23.1图形的旋转（第2课时）（导学案）数学人教版九年级上册

　23.1图形的旋转（第2课时）（导学案）（解析版） 1.教学目标 （1）进一步加深对旋转性质的理解，能用旋转的性质解决具体问题及进行图案设计。 （2）经历对生活中旋转现象的观察、推理和分析过程，学会用数学的眼光看待生活中的有关问题，体验数学与现实生活的密切联系。 （3）进一步培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感，体会生活的旋转美，发展学生的美感，增强学生的艺术创作能力和艺术欣赏能力。 重点：利用旋转的性质设计简单的图案。 难点：利用旋转性质进行旋转作图。 第一环节 自主学习 温故知新： 复习：①在平面内，将一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转， 这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 ②旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等。 【学法指导】 自研课本P60-61页内容 （一） 简单的旋转作图 画一画： 1.如图，画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段。 作法：(1)如图，以AB为一边按顺时针方向画∠BAX，使得∠BAX=60°； (2)在射线AX上取点C，使得AC=AB，线段AC为所求。 2.画出下图所示的四边形ABCD以0为中心，旋转角都为60°的旋转图形。 （1）怎样画出四边形ABCD以0为中心，旋转角都为60°的旋转图形。 可以将四边形ABCD的四个顶点，以O为中心，旋转60°，也就是将OA、OB、OC 、OD绕点O按顺时针方向旋转60°后的线段，连接A、B、C、D，得到四边形ABCD以0为中心，旋转角都为60°的旋转图形。图略。 （2）从以上作图，回忆一下平移作图过程，比较平移与旋转的异同？ 相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小 不同：平移：运动方向是直线；运动量的衡量是移动一定距离； 旋转：运动方向顺时针或逆时针；运动量的衡量是转动一定的角度。 （3）从以上的旋转作图中，你能归纳出旋转作图的基本步骤吗？ 旋转作图的基本步骤： ①明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度； ②找出关键点； ③作出关键点的对应点； ④作出旋转图形； ⑤写出结论。 （二）利用多种图形变化的方法进行图形变化 （1）下图由四部分组成，每部分都包括两个小“方形”字，红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗？能经过平移吗？还有其他方式吗？ 仅靠平移无法得到；整个图形可以看作是右边的两个小“方形”绕着图案的中心旋转3次，分别旋转90°、180°、270°前后图形组成的；整个图形可以看作是右边的两个小“方形”先通过一次平移成图形左侧的部分，然后左、右部分一起绕图形的中心旋转90°前后图形组成的。 （2）回顾上面的例1，还有其他方法确定点E的对应点E’吗? 延长CB，以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交CB的延长线于E’，连接AE’，则△ABE’为旋转后的图形。 (三)利用旋转设计图案 观察：选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会出现不同的效果. 我们可以借助旋转设计出许多美丽的图案（图23.1-9) 图23.1-9 【自研自探】 例1.如图23.1-4，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 【分析】关键是确定△ADE三个顶点的对应点，即它们旋转后的位置. 【详解】解:因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身. 正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90°，所以旋转后点D与点B重合. 设点E的对应点为点E’，因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以 ∠ABEˊ=∠ADE=90°，BEˊ=DE. 因此，在CB的延长线上取点Eˊ，使BEˊ=DE，则△ABEˊ为旋转后的图形(图23.1-5). 例2 怎样将甲图案变成乙图案？ 【分析】只要将甲图中的图案先“扶植”，再平移，还有其它多种方法进行变化。 【详解】可以先将甲图案绕图上的A点旋转，使得图案被“扶直”，然后，再沿AB方向将所得图案平移到B点位置，即可得到乙图案。其它方法略。 例3.如图，正方形ABCD和正方形CDEF有公共边CD，请设计方案，使正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，你能写出几种方案？ 【分析】可以选择不同的旋转中心、旋转方向进行旋转。 【详解】方案一:把正方形ABCD绕点D顺时针旋转90°. 方案二：把正方形ABCD绕点C逆时针旋转90°. 方案三：把正方形ABCD绕CD的中点0旋转180° 第二环节 合作探究 1.讨论怎样画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转°后的线段？讨论怎样画出四边形ABCD以0为中心，旋转角都为60°的旋转图形? 2.讨论从以上作图，回忆一下平移作图过程，比较平移与旋转的异同？ 3.从以上的旋转作图中，你能归纳出旋转作图的基本步骤吗？ 旋转作图的基本步骤： 4.讨论下图由四部分组成，每部分都包括两个小“方形”字，红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗？能经过平移吗？还有其他方式吗？ 5. 讨论选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会出现不同的效果?借助旋转设计出许多美丽的图案? 6. 合作探究提升：1.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．    (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到；请直接写出旋转中心的坐标； (3)在x轴上有一点P，使得的值最小，请直接写出点P的坐标． 【详解】（1）解：和如图所示；    （2）解：如图，旋转中心为；    （3）解：作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求点，    如图，点P的坐标为． 1.如图，用左面的三角形经过怎样的旋转，可以得到右面的图形？ 2.找出图中扳手拧螺母时的旋转中心和旋转角. 3.把一个三角形进行旋转： （1）选择不同的旋转中心、不同的旋转角，看看旋转的效果； (2）改变三角形的形状，看看旋转的效果. 答案：1.旋转120°和240°得到的两个三角形和原三角形一起组成右面的图形. 2. 3.（略). 1.(2025.安徽）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（　　） A．EC﹣ED的最大值是2 B．FB的最小值是 C．EC+ED的最小值是4 D．FC的最大值是 【解答】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF， ∴DE＝DF，∠EDF＝90°， 又∵∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1， 过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH＝AD＝1，延长FH交AB于点I，则四边形ABGD是矩形， ∴∠GDA＝∠ADE+∠EDG＝90°＝∠EDG+∠HDF． ∴∠ADE＝∠HDF， ∴△DHF≌△DAE（SAS）， ∴∠DHF＝∠DAE＝90°， ∴FH⊥DG，即点F在FH上运动， ∴四边形DAIH和四边形BGHI是矩形， ∴HI＝AD＝BG＝1，AI＝DH＝1，BI＝4﹣1＝3， ∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1， ∴，， ∴， ∴BE最大时，EC﹣ED最大， 当点E与点A重合时，F与H重合时，BF最小，此时，ED＝1，，故A错误，符合题意； ，故B正确，不符合题意； 作点D关于AB的对称点M，连接MC，则ED＝EM，AD＝AM＝1，∠BAM＝∠BAD＝90°，过M作MN⊥CB于点N，此时EC+ED≥CM，当C、E、M三点共线时，EC+ED最小， ∵MN⊥CB，∠ABN＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形AMNB是矩形， ∴BN＝AM＝1，CN＝3+1＝4，AB＝MN＝4， ∴EC+ED的最小值，故C正确，不符合题意； 当E与A重合时，， 当E与B重合时，过C作CQ⊥FH，则四边形CQIB是矩形，如图， ∴CQ＝IB＝4﹣1＝3，QI＝BC＝3， ∵△DHF≌△DAE， ∴FH＝AE＝4， ∴QF＝FH+HI﹣QI＝4+1﹣3＝2， ∴， 综上，FC最大值为.故D项正确，不符合题意； 故选：A． 2.．（2025上·河南新乡期中）如图，已知点、、，点． (1)将绕点P逆时针旋转90°得，画出，并写出点C的对应点的坐标为______； (2)画出关于原点成中心对称的图形，并写出点A的对应点的坐标为______． 【详解】（1）解：即为所求；点的坐标为； 故答案为：； （2）即为所求；点的坐标为． 故答案为： ． 旋转作图的基本步骤： （1）明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度； （2）找出关键点； （3）作出关键点的对应点； （4）作出旋转图形； （5）写出结论。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　23.1图形的旋转（第2课时）（导学案）（原卷版） 1.教学目标 （1）进一步加深对旋转性质的理解，能用旋转的性质解决具体问题及进行图案设计。 （2）经历对生活中旋转现象的观察、推理和分析过程，学会用数学的眼光看待生活中的有关问题，体验数学与现实生活的密切联系。 （3）进一步培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感，体会生活的旋转美，发展学生的美感，增强学生的艺术创作能力和艺术欣赏能力。 重点：利用旋转的性质设计简单的图案。 难点：利用旋转性质进行旋转作图。 第一环节 自主学习 温故知新： 复习：①在平面内，将一个平面图形绕着 ，就叫做图形的旋转， 叫做旋转中心， 叫做旋转角。 ②旋转的性质:对应点 相等;对应点 ;旋转 等。 【学法指导】 自研课本P60-61页内容 （一） 简单的旋转作图 画一画： 1.如图，画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段。 2.画出下图所示的四边形ABCD以0为中心，旋转角都为60°的旋转图形。 （1）怎样画出四边形ABCD以0为中心，旋转角都为60°的旋转图形。 （2）从以上作图，回忆一下平移作图过程，比较平移与旋转的异同？ （3）从以上的旋转作图中，你能归纳出旋转作图的基本步骤吗？ 旋转作图的基本步骤： ①明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度； ②找出关键点； ③作出关键点的对应点； ④作出旋转图形； ⑤写出结论。 （二）利用多种图形变化的方法进行图形变化 （1）下图由四部分组成，每部分都包括两个小“方形”字，红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗？能经过平移吗？还有其他方式吗？ （2）回顾上面的例1，还有其他方法确定点E的对应点E’吗? (三)利用旋转设计图案 观察：选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会出现不同的效果. 我们可以借助旋转设计出许多美丽的图案（图23.1-9) 图23.1-9 【自研自探】 例1.如图23.1-4，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 例2 怎样将甲图案变成乙图案？ 例3.如图，正方形ABCD和正方形CDEF有公共边CD，请设计方案，使正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，你能写出几种方案？ 第二环节 合作探究 1.讨论怎样画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转°后的线段？讨论怎样画出四边形ABCD以0为中心，旋转角都为60°的旋转图形? 2.讨论从以上作图，回忆一下平移作图过程，比较平移与旋转的异同？ 3.从以上的旋转作图中，你能归纳出旋转作图的基本步骤吗？ 旋转作图的基本步骤： 4.讨论下图由四部分组成，每部分都包括两个小“方形”字，红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗？能经过平移吗？还有其他方式吗？ 5. 讨论选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会出现不同的效果?借助旋转设计出许多美丽的图案? 6. 合作探究提升：1.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．    (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到；请直接写出旋转中心的坐标； (3)在x轴上有一点P，使得的值最小，请直接写出点P的坐标． 1.如图，用左面的三角形经过怎样的旋转，可以得到右面的图形？ 2.找出图中扳手拧螺母时的旋转中心和旋转角. 3.把一个三角形进行旋转： （1）选择不同的旋转中心、不同的旋转角，看看旋转的效果； (2）改变三角形的形状，看看旋转的效果. 1.(2025.安徽）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（　　） A．EC﹣ED的最大值是2 B．FB的最小值是 C．EC+ED的最小值是4 D．FC的最大值是 2.．（2025上·河南新乡期中）如图，已知点、、，点． (1)将绕点P逆时针旋转90°得，画出，并写出点C的对应点的坐标为______； (2)画出关于原点成中心对称的图形，并写出点A的对应点的坐标为______． 旋转作图的基本步骤： （1）明确旋转三要素： ； （2）找出 点； （3）作出 ； （4）作出 ； （5）写出 。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$