22.1第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过“思考”环节以具体函数为例引导学生探索，借助配方将一般式转化为顶点式，搭建起与前期y=a(x-h)²+k知识的联系，帮助学生系统掌握相关内容。 其亮点在于通过问题驱动和实例分析，结合配方推理、列表描点等方法，培养学生运算能力与推理意识。利用表格归纳a,b,c及判别式与图象特征的关系，帮助学生用数学语言表达函数性质。学生能提升分析解决问题能力，教师可借助系统例题和练习优化教学效果。

22.1　二次函数的图象和性质 第4课时　二次函数y＝a＋bx＋c的图象和性质 第二十二章　二次函数 知识点1 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系 思考 解： 配 方 有哪几种画图方法？ 方法一：平移法 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 方法二：描点法 先利用对称性列表: 开口方向： 对称轴： 顶点： 向上 x=6 (6,3) y=ax2+bx+c 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系? (a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化成y=a(x-h)2+k形式. 知识点2 二次函数y=ax2+bx+c 与的图象与性质 根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗？ y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c 二次函数的顶点式 对称轴为 。 二次函数的一般表达式 因此，抛物线的对称轴是 ，顶点是 。 y O x （a>0） y O x （a<0） 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 增减性？ 最小值 最大值 课堂小结 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与系数a,b,c及b2-4ac的符号之间的关系: 1. 将抛物线y＝x2＋2x－1向右平移3个单位长度后得到 的新抛物线的顶点坐标为（　D　） A. （－4，－1） B. （－4，2） C. （2，1） D. （2，－2） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 已知二次函数y＝ax2＋（2a－3）x＋a－1（x是自变 量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围是（　A　） A. 1≤a＜ B. 0＜a＜ C. 0＜a＜ D. 1≤a＜ A 3. 将函数y＝x2－4x－5的图象向左平移3个单位长度，再向上平移7个 单位长度，所得新图象对应的函数解析式为y＝x2＋bx＋c，则b＝ ⁠. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图，二次函数y＝－x2＋ax＋1的图象经过点P（2，1）. （1） 求a的值和图象的顶点坐标. （第4题） 解：（1） 把（2，1）代入y＝－x2＋ax＋1， 得1＝－4＋2a＋1，解得a＝2. ∴ y＝－x2＋2x＋1＝－（x－1）2＋2. ∴ 图象的顶点坐标为（1，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 点Q（m，n）在该二次函数的图象上. ① 当m＝3时，求n的值. ② 若点Q到y轴的距离小于2，求n的取值范围. 解：（2） ① 把x＝3代入y＝－x2＋2x＋1， 得y＝－9＋6＋1＝－2.∴ n＝－2. ② ∵ m为点Q的横坐标，点Q到y轴的距离小于2，∴ ｜m｜＜2. ∵ 抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），∴ y的最大值为2. ∵ 2－1＜1－（－2），当x＝－2时，y＝－4－4＋1＝－7， ∴ －7＜n≤2. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 已知点（－1，y1），（2，y2），（4，y3）都在二次函数y＝ax2－ 2ax＋3a（a≠0）的图象上，当x＞2时，y随着x的增大而增大，则 y1，y2，y3的大小关系正确的是（　C　） A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y1＜y3 D. y2＜y3＜y1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 函数y＝kx＋k和函数y＝－kx2＋4x＋4（k是常数，且k≠0）在同 一平面直角坐标系中的图象可能是（　A　） A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 抛物线y＝x2＋kx＋4k在直线y＝16下方恰好有五个横坐标为整数的 点，则k的值不可能是（　C　） A. 2 B. C. 13 D. 4π＋1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 在平面直角坐标系中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3） 是二次函数y＝－x2＋4x－1图象上的三点.若0＜x1＜1，x2＞4，则 y1 y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m＋1，m＋1＜x2 ＜m＋2，m＋2＜x3＜m＋3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 ⁠. ＞　 － ＜m＜1　 9. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0）图象的对称轴是直线x＝t， 点P（1，m），Q（3，n）在这个二次函数的图象上.若n＜c＜m， 则t的取值范围是 ⁠. ＜t＜ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2－2（k－1）x＋k2－ k （k为常数）. （1） 若抛物线经过点（1，k2），求k的值. 解：（1） 把（1，k2）代入y＝x2－2（k－1）x＋k2－ k，得k2＝12 －2（k－1）＋k2－ k，解得k＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 若抛物线经过点（2k，y1），（2，y2），且y1＞y2，求k的取值 范围. 解：（2） 把（2k，y1）代入y＝x2－2（k－1）x＋k2－ k， 得y1＝（2k）2－2（k－1）×2k＋k2－ k＝k2＋ k.把（2，y2）代入 y＝x2－2（k－1）x＋k2－ k，得y2＝22－2（k－1）×2＋k2－ k＝ k2－ k＋8.∵ y1＞y2，∴ k2＋ k＞k2－ k＋8，解得k＞1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （3） 若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时， 新抛物线对应的函数有最小值－ ，求k的值. 解：（3） ∵ y＝x2－2（k－1）x＋k2－ k＝（x－k＋1）2＋ ，∴ 将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线对应的函 数解析式为y＝（x－k）2＋ .当k＜1时，1≤x≤2对应的 抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴ 当x＝1时， y最小＝（1－k）2－ k－1＝k2－ k.∴ k2－ k＝－ ，解得k1＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k2＝ ，都不合题意，舍去.当1≤k≤2时，y最小＝－ k－1. ∴ － k－1＝－ ，解得k＝1.当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小，∴ 当x＝2时， y最小＝（2－k）2－ k－1＝k2－ k＋3.∴ k2－ k＋3＝－ ， 解得k1＝3，k2＝ （不合题意，舍去）.综上所述，k＝1或k＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$