在区间上的恒成立问题 5 题型四：一元二次不等式在区间上的有解问题 7 题型五：给定参数的一元二次不等式恒成立问题 9 题型六：基本不等式中的恒成立问题 11 题型七：基本不等式中的有解问题 13 题型八：双变量的恒成立和有解问题 15 重难专题分层过关练 17 巩固过关 17 创新提升 24 一、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 1、对任意实数，不等式恒成立⇔或 2、对任意实数，不等式恒成立⇔或 二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题 方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)； 方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即. 三、给定参数范围的不等式恒成立问题 解决给定参数范围的不等式恒成立问题，关键是明确“主元”与“参数”的选择：通常以已知范围的量作为主元，以需求解范围的量作为参数，通过交换变元与参数的位置，将原不等式构造成以参数为变量的函数。 接着根据主元的取值范围，分析该函数的单调性或最值情况，列出关于参数的不等式（组）——若函数在主元取值范围内恒正（或恒负），则可通过端点值或最值满足的条件建立关系式。 最后求解不等式（组），得到参数的取值范围，过程中需注意结合函数性质准确判断不等关系方向，确保逻辑严谨。 四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： 1、对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒. 2、对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒. 题型一：一元二次不等式在上的恒成立问题 典例1-1．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 典例1-2．（多选）对R上定义运算；.若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的（    ） A．最小值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最大值是2 【答案】AC 【详解】由题意可得， 所以对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， 因为， 所以对任意实数x恒成立， 所以，解得， 所以实数的最大值为，最小值为. 故选：AC 变式1-1．若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 变式1-2．已知二次函数满足：且，则 . 【答案】25 【详解】设二次函数，由可得：， 又由， 则有， 把代入得：， 则，， 即有， 又由可得：，即， 所以有，，满足， 则有，所以有， 故答案为：25 题型二：一元二次不等式在上的有解问题 典例2-1．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 故选：A 变式2-1．（多选）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意，命题的否定为命题：，， 当时，则，解得，此时命题为真； 当时，函数为开口向下的二次函数，显然命题为真； 当时，函数为开口向上的二次函数， 令，解得，根据二次函数的性质，此时命题为真. 综上可知，当时，命题为真. 根据题意，结合充分条件的定义，知命题成立的一个充分条件应为的子集， 而ABD三个选项中的范围是的子集. 故选：ABD. 变式2-2．若，满足不等式，求实数的取值范围 . 【答案】或 【详解】因为，满足不等式，即有解， 当时，不等式可化为，显然有解，满足题意； 当时，则，解得或； 当时，由二次函数的性质可知必有解， 综上，或. 故答案为：或. 题型三：一元二次不等式在区间上的恒成立问题 典例3-1．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若命题“，”为真命题， 则，恒成立. 令， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以在当时，取得最大值6，可得， 所以各选项中只有是是的一个充分不必要条件， 即是“，”为真命题的一个充分不必要条件. 故选:D. 典例3-2．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①当时，不等式化为，显然恒成立，满足题意； ②当时，令，则在上恒成立， 函数的对称轴为， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：A. 变式3-1．，恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 变式3-2．已知对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】因为，所以对任意恒成立． 令，，则在上恒成立． 令，此为二次函数的动轴定区间问题，分类讨论如下． ①当时，，得，所以； ②当时，，得，所以； ③当时，，得，不符合，舍去． 综上，． 题型四：一元二次不等式在区间上的有解问题 典例4-1．若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 则在区间上有解， 设，则的图象开口向上，对称轴为， 且，则当时，函数取得最大值为， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 典例4-2．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解法一 、令， ①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件． ②当时，的图象的对称轴方程为， 若，则在上单调递减，则只需满足，得； 若，则，且时已满足条件． 综上，实数的取值范围为． 解法二、时，，由得， 则在上有解． 令，则当时，； 当时，， 又在单调递增，所以，即， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 变式4-1．若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真， 则，所以， 故若存在，使则， 所以的取值集合是. 故选：A. 变式4-2．我们定义关于x的不等式，为“飞升不等式”． (1)当时，求“飞升不等式”的解集； (2)若存在，使“飞升不等式”成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以不等式即为，即， 于是，所以，故“飞升不等式”的解集为． （2）不等式对有解，即不等式对有解， 而， 又时，不存在，使得,不合题意，故． 题型五：给定参数的一元二次不等式恒成立问题 典例5-1．当时，有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，有解， 即在上有解， 因为，所以一次函数单调递增， 所以只需即可，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 典例5-2．若不等式对满足的所有都成立，求的范围. 【答案】 【详解】改变主元，将视为主变元，将原不等式化为， 令，则当时，恒成立， 只需，即， 解得，得， 故这个不等式组得的取值范围是. 变式5-1．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，对一切均大于0恒成立， 所以 ，或， 或， 解得或，，或， 综上，实数的取值范围是，或. 故选：A. 变式5-2．（1）已知时，不等式恒成立，求的取值范围. （2）已知存在，使不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于的函数，， 则对任意恒成立， 则满足， 解得， 即的取值范围为． （2）令，， 因为存在，使不等式成立， 所以存在，使不等式成立， 函数开口向上，对称轴为， 当，即时，，解得，所以； 当，即时，，不符合题意； 当，即时，，解得或， 所以， 综上可得，即的取值范围为. 题型六：基本不等式中的恒成立问题 典例6-1．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 典例6-2．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：A． 变式6-1．不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 变式6-2．已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】因为，，且， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得， 所以整数可取、，共个. 故选：A 题型七：基本不等式中的有解问题 典例7-1．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即时，取等号， 又不等式有解，所以，解得或， 故选：D. 典例7-2．已知正实数x，y，满足．若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是 （用区间表示） 【答案】 【详解】由得：，则， ∴ ， 当且仅当，即，时，等号成立﹒ ∴，解得：或． 故答案为： 变式7-1．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以，解得或， 故选：C 变式7-2．若关于的方程有解，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】方程转化为， 当时，方程为， 当，， 即方程有解，又，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数，所以k的取值范围为. 故答案为：. 题型八：双变量的恒成立和有解问题 典例8-1．已知函数，若对任意，存在，使，则实数a的最大值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】当 由题意可知，在上恒成立 即在上恒成立 因为（当且仅当时，取等号），所以 故实数a的最大值为 故选：A 典例8-2．已知实数，函数，若对任意，总存在，使得，则a的最大值为 . 【答案】 【详解】由题意，对任意，总存在，使得， 等价于在成立， 根据函数在上为单调递减函数，所以， 即，即， 当时，可得；当时，可得， 所以当时，化简， 又由，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，即，即，所以a的最大值. 故答案为：. 【点睛】方法点拨： 把对任意，总存在，使得，转化为在成立，结合函数的性质和基本不等式分别求得函数的最小值是解答的关键. 变式8-1．设二次函数，若存在实数，对任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，对于任意，都有成立， 所以即对于任意恒成立， 所以只需的最大值与最小值的差小于2即可， 当时，在上单调递减， 则，解得，不合题意； 当时，在上单调递增， 则，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 综上，. 故选：D. 变式8-2．常数，函数 若，存在，对任意，恒成立，求的最小值. 【详解】因为时，恒成立， 等价于对恒成立， 即存在实数m，使得对恒成立， 可知， 当时，由在内单调递减， 当时，，当时，， 则，解得， 所以的最小值为. 巩固过关 1．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D 2．，使得关于的不等式 有解，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，使得关于的不等式有解， 即，不等式， 则只需要即可， 由双勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 3．已知函数的定义域为，则m的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为的定义域为，所以恒成立， 则，解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 4．（1）设函数的最大值是，若对于任意的恒成立，则的取值范围是 ； （2）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】（1）当时，.当时，（当且仅当时取等号），则，即. 由题意知在时恒成立. 方法一  分离参数得在时恒成立， 故�� 需小于等于函数在区间上的下确界. ，故当时，， 所以. 方法二  在时恒成立（*）. 令，则问题（*）等价于在上恒成立，函数的图象的对称轴为直线，且开口向上， 所以在上，，所以，即. （2）不等式对满足的所有都成立，则对任意的，恒成立，令，则即解得. 故答案为：； 5．已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是 . 【答案】 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 6．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】关于的不等式在上恒成立， 即， 因为，所以． 解法一：（基本不等式）   ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得． 解法二 ：（柯西不等式） ， 当且仅当，即时等号成立． （柯西不等式：，当且仅当时等号成立） 所以，解得. 故选：D． 7．若两个正实数x，y满足，且存在，使不等式有解，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【详解】依题意可得，存在，使不等式有解， 设， ， 当时，即时取等号. 所以. 所以，即，解得或. 实数k的取值范围为. 故答案为：. 8．已知命题：方程有实数根，命题：在时恒成立.若与至少有一个为假命题，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】当命题为真时，，得或. 则当命题为假时，. 当命题为真时，令， 则，得，则当命题为假时，. 与至少有一个为假，即与一真一假或同假. 当真假时，或； 当假真时，无解；当假假时，. 综上得. 9．已知二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为，在中，边上的高为，且． (1)求的值； (2)若对任意，总存在，使不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）令，得或，所以． 因为，所以． 由，得，得或， 又，所以． （2）由（1）得，得，得． 因为对任意，总存在，使不等式成立， 所以，所以关于的不等式在上恒成立． 令，图象的对称轴为直线． 当，即时，，得，所以． 当，即时，，所以. 综上所述，的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为不等式在上恒成立，结合二次函数性质求参数范围. 10．已知：，求： (1)的最小值； (2)，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ，当且仅当时等号成立， ， 或（舍去）， 则的最小值为4. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 即， ∴ 11．已知函数，不等式的解集是. (1)求的解析式； (2)若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为不等式的解集是 所以0，5是方程的两个实数根， 可得. 所以. （2）由，得，即. 令， 由题可知有解，即即可. 当时，，显然不合题意. 当时，图象的对称轴为直线. ①当时，在上单调递减， 所以，解得； ②当时，在上单调递增， 所以，解得. 综上，的取值范围是. 创新提升 1．已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为不等式，的解集为， 所以是方程，的两根， 所以，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 而不等式可化为， 所以， 则在上恒成立，即， 因为， 当且仅当时，即，等号成立， 所以，此时，，满足题意， 所以的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用参变分离法将问题化为求的最值问题，从而得解. 2．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意得，，整理得． 设，则， 再设，则 ，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以，即实数的最小值为． 故答案为：. 3．已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)R． (2) (3)． 【详解】（1）当时，， 所以，即， 所以的解集为R． （2）若对任意，都有成立，即在恒成立， 解法一：设，对称轴， 由题意，只须， ①当即时，在上单调递增， 所以，符合题意，所以； ②当即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得且， 所以． 综上，． 解法二：不等式可化为，即， 设， 由题意，只须， 当且仅当即时等号成立，则， 所以，即． （3）若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上递减，在上递增， 所以； ，对称轴， ①即时，在递增， 所以恒成立； ②即时，在递减，在递增， ， 所以，故； ③即时，在递减，， 所以，解得. 综上：． 4．已知函数． (1)若方程的两根分别是，满足，求实数的值； (2)若对，都存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若方程的两根分别是，得，得 又由韦达定理得， 因为 所以 所以， 解得； （2）若对，都存在，使得对任意恒成立， 则对任意恒成立， 对于，，， 对称轴， 则， 对于，， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以在时恒成立， 所以 又，当取最小值，且最小值为 所以， 解得. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$