精品解析：2024年陕西省西安交通大学少年班招生初试数学试题

2024年西安交通大学少年班招生初试数学真题 1. 已知，则______． 2. 已知，在平行四边形中，，分别是，的中点，，且，则___． 3. 阳光与水平面成角，皮球在阳光下的影长为，则这个皮球的直径为______． 4. 如图，，是等边三角形，边长分别为3、2，求的内切圆的半径． 5. 如图所示，每个方格均为正方形，线段与交于点，求的值． 6. 如图，正三角形的边长为1，点与原点重合，现将正三角形向右翻转2023次，求点在数轴上对应的数字． 7. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 8. 已知，一次函数，二次函数，P为上一动点，求P到的距离的最小值． 9. 已知整数满足，求的最大值． 10. 已知，求的值． 11. 如图，在矩形中，有正方形，正方形，正方形，问：知道哪个正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差． 12. 已知任意一个大于1的正整数m的三次幂均可以分裂成m个连续奇数的和，如，按照此规律，若分裂后，有一个奇数是2023，求m的值． 13. 已知a，b，c，d，e五个数的平均数为m，方差为g，求的平均数和方差． 14. 平面直角坐标系中，已知直线，过作垂直于，并使，求直线的解析式． 15. 球队两两比赛，主场客场各一场，共42场，问有多少支队伍？ 16. 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下两种变换： ①，如；②，如：；那么______． 17. 我们用min表示两个数中的较小数，如，求的最大值． 18. 已知关于的一元二次方程的解为，则的值． 19. 假设队伍中共有x人现列队，需要每10人中走出一个人，当除以10的余数大于5时，则在余下的人中再走出一人，则共走出（ ）人． A. B. C. D. 20. 如图，为半圆上一点，为直径，沿翻折与交于点，沿翻折交于，若为中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年西安交通大学少年班招生初试数学真题 1. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加法、乘法及绝对值的相关知识，熟知运算法则及绝对值的性质是正确解题的关键． 由已知条件且，中必为两正两负．先将变形整理为：，，，，再代入所求的式子化简即可求解． 【详解】解：由，可得，，，． 原式， ，可知，中负因数的个数为偶数0或2或 4个， 由可知，不可能全为正数或全为负数， 中必为两正两负，此时的值中，有两项为1，两项为， 原式， 故答案为：． 2. 已知，在平行四边形中，，分别是，的中点，，且，则___． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理. 延长、交于点，过点作于点，根据平行四边形的性质利用证明，根据全等三角形的性质求出，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长、交于点，过点作于点， 四边形是平行四边形， ，， ，， 分别是的中点， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 是的中点， ， 设，则， ， ， ， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∵， ∴ ，， ， ， 故答案为：． 3. 阳光与水平面成角，皮球在阳光下的影长为，则这个皮球的直径为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线长定理、圆的切线的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握圆的切线长定理是解题关键．先画出图形（见解析），根据圆的切线长定理、圆的切线的性质可得，，，再设的半径为，则，解直角三角形可得，，然后根据求出的值，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：都是的切线，其中点为其中一个切点，，，， ∴，，， 设的半径为，则， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴这个皮球的直径为， 故答案为：15． 4. 如图，，是等边三角形，边长分别为3、2，求的内切圆的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，熟练掌握相关内容是解答本题的关键． 根据条件证出三个小三角形全等，根据等边三角形的边长求出两个等边三角形的面积，进而求出每个小三角形的面积，设内切圆的半径为，根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：∵是的外角， ， 又 ∵是等边三角形， ， ， ， 同理可得， ， ， ∴的周长为， 设内切圆的圆心为，的内切圆的半径为， ∴的面积为， ， 即， 解得：． 5. 如图所示，每个方格均为正方形，线段与交于点，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和正弦函数，利用辅助线构造直角三角形即可求． 【详解】解：过点作平行于且 ． 6. 如图，正三角形的边长为1，点与原点重合，现将正三角形向右翻转2023次，求点在数轴上对应的数字． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查的是数轴，由题意得，正三角形向右翻转的一个周期为3，且翻转一次后B落在1处，由此规律进行解答即可． 【详解】解：由题意得，翻转1次，B落在1，翻转2次，A落在2，翻转3次，C落在3，周期为3， 且翻转一次后B落在1处， 正三角形向右翻转2023次，此时落在数轴上，对应的数字为． 7. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 【答案】76 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：76． 8. 已知，一次函数，二次函数，P为上一动点，求P到的距离的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】设过点P平行直线的解析式为，当直线与抛物线只有一个交点P时，点P到直线的距离最小，如图设直线交x轴于A，交y轴于B，直线交x轴于C，作于D，于E，求出的长即可解决问题． 【详解】解：设过点P平行直线的解析式为， 当直线与抛物线只有一个交点P时，点P到直线的距离最小， 由，消去y得到：， 当时，， ∴， ∴直线的解析式为， 如图设直线交x轴于A，交y轴于B，直线交x轴于C，作于D，于E， 则，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数图象上的点的特征，一元二次方程，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考解答题中的压轴题． 9. 已知整数满足，求的最大值． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，解题的关键是正确将原式进行因式分解．先将因式分解为，是整数，可得四种结果，分别求解计算，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ∴， 是整数，， 或，或，或． 或或或， 或或或， 的最大值为72． 10. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的基本性质对分式进行化简是解题的关键．由题意知可得，代入即可； 【详解】解：由可得， 原式． 11. 如图，在矩形中，有正方形，正方形，正方形，问：知道哪个正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差． 【答案】正方形 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式，整式加减的应用．设与的交点为X，与的交点为Y，则设，，正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c，可以表示出所有的边长，然后可以表示出六边形的周长和四边形的周长，接着可以求出六边形的周长-四边形的周长的值，即可得出结果． 【详解】解：设与的交点为X，与的交点为Y， 则设，，正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c， ∴，，，，，，，， ∴四边形的周长， ∴六边形的周长 ， ∴六边形的周长-四边形的周长 ， ∴只要知道正方形的边长b，就可以求出两个阴影部分的周长之差， ∴只要知道正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差． 12. 已知任意一个大于1的正整数m的三次幂均可以分裂成m个连续奇数的和，如，按照此规律，若分裂后，有一个奇数是2023，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查探索数的规律的问题，主要从特殊出发得出一般规律，观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出所在的奇数的范围，即可得解． 【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，且分裂后的第一个数可以表示为；底数为3的分裂成3个奇数，且分裂后的第一个数可以表示为；底数为4的分裂成4个奇数，且分裂后的第一个数可以表示为， ∴， ∵， 设这m个连续奇数为： ，其和为： ∴， ∴， ∴, ∴分裂后的第一个奇数是， ∴这m个连续奇数为： ， 从到的所有奇数，共m个， 设，， 则 ， 当时， ， 取 当时， ， ，， ∴符合题意． 13. 已知a，b，c，d，e五个数的平均数为m，方差为g，求的平均数和方差． 【答案】平均数为；方差为 【解析】 【分析】本题主要考查方差和平均数的知识，熟练掌握方差和平均数的计算方法是解答此题的关键． 用m表示出第一组数据的和，用g表示出第一组数据的方差，再根据数据平均数和方差的计算公式解答即可． 【详解】解：∵a，b，c，d，e五个数的平均数为m， ∴， ∵a，b，c，d，e五个数的方差为g， ∴， ∴新数的平均数为： ， ∴方差为 ． 14. 平面直角坐标系中，已知直线，过作垂直于，并使，求直线的解析式． 【答案】或 【解析】 【分析】该题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，全等三角形的性质和判定，解题的关键是分类讨论．先求出A、B的坐标，画出示意图，分为①当C点在x轴下方时，②当C点在x轴上方时，分别构建全等三角形，解答即可． 【详解】解：令，则，故， 令，则，解得：，故， ①当C点在x轴下方时， 过A点作x轴垂线，过B，C分别向x轴的垂线作垂线，垂足为D，E． ∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 将代入得，解得：， ∴； ②当C点在x轴上方时， 过C点作x轴垂线，垂足为D． ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 将代入得，解得：， ∴， 综上，直线的解析式为或． 15. 球队两两比赛，主场客场各一场，共42场，问有多少支队伍？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设球队共有x支，则每支球队都要与余下的支球队进行比赛，又每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，故这x支球队一共需要比赛场，而这个场次又是42场，据此列出方程． 【详解】解：设有x支队伍，根据题意得： ， 解得或（不合题意，舍去）； 答：有7支队伍． 16. 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下两种变换： ①，如；②，如：；那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标变换，根据题意得出坐标变化规律是解题关键．直接利用已知，，即可求解． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 17. 我们用min表示两个数中的较小数，如，求的最大值． 【答案】最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图象交点问题，以及数形结合的思想．正确理解题意是解题的关键．先令，求出二次函数与一次函数的图象交点，再结合图象及新定义即可解答． 【详解】解：令，解得， ， 由图像得，当时，最大值为，即的最大值为． 18. 已知关于的一元二次方程的解为，则的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了根与系数的关系和数字规律型问题的解决方法． 先根据根与系数的关系得到，则，化为两分式的差得到，所以原式，然后进行有理数的加减运算． 【详解】解：∵的解为， ， ， ， ， ， ． 19. 假设队伍中共有x人现列队，需要每10人中走出一个人，当除以10的余数大于5时，则在余下的人中再走出一人，则共走出（ ）人． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题建立函数关系——取整函数．本题的关键在于理解余数大于5时余下的人中再走出一人这个条件，通过对取整函数的性质和实际情况的分析，找到合适的函数表达式，是解题的关键． 【详解】解：设队伍中共有x人，表示x除以10的商，即每10人一组能分成的组数，每组走出1人，这部分走出的人数为人． 当x除以10的余数大于5时，即，（其中n为商，r为余数），，此时需要在余下的r人中再走出1人． 可以将x表示为， 则， ∵， ∴， ∴， 也就是在原来的基础上多1人，满足余数大于5时再走出1人的条件． 当余数时， ， ∵， ∴， 即不会额外多走出一人，也符合条件． 所以共走出人． 答案选：C． 20. 如图，为半圆上一点，为直径，沿翻折与交于点，沿翻折交于，若为中点，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，求得，证明，推出，设，则，，再利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：翻折后的弧所对应的圆为等圆， 连接，作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理．理解翻折后的弧所对应的圆为等圆是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $