1.1.1 课时1 空间向量及其线性运算 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.1 课时1 空间向量及其线性运算 【基础巩固】 1．下列命题中为真命题的是（ ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【解析】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确；选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误；选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误；故选：A. 2．在三棱柱中，是的中点，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为三棱柱中，是的中点， 所以． 故选：． 3．如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，，，点为的中点， ， 故选：． 4．在四面体中，，，，，是线段上靠近点的三等分点，且，则 A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】根据题意画出图形，如图所示： 因为，是线段上靠近点的三等分点， 所以， 又，所以． 故选：． 5．（多选）下列命题中正确的是 （ ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若,，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 【答案】ACD 【解析】由单位向量的定义即得，故正确； 共线不一定同向，故错误； 因为,，为非零向量，且，，则，故正确； 在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故正确． 故选：. 6．如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则__________ （用表示）． 【答案】． 【解析】由于在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则， ． 故答案为：． 7．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，，分别是，的中点，是的中点，若，则 ___________． 【答案】1 【解析】由题意，，分别是，的中点，是的中点， 则， 则有，解得， 所以． 故答案为：1． 8．如图，已知正方体，，分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中，的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】见解析 【解析】如图所示， (1)正方体中，，所以； (2)， 所以，； (3)， 所以，． 【能力拓展】 9．已知长方体中，，，为的中点．若长方体表面上的动点满足，则动点的轨迹围成面积为 A．24 B．18 C． D．12 【答案】A 【解析】由于动点满足，故点的轨迹是平面与长方体表面相交线围成的图形，取的中点， 如图所示： 连接，则， 又，所以四边形为等腰梯形，， 由此可得该梯形的高为， 所以． 故选：． 10．（多选）如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则 A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点， 则 ， 即有，故选项错误、选项正确； ， 即有，故选项错误，选项正确． 故选：BD． 11．已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】根据题意，点满足，其中， 所以， 可得， 因为点是平面内的一点，又正四面体棱长为1， 所以当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高， 此时且达到最小值． 故答案为：． 【素养提升】 12．正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，求的最小值. 【答案】见解析 【解析】因为正四面体的棱长为6， 所以， 同理可得，， 又因为以为球心且半径为1的球面上有两点，，， 所以， 由， 则 ， 因为，所以， 当且仅当取等号， 此时，所以． 故的最小值为50． 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1 课时1 空间向量及其线性运算 【基础巩固】 1．下列命题中为真命题的是（ ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 2．在三棱柱中，是的中点，则（ ） A． B． C． D． 3．如图，空间四边形中，，，，点在上， 且满足，点为的中点，则（ ） A． B． C． D． 4．在四面体中，，，，，是线段上靠近点的三等分点，且，则（ ） A．1 B． C．3 D． 5．（多选）下列命题中正确的是 （ ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若,，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 6．如图，在三棱柱中，、分别为和的中点， 设，，，则__________ （用表示）． 7．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，，分别是，的中点，是的中点，若，则 ________． 8．如图，已知正方体，，分别是上底面和侧面的中心， 求下列各式中，的值： (1)； (2)； (3)． 【能力拓展】 9．已知长方体中，，，为的中点．若长方体表面上的动点满足，则动点的轨迹围成面积为（ ） A．24 B．18 C． D．12 10．（多选）如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（ ） A． B． C． D． 11．已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为__________． 【素养提升】 12．正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，求的最小值. 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$