22.1第5课时　用待定系数法求二次函数的解析式课件2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用待定系数法求二次函数的解析式”，系统覆盖一般式、顶点式、交点式三种形式。通过回忆一次函数待定系数法引入，以“二次函数需几个点确定”设问，搭建从一次函数到二次函数的知识支架，引导学生逐步探究。 其亮点在于分层呈现三种解析式求法，通过问题驱动（如“两点能否确定二次函数”）培养推理意识，例题详解方程组求解步骤强化运算能力。课堂小结系统对比三种形式，助力学生形成模型意识。学生能清晰掌握方法选择，教师可直接利用配套例题练习提升教学效率。

22.1　二次函数的图象和性质 第5课时　用待定系数法求二次函数的解析式 第二十二章　二次函数 思考 回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？ 知识点1 用二次函数一般式y=ax2+bx+c 求函数解析式 我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？ 探究 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函数的解析式. 第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组。 解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4 三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？ 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式. 第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组。 解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 三个未知数，三个等量关系，这个方程组能解吗？ a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 ① ② ③ ? 由②-①可得： 2b=-6 b=-3 由③-①可得： 3a+3b=-3 a+b=-1 a=2 将a=2，b=-3代入①可得： 2+3+c=10 c=5 ∴解方程组得： a=2, b=-3, c=5 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式. 第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组。 解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 ∴解方程组得： 因此，所求二次函数是： a=2, b= -3, c=5 y=2x2-3x+5. 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。 由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。 归纳 任意两点的连线不与y轴平行 已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三点，求这个函数的解析式. 第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步:解方程组。 解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c. ∵抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3). ∴ 解得a＝1，b＝-2，c＝-3. ∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3. 练习 图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？ 知识点2 用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k求函数解析式 已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式. 解：∵抛物线顶点为(1,-4) ∴设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又抛物线过点(2,-3)， 则-3=a(2-1)2-4，则a=1. ∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3. 已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般步骤: 第一步：设解析式为y=a(x-h)2+k. 第二步：将已知点坐标代入求a值得出解析式. 归纳 知识点3 用交点式y=a(x-x1) (x-x2) 求二次函数解析式 一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1，当x＝-2与 时，y＝0，求这个二次函数的解析式. 两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？ 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式. 解: ∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0) ∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3) ∵图象过点C(0,3) ∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1. ∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3 用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤： ①设出合适的函数解析式； ②把已知条件代入函数解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； ③解方程组求出待定系数的值，从而写出函数的解析式. 知识点4 已知图象上关于对称轴对称的两点坐标 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1，1)，B(3，1)两点，与y轴交于点C(0，3)，求这个二次函数的解析式. 方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C(0，3)代入其中求出a的值. 方法2：设y=ax2+bx+c，把A(1，1)，B(3，1)，C(0，3)代入其中列方程组求a，b，c的值. 两种方法的结果一样吗？哪种方法更简捷？ 已知二次函数的图象经过点(-1,3), (1,3),(2,6),求这个二次函数的解析式. 解：设其解析式为y=a(x-1)(x+1)+3, 又图象经过点(2,6), ∴6=a(2-1)(2+1)+3, 解得a=1. ∴二次函数解析式为y=(x-1)(x+1)+3=x2+2. 课堂小结 1. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，0），（3，0），且与y轴交于 点（0，－5），则当x＝2时，y的值为（　A　） A. －5 B. －3 C. －1 D. 5 2. 已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A（－3，－3），且该抛物线的对称 轴经过点A，则该抛物线对应的函数解析式为（　A　） A. y＝ x2＋2x B. y＝－ x2＋2x C. y＝ x2－2x D. y＝－ x2－2x A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 已知抛物线的顶点坐标为（4，－2），且形状与抛物 线y＝x2＋2相同，则它对应的函数解析式为 ⁠ ⁠. y＝（x－4）2－2或y＝ －（x－4）2－2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. ★如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点 A（－1，0），B（0，2），C（4，0）. （1） 求抛物线对应的函数解析式. 解：（1） 将A（－1，0），B（0，2），C（4，0） 代入y＝ax2＋bx＋c，得 解得 ∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－ x2＋ x＋2. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 若P为该抛物线第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求点 P的坐标. 解：（2） 设直线BC对应的函数解析式为y＝kx＋2. 将C（4，0）代入，得4k＋2＝0，解得k＝－ . ∴ 直线BC对应的函数解析式为y＝－ x＋2. 过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q. 设P（t，－ t2＋ t＋2）， 则Q（t，－ t＋2）（0＜t＜4）. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴ PQ＝－ t2＋ t＋2＋ t－2＝－ t2＋2t. ∴ S△BCP＝ ×4× ＝－t2＋4t＝－（t－2）2＋4. ∴ 当t＝2时，△BCP的面积最大，此时点P的坐标为（2，3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 一个二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（　B　） A. y＝x2－2x＋3 B. y＝x2－2x－3 C. y＝x2＋2x－3 D. y＝x2＋2x＋3 （第5题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 已知平面直角坐标系中有点A（－4，－4），B（a，0），二次函 数y＝x2＋（k－3）x－2k的图象必过一定点C，则AB＋BC的最小值 是（　C　） A. 4 B. 2 C. 6 D. 3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 如图，在平面直角坐标系中放置Rt△ABC，∠ABC＝90°，点A （3，4）.现将△ABC沿x轴的正方向无滑动翻转，依次得到△A1B1C1， △A2B2C2，△A3B3C3，….连续翻转14次，则经过△A14B14C14三个顶点 的抛物线对应的函数解析式为（　D　） A. y＝－ （x－51）（x－55） B. y＝－ （x－51）（x－55） C. y＝－ （x－55）（x－60） D. y＝－ （x－55）（x－60） （第7题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3 与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0）.若点C（2，3）在该抛 物线上，则AB的长为 ⁠. （第8题） 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 设抛物线l：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”.抛物线y＝x2－4x＋1的“伴随抛物线”对应的函数解析式为 ⁠⁠. y＝－x2＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图，在▱ABCD中，AB＝4，点D的坐标为（0，－4），以C为 顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过x轴上的点A，B，则抛物 线对应的函数解析式为 ⁠. （第10题） y＝（x－4）2－4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A（－3，0）， B（1，0），与y轴交于点C，点P在直线AC下方的抛物线上，过点P 作PQ∥y轴，交AC于点Q，连接PA，PC，设点P的横坐标为m.求： （1） 抛物线对应的函数解析式及点C的坐标. 解：（1） 根据题意，得 解得 ∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝x2＋2x－3. 当x＝0时，y＝－3.∴ C（0，－3）. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 线段PQ长的最大值. 解：（2） 设直线AC对应的函数解析式为y＝kx－3. 将A（－3，0）代入，得－3k－3＝0，解得k＝－1. ∴ 直线AC对应的函数解析式为y＝－x－3. ∵ PQ∥y轴，点P的横坐标为m，∴ P（m，m2＋2m－3）， Q（m，－m－3）.∴ PQ＝（－m－3）－（m2＋2m－3） ＝－m2－3m＝ ＋ .∵ －1＜0，－3＜m＜0，∴ 当m＝－ 时，PQ的长取得最大值，最大值为 .∴ PQ长的最大值是 . （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 已知P（m，n）为抛物线y＝ax2－4ax＋b（a≠0）上一动点.当 1≤m≤4时，n的取值范围是1≤n≤4，则抛物线对应的函数解析式为 ⁠. y＝ x2－3x＋4或y＝－ x2＋3x＋1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$