21.2　二次根式的乘除 同步练 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册

21.2　二次根式的乘除 21.2.1，21.2.2　二次根式的乘法与积的算术平方根 1.二次根式的乘法：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，·＝　　(a　≥0　，b　≥0　). 2.积的算术平方根：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的　积　，即＝　·　(a　≥0　，b　≥0　). 考点1　二次根式法则及积的算术平方根成立的条件 【典例1】若＝·，则(　A　) A.x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 解析：先利用积的算术平方根的法则和二次根式有意义的条件得到x≥0且x－6≥0，再求出两不等式的公共部分即可．根据题意，得x≥0且x－6≥0，即x≥6. 本题考查了积的算术平方根成立的条件： ＝·(a≥0，b≥0). 【变式训练】 1.能使＝·成立的所有整数a的和是　6　． 考点2　二次根式的乘法计算 【典例2】计算：(1)×；(2)×； (3)·；(4)·. 解：(1)原式＝；(2)原式＝＝8； (3)原式＝；(4)原式＝＝2. 二次根式相乘时，先把被开方数相乘，如果积中有能开得尽方的因数（式），一定要开尽方．在计算多个二次根式相乘时，要对被开方数分解因数（式），以便能将开得尽方的因数（式）移到根号外，从而可以使运算简便． 【变式训练】 2.计算：(1)×；(2)×； (3)×；(4)2×. (（1)×＝＝2； (2)×＝＝6； (3)×＝＝10； (4)原式＝2＝2. 考点3　利用积的算术平方根的法则进行化简 【典例3】化简． (1)；(2)； (3)(a＞0，b＞0). 解：(1)＝＝2； (2)＝5|a|； (3)原式＝＝＝(a＋b). 利用积的算术平方根的法则进行化简，被开方数中含有字母的需注意字母的取值范围；若被开方数是多项式的，则先因式分解再化简． 【变式训练】 3.化简． (1)；(2). (1)＝＝×＝10； (2)＝＝＝. 知识点1　二次根式的乘法 1.（海南琼中县校级月考）×＝(　B　) A. B． C．2 D．3 2.若·的值是整数，则n的值可以是(　B　) A．25 B．20 C．15 D．2 3.（河南郑州中原区月考）矩形的长和宽分别是和，则矩形的面积是　3　． 4.计算： (1)×；(2)×； (3)2·；(4)×. (1)原式＝3； (2)原式＝＝＝6； (3)原式＝2＝2； (4)原式＝＝＝2.知识点2　积的算术平方根 5.化简的结果是(　B　) A．－4 B．4 C．±4 D．20 6.（河南南阳宛城区月考）若＝·＝0成立，则a的值为　5　． 7.化简下列各式： (1)＝　77　； (2)＝　4　． 8.化简： (1)；(2)；(3)；(4). (1)＝5；(2)＝3x； (3)＝＝10； (4)＝＝3. 易错易混点　忽略题干隐含的条件导致化简出错 9.把m根号外的因式移入根号内得(　D　) A． B． C．－ D．－ 10.（河南商丘夏邑县期中）下列各数中，与的积仍为无理数的是(　D　) A． B． C． D． 11.（海南三亚校级期中）若x是整数，且·有意义，则·的值是(　C　) A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 ∵·有意义， ∴解得3≤x≤5. ∵x是整数，∴x＝3或4或5， ∴原式＝0或1. 12.计算·(a>0，b≥0)的结果是　3　． 13.（河南汝州校级月考）当a＜0时，化简a·的结果是 　－4a2　． a·＝a＝a|4a|，∵a＜0，∴a·＝a|4a|＝－4a2. 14.计算： (1)·(a≥0)； (2)×； (3)2·(a≥0)； (4)3a·(a≥0，b≥0). (1)原式＝＝6a； (2)原式＝＝7； (3)原式＝2＝10a； (4)原式＝－2a＝－12ab. 15.（推理能力）先来看一个有趣的现象：＝＝＝2.这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：＝3，＝4等． (1)猜想：＝　5　，并验证你的猜想； (2)你能用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗？ (3)请你再写出一个具有“穿墙”性质的数． (1)＝5； 验证：＝＝＝5； (2)规律：＝n（n为正整数，n≥2）， 证明：＝＝＝n； (3)根据规律写出一个符合规律的式子：（答案不唯一）. 21.2.3　二次根式的除法 1.二次根式的除法法则：一般地，有＝　　(　a≥0，b>0　).这就是说，两个数的算术平方根的商，等于　它们商的算术平方根　． 2.商的算术平方根：＝(a　≥0　，b　>0　).这就是说，两个数商的算术平方根，等于它们　算术平方根的商　． 3.最简二次根式：(1)被开方数中不含　分母　；(2)被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都　小于2　． 考点1　商的算术平方根法则成立的条件 【典例1】若＝成立，则x的值可以是(　B　) A.－2 B．0 C．2 D．3 解析：∵若＝成立， ∴解得－1≤x＜2， 故x的值可以是0. 直接根据商的算术平方根的法则成立的条件，构造不等式组求解． 【变式训练】 1.等式＝成立的条件是　x＜2　． 考点2　识别最简二次根式 【典例2】下列二次根式中，是最简二次根式的是(　A　) A．　　 B．　 　C．　 　D． 解析：A选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；B选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；C选项，原式＝，故该选项不符合题意；D选项，原式＝2，故该选项不符合题意． 判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：(1)被开方数中不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【变式训练】 2.若是最简二次根式，则x的值可以是　3（答案不唯一）　.（写出一个即可） 考点3　二次根式的乘除混合运算 【典例3】计算：(1)－×2÷； (2)12÷×. 解：(1)原式＝－×2÷ ＝－××＝－. (2)原式＝· ＝8＝8a. 在进行二次根式的乘除混合运算时，要注意运算顺序． 【变式训练】 3.（黑龙江哈尔滨南岗区校级月考）当a、b均为正数时，计算：÷·等于(　A　) A． B． C． D．b 知识点1　二次根式的除法 1.（海南海口校级月考）计算÷的结果正确的是(　C　) A．4 B．3 C．2 D． 2.（河南信阳潢川县期末）计算：÷＝3，则中的数是(　D　) A．6 B． C．2 D． 3.已知一个三角形的面积为，一边长为，这条边上的高为(　A　) A．4 B．2 C． D．2 4.计算＝　2　． 5.计算： (1)；(2)；(3)÷； (4)÷. (1)＝＝3； (2)＝＝＝2； (3)原式＝＝＝2|a|； (4)原式＝＝. 6.用电器的电阻R(Ω)、电流强度I(A)与它两端的电压U(V)之间的关系是U＝IR.现有一个用电器的电阻为3 Ω，它两端的电压为8 V，则电流强度为多少？ 由U＝IR，得I＝，∴I＝＝(A). 知识点2　商的算术平方根 7.化简： (1)；(2)；(3). (1)原式＝；(2)原式＝； (3)原式＝＝. 知识点3　最简二次根式 8.（海南琼中县校级月考）下列各式是最简二次根式的是(　A　) A． B． C． D． 9.请写出一个大于1且小于2的最简二次根式　（答案不唯一）　. 10.把下列二次根式化简成最简二次根式． (1)；(2)；(3)；(4). (1)＝＝4； (2)＝＝2； (3)＝＝＝； (4)＝＝. 易错易混点　忽略隐含的分母非0条件导致错误 11.若＝成立，则x满足　2≤x<3　． 12.（河南驻马店驿城区期中）下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有(　A　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13.下列各式计算正确的是(　B　) A．÷＝4 B．÷＝ C．÷＝5 D．÷＝7 14.化简的结果是　　． 15.计算： (1)2÷×； (2)÷（－）×； (3)×4÷. (1)原式＝2××＝. (2)原式＝2××3＝2×(－3)＝－6. (3)原式＝2×4×÷4＝8÷4＝2. 16.高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”．即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈9.8 m/s2）.已知一幢大楼高78.4 m，若一个鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间． 将h＝78.4，g＝9.8代入公式t＝，得t＝＝4，答：落到地面所用时间为4 s． 17.（推理能力）先阅读，再解答：由（＋）（－）＝（）2－（）2＝2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：＝＝－，请回答下列问题： (1)－1的有理化因式是　＋1　； (2)化去式子分母中的根号：＝　3＋　；（直接写结果） (3)－　<　（填“>”或“<”）－. (1)－1的有理化因式是＋1； (2)原式＝＝3＋； (3)∵＝＋， ＝＋， 而>， ∴>. ∴－<－. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2　二次根式的乘除 21.2.1，21.2.2　二次根式的乘法与积的算术平方根 1.二次根式的乘法：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，·＝ (a ，b ). 2.积的算术平方根：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的 ，即＝ (a ，b ). 考点1　二次根式法则及积的算术平方根成立的条件 【典例1】若＝·，则( ) A.x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 本题考查了积的算术平方根成立的条件： ＝·(a≥0，b≥0). 【变式训练】 1.能使＝·成立的所有整数a的和是 ． 考点2　二次根式的乘法计算 【典例2】计算：(1)×；(2)×； (3)·；(4)·. 二次根式相乘时，先把被开方数相乘，如果积中有能开得尽方的因数（式），一定要开尽方．在计算多个二次根式相乘时，要对被开方数分解因数（式），以便能将开得尽方的因数（式）移到根号外，从而可以使运算简便． 【变式训练】 2.计算：(1)×；(2)×； (3)×；(4)2×. 考点3　利用积的算术平方根的法则进行化简 【典例3】化简． (1)；(2)； (3)(a＞0，b＞0). 利用积的算术平方根的法则进行化简，被开方数中含有字母的需注意字母的取值范围；若被开方数是多项式的，则先因式分解再化简． 【变式训练】 3.化简． (1)；(2). 知识点1　二次根式的乘法 1.（海南琼中县校级月考）×＝( ) A. B． C．2 D．3 2.若·的值是整数，则n的值可以是( ) A．25 B．20 C．15 D．2 3.（河南郑州中原区月考）矩形的长和宽分别是和，则矩形的面积是 ． 4.计算： (1)×；(2)×； (3)2·；(4)×. 5.化简的结果是( ) A．－4 B．4 C．±4 D．20 6.（河南南阳宛城区月考）若＝·＝0成立，则a的值为 ． 7.化简下列各式： (1)＝ ； (2)＝ ． 8.化简： (1)；(2)；(3)；(4). 易错易混点　忽略题干隐含的条件导致化简出错 9.把m根号外的因式移入根号内得( ) A． B． C．－ D．－ 10.（河南商丘夏邑县期中）下列各数中，与的积仍为无理数的是( ) A． B． C． D． 11.（海南三亚校级期中）若x是整数，且·有意义，则·的值是( ) A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 12.计算·(a>0，b≥0)的结果是 ． 13.（河南汝州校级月考）当a＜0时，化简a·的结果是 ． 14.计算： (1)·(a≥0)； (2)×； (3)2·(a≥0)； (4)3a·(a≥0，b≥0). 15.（推理能力）先来看一个有趣的现象：＝＝＝2.这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：＝3，＝4等． (1)猜想：＝ ，并验证你的猜想； (2)你能用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗？ (3)请你再写出一个具有“穿墙”性质的数． 21.2.3　二次根式的除法 1.二次根式的除法法则：一般地，有＝ ( ).这就是说，两个数的算术平方根的商，等于 ． 2.商的算术平方根：＝(a ，b ).这就是说，两个数商的算术平方根，等于它们 ． 3.最简二次根式：(1)被开方数中不含 ；(2)被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都 ． 考点1　商的算术平方根法则成立的条件 【典例1】若＝成立，则x的值可以是( ) A.－2 B．0 C．2 D．3 直接根据商的算术平方根的法则成立的条件，构造不等式组求解． 【变式训练】 1.等式＝成立的条件是 ． 考点2　识别最简二次根式 【典例2】下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A．　　 B．　 　C．　 　D． 判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：(1)被开方数中不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【变式训练】 2.若是最简二次根式，则x的值可以是 .（写出一个即可） 考点3　二次根式的乘除混合运算 【典例3】计算：(1)－×2÷； (2)12÷×. 在进行二次根式的乘除混合运算时，要注意运算顺序． 【变式训练】 3.（黑龙江哈尔滨南岗区校级月考）当a、b均为正数时，计算：÷·等于( ) A． B． C． D．b 知识点1　二次根式的除法 1.（海南海口校级月考）计算÷的结果正确的是( ) A．4 B．3 C．2 D． 2.（河南信阳潢川县期末）计算：÷＝3，则中的数是( ) A．6 B． C．2 D． 3.已知一个三角形的面积为，一边长为，这条边上的高为( ) A．4 B．2 C． D．2 4.计算＝ ． 5.计算： (1)；(2)；(3)÷； (4)÷. 6.用电器的电阻R(Ω)、电流强度I( )与它两端的电压U(V)之间的关系是U＝IR.现有一个用电器的电阻为3 Ω，它两端的电压为8 V，则电流强度为多少？ 知识点2　商的算术平方根 7.化简： (1)；(2)；(3). 知识点3　最简二次根式 8.（海南琼中县校级月考）下列各式是最简二次根式的是( ) A． B． C． D． 9.请写出一个大于1且小于2的最简二次根式 . 10.把下列二次根式化简成最简二次根式． (1)；(2)；(3)；(4). (1)＝＝4； (2)＝＝2； (3)＝＝＝； (4)＝＝. 易错易混点　忽略隐含的分母非0条件导致错误 11.若＝成立，则x满足 ． 12.（河南驻马店驿城区期中）下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13.下列各式计算正确的是( ) A．÷＝4 B．÷＝ C．÷＝5 D．÷＝7 14.化简的结果是 ． 15.计算： (1)2÷×； (2)÷（－）×； (3)×4÷. 16.高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”．即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈9.8 m/s2）.已知一幢大楼高78.4 m，若一个鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间． 17.（推理能力）先阅读，再解答：由（＋）（－）＝（）2－（）2＝2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：＝＝－，请回答下列问题： (1)－1的有理化因式是 ； (2)化去式子分母中的根号：＝ ；（直接写结果） (3)－ （填“>”或“<”）－. 学科网（北京）股份有限公司 $$