第四章 基本平面图形 习题课件 2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“线段、射线、直线”核心知识点，通过生活实例（如钉子固定木条、高铁经停站）导入，从图形辨析（如射线AB与BA的区别）到实际应用，再到规律探究（如n个点的直线条数），搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，用“两点确定一条直线”解释生活现象培养抽象能力，通过n个点直线条数归纳发展推理意识，用代数式表达规律强化符号意识。实例丰富，帮助学生联系生活学数学，教师可借助多样化题型提升教学效果。

第3课时　用尺规作角 1．[2024·海港区期末]尺规作图：作一个角等于已知角． 如图1，已知：∠AOB.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB. 下面是打乱顺序的作图步骤： ①如图3，经过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作； ②如图3，以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与已画的弧相交于点D′； ③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA，OB于点C，D； ④如图3，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ⑤如图3，画射线O′A′. 则正确的作图顺序为( ) A．⑤③④②① B．⑤④③②① C．⑤③②④① D．③④②⑤① 2．如图，已知∠α和∠β，求作：∠MON，使∠MON＝∠α－∠β. 解：如图，∠MON即为所求作． 3．[2024·鼓楼区期末]已知：∠α，∠AOB(如图)． (1)求作：以OB为一边，作∠BOC＝∠α；(要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)若∠AOB＝60°，∠α＝30°，求∠AOC的度数． 解：(1)如图，∠BOC，∠BOC′即为所求； (2)因为∠AOB＝60°，∠BOC＝∠BOC′＝30°， 所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝30°或∠AOC′＝∠AOB＋∠BOC′＝90°. 综上所述，∠AOC的度数为30°或90°. 4．如图，一束平行光线CO射到水平镜面AB上，画出它的反射光线．(反射光线记为OD，∠AOC＝∠BOD) 解：如图，射线OD即为所求作． 5．[2024·合肥期末]如图，已知线段a和∠α，请利用尺规，按下列步骤作图(保留作图痕迹，不写作法)． (1)作∠ABC，使∠ABC＝∠α； (2)在边AB上确定点D，使BD＝2a. 解：(1)如图，∠ABC即为所求作； (2)如图，点D即为所求作. $$第四章　章末能力突破 一、选择题 1．在开会前，工作人员进行会场布置，如图为工作人员在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是( ) A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．过一点可以作无数条直线 2．[2024·秦都区期末]过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是( ) A．五边形 B．七边形 C．六边形 D．八边形 3．如图，下列说法正确的是( ) A．点O在射线AB上 B．点B是直线AB的一个端点 C．点A在线段OB上 D．射线OB和射线AB是同一条射线 4．[2024·开福区期末]校园中常常看到“在草坪上斜踩出一条小路”，请用数学知识解释图中这一不文明现象，其原因为( ) A．直线外一点与直线上点之间的连线有无数条 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有无数条直线 5．平面上有三点，经过每两点作一条直线，则能作出的直线的条数是( ) A．1条 B．3条 C．1条或3条 D．以上都不对 6．如图，C是线段AB上一点，AC＝4，BC＝6，点M，N分别是线段AC，BC的中点，则MN＝( ) A．2 B．3 C．10 D．5 7．如图，AB＝24 cm，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD∶CB＝1∶3，则CD的长度是( ) A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．16 cm 8．如图所示，由泰山始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山——济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票( ) A．5种 B．10种 C．15种 D．20种 9．[2024·太平区期末]如图，钟表上的时间为下午3：30，时针与分针所组成的锐角的度数是( ) A．60° B．65° C．70° D．75° 10．如图，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，且∠COD＝25°，则∠AOB等于( ) A．50° B．75° C．100° D．120° 11．如图，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，过点O在三角板MON的内部作射线OC，使得OC恰好是∠MOB的角平分线，此时∠AOM与∠NOC满足的数量关系是( ) A．∠AOM＝∠NOC B．∠AOM＝2∠NOC C．∠AOM＝3∠NOC D．∠AOM＝4∠NOC 12．荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装 饰挂画．将其视为如图2的扇形环面(由扇形OAB挖去扇形OCD)， ∠AOB＝108°，OC的长度是10 cm，OA的长度是30 cm，则该环 形荷花装饰挂画的面积是( ) A．160π cm2 B．240π cm2 C．360π cm2 D．480π cm2 二、填空题 13．[2024·惠来县期末]若∠A＝30°15′，∠B＝30.15°，则 ∠A__∠B.(填“>”“<”或“＝”) 14．[2024·长安区期末]已知点C是直线AB上一点，且AC∶BC＝ 5∶3，若AB＝16，则AC的长度为_______． > 10或40 15．中华秋沙鸭是第三纪冰川期后残存下来的物种，距今已有 一千多万年，属我国一级重点保护动物，全球仅存不足3 000只． 如图，一只中华秋沙鸭张开嘴的角度∠AOB为20.12°，则20.12° ＝___度__分___秒． 20 7 12 16．[2024·牡丹江期末]如图，OM方向是东北方向，射线OM与 ON所成的角是150°，则射线ON的方向是___________． 南偏西15° 三、解答题 17．[2024·思明区期末](1)如图所示，已知线段a，b. ①作射线AM； ②在射线AM上依次截取AC＝CD＝a； ③在线段DA上截取DB＝b. 由作图可知AB＝ ；(用含a，b的式子表示) (2)在(1)的作图基础上，若a＝10，b＝8，E为线段AC的中点， F为线段BD的中点，求线段EF的长． 18．[2024·花溪区期末]点A，O，E在直线l上，小明将三角板如图放置，使直角顶点与点O重合． (1)用尺规作图：以OB为边作∠BOC，使得∠BOC＝∠BOE，且点C与点E在OB的两侧；(保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若∠DOA＝3∠BOC.求∠AOC的度数． 解：(1)∠BOC如图所示： (2)因为∠BOD＝90°， 所以∠AOD＋∠BOE＝90°. 因为∠BOC＝∠BOE， 所以∠AOD＋∠BOC＝90°， 因为∠DOA＝3∠BOC， 所以4∠BOC＝90°， 所以∠BOC＝22.5°， 所以∠EOC＝2∠BOC＝45°， 所以∠AOC＝180°－∠EOC＝135°. 19．[2024·本溪期末]如图，线段AB＝8，点C是线段AB的中点， 点D是线段BC的中点． (1)求线段AD的长； (2)若在线段AB上有一点E，CE＝ BC，求AE的长． 20.[新定义][2024·钱塘区期末]定义：从一个角的顶点出发， 在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角 的一半，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内半角．如图 1所示，若∠COD＝ ∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． (1)如图1所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ ； (2)如图2，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α(0<α<63°)至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ (3)已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O以每秒3°的速度按顺时针方向旋转，如图4，在开始旋转至OD边与射线OA重合的过程中，射线OA，OB，边OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 解：(1)如图1，因为∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角， 所以∠COD＝ ∠AOB＝35°. 因为∠AOC＝15°， 所以∠BOD＝∠AOB－∠AOC－∠COD＝70°－15°－35°＝20°； 故答案为：20°； ②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，∠BOC＝3t°－30°，∠AOD＝30°＋3t°， ∠COB是∠AOD的内半角， 所以∠COB＝ ∠AOD，即3t°－30°＝ (30°＋3t°)， 解得t＝30(秒)； 解析：由题知， S扇形OAB＝eq \f(108,360)×π×302＝270π(cm2)， S扇形OCD＝eq \f(108,360)×π×102＝30π(cm2)， 所以270π－30π＝240π(cm2)， 即该环形荷花装饰挂画的面积是240π cm2. 解：(1)由作图可知，AD＝2a，DB＝b， 所以AB＝AD－DB＝2a－b. 故答案为：2a－b； (2)因为E为线段AC的中点，F为线段BD的中点，a＝10，b＝8， 所以AE＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)a＝5，FD＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)b＝4， 由(1)可知，AD＝2a＝20， 所以EF＝AD－AE－DF＝20－5－4＝11. eq \f(1,4) 解：(1)因为AB＝8，C是AB的中点， 所以AC＝BC＝4. 因为D是BC的中点， 所以CD＝eq \f(1,2)BC＝2， 所以AD＝AC＋CD＝6； (2)因为BC＝4，CE＝eq \f(1,4)BC， 所以CE＝eq \f(1,4)×4＝1， 当点E在点C的左边时， AE＝AC－CE＝4－1＝3； 当点E在点C的右边时， AE＝AC＋CE＝4＋1＝5. 所以AE的长为3或5. eq \f(1,2) eq \f(1,2) (2)如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α， 所以∠BOC＝63°－α，∠AOD＝63°＋α. 因为∠COB是∠AOD的内半角， 所以∠COB＝eq \f(1,2)∠AOD， 即63°－α＝eq \f(63°＋α,2)， 解得α＝21°， 当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角； (3)能，理由如下， 由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3t°. 根据题意可分以下3种情况： ①当射线OC在∠AOB内，如图4， 此时，∠BOC＝30°－3t°，∠AOD＝30°＋3t°， ∠COB是∠AOD的内半角， 所以∠COB＝eq \f(1,2)∠AOD，即30°－3t°＝eq \f(1,2)(30°＋3t°)， 解得t＝eq \f(10,3)(秒)； eq \f(1,2) eq \f(1,2) 如图6，此时，∠BOC＝360°－3t°＋30°， ∠AOD＝360°－3t°－30°，∠AOD是∠BOC的内半角， 所以∠AOD＝eq \f(1,2)∠BOC，即360°－3t°－30° ＝eq \f(1,2)(360°－3t°＋30°)， 解得t＝90(秒)； 综上所述，在旋转一周的过程中，射线OA，OB，OC，OD构成内 半角时，旋转的时间分别为eq \f(10,3)秒，30秒，90秒． $$第2课时　线段的比较 1．[2025·淮南期末]小华准备从A地去往B地，打开导航显示两地距离 为39.6 km，但导航提供的三条可选路线长却分别为52 km，53 km， 56 km(如图)．能解释这一现象的数学知识是( ) A．两点之间线段最短 B．两点之间直线最短 C．两点确定一条直线 D．连接两点的线段的长度叫作这两点间 的距离 2．同一条直线上有三点A，B，C，AB＝4 cm，BC＝2 cm，则AC的长度为( ) A．6 cm B．4 cm或6 cm C．2 cm或6 cm D．2 cm或4 cm 3．已知，A，B，C是同一直线上的三点，且AB＝12 cm，BC＝ 8 cm，若点D是AC的中点，则线段BD的长度是( ) A．2 cm或6 cm B．10 cm或4 cm C．2 cm或10 cm D．6 cm或4 cm 4．[2024·武汉期末]如图，C，D是线段AB上两点，若AD＝6，DB＝14，且D是AC中点，则BC的长等于( ) A．6 B．10 C．8 D．9 5．如图，D是AC的中点，CB＝4 cm，DB＝7 cm，则AB的长为___cm. 10 6．如图，两根木条的长度分别为7 cm和12 cm，在它们的中点 处各打一个小孔M，N(木条的厚度，宽度以及小孔大小均忽略不 计)．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小 孔间的距离MN＝_________cm. 2.5或9.5 7．已知线段AB＝a，在直线AB上取一点C，使得BC＝ AB.若M， N分别为线段AB，BC的中点，则MN＝________．(用含a的式子 表示) 8.[新定义]已知点C是线段AB上一点(点C与点A，B不重合)，在 三条线段AC，BC，AB中，如果其中一条线段的长度是另一条线 段长度的2倍，那么称点C为线段AB的“巧点”．如果线段AB＝12， 点C为线段AB的“巧点”，那么线段AC的长度是________． 4或6或8 9．如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点． (1)求线段AM的长度； (2)在CB上取一点N，使得CN∶NB＝2∶3.求MN的长． 10．如图，C是线段AB上一点，AB＝20 cm，BC＝8 cm，点P从A出发，以2 cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以1 cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A.已知P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为x s. (1)AC＝ cm； (2)当x＝ s时，P，Q重合； (3)是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 11．学习了线段的中点之后，小明利用某数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段OP0＝1.第1次，取OP0的中点P1；第2次，取P0P1的中点P2；第3次，取P1P2的中点P3，第4次，取P2P3的中点P4…… (1)请完成下列表格数据． eq \f(2,3) eq \f(1,6)a或eq \f(5,6)a 解析：①如图1，当点C在线段AB上时， 因为线段AB，BC的中点分别是M，N， 所以BM＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)a，BN＝eq \f(1,2)BC. 又因为BC＝eq \f(2,3)AB＝eq \f(2,3)a， 所以BN＝eq \f(1,3)a， 所以MN＝BM－BN＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,3)a＝eq \f(1,6)a； ②如图2，当点C在线段AB的延长线上时， 因为线段AB，BC的中点分别是M，N， 所以BM＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)a，BN＝eq \f(1,2)BC. 又因为BC＝eq \f(2,3)AB＝eq \f(2,3)a， 所以BN＝eq \f(1,3)a， 所以MN＝BM＋BN＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,3)a＝eq \f(5,6)a. 综上所述，MN的长为eq \f(1,6)a或eq \f(5,6)a. 解析：在三条线段AC，BC，AB中， 若AC＝2BC时，AC＝eq \f(2,3)AB＝8， 若BC＝2AC时，AC＝eq \f(1,3)AB＝4， 若AB＝2AC时，AC＝eq \f(1,2)AB＝6， 综上所述，AC的长度可为4或6或8. 解：(1)因为线段AB＝20，BC＝15， 所以AC＝AB－BC＝20－15＝5. 又因为点M是AC的中点． 所以AM＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)×5＝eq \f(5,2)， 即线段AM的长度是eq \f(5,2)； (2)因为BC＝15，CN∶NB＝2∶3， 所以CN＝eq \f(2,5)BC＝eq \f(2,5)×15＝6. 又因为点M是AC的中点，AC＝5， 所以MC＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(5,2)， 所以MN＝MC＋NC＝eq \f(17,2)， 即MN的长度是eq \f(17,2). 解：(1)AC＝AB－BC＝20－8＝12(cm)． 故答案为：12； (2)20÷(2＋1)＝eq \f(20,3)(s)． 故当x＝eq \f(20,3) s时，P，Q重合． 故答案为：eq \f(20,3)； (3)存在， ①C是线段PQ的中点，得 12－2x＝8－x，解得x＝4； ②P为线段CQ的中点，得 2x－12＝20－3x，解得x＝eq \f(32,5)； ③Q为线段PC的中点，得 2x－12＝2×(8－x)，解得x＝7； 综上所述，x＝4或x＝eq \f(32,5)或x＝7. 次数i Pi－1Pi 线段OPi的长 第1次 P0P1＝eq \f(1,2) OP1＝OP0－P0P1＝1－eq \f(1,2) 第2次 P1P2＝eq \f(1,22) OP2＝OP1＋P1P2＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,22) 第3次 P2P3＝eq \f(1,23) OP3＝OP2－P2P3＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)－eq \f(1,23) 第4次 P3P4＝eq \f(1,24) OP4＝OP3＋P3P4＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)－eq \f(1,23)＋eq \f(1,24) 第5次 ______ _____________________ … … … (2)小明对线段OP4的表达式进行了如下化简：因为OP4＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)－eq \f(1,23)＋eq \f(1,24)， 所以2OP4＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,22)－\f(1,23)＋\f(1,24)))＝2－1＋eq \f(1,2)－eq \f(1,22)＋eq \f(1,23). 两式相加，得3OP4＝2＋eq \f(1,24). 所以OP4＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,3×24). 请你参考小明的化简方法，化简OP5的表达式； (3)类比猜想：Pn－1Pn＝ ，OPn＝ ，随着取中点次数n的不断增大，OPn的长最终接近的值是 解：(1)P4P5＝eq \f(1,25)，OP5＝OP4－P4P5＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)－eq \f(1,23)＋eq \f(1,24)－eq \f(1,25)； (2)因为OP5＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)－eq \f(1,23)＋eq \f(1,24)－eq \f(1,25)， 所以2OP5＝2(1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)－eq \f(1,23)＋eq \f(1,24)－eq \f(1,25))＝2－1＋eq \f(1,2)－eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)－eq \f(1,24). 两式相加，得3OP5＝2－eq \f(1,25). 所以OP5＝eq \f(2,3)－eq \f(1,3×25)； (3)Pn－1Pn＝eq \f(1,2n)，OPn＝eq \f(2,3)＋eq \f(（－1）n,3×2n)，随着取中点次数n的不断增大，OPn的长最终接近的值是eq \f(2,3). 故答案为：eq \f(1,2n)，eq \f(2,3)＋eq \f(（－1）n,3×2n)，eq \f(2,3). $$2　角 第1课时　认识角 1．[2024·路南区期末]平板电脑支架方便用户在不同位置和角度观看平板电脑，如图是支架侧面的平画示意图，其中∠1还可以表示为( ) A．∠A B．∠BAC C．∠DAC D．∠ACE 2．一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如图，搜救船位于图中圆心O处，事故船位于距O点50海里的A处，雷达操作员要用方位角把事故船相对于搜救船的位置汇报给船长，以便调整航向，下列四种表述方式正确的为( ) A．事故船在搜救船的南偏西60°方向 B．事故船在搜救船的北偏东60°方向 C．事故船在搜救船的北偏东30°方向 D．事故船在搜救船的南偏西30°方向 3．将一个20°的角放在10倍的放大镜下看，其度数是( ) A．20° B．2° C．200° D．无法判断 4．[2024·连云港期末]如图所示，钟表上显示的时间是10时10分，此时，时针和分针的夹角的度数是( ) A．100° B．105° C．115° D．120° 5．从点A看B的方向是北偏东35°，那么从B看A的方向是( ) A．南偏东55° B．南偏西55° C．南偏东35° D．南偏西35° 6．[2024·韩城期末]已知∠α＝31.2°，将∠α用度分秒表示正确的是( ) A．31°2′ B．31°12′′ C．31°20′ D．31°12′ 7．计算： (1)15°30′＝_____°； (2)25.35°＝___°___′； (3)57.27°＝___°___′___″； (4)36°48′36″＝______°. 15.5 25 21 57 16 12 36.81 8．[2024·海沧区期末]人们很早就借助工具度量角．我国夏商 时代就出现了校验直角的工具——“矩”．一个简单结构的“矩” 是指两条边成直角的曲尺(如图)，它的两条边分别为AB，BC.若 ∠1＝36°44′，则∠2＝_________． 53°16′ 9．2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二 号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，约10分钟后， 神舟十九号载人飞船与火箭分离成功，进入预定轨道，发射取得 圆满成功！当时钟指向4时37分时，时针与分针所成的角度 是_______． 83.5° 10．计算： (1)45°10′－21°35′20″； (2)48°39′＋67°31′－21°17′； (3)42°16′＋18°23′×2； (4)23°53′×2－17°43′. 解：(1)原式＝44°69′60″－21°35′20″＝23°34′40″； (2)原式＝115°70′－21°17′＝94°53′； (3)原式＝42°16′＋36°46′＝79°2′； (4)原式＝46°106′－17°43′＝30°3′； 11．如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°方向上，此时，若客轮B在它北偏西70°，海岛C在它南偏西25°方向上． (1)分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线； (2)通过计算说明∠AOC与∠BOC的关系． 解：(1)如图，射线OB，OC即为所求作； (2)结论：∠AOC＝∠BOC. 理由：由题意， 得∠AOC＝25°＋60°＝85°， ∠BOC＝(90°－70°)＋(90°－25°)＝85°， 所以∠AOC＝∠BOC. 12．如图1，从点O分别引两条射线，则得到一个角∠AOB.(图中的角均指不大于平角的角) (1)探究：①如图2，从点O分别引三条射线，则图中得到 个角； ②如图3，从点O分别引四条射线，则图中得到 个角； ③以此类推，从点O分别引n条射线，则得到 个角(用含n的式子表示)； (2)应用：利用(1)③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛(即每两队之间赛一场)，则全部赛完共需多少场比赛？ 解：(1)①由题意可得，从点O分别引三条射线，图中的角有∠AOB，∠AOC，∠BOC，1＋2＝3， 所以图中得到3个角； ②由题意可得，从点O分别引四条射线，图中的角有∠AOC，∠AOD，∠AOB，∠COD，∠COB，∠DOB，1＋2＋3＝6，所以图中得到6个角； 13．[2024·遵化期中](1)如图1，已知线段MN，在MN上逐一画点．数一数，图①中有几条线段？图②中有几条线段？图③中有几条线段？当线段上有(n＋1)个不相同的点时，共有多少条线段？ (2)如图2，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线．图①②③中分别有多少个角(不大于平角)？当∠MON内有(n＋1)条射线时，共有多少个角？ (3)小亮在解答(2)题时，在上面的各图中画一条直线和各射线相交，从而将(2)题变成了与(1)题中相应的问题予以考虑和解决，你认为这样做可以吗？ 解：(1)图①中，线段MN上有1个点，共有3条线段，即3＝2＋1； 图②中，线段MN上有2个点，共有6条线段，即6＝3＋2＋1； 图③中，线段MN上有3个点，共有10条线段，即10＝4＋3＋2＋1； …； 当线段MN上有(n＋1)个点时，共有(n＋2)＋(n＋1)＋…＋2＋1 ＝ (n＋2)(n＋3)条线段； (3)可以，当小亮作一条直线分别与各射线相交时，就可以把求角的个数转化为求线段的条数，如图所示： 由(1)(2)求解过程可知，把求角的个数转化为求线段的条数，规律是一样的，从而将(2)题变成了与(1)题中相应的问题予以考虑和解决. ③由①②可得， 当从点O分别引n条射线，1＋2＋3＋…＋n－1＝eq \f(n（n－1）,2)， 所以得到eq \f(n（n－1）,2)个角； 故答案为：①3；②6；③eq \f(n（n－1）,2)； (2)根据题意可得，当n＝16时，eq \f(n（n－1）,2)＝eq \f(16×15,2)＝120. 所以全部赛完共需120场比赛． eq \f(1,2) (2)图①中，∠MON内有1条射线，共有3个角，即3＝2＋1； 图②中，∠MON内有2条射线，共有6个角，即6＝3＋2＋1； 图③中，∠MON内有3条射线，共有10个角，即10＝4＋3＋2＋1； …； ∠MON内有(n＋1)条射线时，共有eq \f(1,2)(n＋2)(n＋3)个角； $$3　多边形和圆的初步认识 1．圆形的井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是利用了圆特征中的( ) A．圆是曲线图形 B．同一圆中所有直径都相等 C．圆有无数条直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 2．下列说法正确的是( ) A．圆的一部分是扇形 B．一条弧和经过弧的两条半径围成的图形叫作扇形 C．三角形是最简单的多边形 D．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫作多边形 3．下列说法不正确的是( ) A．正多边形的各边都相等 B．各边都相等的多边形是正多边形 C．正三角形的三条边都相等 D．正六边形的六个内角都相等 4．过一个多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成6个三角形，则这个多边形为( ) A．六边形 B．八边形 C．七边形 D．九边形 5．下列属于正n边形的特征的有( ) ①各边相等　②各个内角相等　③各条对角线都相等　④从一个顶点可以引(n－2)条对角线　⑤从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的(n－2)个三角形 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．某班主任把本班学生上学方式的调查结果统计如图，则乘公交车上学的学生人数在图中对应的扇形所占的圆心角的度数为( ) A．54° B．60° C．108° D．120° 7．已知一个扇形的半径长是6，圆心角为90°，则这个扇形的面积为( ) A．12π B．9π C．6π D．3π 8．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3 m，OB＝1.5 m，则阴影部分的面积为( ) A．4.25π m2 B．3.25π m2 C．3π m2 D．2.25π m2 9．正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形 有9条对角线，则正十二边形有___条对角线． 54 10．如图是门锁的局部图和其示意图，已知门把手OA为10 cm， 当握住门把手绕点O顺时针旋转45°时，点A到达点B的位置， 则门把手OA扫过的图形面积为_____cm2.(结果保留π) 11．已知扇形所在的圆半径为6 cm，面积为6π cm2，则扇形圆 心角的度数为_____． 12．每一个多边形都可以分割为若干个三角形．如图，按照这 种分法，从多边形的一个顶点出发的对角线可以把n边形分割 成_______个三角形． 60° (n－2) 13．如图，折线AOBC是一段固定的栅栏，其上方为草场．已知 OA⊥OB，OB＝6 m，∠OBC＝120°.一条长度为12 m的绳子，一 头固定在点O处，另一头P拴着小羊．则小羊活动的最大区域面 积为_____m2.(结果保留π) 42π 14．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为2∶3∶ 5，求这三个扇形的圆心角的度数． 15．[2024·城关区期末]请仔细观察图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 从一个顶点出发的对角线的条数/条 多边形对角线的总条数/条 4 1 2 5 2 5 6 3 9 7 4 14 8 5 20 … … … n ①_______ ②_______ (1)观察探究：请自己观察图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整； (2)实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共拨打电话多少个？ 16．【低多边形风格】“低多边形风格”是一种数 字艺术设计风格．它将整个区域分割为若干三角形， 通过把相邻三角形涂上不同的颜色，产生立体及光 影的效果，随着三角形数量增加，效果更为斑斓绚 丽(如图1)． 【问题提出】 连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？(不计被分割的三角形) 【问题探究】 为了解决上面的问题，我们将运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 探究一： 如图2，当五边形内有1个点时，可分得 个三角形； 探究二： 当五边形内有2个点时，可分得多少个三角形？ 在探究一的基础上，我们在图2五边形ABCDE的内部再添加1个点，这个点的位置会有两种情况：可能在图2分割成的某个三角形的内部，如图3所示；也可能在五边形内部三角形的某条公共边上，如图4所示．显然，不管哪种情况，都可分得 个三角形； 探究三： 当五边形内有3个点时，可分得 个三角形．请在图5中画出一种分割示意图； 【问题解决】 连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得 个三角形； 【拓展延伸】 (1)若连接五边形的五个顶点和它内部若干个点，可把五边形区域分割成2 027个三角形．求该五边形内部有多少个点？ (2)若连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，可把六边形区域分割成 个互不重叠的三角形． 解：【问题探究】 探究一：当五边形内有1个点时，可分得5＋2×1－2＝5(个)三角形； 故答案为：5； 探究二：当五边形内有2个点时，可分得5＋2×2－2＝7(个)三角形； 故答案为：7； 探究三：(示例)画出图形如图5，当五边形内有3个点时，可分得5＋ 2×3－2＝9(个)三角形； 故答案为：9； 【问题解决】 由探究一可知，当五边形内有1个点时，可分得5＋2×1－2＝5(个)三角形； 由探究二可知：当五边形内有2个点时，可分得5＋2×2－2＝7(个)三角形； 由探究三可知：当五边形内有3个点时，可分得5＋2×3－2＝9(个)三角形…… 以此类推，当五边形内有n个点时，可分得5＋2n－2＝(2n＋3)个三角形； 故答案为：(2n＋3)； 【拓展延伸】 (1)由问题解决可知2n＋3＝2 027， 所以n＝1 012， 所以该五边形内有1 012个点； (2)如图6所示，当六边形内有1个点时，可以分6＋2×1－2＝6 (个)三角形， 当六边形内有2个点时，可以分6＋2×2－2＝8(个)三角形， 当六边形内有3个点时，可以分6＋2×3－2＝10(个)三角形…… 以此类推，可知当六边形内有m个点时，可分得6＋2m－2＝(2m＋ 4)个三角形， 故答案为：(2m＋4)． eq \f(25,2)π 解：由题意可得，三个圆心角的和为360°， 因为三个圆心角的度数比为2∶3∶5， 所以这三个扇形的圆心角的度数分别是 360°×eq \f(2,10)＝72°，360°×eq \f(3,10)＝108°， 360°×eq \f(5,10)＝180°. 解：(1)由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n－3，多边形对角线的总条数为eq \f(1,2)n(n－3)； 故答案为：n－3，eq \f(1,2)n(n－3)； (2)因为3×6＝18，eq \f(1,2)×18×(18－3)＝135(个)． 答：数学社团的同学们一共拨打电话135个． $$第四章综合测试卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列说法错误的是( ) A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线AB和射线BA表示不同射线 D．射线比直线短 2．对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是( ) 3．射线OC在∠AOB内部，下列条件不能确定射线OC是∠AOB的 平分线的是( ) A．∠AOB＝2∠AOC B．∠BOC＝∠AOC C．∠AOC＋∠BOC＝∠AOB D．∠BOC＝ ∠AOB 4．[2024·崂山区期末]如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因是( ) A．过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．点动成线，线动成面 D．两点之间，线段最短 5．如图，若∠α＝38°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为( ) A．38° B．76° C．45° D．75° 6．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是( ) A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形 7．[2024·历下区期末]已知广场在学校北偏西30°的方向上，则下列选项表示正确的是( ) 8．如图，长方形ABCD沿直线EF，EG折叠后，点A和点D分别落在 直线l上的点A′和点D′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为( ) A．30° B．60° C．50° D．55° 9．如图所示，AB＝12，C为线段AB的中点，点D在线段AC上， 且AD＝ CB，则BD的长度为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 10.[规律探究]如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角……按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是( ) A．190 B．380 C．231 D．462 二、填空题(每题3分，共18分) 11．下列说法：①两点之间线段最短　②各边相等的多边形是 正多边形　③连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离．其 中正确结论的序号是_____． ①③ 12．[2024·锦江区期末]中国古代大建筑群平面中统 率全局的轴线称为“中轴线”，北京中轴线是古代中 国独特城市规划理论的产物，故宫是北京中轴线的重 要组成部分．故宫中也有一条中轴线，北起神武门经 乾清宫、保和殿、中和殿、太和殿、南到午门，这条 中轴线同时也在北京城的中轴线上．图中是故宫博物院的主要建筑 分布图．其中，点A表示养心殿所在位置，点O表示太和殿所在位置， 点B表示文渊阁所在位置．已知养心殿位于太和殿北偏西21°17′方 向上，文渊阁位于太和殿南偏东58°17′方向上，则∠AOB的度数 是______． 143° 13．一个圆中有三个扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占圆的总 面积的百分比如图所示，那么扇形丙的圆心角是______． 108° 14．[2024·内蒙古期末]在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方 法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二十四小时，又 划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三 点到五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的 角度为_____． 75° 15．若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数 的2倍，则这个多边形的边数是__． 6 16．如图，C是线段AB上任意一点(不与端点重合)，M是AB的中 点，P是AC的中点，Q是BC的中点，则下列说法：①PQ＝MB　 ②PM＝ (AM－MC)　③PQ＝ (AQ＋AP)　④MQ＝ (MB＋MC)． 其中正确的是_______． ①②④ 三、解答题(共72分) 17．(8分)如图，已知平面内有A，B，C三点，按下列要求画图： (1)作直线AB，射线BC，线段CA； (2)在(1)的条件下，以点A为顶点，射线AB为一边，在∠ABC外 用尺规作一个∠BAP，使它等于∠ABC. (要求：尺规作图，保留作图痕迹， 不写作法) 解：(1)如图，直线AB、射线BC、线段CA即为所求作； (2)如图，∠BAP即为所求作． 18．(9分)如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分 ∠AOB，且∠COD＝23°，求∠AOB的度数． 解：因为∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝23°， 所以设∠AOC＝x，∠COB＝2∠AOC＝2x， ∠AOD＝∠BOD＝ ∠AOB＝1.5x， 所以∠COD＝0.5x＝23°，所以x＝46°， 所以∠AOB的度数为3×46°＝138°. 19．(10分)如图，C为线段AB上一点，延长AB至点D，使得点B恰好为CD的中点，已知AD＝8 cm，BD＝1 cm. (1)求AC的长； (2)若点E在直线AD上，且EA＝2 cm，求BE的长． 解：(1)因为B为CD的中点，BD＝1 cm， 所以CD＝2BD＝2 cm， 因为AD＝8 cm， 所以AC＝AD－CD＝8－2＝6(cm)； (2)①若点E在线段DA的延长线上，如图1， 因为EA＝2 cm，AD＝8 cm， 所以ED＝EA＋AD＝2＋8＝10(cm)． 因为BD＝1 cm， 所以BE＝ED－BD＝10－1＝9(cm)； ②若点E线段AD上，如图2， 因为EA＝2 cm，AD＝8 cm， 所以ED＝AD－EA＝8－2＝6(cm)． 因为BD＝1 cm， 所以BE＝ED－BD＝6－1＝5(cm)． 综上所述，BE的长为5 cm或9 cm. 20．(10分)综合与实践 【特例感知】 (1)如图1，已知线段AB＝14 cm，点C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点． ①若AC＝4 cm，则线段DE＝ cm； ②若AC＝a cm(a<14)，则线段DE＝ cm； 【知识迁移】 (2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数； 【拓展探究】 (3)已知∠COD在∠AOB内部的位置如图3所示，∠AOB＝α(30°<α <180°)，∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，请 直接写出∠MON＝ °.(用含α的式子表示) 21．(11分)[2025·明光一模]在一个平面内，3条直线两两相交，交点分别为A，B，O，平面被分成7块，从点O出发，在∠AOB内作一条射线，则平面被分成9块． (1)完成下表： (2)观察上表，试写出s与n的关系式，并判断平面能不能被分成2 025块，如果能，求出在∠AOB内所添加的射线条数，如果不能，说明理由． 解：(1)由图可知：从点O出发，在∠AOB 内作一条射线，平面被分类的块数在原来的基础上增加2块， 当n＝2时，平面被分成的块数s＝9＋2＝11， 当n＝3时，平面被分成的块数s＝11＋2＝13， 故答案为：①11；②13； (2)由(1)，得s＝7＋2n； 能，理由如下： 当s＝2 025时，即7＋2n＝2 025， 解得n＝1 009， 所以在∠AOB内所添加的射线条数为1 009条． (1)如图2，射线OC在∠AOB的内部， ①若射线OC是∠AOB的平分线，则&(OC，∠AOB)＝ ； ②若∠AOC＝45°，∠BOC＝15°，则&(OC，∠AOB)＝ ； 23．(12分)[新定义]如图1，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC，∠BOC，∠AOB，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．(本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角) 【阅读理解】 (1)角的平分线 这个角的“幸运线”；(填“是”或“不是”) 【初步应用】 (2)如图1，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为 ； 【解决问题】 (3)如图2，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕点O逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转，设运动的时间为t秒(0＜t＜9)．若OM，ON，OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值． 解：(1)是； (2)①∠BOC＝2∠AOC时，设∠AOC＝x，∠BOC＝2x， 由题意，得x＋2x＝45°， 解得x＝15°； ②∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC时，设∠AOC＝x，∠BOC＝x， 由题意，得x＋x＝45°， 解得x＝22.5°； eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) 解：(1)①因为AB＝14 cm，AC＝4 cm，所以BC＝10 cm， 因为点D，E分别是AC和BC的中点，所以CD＝2 cm，CE＝5 cm，所以DE＝CD＋CE＝7(cm)， 故答案为：7； ②因为AB＝14 cm，AC＝a cm，所以BC＝(14－a)cm， 因为点D，E分别是AC和BC的中点，所以CD＝eq \f(1,2)a cm，CE＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－\f(1,2)a))cm，所以DE＝CD＋CE＝7(cm)， 故答案为：7； (2)因为OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC， 所以∠CON＝eq \f(1,2)∠BOC，∠COM＝eq \f(1,2)∠AOC， 因为∠AOB＝120°， 所以∠MON＝∠CON＋∠COM＝eq \f(1,2)(∠BOC＋∠AOC)＝eq \f(1,2)∠AOB＝60°； (3)因为∠AOB＝α，∠COD＝30°， 所以∠BOC＋∠AOD＝(α－30)°， 因为∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON， 所以∠DOM＋∠CON＝eq \f(2,3)(∠AOD＋∠BOC)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)α－20))°， 所以∠MON＝∠COD＋∠CON＋∠DOM＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)α＋10))°， 故答案为：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)α＋10)). 22．(12分)[新定义]如图1，射线OP在∠AOB的内部，∠AOP与∠AOB的大小之比定义为射线OP的分割值，即eq \f(∠AOP,∠AOB)＝n，n为射线OP与∠AOB的“分割值”，记为&(OP，∠AOB)＝n.例如∠AOP＝ 20°，∠AOB＝60°，则eq \f(∠AOP,∠AOB)＝eq \f(1,3)，即&(OP，∠AOB)＝eq \f(1,3)；反之， 若&(OP，∠AOB)＝eq \f(1,3)，则eq \f(∠AOP,∠AOB)＝eq \f(1,3). (2)如图3，∠EDF＝80°，∠ACB＝120°，射线DQ从DE位置开始，绕点D按顺时针方向匀速旋转，到达DF时立即原速返回，射线CP从CA位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，当CP到达CB时，DQ，CP停止运动，设旋转的时间为t秒．若射线DQ旋转的速度为每秒5°，射线CP旋转的速度为每秒4°. ①当CP到达CB时，求&(DQ，∠EDF)的值； ②若&(CP，∠ACB)＋&(DQ，∠EDF)＝eq \f(5,4)，求t的值． 解：(1)①因为OC是∠AOB的平分线， 所以∠AOB＝2∠AOC，所以&(OC，∠AOB)＝eq \f(∠AOC,∠AOB)＝eq \f(1,2)， 故答案为：eq \f(1,2)； ②因为∠AOC＝45°，∠BOC＝15°， 所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝60°， 所以&(OC，∠AOB)＝eq \f(∠AOC,∠AOB)＝eq \f(3,4)， 故答案为：eq \f(3,4)； (2)①因为射线CP旋转的速度为每秒4°，∠ACB＝120°， 所以t＝120÷4＝30(s)， 因为射线DQ旋转的速度为每秒5°，∠EDF＝80°， 所以∠EDQ＝80°×2－5°×30＝10°， 所以&(DQ，∠EDF)＝eq \f(∠EDQ,∠EDF)＝eq \f(1,8)； ②当DQ自DE开始顺时针旋转到DF时，0≤t≤16， 因为DQ的旋速为每秒5°，CP的转速为每秒4°， ∠ACB＝120°，∠EDF＝80°， 所以∠EDQ＝5t°，∠ACP＝4t°， 因为&(CP，∠ACB)＋&(DQ，∠EDF)＝eq \f(5,4)， 所以eq \f(4t,120)＋eq \f(5t,80)＝eq \f(5,4)，解得t＝eq \f(300,23)； 当DQ自DF开始逆时针旋转时，16≤t≤30， 因为DQ的旋速为每秒5°，CP的转速为每秒4°，∠ACB＝120°， ∠EDF＝80°， 所以∠EDQ＝(160－5t)°，∠ACP＝4t°， 因为&(CP，∠ACB)＋&(DQ，∠EDF)＝eq \f(5,4)， 所以eq \f(4t,120)＋eq \f(160－5t,80)＝eq \f(5,4)，解得t＝eq \f(180,7). 综上所述，t＝eq \f(300,23)或eq \f(180,7). ③∠AOC＝2∠BOC时，设∠AOC＝x，∠BOC＝eq \f(1,2)x， 由题意，得x＋eq \f(1,2)x＝45°， 解得x＝30°. 故答案为：15°或22.5°或30°； (3)①当0＜t≤4时，∠MOA＝20t°，∠AON＝(60－15t)°， ∠MON＝(60＋5t)°， 若射线OA是∠MON的“幸运线”， 则∠AON＝eq \f(1,2)∠MON， 即60－15t＝eq \f(1,2)(60＋5t)， 解得t＝eq \f(12,7)； ∠AON＝eq \f(1,3)∠MON，即60－15t＝eq \f(1,3)(60＋5t)，解得t＝eq \f(12,5)； ∠AON＝eq \f(2,3)∠MON，即60－15t＝eq \f(2,3)(60＋5t)， 解得t＝eq \f(12,11)； ②当4＜t＜9时，∠MOA＝20t°，∠AON＝(15t－60)°，∠MON＝(5t＋60)°， 若射线ON是∠AOM的“幸运线”， 则∠AON＝eq \f(1,2)∠MOA，即15t－60＝eq \f(1,2)×20t，解得t＝12(舍)； ∠AON＝eq \f(1,3)∠MOA，即15t－60＝eq \f(1,3)×20t，解得t＝eq \f(36,5)； ∠AON＝eq \f(2,3)∠MOA，即15t－60＝eq \f(2,3)×20t，解得t＝36(舍)； 综上所述，t的值是eq \f(12,7)或eq \f(12,5)或eq \f(12,11)或eq \f(36,5). $$第四章 基本平面图形 1　线段、射线、直线 第1课时　线段、射线、直线 1．如图，A，B，C三点在同一水平线上，则下列说法不正确的是( ) A．直线AB与直线BC是同一条直线 B．射线AB与射线BA是同一条射线 C．线段AC与线段CA是同一条线段 D．射线CA与射线CB是同一条射线 2．平面上有三点A，B，C，如果AB＝10，AC＝7，BC＝3，那 么( ) A．点C在线段AB上 B．点C在线段AB的延长线上 C．点C在直线AB外 D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外 3．下列几何图形与相应语言描述相符的是( ) A．如图1，延长线段BA到点C B．如图2，射线CB不经过点A C．如图3，直线a和直线b相交于点A D．如图4，射线CD和线段AB没有交点 4．如图，A，B，C，D，E是直线l上的五个点，图中共有直线和线段条数分别是( ) A．1条，4条 B．4条，4条 C．10条，10条 D．1条，10条 5．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是( ) ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上 ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程 ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 6．如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有使三颗颜色相同且只有一种颜色的棋子在同一直线上的直线，满足这种条件的直线共有( ) A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 7．[2024·合川区期末]如图，点B，C，D，E在同一条直线上， 图中共有线段___条，射线___条． 10 12 8．如图有a条直线，b条射线，c条线段，则a＋b－c＝__． 1 9．[2024·昌平区期末]有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高 铁，中国高铁已经成为我国对外宣传的一张靓丽名片．如图，车次G7 是从北京到上海的高铁，仅需4小时35分钟即可到达，其经停站为北京 南——济南西——南京南——无锡东——上海虹桥，则本次高铁二等 座的车票共有___种． 10 10．如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将 平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线 最多可将平面分成11个部分，现有50条直线最多可将平面分成 ______个部分． 1 276 11．平面内有两两相交的三条直线，若最多有m个交点，最少有n 个交点，则m＋n＝__． 4 12．如图所示： (1)试验观察： 如果每过两点可以画一条直线，那么： 第①组最多可以画 条直线； 第②组最多可以画 条直线； 第③组最多可以画 条直线． (2)探索归纳： 如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在同一直线上，那么最多可以画 条直线；(用含n的代数式表示) (3)解决问题： 某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握 次手． 解：(1)如图所示： 第①组最多可以画3条直线，3＝1＋2； 第②组最多可以画6条直线，6＝1＋2＋3； 第③组最多可以画10条直线，10＝1＋2＋3＋4， 故答案为：3；6；10； 13．如图1，直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线，有1条线段； (1)如图2，直线l上有3个点，则图中有 条可用图中字母表示的射线，有 条线段； (2)如图3，直线上有n个点，则图中有 条可用图中字母表示的射线，有 条线段； (3)应用(2)中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛(即每两队之间赛一场)，预计全部赛完共需 场比赛． (2)第①组最多可以画3条直线，3＝1＋2； 第②组最多可以画6条直线，6＝1＋2＋3； 第③组最多可以画10条直线，10＝1＋2＋3＋4； …； 如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多可以画1＋2＋3＋…＋n－1＝eq \f(n（n－1）,2)(条)直线． 故答案为：eq \f(n（n－1）,2)； (3)某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握eq \f(1,2)×45×44＝990(次)手， 故答案为：990. 解：(1)4，3； (2)(2n－2)，eq \f(n（n－1）,2)； (3)eq \f(6×5,2)＝15.故答案为：15. $$第2课时　角的比较 1．下列选项中的∠AOB不等于60°的是( ) 2．[2024·潼关县期末]已知∠A＝22°45′，∠B＝22.5°，∠C＝22°30′45′′，则∠A，∠B与∠C的大小关系为( ) A．∠A>∠C>∠B B．∠A>∠B>∠C C．∠B>∠A>∠C D．∠B>∠C>∠A 3．如图，将一副三角尺直角顶点重合后摆放在桌面上，若∠BOC＝20°，则∠AOD等于( ) A．160° B．140° C．130° D．110° 5．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为( ) A．α＋β＋γ＝90° B．α＋β－γ＝90° C．α－β＋γ＝90° D．α＋2β－γ＝90° 解析：如图， 因为∠DOE＝90°－α， 所以∠BOD＝90°－∠DOE＝α， 因为∠BOC＝90°－γ， 又因为β＝∠BOD－∠BOC， 所以β＝α－(90°－γ)＝α－90°＋γ， 所以α－β＋γ＝90°. 6．[2024·厦门期末]如图1，将正方形纸片ABCD的∠A，∠C分别沿BE， BF折叠，使点A，C分别落在A′，C′处，点C′与点A′重合．如图2， 将该纸片展平后，将∠A，∠C分别沿BG，BH再折叠，使点A，C分别落 在BE上的点A′′处和BF上的点C′′处．如图3，纸片展平后，将∠ABG 和∠CBH分别记为α和β，则α和β的数量关系一定成立的是( ) A．β＝2α B．α＋β＝22.5° C．β－α＝22.5° D．α＋β＝45° 解析：根据折叠可知，∠ABE＝∠EBA′，∠CBF＝∠FBA′， ∠ABG＝∠EBG＝α，∠CBH＝∠FBH＝β， 所以∠ABE＝∠ABG＋∠EBG＝2α，∠CBF＝∠CBH＋∠FBH＝2β， 所以∠ABC＝4α＋4β， 因为四边形ABCD为正方形， 所以∠ABC＝90°， 所以4α＋4β＝90°， 所以α＋β＝22.5°. 7．[2024·榆树期末]比较角度的大小：32°18′__32.18°. (填“>”“＝”或“<”) 8．[2024·禹城期末]如图，点A，O，B在一条直线上，∠AOC＝ ∠DOE＝78°，∠AOD＝43°，那么∠BOE的度数为_____． > 59° 9．若∠AOB＝40°，过点O引一条射线OC，使∠BOC＝15°， 则∠AOC＝___________． 55°或25° 10．如图1，在长方形ABCD中，点E在AD上，且∠ABE＝26°， 分别以BE，CE为折痕进行折叠压平，如图2，若图2中∠AED＝ n°，则∠DEC的度数为________． 11.[课本127页9题变式]∠AOB与∠COD有共同的顶点O，其中 ∠AOB＝∠COD＝60°. (1)如图1，若∠BOC＝10°，试判断∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由，求∠AOD的度数； (2)如图1，猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由； (3)若改变∠AOB，∠COD的位置，如图2，则(2)的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立，请直接写出你的猜想． 解：(1)∠AOC＝∠BOD，理由如下： 因为∠AOB＝∠COD＝60°，∠BOC＝10°， 所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－10°＝50°， ∠BOD＝∠COD－∠BOC＝60°－10°＝50°，所以∠AOC＝∠BOD， 所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝50°＋60°＝110°； (2)∠AOD＋∠BOC＝120°，理由如下： 因为∠AOB＝∠COD＝60°， 所以∠AOD＋∠BOC＝∠AOC＋∠BOC＋∠BOD＋∠BOC ＝∠AOB＋∠COD＝60°＋60°＝120°； (3)在(2)中的关系不成立，∠AOD＋∠BOC＝240°，理由如下： 如图2，因为∠AOD＋∠COD＋∠BOC＋∠AOB＝360°， ∠AOB＝∠COD＝60°， 所以∠AOD＋∠BOC＝360°－60°－60°＝240°. 12.[新定义][2024·市中区期末]定义：如果一条射线把一个角分成两个角，其中较大角的度数是原角度数的0.6倍，则称该射线为这个角的近似黄金分割线．如图1，∠AOB＝60°，∠BOP＝36°，则OP为∠AOB的近似黄金分割线． (1)若∠AOB＝100°，OP为∠AOB的近似黄金分割线，则∠AOP ＝ ； (2)如图2，如果点A，O，B三点在同一条直线上时，当射线OP在 直线AB上方绕O点转动时，OM，ON始终分别为∠AOP和∠BOP的近 似黄金分割线，当∠BOP＝α时，求∠MON的度数；(可以用含α 的代数式表示) (3)在(2)的基础上，若OP恰好为∠MON的平分线，求α的度数． 解：(1)因为OP为∠AOB的近似黄金分割线， 所以∠BOP＝0.6∠AOB或∠AOP＝0.6∠AOB， 所以若∠BOP＝0.6∠AOB＝0.6×100°＝60°， 则∠AOP＝∠AOB－∠BOP＝100°－60°＝40°. 若∠AOP＝0.6∠AOB，则∠AOP＝0.6×100°＝60°， 综上所述，∠AOP＝40°或60°. 故答案为：40°或60°； (2)因为∠BOP＝α，所以∠AOP＝180°－α. ①若∠AOM＝0.6∠AOP，∠BON＝0.6∠BOP， 则∠POM＝0.4∠AOP，∠PON＝0.4∠BOP， 所以∠MON＝∠POM＋∠PON ＝0.4∠AOP＋0.4∠BOP ＝0.4×(180°－α)＋0.4·α＝72°； ②若∠AOM＝0.6∠AOP，∠PON＝0.6∠BOP， 则∠POM＝0.4∠AOP， 所以∠MON＝∠PON＋∠POM ＝0.6∠BOP＋0.4∠AOP ＝0.6·α＋0.4×(180°－α) ＝72°＋0.2α； ③若∠MOP＝0.6∠AOP，∠BON＝0.6∠BOP， 则∠PON＝0.4∠BOP， 所以∠MON＝∠MOP＋∠PON ＝0.6∠AOP＋0.4∠BOP ＝0.6×(180°－α)＋0.4·α ＝108°－0.2α； ④若∠MOP＝0.6∠AOP，∠PON＝0.6∠BOP， 所以∠MON＝∠MOP＋∠PON ＝0.6∠AOP＋0.6∠BOP ＝0.6×(180°－α)＋0.6·α ＝108°. 综上所述，∠MON＝72°或72°＋0.2α或108°－0.2α或108°. (3)因为OP平分∠MON， 所以∠MOP＝∠NOP. ①若∠MOP＝0.6∠AOP＝0.6×(180°－α)＝108°－0.6α，∠NOP＝0.6∠BOP＝0.6α， 根据∠MOP＝∠NOP， 可知108°－0.6α＝0.6α， 所以α＝90°； ②若∠MOP＝0.6∠AOP＝108°－0.6α， ∠NOP＝0.4∠BOP＝0.4α， 根据∠MOP＝∠NOP， 可知108°－0.6α＝0.4α， 所以α＝108°； ③若∠MOP＝0.4∠AOP＝0.4×(180°－α)＝72°－0.4α，∠NOP＝0.6α， 根据∠MOP＝∠NOP， 可知72°－0.4α＝0.6α， 所以α＝72°； ④若∠MOP＝0.4∠AOP＝72°－0.4α，∠NOP＝0.4α， 根据∠MOP＝∠NOP， 可知72°－0.4α＝0.4α， 解得α＝90°. 综上所述，α的度数为90°，108°或72°. 4．如图，已知∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是( ) A.eq \f(1,2)β B．eq \f(1,2)(α－β) C．α－eq \f(1,2)β D．eq \f(1,2)α eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(26＋\f(1,2)n))° 解析：因为∠ABE＝26°， 所以∠BEA′＝∠BEA＝64°. 又因为∠CED′＝∠CED， 所以∠DEC＝eq \f(1,2)∠DED′， 所以∠DEC＝eq \f(1,2)(180°－∠A′EA＋∠AED)＝eq \f(1,2)(180°－128°＋n°) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(26＋\f(1,2)n))°. $$