22.3实际问题与二次函数 课时训练-2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数课时训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y（米）与时间x（秒）的平方成正比例，当乒乓球滚下3米时，经过的时间为1.5秒，当秒时，乒乓球所经过的路程为（   ） A．1.5米 B．米 C．米 D．米 2．某次羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点离地面点的距离是米，球落地点到点的距离是（   ） 在 A．米 B．米 C．米 D．米 3．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，则水管的长为（   ） A．m B．2m C．m D．1m 4．最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点E，F，G，H是边长为2的正方形各边上的点，且设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（） A． B． C． D． 6．在校运动会上，小明同学进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线，如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是（   ） A． B． C． D． 7．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积不能为． 其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 8．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系，由此可知铅球推出的距离是（      ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（   ）秒，四边形的面积最小． A． B．1 C． D．2 10．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．③ 二、填空题 11．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，则飞机着陆后至停下滑行的距离为 m． 12．如图，小亮同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线路径运动．实心球到达最高点时，与小亮的水平距离是，高度是．若实心球的落地点为，则 ． 13．如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为，顶点为，且，则点的坐标为 ．    14．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为 ． 15．在平面直角坐标系中，已知点，，连结，在线段上有一动点P，过点P作轴，轴，垂足分别是M，N，记四边形的面积为S，则S的取值范围是 ． 16．如图，桥拱是抛物线形．若以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，则抛物线的解析式是．当水面距桥拱顶时，水面宽为 ． 三、解答题 17．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备用每个6元的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式为：． (1)为了方便顾客，售价定为多少时可获利1200元； (2)若要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润． 18．九年级的一名高个子男生推铅球，铅球的运动轨迹可看作某条抛物线的一部分，已知这名男生的出手处A点离地面的高度为2米，当球运动到点B最高处5米时，离该男生站立地点O的水平距离为6米．以点O为原点建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)求该男生把铅球推出去多远？ (3)有一个横截面为矩形的竹筐，长米，高米（不考虑竹筐的宽度），若铅球可落入筐内，请求竹筐的边到O点的水平距离m的取值范围． 19．已知某桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为，最高点距离水面，如图所示，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的表达式； (2)某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度． 20．“秋风起，吃腊味”是广东地区的习俗之一，东莞某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价50元/件，B类腊肠进价60元/件．已知购买1件A类腊肠和1件B类腊肠需132元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需540元． (1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ (2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类腊肠降价多少元时利润w最大，最大利润是多少元？ 21．在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点P与点Q互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． (1)点与点互为“等和点”，求b的值； (2)点与点都在直线上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值； (3)直线在第一象限的部分记为图像，抛物线在的部分记为图像．点E在图像上，点F在图像上．若，点E与点F互为“等和点”，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《22.3实际问题与二次函数课时训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C D C B D C C 1．C 【分析】先由待定系数法求出函数关系式，再代入即可求出结论． 本题考查的是二次函数的应用，确定函数表达式是本题解题的关键． 【详解】解：设， 将代入上式得： 解得：， 则函数的表达式为：， 当时，， 即乒乓球所经过的路程是米． 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，利用函数的性质是解题的关键．令求得的值即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， 球落地点到点的距离是米． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：，把代入，求出函数解析式，进而求出抛物线与轴的交点即可． 【详解】解：如图，以水池中心为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 由题意，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入抛物线解析式得：， ∴， ∴， ∴当时，， 即：水管的长为m； 故选A． 4．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键．利用2025年的累计销量2023年的累计销量平均每年增长率，即可得到函数解析式． 【详解】解：根据题意，y关于x的函数解析式为． 故选：C． 5．D 【分析】本题主要考查了二次函数的综合，正方形的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．先求得，，再由，可得，得出与、是二次函数关系，从而得出函数的图象． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ， ， ， ， ， ， ， 可知开口向上，顶点坐标为， 与的函数图象是D． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查二次函数的应用；根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【详解】解：令，即， 解得：（舍去）， ∴该同学此次投掷实心球成绩是10米． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系，准确的列出函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 设的边长为，则的边长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据菜园的面积为，解方程求出的值，可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求函数的最值可以判断③． 【详解】解：边长为，则边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过，， 故①正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得， 解得或， ∵ ∴的长有一个值满足菜园面积为， 故②错误； 设菜园面积为， 根据题意得， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 菜园面积不能为， 故③正确； ∴正确的结论有个， 故选：B． 8．D 【分析】本题是二次函数的实际应用题，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出的值，的正值即为所求． 【详解】解：铅球行进高度与水平距离之间的关系为， 当时，， 解得：，（舍去）， 铅球推出的距离是， 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值． 根据等量关系“四边形的面积三角形的面积三角形的面积”列出函数关系求最小值． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为，四边形的面积为， 则有： ∴当时，S取得最小值． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．设的长为米，菜园的面积为平方米，可得；根据即可判断①；求解即可判断②；根据，，即可判断③； 【详解】解：设的长为米，菜园的面积为平方米　， 由题意得：的长为米， ∴； ∵， ∴， ∴的长不可以为；故①错误； 由解得： ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； ∵，， ∴当时，菜园面积有最大值，故③正确； 故选：C 11．600 【分析】要求飞机从着陆至停下来共滑，即求出函数的最大值即可． 本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键． 【详解】解：， 所以当时，该函数有最大值600． 故答案为：600． 12． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意设出二次函数的解析式为，待定系数法求出函数解析式，再令，求出自变量的值，进而求出的长即可． 【详解】解：由题意设二次函数的解析式为，点， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得：或（舍去）； ∴； 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握矩形的性质和二次函数的性质是解题的关键． 根据矩形的性质和抛物线的对称性求解． 【详解】由题意得：， 设， 抛物线的对称轴为：直线， 在矩形中，， 、关于对称， ，， 解得， ． 故答案为：． 14． 【分析】分析题意，可设该饲养室的宽为，用表示饲养室的长，利用矩形的面积长宽表示出饲养室的面积；可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为，则饲养室的长为，面积；观察可知面积是的二次函数，结合二次函数的性质，将改写为顶点式，即可求出的最大值．本题考查与图形有关的二次函数应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式． 【详解】解：可建墙体的总长为，三处各留宽的门，则总长为． 设该饲养室的宽为，则长为， 该饲养室的面积． 由二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查二次函数的应用，先求出直线的解析式为，再设点P的坐标为，用含p的二次函数表示出S，利用二次函数的性质求出的最大值和最小值即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 动点P在线段上， 设点P的坐标为，其中， 轴，轴， 四边形为矩形，，， ， ，， 当时，取最大值，最大值为， ， 当时，取最小值，最小值为， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． 根据题意可得的纵坐标为，把代入解析式确定的横坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】解：根据题意的纵坐标为， 把代入，得 解得，， ，， ．即水面宽度为． 故答案为：． 17．(1)售价定为10元时可获利1200元 (2)当售价定为13元时，利润最大，最大利润为1470元 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据总利润等于单件利润乘以销售量列方程求解即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量列函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得，， ∵为了方便顾客，售价应取较低者， ∴， 答：售价定为10元时可获利1200元； （2）解：设总利润为W元，根据题意，得 ， ∵， ∴当时，W取最大值，最大值为1470， 答：当售价定为13元时，利润最大，最大利润为1470元． 18．(1)； (2)米 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据题意，得到为顶点坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的的值，即可得出结果； （3）求出时的函数值，结合，即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可知，，且为顶点坐标， 设抛物线的解析式为， 将代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：令，得， 解得，（舍去）． 答：该男生把铅球推出去米远； （3）解：令，得． 解得，（舍去）． ， ． 19．(1) (2)桥拱下水面的宽度为 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）利用待定系数法，根据建立的坐标系以及已知条件，求出点A，C的坐标，然后代入求解即可； （2）根据水面高度先求出点E，F的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，再最后求出的长． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴点的坐标为，点A的坐标为， 设抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：∵，， ∴ ， 由题意得， 解得，． ∴点E的坐标为，点的坐标为， ∴， 答：桥拱下水面的宽度为． 20．(1)A类腊肠的售价为60元/件，B类腊肠的售价为72元/件 (2)； (3)，A类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为640元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， （1）根据题意设每件A类腊肠的售价为x元，则每件B类腊肠的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； （2）根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； （3）结合（2）中A类腊肠降价x元与每天的销售量y件，得到A类腊肠的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类腊肠的售价为x元，则每件B类腊肠的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类腊肠的售价（元）． 答：A类腊肠的售价为60元/件，B类腊肠的售价为72元/件； （2）解：由题意得 ∵A类腊肠进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：； （3）解： ． ∴当时，w有最大值640． 答：A类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为640元． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等和点的定义，列出方程进行求解即可； （2）将点代入函数解析式，得到，再根据等和点的定义，列出方程进行求解即可； （3）设，则根据等和点的定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵点，点都在直线上， ， ∵点C与点D互为“等和点”， ， 解得； （3）解： ， 设， 在中，令 ． ∵点E在图像上，且点E的横坐标比点F的横坐标大1， ，且， ． 综上，t的取值范围是； ∵点E与点F互为“等和点”， ， 整理得， 解得（舍去）． 当时， ． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的综合应用，掌握“等和点”的定义，是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$