22.1二次函数的图象和性质 课时训练-2025-2026学年人教版 数学九年级上册

22.1二次函数的图象和性质课时训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．开口向上 B．与x轴有一个交点 C．对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小 3．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 4．在抛物线（）上有，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．把抛物线向左平移3个单位，然后向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 7．已知点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（   ） A． B． C．2 D．5 8．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 9．二次函数的最小值为 ． 10．当 时，函数是二次函数． 11．若抛物线关于直线对称，则关于x的方程的解为 ． 12．对于二次函数，当时，y的取值范围为 ． 13．已知点，（点A在点B的左侧）是抛物线上的两点，若，则与满足的条件是 ． 14．已知二次函数，下表给出了y与x的几对对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 11 m 3 2 3 6 11 … 由此判断，表中 ． 15．已知关于的二次函数，其中为实数，当－2≤≤1时，的最小值为4，满足条件的m的值为 或 ； 16．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是．①；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④对任意实数n，不等式总成立．其中正确的有 ． 三、解答题 17．某二次函数图象的顶点坐标为，形状与函数的图象相同，且开口方向相反，求该二次函数的解析式． 18．已知二次函数图象的顶点是，且函数过点． (1)求这个函数的解析式； (2)请在坐标系内画出这个函数的图象． 19．已知抛物线对称轴为直线，且经过，两点． (1)若，，求抛物线的对称轴以及抛物线与轴的交点； (2)若点在抛物线上，且，满足，求和的取值范围． 20．已知抛物线． (1)请用配方法将化为的形式，并写出对称轴和顶点的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出的图象； (3)如果该抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后经过原点，求m的值； (4)当时，求y的取值范围． 21．如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知P为抛物线（不与点B重合）上的一点，若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标． 22．数学活动课上，张老师给出了二次函数（），并让同学们进行探究． (1)任务一：小乔在探究中发现，当的取值不同时，画出的函数图象都经过同样的定点，请求出定点的坐标吗？ (2)任务二：小惠给赋值并画出相应的函数图象，记其顶点为A，与轴的两个交点分别为，她发现由三点构成的恰好为直角三角形，请求出这个二次函数的解析式吗？ (3)任务三：小灵提出她画的函数图象在内，的最小值为，请求出此时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《22.1二次函数的图象和性质课时训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D B B C D A 1．C 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如、、 为常数， 的函数，称为二次函数，对照函数的解析式，根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】A．不是二次函数，故选项A不符合题意； B．不是二次函数，故选项B不符合题意； C．是二次函数，故选项C符合题意； D．不是二次函数，故选项D不符合题意． 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解题的关键． 由得到抛物线开口向上，配方成，得到对称轴，顶点坐标为，进而逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，故A正确； ∵， ∴对称轴，顶点坐标为，故C正确； ∴抛物线的顶点在x轴上， ∴抛物线与x轴有一个交点，故B正确； ∴当时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：D． 3．D 【分析】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法，解题关键是掌握抛物线顶点解析式的意义． 已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵是抛物线解析式的顶点式， ∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查二次函数的性质（对称性、增减性），熟记性质是解题关键． 先求出抛物线的对称轴，再根据其对称性、增减性即可求解． 【详解】解：∵抛物线为， ∴图象开口向下，且对称轴为， ∴当点与对称轴的距离越近，对应的函数值越大， ∵点，，在抛物线上， 点A与对称轴的距离为， 点B与对称轴的距离为， 点C与对称轴的距离为， 且， ，即． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位，平移后抛物线的解析式为：， 再向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为， 故选B． 6．C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键．先根据函数的图象确定系数，再推出一次函数的图象判断即可． 【详解】解：当二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴，则，， 此时一次函数的图象过一、二、四象限，A、B选项错误； 当二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，则，， 此时一次函数的图象过一、三、四象限，C选项正确、D选项错误； 故选：C 7．D 【分析】本题主要考查二次函数的平移及性质，当点C的横坐标取到最小值时，抛物线的顶点平移到点上，此时对称轴为直线，由对称性可知此时点D的坐标为，当点D横坐标最大时，抛物线的顶点平移到点上，顶点从点A平移至点B，向右平移3个单位长度，所以点D也向右平移3个单位长度，即可求出点D的横坐标最大值． 【详解】解：如图， 当点C的横坐标取到最小值时，抛物线的顶点平移到点上， 此时对称轴为直线， 由对称性可知此时点D的坐标为， 当点D横坐标最大时，抛物线的顶点平移到点上，顶点从点A平移至点B，向右平移3个单位长度， 所以点D也向右平移3个单位长度， 此时点D坐标为，横坐标最大， 故选：D. 8．A 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，先根据开口方向判断出，结合对称轴位置判断出，再根据与y轴的交点位置，判断，进而得出结论①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，判断出②正确；利用抛物线的对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，判断出③正确，根据两点与对称轴的距离判断出④错误；根据对称轴得出，进而得出，即可判断⑤错误；综上即可得答案． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ， 故①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ②正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， ③正确； 点到直线的距离比点到直线的距离小，且抛物线开口向上， ， 故④错误； ， ， 故⑤错误． 综上所述，正确的有②③，一共2个． 故选：A． 9．/0.75 【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查根据二次函数的定义求字母的值，二次函数中未知数的最高次数是2，二次项的系数不能为0，由此列式求解即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 又， ， ， 故答案为：． 11．， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先由抛物线关于直线对称，得到，求出，再解一元二次方程即可． 【详解】解：∵抛物线关于直线对称， ∴， ∴， ∴关于x的方程即为 ∴， 解得：，， 故答案为：，． 12． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质得出该函数图象开口向下，当时，有最大值4，再结合当时，，当时，，即可以得到当时的取值范围． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，当时，有最大值4， 当时，，当时，， ， 的取值范围为， 故答案为：． 13． 且 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据抛物线解析式确定开口方向及对称轴，分，，三种情况，分别考虑即可求解． 【详解】解：点A在点B的左侧， ． 中，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，； 当时，y随x的增大而减小，； 当时，若，则， 解得； 综上可知，与满足的条件是：且． 故答案为：且． 14．6 【分析】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据表格得出二次函数的对称轴为直线，由此即可得出答案． 【详解】解：由表格可知，和时函数值相等， 则二次函数的对称轴为直线， 因此当和时函数值相等， 即， 故答案为：6． 15． 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的性质，正确理解二次函数的性质是本题解题的关键． 由题求得抛物线的对称轴为直线，分类讨论，，，根据函数的增减性，即可得出答案． 【详解】解：原式变形为， 对称轴为， 二次函数当时，有最小值为4， ①当时， 当时，有最小值为4， ， 解得：,(舍去)， ②当时， 当，有最小值为， 化简整理得， 解得：（舍去），（舍去）， ③当时， 当，有最小值为， 化简整理得， 解得：（舍去）， 满足条件的m的值为或． 故答案为：；． 16．①③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行解题即可． 【详解】解：对称轴是直线， ， 故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故②错误； 将代入，可得， 由图像可知，此时图像在轴上方，故，故①正确； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故③正确； 时，函数有最大值， 故，即不等式总成立，故④正确； 故答案为：①③④． 17． 【分析】本题考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质，先把二次函数解析式设为顶点式，再由所求抛物线的形状与函数的图象相同，且开口方向相反，得到 ，据此即可求得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标为， 设该二次函数图象解析式为， 二次函数图象形状与函数的图象相同，且开口方向相反， ， 该二次函数的解析式为． 18．(1) (2)见解析 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，能根据抛物线上的点的坐标，设出合适的函数解析式是解题的关键． （1）根据所给条件，可设函数解析式为顶点式，便可解决问题． （2）找出点的坐标，画出函数图象即可． 【详解】（1）解：因为二次函数图象的顶点是， 所以设函数的解析式为． 将点代入函数解析式得， ， 解得， 所以函数解析式为； （2）解：函数图象如图所示． 19．(1)， (2)和 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据题意可得点与关于对称轴为对称，可得的值，当时，，可得抛物线与轴交点的坐标，即可求解； （2）抛物线与轴交点关于对称轴的对称点坐标为，根据抛物线的图象和性质可得当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴点与关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴抛物线的对称轴是：直线， 将和代入， 得， ∴抛物线与y轴的交点是； （2）解：将代入，得， ∴抛物线与轴交点坐标为， ∴抛物线与轴交点关于对称轴的对称点坐标为， ∵， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当点，点，均在对称轴的右侧时，即， ∵，， ∴，即（不合题意，舍去）， 当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，， 此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，解得：， ∵，， ∴，即， ∴， ∵点与点均在抛物线上且纵坐标相等， ∴点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴和的取值范围分别是和． 20．(1)，对称轴：直线，顶点坐标 (2)作图见解析 (3)或1 (4) 【分析】本题考查二次函数的顶点式、画二次函数的图象，二次函数平移的规律，解题的关键是掌握二次函数平移的规律． （1）利用配方法进行求解即可； （2）先找顶点，再求与x轴、y轴交点，即可画出二次函数的图象； （3）根据函数经过点，，根据平移规律进行求解； （4）结合抛物线对称轴直线，分别求、、时的值，确定最值． 【详解】（1）解： 对称轴为：直线； 顶点坐标； （2）解：当时，； 当时，或， 所以该图象经过点，，； （3）∵经过点， ∴抛物线沿x轴向左平移3个单位长度或向右平移1个单位长度后经过原点， ∴或3． （4）时，； 时，（最大值）； 时，（最小值）． y的取值范围为． 21．(1) (2)点P的坐标为 【分析】（）利用待定系数法求抛物线的解析式； （）先利用待定系数法求出直线的函数解析式，设点的坐标为，由对称可得点的坐标为，将其代入抛物线的解析式即可求解． 本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称，解一元二次方程，掌握待定系数法求函数解析式及关于轴对称的点坐标特征是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 由（）中得，点的坐标为， 将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 解得，， 又∵点不与点重合， ， ， ∴点的坐标为． 22．(1)和 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、二次函数的最值、勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当或时，，从而得出结论； （2）先求出的坐标，再根据勾股逆定理列方程求解； （3）分类讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当或时，， ∴定点的坐标为和； （2）解：由（1）得：， ， ∵恰好为直角三角形， ， ， 解得：； 故二次函数的解析式为或． （3）解：∵抛物线的顶点为，当时，的最小值为， 当时，抛物线开口向上，当时，取最小值， ， 解得：， 当时，抛物线开口向下，当时，取最小值， ， 解得：， 综上所述：的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$