重难点04 利用导数研究不等式恒（能）成立问题（举一反三专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

重难点04 利用导数研究不等式恒（能）成立问题（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 利用导数研究不等式恒成立问题】 3 【题型2 利用导数研究能成立问题】 3 【题型3 分离参数法解决不等式恒（能）成立问题】 4 【题型4 分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题】 5 【题型5 构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】 6 【题型6 与不等式恒（能）成立有关的证明问题】 6 【题型7 洛必达法则】 7 【题型8 导数中双变量恒（能）成立问题】 7 【题型9 导数中双函数恒（能）成立问题】 10 1、利用导数研究不等式恒（能）成立问题 导数中的不等式恒(能)成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，从近几年的高考情况来看，不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解. 知识点1 不等式恒（能）成立问题的解题策略 1．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 知识点2 双变量的恒（能）成立问题的解题策略 1．双变量的恒（能）成立问题的求解方法 “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换有： 对于某一区间I， (1). (2). (3). 知识点3 洛必达法则 “洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则. 1．洛必达法则 法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1)及； (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0； (3)，那么. 法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1)及； (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0； (3)，那么. 2．用洛必达法则处理型函数的步骤： (1)分离变量； (2)出现型式子； (3)运用洛必达法则求值. 3．用洛必达法则处理型函数的步骤： (1)分离变量； (2)出现型式子； (3)运用洛必达法则求值. 【注意】： 1．将上面公式中的换成，洛必达法则也成立. 2．洛必达法则可处理型求极限问题. 3．在着手求极限前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限. 4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ，如满足条件，可继续使用洛必达法则. 【题型1 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例1】（2025·海南·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·广东广州·三模）若不等式（为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数的最大值为（ ） A．0 B．1 C． D． 【变式1-3】（2025·江西新余·模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用导数研究能成立问题】 【例2】（2025高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·河北张家口·一模）已知，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，使，求的取值范围. 【变式2-3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，且在处取得极值． (1)求m的值及的单调区间； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 【题型3 分离参数法解决不等式恒（能）成立问题】 【例3】（2025·陕西·二模），有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·四川成都·三模）若，恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式3-2】（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，，求实数λ的取值范围． 【变式3-3】（2025·江西·三模）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【题型4 分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题】 【例4】（2025·海南·模拟预测）若不等式对任意恒成立，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·辽宁·一模）已知函数，若时，恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·新疆喀什·二模）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【变式4-3】（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 【题型5 构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】 【例5】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 【变式5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【题型6 与不等式恒（能）成立有关的证明问题】 【例6】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，求证：对恒成立． 【变式6-1】（2025·安徽·三模）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求证：关于的不等式在上恒成立. 【变式6-2】（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：对任意的，恒成立； 【变式6-3】（2025·河北·模拟预测）已知，且在处取得极小值． (1)求的值； (2)若，且在处取得极大值，求的取值范围； (3)证明：对于任意的，有恒成立． 【题型7 洛必达法则】 【例7】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式7-1】（24-25高二下·全国·期末）若不等式对于恒成立，求的取值范围. 【变式7-2】（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则 . ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)证明：，. 【变式7-3】（23-24高二下·广东珠海·期末）在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则 该法则表述为：“设函数，满足下列条件： ①，； ②在点a处函数和的图像是连续且光滑的，即函数和在点a处存在导数； ③，其中A是某固定实数； 则.” 那么，假设有函数，. (1)若恒成立，求t的取值范围； (2)证明：. 【题型8 导数中双变量恒（能）成立问题】 【例8】（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知函数．若有两个极值点，且恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·福建莆田·三模）已知函数，，若对区间内任意两个实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·广西·三模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)对任意的，当时，都有，求实数的取值范围. 【变式8-3】（2025·江苏盐城·三模）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 【题型9 导数中双函数恒（能）成立问题】 【例9】（2025·山东泰安·二模）已知函数， 若在时恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·重庆·模拟预测）已知函数，若存在使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·广东汕头·三模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的最小值． 【变式9-3】（2025·青海海东·三模）已知函数，． (1)求的极值； (2)当时，讨论的单调区间； (3)若，，求的取值范围． 一、单选题 1．（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·二模）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·海南·模拟预测）已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广西·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．（2025·河北秦皇岛·一模）若存在正实数，使得，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，．用表示m，n的最大值，记．若对任意，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·江西新余·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 10．（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知，不等式的解集是且，则下列说法中正确的是（    ） A．函数有1个极值点 B．函数的对称中心是 C．当时恒成立，则的最小值是 D．当恒成立，则 三、填空题 12．（2025·湖北·模拟预测）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 . 13．（2025·湖南益阳·三模）设实数，，使成立，则实数α的取值范围 ． 14．（2025·河南南阳·三模）已知函数，，若恒成立，则的最小值是 ． 四、解答题 15．（2025·河北·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若不等式对恒成立，则实数的最小值. 16．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数的极小值为． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围． 17．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 18．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数. (1)求过原点的切线方程； (2)求证：存在，使得在区间内恒成立，且在内有解. 19．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 利用导数研究不等式恒（能）成立问题（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 利用导数研究不等式恒成立问题】 3 【题型2 利用导数研究能成立问题】 5 【题型3 分离参数法解决不等式恒（能）成立问题】 8 【题型4 分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题】 11 【题型5 构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】 15 【题型6 与不等式恒（能）成立有关的证明问题】 18 【题型7 洛必达法则】 23 【题型8 导数中双变量恒（能）成立问题】 23 【题型9 导数中双函数恒（能）成立问题】 31 1、利用导数研究不等式恒（能）成立问题 导数中的不等式恒(能)成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，从近几年的高考情况来看，不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解. 知识点1 不等式恒（能）成立问题的解题策略 1．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 知识点2 双变量的恒（能）成立问题的解题策略 1．双变量的恒（能）成立问题的求解方法 “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换有： 对于某一区间I， (1). (2). (3). 知识点3 洛必达法则 “洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则. 1．洛必达法则 法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1)及； (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0； (3)，那么. 法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1)及； (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0； (3)，那么. 2．用洛必达法则处理型函数的步骤： (1)分离变量； (2)出现型式子； (3)运用洛必达法则求值. 3．用洛必达法则处理型函数的步骤： (1)分离变量； (2)出现型式子； (3)运用洛必达法则求值. 【注意】： 1．将上面公式中的换成，洛必达法则也成立. 2．洛必达法则可处理型求极限问题. 3．在着手求极限前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限. 4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ，如满足条件，可继续使用洛必达法则. 【题型1 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例1】（2025·海南·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，求，判断单调性,得到的值域为，令，求导，单调性，当时，恒成立，求实数的取值范围. 【解答过程】令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增，所以， 又，所以的值域为， 令，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以， 又当时，恒成立， 所以， 故实数的取值范围为． 故选：B. 【变式1-1】（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用同构可得即在上恒成立，设，利用导数求出该函数的最小值后可得参数的取值范围. 【解答过程】由题设有， 当即时，不等式恒成立； 当即时，设，则， 故在上为增函数，而即 因为，故即在上恒成立， 而时，恒成立即恒成立， 故在上恒成立， 设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故，故， 故， 故选：B. 【变式1-2】（2025·广东广州·三模）若不等式（为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数的最大值为（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】，不等式恒成立，故只需考虑，分类参数构造函数，求导可得. 【解答过程】依题，，则时，不等式恒成立，故只需考虑，此时有， 令，则， 易知在单调递减，在上单调递增， 所以，∴实数的最大值为. 故选：C. 【变式1-3】（2025·江西新余·模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用通过将原不等式转化为，令，利用导数可得该函数为增函数，从而得，再设，求出该函数的最大值后可得参数的取值范围. 【解答过程】依题意，，则， 令，则， 则，令，解得， 故当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 故， 故在上单调递增，故只需，即， 令，则， 故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 故，则，即， 故选：C. 【题型2 利用导数研究能成立问题】 【例2】（2025高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【解答过程】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A. 【变式2-1】（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过同构，令得到，通过确定单调性，得到，问题转化成，在有解，进而可求解. 【解答过程】由题意可得： ，即， 令，即存在使得， 构造，， 由，可得，由，可得， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 所以，即存在，使得， 参变分离得到， 令， 易得当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 最小值为，当时，， 所以的值域为：， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 【变式2-2】（2025·河北张家口·一模）已知，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，使，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由题意结合导数依次求出即可由直线点斜式方程求解； （2）先由得到，构造函数，利用导数求出即可由存在性得解. 【解答过程】（1）时，， 所以，所以切线斜率， 所以曲线在处的切线方程为即. （2）因为，使得即， 所以，令，则， 所以在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以， 所以. 【变式2-3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，且在处取得极值． (1)求m的值及的单调区间； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【解题思路】（1）对函数求导，由求参数，进而研究函数的单调区间； （2）问题化为在上能成立，利用导数求的最大值，即可得范围. 【解答过程】（1）由题设，且，即， 所以，当时，当时， 所以的递减区间为，递增区间为，即处取得极小值，满足， 综上，，的递减区间为，递增区间为； （2）由题设，即在上能成立， 令，则， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 由时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则. 【题型3 分离参数法解决不等式恒（能）成立问题】 【例3】（2025·陕西·二模），有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】因为，有恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 则， 令，得，当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 则， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C． 【变式3-1】（2025·四川成都·三模）若，恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】先确定时的情况，在时，参变分离可得，进而构造函数，求得的最小值即可. 【解答过程】当，，不等式成立， 当时，恒成立，即， 令，则， 令，则，当时，， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以. 所以实数的最大值为. 故选：D. 【变式3-2】（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，，求实数λ的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）求出导数，解不等式得到的增区间，解不等式得到的减区间； （2）分离参数后构造函数，利用导数研究其最值即可求解恒成立问题. 【解答过程】（1）依题意，，， 由得． 当时，． 令，得，， 故当时，， 故当时，，当时，，当时，， 所以在单调递增；在单调递减；在单调递增． （2）令，因为，所以，故， 令，则， 令，则， 易知为减函数，则在[2，4]上，， 故在[2，4]上单调递减， 则， 故，在[2，4]上单调递减， 故， 故实数λ的取值范围为． 【变式3-3】（2025·江西·三模）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）通过导数的正负来判断原函数的单调性，再结合导函数的零点个数，从而可求极值点个数； （2）利用同构函数思想，把指对函数同构为，使得原不等式变为，然后再利用分离参变量，再利用求导来研究函数的最值，问题即可求解. 【解答过程】（1）由，可知定义域为，则． 当时，恒成立，所以在上是减函数，则无极值点． 当时，，则， 所以在上单调递增． 当，即时，， 当，即时，， 所以存在唯一的实数，使得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以是函数的极小值点，无极大值点． 综上所述，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为1． （2）由得，故．① 设函数，由，可知在R上单调递增． 由于①式可化为，即有， 所以对恒成立． 设函数，则，令，得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取得极大值也是最大值， 即最大值为．故． 【题型4 分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题】 【例4】（2025·海南·模拟预测）若不等式对任意恒成立，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知不等式变形得出，分、、三种情况讨论，解不等式，结合恒成立可求出的取值范围. 【解答过程】由可得， 即对任意的恒成立，即， 令，其中，则对任意的恒成立， 即函数在上为增函数， 考虑当时，，此时， 要使得对任意的恒成立， 当时，则有显然成立； 当时，，由可得或， 此时或； 当时，，由可得或， 由于当时，，则显然不等式，即，则， 综上所述，或，故的最大值为. 故选：C. 【变式4-1】（2025·辽宁·一模）已知函数，若时，恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，令，利用导数判断函数的单调性，再由分类讨论即可得解. 【解答过程】由，得， 令， 则， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以， 所以函数在上是增函数， 所以， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以，满足题意； 当时，则存在，使得， 且当，，函数单调递减， 所以，故不恒成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：B. 【变式4-2】（2025·新疆喀什·二模）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【解题思路】（1）结合导数分析函数的单调性，进而求解极值； （2）求导，分，，三种情况分析求解即可. 【解答过程】（1）当时，， 则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值. （2）由，， 则， 当时，，此时，函数在上单调递增， 则，即； 当时，， 则时，；时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，与矛盾，不符合题意； 当时，，此时，函数在上单调递减， 则，即恒成立，符合题意. 综上所述，的取值范围为． 【变式4-3】（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)和； (2) 【解题思路】（1）先求出函数的定义域，再求导，令，即可求出的单调递增区间； （2）分，，三种情况讨论在上的单调性，借助导数及单调性分别求出在上的最小值，令，即可求出实数a的取值范围． 【解答过程】（1）函数的定义域为． 当时，， ， 令，解得或， 所以的单调递增区间为和； （2），， 令，解得或， 当时， 当时，，在单调递增； 因为对恒成立，所以， 即，移项可得， 因为，所以满足条件； 当时， 当时，，在单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以当时，取到最小值，即， 因为对恒成立，所以， 即， 令，所以， 令，所以， 因为，所以，所以， 所以在上单调递减，所以， 即，所以在上单调递减， 又因为，且，所以． 综上，实数a的取值范围为． 【题型5 构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】 【例5】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将问题转化为对恒成立，构造函数，进而通过导数方法求出函数的最小值，即可得到答案. 【解答过程】不等式对恒成立， 即对恒成立， 令， 则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得，即，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则，即. 故选：D. 【变式5-1】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数，求导，分离参数求最值即可. 【解答过程】不等式等价于， 令，根据题意对任意的， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则， 所以当时，，单调递增， 当时，单调递减.所以，所以. 故选：C. 【变式5-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； (2) 【解题思路】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）当时，不等式变形为在上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【解答过程】（1）当时，，所以 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； （2）当，在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，则 由（1）知时，即， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数a的取值范围是. 【变式5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）求导，根据导数判断函数单调性； （2）分类参数，得，构造函数，求导，判断函数单调性与最值情况，即可得参数范围. 【解答过程】（1）由已知，，则，， 当时，由恒成立，即恒成立，即在上单调递增； 当时，令，解得，，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 综上所述， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； （2）由已知，即，又， 所以恒成立，设，， 则， 设，，则恒成立， 即函数在上单调递增，且， 当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增； 所以， 所以，即. 【题型6 与不等式恒（能）成立有关的证明问题】 【例6】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，求证：对恒成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由，构造，求导，确定最值即可求解； （2）由，得到，构造函数，通过三次求导确定其单调性，即可求证. 【解答过程】（1）由题知， 设， 令，则，所以在上单调递增， 所以，故，所以在上单调递增， 所以； （2）设， 所以函数在区间单调递减， ， 所以， 设， 令 ， 令 ， 当，，，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在上为增函数， 在上为增函数， ，所以命题得证． 【变式6-1】（2025·安徽·三模）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求证：关于的不等式在上恒成立. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）构造函数，求导，对讨论，得函数的单调性，进而求解函数的最值，即可求证. 【解答过程】（1）由题意得，，故， 故，而，故所求切线方程为， 即. （2）要证，即证. 令， 则， 当时，由，得，或. 当，即时，，函数在区间上单调递减.所以, 当，即时，列表如下： 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上的最大值为或. 因为，， 所以， 又因为，所以在区间上恒成立. 综上，当时，关于的不等式恒成立. 【变式6-2】（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：对任意的，恒成立； 【答案】(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)证明见解析 【解题思路】（1）求导，根据导数的符号求函数的单调区间； （2）分析可知原题意等价于，构建，利用导数分析最值证明不等式即可. 【解答过程】（1）当时，，则． 令，得；令，得． 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是． （2）证明：当时，． 要证，即证． 构建，则． 构建，则． 所以函数在上单调递增，则，即， 可知函数在上单调递增， 则，即． 【变式6-3】（2025·河北·模拟预测）已知，且在处取得极小值． (1)求的值； (2)若，且在处取得极大值，求的取值范围； (3)证明：对于任意的，有恒成立． 【答案】(1)1 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）通过对函数求导得到，再对求导得到，利用导数的单调性以及特殊点的值来判断的正负，进而根据函数极值的判定定理判断函数在处是否取得极小值. （2）通过对函数求导，根据导数的性质判断函数的单调性，进而确定函数的极值点，从而求出参数 的取值范围. （3）先看，此时结论显然成立.对于，设、两点，写出直线AB方程. 接着设，求二阶变化情况，发现其递增. 用反证法，若或会推出矛盾，所以，这表明先减后增， 那么在到间，即，进而得到，最终得出结论. 【解答过程】（1），则，解得， 当时，， ①当时，单调递增，又由，可知当时，， ②当时，对求导，得到，可知单调递增，有（理由： ，只需证）， 可知当时，单调递增，又由，可知当时，， 由①②可知时，函数在处取得极小值； （2），则，对求导得到， ①当时，若单调递增，当时，不可能是的极大值点， ②当时，当时，单调递增，若，可得当时，单调递增，由①知不可能是的极大值点， 若时，存在，使当时，，当时，，又由，可知当时，时，故是函数的极大值点，由上知的取值范围为； （3）时显然成立， 时，， 不妨设，且， 直线， 设，则， 当时，对求导得到， 则在上单调递增，又， 若，则在上单调递增，，矛盾， 若，则在上单调递减，，矛盾， 故，即在上先单调递减，后单调递增， 则时，，此时， 则， 综上所述：. 【题型7 洛必达法则】 【例7】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）根据,  求得，再根据在处取得极值，求得a，b的关系，然后由曲线在点处的切线与直线垂直求解. （2）将不等式恒成立，转化为恒成立，由时，恒成立；当时，恒成立，令，求得其最大值即可. 【解答过程】（1）解： ,   ； 函数在处取得极值，    ； 又曲线在点处的切线与直线垂直， ； 解得：； （2）不等式恒成立可化为， 即； 当时，恒成立；当时，恒成立， 令， 则； 令， 则； 令， 则； 得在是减函数， 故， 进而 （或，， 得在是减函数，进而）． 可得：，故，所以在是减函数， 而要大于等于在上的最大值， 当时，没有意义，由洛必达法得， ． 【变式7-1】（24-25高二下·全国·期末）若不等式对于恒成立，求的取值范围. 【答案】. 【解题思路】由题设有在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性、洛必达法则求右侧的极限，即可得参数范围. 【解答过程】当时，原不等式等价于. 记，则. 记，则. 因为，， 所以在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且. 因此在上单调递减，且， 故，因此在上单调递减. 由洛必达法则有， 即趋向于0时，趋向，即有. 故时，不等式对于恒成立. 【变式7-2】（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则 . ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)证明：，. 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断； （2）通过构造，再结合即可得到结果； （3）通过换元令令，则原不等式等价于，再通过构造函数，根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出，即可证明结论. 【解答过程】（1）设， 由于， 所以不成立， 故不是区间上的2阶无穷递降函数. （2）设，则， 设， 则， 所以，得. （3）令，则原不等式等价于， 即证， 记，则， 所以， 即有对任意，均有， 所以， 因为， 所以， 所以，证毕! 【变式7-3】（23-24高二下·广东珠海·期末）在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则 该法则表述为：“设函数，满足下列条件： ①，； ②在点a处函数和的图像是连续且光滑的，即函数和在点a处存在导数； ③，其中A是某固定实数； 则.” 那么，假设有函数，. (1)若恒成立，求t的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）由题意可得恒成立，然后分三种情况，根据不等式恒成立，求出t的取值范围. （2）令，对求导，判断的单调性，求出，进而得到，结合（1），即可证明. 【解答过程】（1）若恒成立，即恒成立， 当时，，成立， 当时，，令， ，令， ， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，即， 所以当时，，即单调递增， 由洛必达法则知：， 所以当时，，所以, 同理，当时，可得，所以 综上所述：t的取值范围为. （2）令，则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，， 所以当，，即（当且仅当时，等号成立） 由（1）知，（当且仅当时，等号成立） 所以. 【题型8 导数中双变量恒（能）成立问题】 【例8】（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知函数．若有两个极值点，且恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出函数的导函数，依题意可得在上有两个不同的零点，即方程在上有两个不同的实根，利用韦达定理及根的判别式求出，不等式恒成立，参变分离可得恒成立，利用韦达定理得到，再构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围. 【解答过程】函数的定义域为， 又，因为有两个极值点为， 所以在上有两个不同的零点， 此时方程在上有两个不同的实根， 则，解得. 若不等式恒成立，则恒成立， 因为 ， 则，设，， 则，因为，所以，所以在上单调递减， 所以，所以，即实数的取值范围为. 故选：A. 【变式8-1】（2025·福建莆田·三模）已知函数，，若对区间内任意两个实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由单调性及推出. 构造函数，因为它在[0,1]递增，所以其导数，求出最小值，进而得到的一个取值范围. 构造函数，同理它在[0,1]递增，，得出的另一个取值范围.进而可得解. 【解答过程】假设，因为在上单调递增，所以， 所以，所以 令，则在区间内单调递增，所以， 因为在区间上单调递增，所以的最小值为，故，即； 令，则在区间内单调递增，所以，所以， 令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，即． 综上所述，． 故选：A． 【变式8-2】（2025·广西·三模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)对任意的，当时，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减． (2) 【解题思路】（1）求出函数的定义域与导数，当时，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）设，分析可知函数在上为增函数，则在上恒成立，结合参变量分离法可得出，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【解答过程】（1）解：函数定义域为，. 当时，由得，由得. 此时函数的增区间为，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为. （2）由，化简为， 即. 令， 因为，则，所以函数在上单调递增， 故在上恒成立，即在上恒成立， 设，，在单调递增， 所以. 综上所述，实数的取值范围为. 【变式8-3】（2025·江苏盐城·三模）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）先求的导数，再利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可； （2）先求的导数，对分类讨论，确定导数符号，得出单调性； （3）利用导数法分别求解在给定区间的最小值，然后根据“恒成立”和“能成立”得到关于的不等式，再次利用导函数求单调性结合特殊点函数值解不等式即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以所求切线的斜率为，又， 所以切线方程为，即； （2），则函数定义域为， 所以，所以当时，有恒成立，在单调递减， 当时，由解得：，在上单调递减； 由解得：，在上单调递增； 综上，时，在单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，， 根据题意，不等式等价于，， 对于，，则 所以在上单调递减，所以， 则有，即， 设，，则， 所以在定义域内为减函数，又， 所以，所以，即的取值范围是. 【题型9 导数中双函数恒（能）成立问题】 【例9】（2025·山东泰安·二模）已知函数， 若在时恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数，，求，确定极值点，结合单调性分析最小值，得出取值范围. 【解答过程】在时恒成立，， ， ， ，， 设,,时，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增；是的极小值点， 的最小值是，，时恒成立， ，的取值范围为. 故选：B. 【变式9-1】（2025·重庆·模拟预测）已知函数，若存在使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数求得在区间上的值域，求得在区间上的值域，由此求得的取值范围. 【解答过程】对于，， 所以在区间上单调递增，， 所以当时，的值域为. 对于，， 若，则，不符合题意. 若，则，所以在上单调递增， 所以当时，的值域为，符合题意，D选项正确. 当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减， ，而当时 所以当时，的值域为，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：D. 【变式9-2】（2025·广东汕头·三模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的最小值． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【解题思路】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得； （2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解. 【解答过程】（1）（）， 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 当时，，；，， 从而在上递增，在递减； 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令，要使恒成立， 只要使恒成立，也只要使. ， 若，，所以恒成立， 当时，，当时，， 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以，解得：， 可知的最小值为； 若，，所以恒成立， 当时，，当时，， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以在内无最大值，且当趋近于时，趋近于，不合题意； 综上所述：的最小值为. 【变式9-3】（2025·青海海东·三模）已知函数，． (1)求的极值； (2)当时，讨论的单调区间； (3)若，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2)单调递减区间为，无递增区间； (3) 【解题思路】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，求出在处取得极小值，极小值为，无极大值； （2）求定义域，求导，得到导函数小于0恒成立，故单调递减区间为，无递增区间； （3）变形得到，构造，则，求导，考虑和两种情况，结合单调性，得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）的定义域为， 故， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值； （2），，定义域为， ， 故的单调递减区间为，无递增区间； （3），，即， 所以， 其中，令，则， ， 若，则，其中在恒成立， 故在上单调递增， 所以，即， 令，，则， 故在上单调递增， 故，即，所以，与取交集，故， 若，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且时，恒成立，时，恒成立， 所以，满足要求， 综上，. 一、单选题 1．（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先化简转化为恒成立，再构造函数，结合函数单调性求出最值解题. 【解答过程】因为，即， 令，则恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故a的取值范围为. 故选：C. 2．（2025·河南·二模）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求导函数得出函数的单调性得出函数值范围计算即可求参. 【解答过程】因为函数，若存在实数，使得成立， 当时，存在，所以； 当时，不成立； 当时，存在，所以成立， 令，， 当单调递增； 当单调递减； 所以时，，，，所以； 综上得：或. 故选：D. 3．（2025·海南·模拟预测）已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题易知时不成立，时，由指对同构转化为，令，即，运用单调性解不等式得到在上恒成立，利用参变分离，接着求函数最值即可. 【解答过程】当时，，所以不符合题意； 当由，即， 令，， 所以在上单调递增， ，即， 在上恒成立， ，令， ， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 即， , 故选：B. 4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对分类讨论，通过同构可将问题转化为,构造，利用导数求解最值即可. 【解答过程】当时，，合题意. 当时，即 ， 为的增函数，，即， 由题意，只需, 记， 当在单调递减，在单调递增， 故，所以， 综上，的取值范围为， 故选：D. 5．（2025·广西·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】根据题意确定有公共零点，设为，即可得到，构造函数，求出其最小值，即可求得答案. 【解答过程】由于函数在上均单调递增，故均至多有一个零点， 而不等式恒成立， 若，则需恒成立，由于的值域为R，故不恒成立； 故，则有公共零点，设为， 则，即， 故， 令，则， ，由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 则时，；时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即的最小值为1， 故选：C. 6．（2025·河北秦皇岛·一模）若存在正实数，使得，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将恒成立和存在问题转化最值问题，然后对的范围分类讨论，结合函数的单调性和最值求解即可. 【解答过程】恒成立，即恒成立， ，设， 故时，，单调递减； 时，，单调递增， 故， 当时，且， 由的单调性知，在上单调递减，上单调递增， ， 此时若存在正实数，，使恒成立， 即存在正实数，使，故. 当时，故恒成立，即恒成立， 因为，故此时不存在正实数满足条件. 综上可得，实数的取值范围是. 故选：B. 7．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，．用表示m，n的最大值，记．若对任意，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】别分判断出，的单调性，进行分类讨论，分和两种情况，利用函数的单调性证明出成立，不满足条件即可求解． 【解答过程】由于，故，从而对和均有． 这表明在和上均单调递增，从而在上递增． 由于，故． ①若，则，且等号至多对成立，所以在上单调递减． 这就意味着对有，对有，从而始终有成立，满足条件； ②若，取，使得，则对有，从而在上递增． 这就意味着有，，所以，不满足条件． 综合①②两个方面可知，实数a的取值范围为． 故选：D． 8．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用向量的运算，求得模长，整理不等式，构造函数研究其单调性，利用导数，可得答案. 【解答过程】已知向量的夹角为的单位向量，则， 所以， 所以对任意的，且，则， 所以，即， 设，即在上单调递减， 又时，，解得， 所以在上单调递增； 在上单调递减，所以， 故选：A． 二、多选题 9．（2025·江西新余·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】ACD 【解题思路】由题知不等式恒成立，过点作曲线的切线，求出两条切线斜率即可得解. 【解答过程】 由题知，不等式恒成立，设，， 即直线恒在函数图象的上方，直线恒过点，，当时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴当时，，，当时，， 在同一坐标系中作出函数与直线的图象， 设直线与函数的图象相切时切点为，，解得或； ∴当直线与函数的图象相切时切线斜率为2或，由图知，， 故选：ACD． 10．（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据转化成恒成立，构造函数利用导数求解的单调性，问题进一步转化成恒成立，构造，求解最值即可. 【解答过程】， 故恒成立，转化成恒成立， 记，则在单调递增，故由得，故恒成立， 记，故当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取最大值， 故由恒成立，即,故， 故选：AD. 11．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知，不等式的解集是且，则下列说法中正确的是（    ） A．函数有1个极值点 B．函数的对称中心是 C．当时恒成立，则的最小值是 D．当恒成立，则 【答案】BD 【解题思路】根据不等式的解集与方程的解之间的联系求得，结合导数和极值点的概念即可判断A；根据函数的对称性验证即可判断B；根据函数的单调性可知时，与矛盾判断C；将恒成立问题转化为恒成立，当时，；当时，转化为恒成立，构造，利用导数法研究其最小值即可判断D. 【解答过程】对于A：因为不等式的解集为且， 即不等式的解集为且， 所以方程的根为和（二重根）， 得，即， 所以，则，得， 令，或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，是的极小值点，即函数有2个极值点，错误； 对于B：由选项A知， 则， 所以，即函数的对称中心是，正确； C：由选项A知在上单调递增， 且，若的最小值是， 则时，而，所以不满足恒成立，错误； D：由选项A知， 当恒成立，即恒成立， 当时，原不等式显然成立，此时； 当时，转化为，则， 记，得， 记， 则，所以在上单调递增， 又，所以当时，， 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，所以，综上，正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（2025·湖北·模拟预测）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】原式变形为，令，求导可得，分，，三种情况对，讨论分离变量可求得的取值范围. 【解答过程】由，可得，令，则， 由，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 当时，，所以， 当，，令，求导得， 若，可得，所以在上单调递减， 若，可得，所以在上单调递增， 所以，所以， 当，可得，令，求导得， 所以在单调递减，此时， 所以， 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（2025·湖南益阳·三模）设实数，，使成立，则实数α的取值范围 ． 【答案】 【解题思路】将问题转化为不等式在上能成立，利用导数研究函数的单调性求出即可. 【解答过程】由，得， 即不等式在上能成立. 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 即实数a的取值范围为. 故答案为：. 14．（2025·河南南阳·三模）已知函数，，若恒成立，则的最小值是 ． 【答案】 【解题思路】对不等式进行变形得 ，构造函数，原不等式等价于，利用导数研究的单调性，进而可得自变量之间的关系，再利用导数研究恒成立问题即可. 【解答过程】恒成立，即，即， 即， 令，则恒成立，所以单调递增， ， 令，则 ， 令，解得，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，故，即．则的最小值是． 故答案为：. 四、解答题 15．（2025·河北·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若不等式对恒成立，则实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可求切线方程； （2）利用同构得，构造函数，利用导数讨论其单调性后可得即，再结合导数可求最小值. 【解答过程】（1）时，，， 得，所以， 得在点处的切线方程为. （2）由题意对恒成立.得， 所以，即， 构造函数，，在上恒成立， ， 令，解得：，令，解得：， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，则，而与1的大小不定， 但本题求实数最小值，只需考虑为负数的情况存在与否， 故此时.又因为在区间单调递减， 故在上恒成立，两边取对数得：，， 即在上恒成立， ，则， 令得，令得：， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，即，故的最小值是. 16．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数的极小值为． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先根据函数的极小值为，求得a，再利用导数的几何意义求解； （2）由（1）知：得到在上递增，再将存在，使得成立，转化为存在，使得成立，令，求得其最大值即可. 【解答过程】（1）因为函数， 所以，显然， 因为函数的极小值为， 所以，解得， 此时当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故极小值为，满足要求， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）由（1）知：当时，， 所以在上递增， 因为存在，使得成立，即， 所以存在，使得成立， 所以存在，使得成立，即成立， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以，则实数b的取值范围是. 17．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由偶函数的性质得方程到恒成立，即可求； （2）根据对称性有在上恒成立，利用导数及分类讨论研究左侧的单调性，判断不等式能否恒成立，即可得范围. 【解答过程】（1）由题设，则， 所以，即，亦即恒成立， 所以，所以，所以； （2）由题设恒成立，而时恒成立，此时， 由对称性只需在上恒成立， 令且，则， 令，则， 当时，，此时，即在上单调递增， 所以，故在上单调递增，则，满足； 当时，由，则在上恒成立， 即在上单调递增，故在上单调递增， 而，时，，使， 故有，，此时，即在上单调递减，则有， 所以在上单调递减，故存在，不满足； 综上，. 18．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数. (1)求过原点的切线方程； (2)求证：存在，使得在区间内恒成立，且在内有解. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数求解函数的切线方程； （2）利用函数导数判断函数的单调性，进而判断恒成立问题 【解答过程】（1），设切点 切线方程： 切线过原点，所以 解得，切线方程： （2）设， 则，故 当时，，则，即在单调递增， 且且时， 所以存在唯一使得①. 当时，，当时，， 在上单调递减，上单调递增. 满足在区间内有唯一解，只需满足即可. 所以， 将①代入化简得：， 即，得（舍），， 则，此时①变形为， 不妨设，显然在上单调递增. . ，则结论得证. 19．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【解题思路】（1）先求导，然后对a分类讨论，判断符号的正负，从而可得单调区间； （2）转化为，，进而可得a的取值范围. 【解答过程】（1）由题，. 当，则，则此时在上单调递减； 当，则. 若 ，即时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 若 ，即时，此时在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）时，由（1）可得； 又，则，得在上单调递增， 则. 又注意到存在，，使得， 等价于时，， 则，又， 则. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$