山东省德州市2025-2026学年高三上学期开学考数学试题

高三数学试题参考答案 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的.) 1.B2.C3.D4.D5.C6.B7.A8.C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.ACD 10.BC 11.ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.3 13.114.”-1 2n2 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.解：(1)数列{am}是等差数列，设公差为d, |a1+a2=4 由 a2十a3=8 得a3一a1=4=2d,则d=2, 3分 故4=a1十a2=2a1十d,则a1=1.…6分 故am=a1十(n-1)d=2n-1.… 7分 (2(-1)a+a=(-1)(2+1) anQn+1 an =(-1y3++〉 1 …10分 =-(}+3+(兮+号)-（号+++(n与十十） 一1十4n+1 An 4n+1 …13分 高三数学试题答案第1页（共5页） 16.解：(1)由正弦定理得0一b_c一b c a+b" 即c2十b2一a2=bc,…2分 故c0SA= 62+c2-a2 bc 1 2bc 2bc2 …4分 因为A∈(0，π)， 所以A=子 6分 (2)因为△ABC的面积为4√3， 所以bsinA=43,解得6c=16,…8分 因为AD为△ABC的内角平分线， 所以∠BAD=∠CAD=∠BAC= 2 6 因为SAADB十SAAIC=S△ABC, 所以2AD·c·sin石十2AD…b·sin=43,……11 6 即AD·(c+b)=16W3, 12分 所以AD= 16√3 b+c 因为b+c≥2√bc=8 当且仅当b=c=4时，等号成立. 14分 所以AD<6 2=23 所以AD的最大值为2√5.……15分 17.解：(1)函数f(x)=x-alnx定义域为(0，十o∞)，f'(x)=1-a=x-a …2分 当a≤0时，f'(x)≥0，此时f(x)在(0，十∞)上单调递增；…3分 当a>0时，令f'(x)=0,得x=a, 此时在(0，a)上f'(x)<0,f(x)在(0，a)单调递减，…4分 在(a,十0∞)上f'(x)>0,f(x)在(a,十∞)单调递增，…5分 综上： 高三数学试题答案第2页（共5页） a≤0时，f(x)的递增区间为(0，十∞)，无递减区间； a>0时，f(x)的递减区间为(0，a),递增区间为(a,十o∞)；…6分 (2)由(1)可知， 当a>0时，f(x)=x一alnx=0才有两个不相等的实根，且xo>0,…8分 则要证(a-1)z>4,即证一1>1，即证1-1>1 a xo a xo 面，一an,=0,则a=品，1，否则方程不成立， 所以即证1->，化简得。一1nz,一1>0，… 10分 令g(xo)=x0-lnx0-1,则g'(x)=1-1=0-1 12分 当0<xo<1时，g'(xo)<0,所以g(xo)在(0,1)单调递减， 当x0>1时，g'(x0)>0,所以g(x0)在(1，十∞)单调递增，…13分 所以g(xo)≥g(1)=0,而xo≠1，所以g(xo)>0, 所以(a一1)xo>a,得证.… 15分 18.解：(1)直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC, 所以ACC1A1是矩形 又当X=号时，CE=号C0AM,=0C=3, 所以CE=2,C1E=1,A1E=√/A1C十C1E2=√5.… 2分 因为D为AC的中点，连接A1D, 所以CD=1,DE=√CD2+CE2=√5，A1D=√AA+AD2=√10 所以A1E2十ED2=A1D2,所以A1E⊥ED.…4分 因为AA1⊥平面ABC,BDC平面ABC,所以AA1⊥BD. 又因为D是正三角形ABC边AC的中点，所以BD⊥AC. 又AA1∩AC=A,AA1,ACC平面ACC1A1, 所以BD⊥平面ACC1A1 又A1EC平面ACC1A1, 所以BD⊥A1E.… ............ 6分 因为A1E⊥ED,ED∩BD=D,ED,BDC平面BDE, 高三数学试题答案第3页（共5页） 所以A1E⊥平面BDE。…8分 (2)取A1C1的中点D1,以{DB,DC,DD1}为正交基底，建立空间直角坐标系. 因为CE=λCC1,E(0,1,3),B(W3,0,0,),A1(0,-1,3),C(0,1,0), Di=(W3,0,0),D元=(0,1,3入)，…10分 (m·DB=0, 设m=(x,y,之)为平面BDE的一个法向量，则 m·DE=0, W3x=0, 所以 y+3λz=0. 士B 取m=(0,-3入，1)，A1C=(0,2,-3),…11分 A1C与平面BDE所成角为0， 所以sind= AC.ml 3(2λ+1) 0000.000000000000004.400◆ 13分 1A1C1m√139λ2+1 令2λ+1=t∈(1,3)， sin=3 t? 6 …15分 w/13 6 918+1s/图-8+9压13 4 t2 t 因为t∈(1,3)， 所以∈(》 所以当=号3即入名时，Sin0=1.……… 17分 19.解：(1)由题可知，过点T(5,一1)的切线的斜率一定存在，设为， 故切线方程为y=k(x一5)一1，…1分 与x2=2y联立方程组并消去y,得x2-2kx十2(5k十1)=0.…2分 所以判别式△=(-2k)2-4×2(5k十1)=0，整理得k2-10k-2=0.…3分 因为TA⊥TB, 所以kk,三一号-1所以力=2 …4分 (2)设A(x1,y1),由抛物线C:x2=2py,有y= 0,所以y-,得过点A的切线 斜率为 …5分 高三数学试题答案第4页（共5页） 又=动，所以过点A的切线方程为y一办-之-).即y=合t一动品 ……6分 由点T(5,-1)在直线TA上，所以一1= x12b.整理得x-101=2p.…7分 51 设B(x2y2),同理可得x经-10x2-2p=0.…8分 所以x1,x2是方程x2一10x一2p=0的两个根，得x1十x2=10,x1x2=一2p.…9分 1 、所以直线AB的斜率B2=p2力x x1一x2 x1一x2 2p p 12 AB的方程为y一2b力一x1),即y=5 方x+2b1-10x.所以y=5 x+1. …10分 所以直线AB的方程为5x一y十p=0,过定点(0,1).…11分 (3)由(2)知，x=10x1十2p. 因为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F(0,号， 所以i=-0-号》，F立-6，-1-号.… …12分 所以威·时-1十(0-号(-1-号)=5a1-[60+2p)-是31+号) =(28-1-21+9=81-台-1-21+ …13分 2b1+1+2 ,…14分 所以cos∠TFA= 威时号-1+1+多名-1 FAIX FTI (5 …15分 一1 同理可得cos∠TFB= FTI …16分 所以cos∠TFA=cos∠TFB.所以∠TFA=∠TFB.…17分 高三数学试题答案第5页（共5页）★优高联考 高三数学试题 2025.9 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1一2页，第Ⅱ卷3一4 页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上， 第I卷选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选 项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， r 1.已知向量a=(2,1),b=(m-2,m),若a%,则m A.-4 B.-2 C.2 D.4 2.已知集合M={0,1,2},N={y|y=2,x∈M},则M∩N= A.{1} B.{0,1} C.{1,2y D.{0,1,2} 3已知复数之=1+i(其中1为虚数单位)，则 A.-2 B.-1 C.1 D.2 么在(x+2)的展开式中，常数项为 A.6 B.8 C.12 D.24 5.某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将测量数据分成6组，整 理得到如图所示的频率分布直方图.如果要让90% 频率 毁 组距 的产品长度不超过a厘米，根据频率分布直方图估 0.35 计，下列最接近a的数是 0.25 0.15 A.93.5 B.94.1 0.1 0.05 C.94.7 D.95.5 0 90919293949596长度/厘米 6.某圆锥母线长为√2，其侧面积与轴截面面积的比值为√2π，则该圆锥体积为 A是 BF c 3 D. 高三数学试题第1页（共4页） 已知椭圆C名+1a>b>0)的左右焦点分别为F,F,以F,为圆心的圆经过 F1,且与y轴正半轴交于点A,若线段AF1的中点在C上，则C的离心率是 A.√3-1 B.√6-√5 C.√3-√2 D.√2-1 8.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球 放入乙箱中，以A1,A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一 球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是 AA1,A2互斥 B.P(BIA)=7 CPA,B)=月 nPB)-品 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合 题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数fx)=an(受x+牙)，则 A.f(x)的最小正周期为2 B.f(x)的定义域是{xx≠2十k,k∈Z Cf()的图象关于点号，0)对称 D.f(x)在区间[1,2]上单调递增 10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱AA1上的动点（不包括两个端点），过点P作平 面a,使得PC1⊥平面a,则 A.AB1⊥平面a B.BD1平面a C.平面ACC1A1⊥平面a D.平面CB1D1∥平面a L已知取线c号若 =l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l与C 在第一，四象限的交点分别为A,B,与y轴的交点为D,AF,=|DF,=子1F,R,则 A直线AF2的斜率为3 B.C的离心率为2 C.D到C上最近点的距离为3y5。 2 a D.|AF2|:|BF2=11:3 高三数学试题第2页（共4页） 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数f(x)=x2+1nx的图象在点(1,1)处的切线的斜率为 13.已知m>0,函数f(x)=m-+9°，若fx)+f(-x)=0,则m十m= 3 14.有三个袋子，每个袋子都装有n个球，球上分别标有数字1,2,3，…，n.现从每个袋子里 任摸一个球，用X,Y,Z分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数， 则事件“X十Y=Z”的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤， 15.(13分) 已知等差数列{an}满足a1十a2=4,a2十a3=8. (1)求am; (2)求数列{(-1.a,十a+)的前2m项和S. anan+l 16.(15分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且二b_sinC-sinB c sinA+sinB' (1)求A; (2)若△ABC的面积为4√3，且∠BAC的平分线交边BC于点D,求AD的最大值. 高三数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 已知函数f(x)=x-alnx. (1)求f(x)的单调区间； (2)若关于x的方程x一alnx=0有两个不相等的实数根，记较小的实数根为xo,求证： (a-1)xo>a. 18.(17分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1=3,D为AC 的中点，点E在棱CC1上，CE=λCC1,0<λ<1. (I)当X=号时，求证：A,EL平面BDE: (2)求直线A,C与平面BDE所成角正弦值的最大值，并求取得最大值时λ的值. A1 19.(17分) 过点T(5,一1)作抛物线C:x2=2y(p>0)的两条切线，切点分别为A,B. (1)若TA⊥TB,求； (2)求证：直线AB过定点（与饣的取值无关）； (3)记C的焦点为F,求证：∠TFA=∠TFB. 高三数学试题第4页（共4页）