学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（江苏泰州专用，苏科版九年级上册第1章～第2章）

数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 3分，共 18分） 1 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3分，共 30分） 7．__________ 8．___________ 9．___________ 10．___________ 11．__________ 12．__________ 13．___________ 14．___________ 15．__________ 16．___________ 三、解答题（本大题共 10小题，第 17题 12分；第 18，19，20题， 每小题 8分；第 21，22，23，24题，每小题 10分；第 25题 12分； 第 26题 14分，共 102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 17.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 21．（10分） 22.（10分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 26．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A B C A D 第二部分（非选择题 共132分） 二、填空题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 7． 8．相交 9．－2 10． 11． 12． 13．11 14．26 15．且 16．/ 三、解答题（本大题共10小题，第17题12分；第18，19，20题，每小题8分；第21，22，23，24题，每小题10分；第25题12分；第26题14分，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17． 【详解】（1）解： ， 解得：；................................6分 （2）解：设这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为， 解得：， ∴这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为．................................12分 18． 【详解】（1）解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是 20 ．................................4分 （2）解：， ， ， ∴， ， ．................................8分 19． 【详解】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得；................................4分 （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 又∵， ∴．................................8分 20． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；................................4分 （2）解：∵的半径为4，是的直径， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴．................................8分 21． 【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价元， 根据题意，得， 整理得，解得． 答：每千克茶叶应降价30元或80元；................................4分 ②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元， 要尽可能让利于顾客， 每千克茶叶应降价80元， 此时的售价为：（元），． 答：该店应按原售价的八折出售；................................7分 （2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下： 设每千克茶叶应降价元， 根据题意，得， 整理得， ， 原方程没有实数根， 该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．................................10分 22． 【详解】（1）解：根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦的垂直平分线，以及的垂直平分线，两直线的交点即为圆心； ................................2分 （2）根据图形得：，． 故答案为：，；................................4分 （3）在中，，， 根据勾股定理得：， 则的半径为． 故答案为：；................................6分 （4）由题意可得出：，设该圆锥的底面半径， 扇形是一个圆锥的侧面展开图， 则该圆锥的底面周长为：， ，解得． 故答案为：；................................8分 （5）直线与的位置关系为相切，理由为： 在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，，，， ，， ， 为直角三角形，即， ，则与圆相切． ................................10分 23． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵是半径 ∴直线l与相切．................................3分 （2）解：如图1，连接． ∵是的直径， ∴． ∵平分，， ∴． ∴在中，． 同理：在中，． 设，则． 由勾股定理得：，即． 解得或（不合题意，舍去）． ∴的半径， ∴的半径为．................................6分 （3）解：如图，连接，，，作于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 阴影部分的面积 ．................................10分 24． 【详解】（1）解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点， 故答案为：是；................................3分 （2）解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，；................................6分 （3）解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得，， ∴， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， 解得，， 所以， 整理得 ， 解得或， 当时，方程为，，，“”点坐标为，符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时．...............................10分 25． 【详解】（1）解：∵是的切线，切点为， ∴， ∴；................................3分 （2）解：过点作于，连接，如图， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点在同一直线上， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：长方体木块的高为；................................8分 （3）解：∵弦交于，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴, ∴， 又∵的长， ∴每一根拨弦线的长为．................................12分 26． 【详解】（1）∵，，， ∴， 若，则，解得； 若，则，解得（舍去）； 若，则，无解，舍去； 若，则，解得； 若，则，解得； 若，则，无解，舍去； 若，则，解得； 若，则，解得； 故答案是：或或或（写出一个即可）；................................4分 （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为幸福四边形；................................8分 （3）①证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为幸福四边形， ∴， 而， ∴， ∵D、G、C、E四点共圆， ∴， ∴， ∴是的直径； ②过E作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得．................................14分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1章~第2章。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 4．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 5．对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的为（    ） A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 6．如图，是正六边形的外接圆，半径为，过点作于点，给出下列结论：①圆心角；②弦长；③；④图中阴影部分的面积为；⑤的长为．其中正确的结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④ 第二部分（非选择题 共132分） 二、填空题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 7．方程的一次项为 ． 8．在平面直角坐标系中，点，以A为圆心，4为半径作圆，则与y轴的位置关系是 ． 9．已知是方程的两个实数根，则的值为 ． 10．有一个边长为的正边形，它的一个内角为，则其外接圆的半径为 ． 11．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 12．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则此圆锥的高为 ． 13．在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有 人． 14．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺尺寸）．问这根圆形木材的直径是 寸． 15．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 16．如图，是的直径，点是半圆上的三等分点，点是劣弧的中点，点是直径上一动点．连接，若，，则的周长的最小值是 ． 三、解答题（本大题共10小题，第17题12分；第18，19，20题，每小题8分；第21，22，23，24题，每小题10分；第25题12分；第26题14分，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（1）解方程：； （2）已知一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为2，求这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数． 18．如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 19．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 20．如图，在中，以为直径的与相交于点是的切线，于E． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 21．某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 22．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点、、．其中点的坐标为， (1)画出△ABC的外心D（保留画图痕迹） (2)写出点的坐标：C_______、D_______； (3)外接圆的半径=_______； (4)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为_______； (5)若，试判断直线与的位置关系并说明理由． 23．已知：如图，是直径，直线l经过的上一点C，过点A作直线l的垂线，交于E点，垂足为点D，平分． (1)求证：直线l与相切； (2)若，求的半径． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 24．关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 25．音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图），图为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点，点在上，两木块之间的距离． (1)直接写出的度数； (2)求长方体木块的高； (3)如图，弦交于，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图中的型塑料管，将拨弦线与型截面平行，并套在型塑料管上便得到自制弹拨乐器． 计算：求每一根拨弦线的长． 26．定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形． (1)已知，请直接写出一个α的值______，使四边形为幸福四边形； (2)如图1，中，D、E分别是边上的点，．求证：四边形为幸福四边形； (3)在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作，与边交于另一点F，与边交于点G，且． ①求证：是的直径； ②连接，若，求的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1章~第2章。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 4．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 5．对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的为（    ） A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 6．如图，是正六边形的外接圆，半径为，过点作于点，给出下列结论：①圆心角；②弦长；③；④图中阴影部分的面积为；⑤的长为．其中正确的结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④ 第二部分（非选择题 共132分） 二、填空题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 7．方程的一次项为 ． 8．在平面直角坐标系中，点，以A为圆心，4为半径作圆，则与y轴的位置关系是 ． 9．已知是方程的两个实数根，则的值为 ． 10．有一个边长为的正边形，它的一个内角为，则其外接圆的半径为 ． 11．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 12．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则此圆锥的高为 ． 13．在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有 人． 14．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺尺寸）．问这根圆形木材的直径是 寸． 15．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 16．如图，是的直径，点是半圆上的三等分点，点是劣弧的中点，点是直径上一动点．连接，若，，则的周长的最小值是 ． 三、解答题（本大题共10小题，第17题12分；第18，19，20题，每小题8分；第21，22，23，24题，每小题10分；第25题12分；第26题14分，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（1）解方程：； （2）已知一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为2，求这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数． 18．如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 19．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 20．如图，在中，以为直径的与相交于点是的切线，于E． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 21．某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 22．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点、、．其中点的坐标为， (1)画出△ABC的外心D（保留画图痕迹） (2)写出点的坐标：C_______、D_______； (3)外接圆的半径=_______； (4)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为_______； (5)若，试判断直线与的位置关系并说明理由． 23．已知：如图，是直径，直线l经过的上一点C，过点A作直线l的垂线，交于E点，垂足为点D，平分． (1)求证：直线l与相切； (2)若，求的半径． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 24．关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 25．音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图），图为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点，点在上，两木块之间的距离． (1)直接写出的度数； (2)求长方体木块的高； (3)如图，弦交于，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图中的型塑料管，将拨弦线与型截面平行，并套在型塑料管上便得到自制弹拨乐器． 计算：求每一根拨弦线的长． 26．定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形． (1)已知，请直接写出一个α的值______，使四边形为幸福四边形； (2)如图1，中，D、E分别是边上的点，．求证：四边形为幸福四边形； (3)在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作，与边交于另一点F，与边交于点G，且． ①求证：是的直径； ②连接，若，求的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1章~第2章。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】A、：当时，方程变为一次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合题意； B、：移项整理为，满足只含一个未知数且最高次数为2，二次项系数，为一元二次方程，符合题意； C、：未知数最高次数为3，是三次方程，不符合题意； D、：含有两个未知数和，是二元方程，不符合题意； 故选：B． 2．如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角，三角形外角的性质．根据题意可得，然后根据三角形外角的性质可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 3．已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键． 由于当时，，则可判断该方程一定有一个根为3． 【详解】解：当时，，所以若，则该方程一定有一个根为3． 故选B． 4．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 5．对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的为（    ） A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，根的判别式，根据新定义，转化得到一元二次方程，再根据方程的根的判别式判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 原方程有两个实数根， 故选A． 6．如图，是正六边形的外接圆，半径为，过点作于点，给出下列结论：①圆心角；②弦长；③；④图中阴影部分的面积为；⑤的长为．其中正确的结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，扇形是面积，弧长公式等，由正六边形的性质可得，即可判断①；由等边三角形的性质和勾股定理可判断②③；利用求出阴影部分的面积可判断④；利用弧长公式求出的长可判断⑤，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵是正六边形的外接圆， ∴，故①正确； ②∵，， ∴是等边三角形， ∴，故②正确； ③∵于点， ∴， ∴，故③错误； ④，故④正确； ⑤的长，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②④， 故选：． 第二部分（非选择题 共132分） 二、填空题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 7．方程的一次项为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次项的定义，理解一次项的定义是解题的关键． 先整理方程，再找出一次项即可． 【详解】解：， ， ， ∴一次项为． 故答案为： ． 8．在平面直角坐标系中，点，以A为圆心，4为半径作圆，则与y轴的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．求出圆心到y轴的距离，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系得出答案． 【详解】解：如图，作轴于点C，作轴于点B， ∵点， ∴，， ∵的半径为4， ∴与y轴相交， 故答案为：相交． 9．已知是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】－2 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键在于正确应用韦达定理．由根与系数的关系求出两根之和 ，两根之积 ，然后代入表达式 即可求． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．有一个边长为的正边形，它的一个内角为，则其外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆有关计算，等边三角形的判定与性质，根据正边形的特点，求出此正边形为正六边形，求出其外接圆的半径即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵它的一个内角为， ∴它的一个外角为， ∴， 如图， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴其外接圆的半径为， 故答案为：． 11．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：由条件可知：， ． 故答案为：． 12．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则此圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式、圆锥的展开图、求圆锥的高，由弧长公式求得扇形半径，进而求得底面圆的半径为，再利用求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ∵扇形的弧长等于底面圆的周长， ∴底面圆的半径为， ， 故答案为：． 13．在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有 人． 【答案】11 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设参加酒会的有x人，根据每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加酒会的有x人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故答案为：11． 14．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺尺寸）．问这根圆形木材的直径是 寸． 【答案】26 【分析】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解． 根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径寸，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径． 【详解】解：由题意可知， 为半径， 尺寸， 设半径寸， ， ， 则中，根据勾股定理可得：， 解得：， 木材直径为26寸； 故答案为：26． 15．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．因为一元二次方程有两个实数根，所以二次项系数不为零，且根的判别式为非负数，由此得到不等式组，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， 解得 ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 16．如图，是的直径，点是半圆上的三等分点，点是劣弧的中点，点是直径上一动点．连接，若，，则的周长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的判定和性质等，作点关于的对称点，连接，交于点，连接、、、、，，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出即可求解， 正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，连接、、、、， 则， ∴，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ， ∵点是的中点， ， ， 是的直径，， ， 是等腰直角三角形， ， 的最小值， 周长的最小值， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，第17题12分；第18，19，20题，每小题8分；第21，22，23，24题，每小题10分；第25题12分；第26题14分，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（1）解方程：； （2）已知一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为2，求这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了一元二次方程的解法、圆锥的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据配方法解方程即可； （2）根据圆锥的性质进行计算． 【详解】（1）解： ， 解得：； （2）解：设这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为， 解得：， ∴这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为． 18．如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． （1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论； （2）由，结合直角三角形可以求得结果； 【详解】（1）解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是 20 ． （2）解：， ， ， ∴， ， ． 19．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 【答案】(1) (2)2 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出k的取值范围； （2）首先判断出两根均大于0，然后去掉绝对值，进而得到，结合k的取值范围解方程即可． 【详解】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 又∵， ∴． 20．如图，在中，以为直径的与相交于点是的切线，于E． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质是解决问题的关键． （1）连接，利用切线性质可得，结合，可得，再运用平行线性质和等腰三角形的判定和性质即可证得结论； （2）由是的直径，可得，，利用等腰三角形性质可得，推出，再根据直角三角形性质得出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的半径为4，是的直径， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 21．某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 【答案】(1)①每千克茶叶应降价30元或80元，②该店应按原售价的八折出售 (2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元． 【分析】（1）①通过设每千克茶叶降价元，利用“每千克利润×销售量 = 总利润”的关系列出方程求解；②在①的基础上，根据让利于顾客的要求确定降价金额，进而求出折扣； （2）设降价元，依据上述利润关系列方程，通过判别式判断方程是否有实数根，从而确定获利能否达到． 本题主要考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，熟练掌握“每千克利润×销售量 = 总利润”的等量关系以及一元二次方程的解法、判别式的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价元， 根据题意，得， 整理得，解得． 答：每千克茶叶应降价30元或80元； ②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元， 要尽可能让利于顾客， 每千克茶叶应降价80元， 此时的售价为：（元），． 答：该店应按原售价的八折出售； （2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下： 设每千克茶叶应降价元， 根据题意，得， 整理得， ， 原方程没有实数根， 该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元． 22．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点、、．其中点的坐标为， (1)画出△ABC的外心D（保留画图痕迹） (2)写出点的坐标：C_______、D_______； (3)外接圆的半径=_______； (4)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为_______； (5)若，试判断直线与的位置关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，； (3) (4) (5)直线与圆的位置关系是相切，见解析 【分析】此题考查勾股定理，切线的性质，扇形弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦的垂直平分线，以及的垂直平分线，两直线的交点即为圆心，连接，； （2）根据第一问画出的图形即可得出及的坐标； （3）在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，即为圆的半径； （4）设该圆锥的底面半径，根据地面周长等于弧长即可得出的值； （5）直线与圆的位置关系是相切，理由为：由圆的半径得出的长，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，再由的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，即垂直于，可得出直线为圆的切线 【详解】（1）解：根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦的垂直平分线，以及的垂直平分线，两直线的交点即为圆心； （2）根据图形得：，． 故答案为：，； （3）在中，，， 根据勾股定理得：， 则的半径为． 故答案为：； （4）由题意可得出：，设该圆锥的底面半径， 扇形是一个圆锥的侧面展开图， 则该圆锥的底面周长为：， ，解得． 故答案为：； （5）直线与的位置关系为相切，理由为： 在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，，，， ，， ， 为直角三角形，即， ，则与圆相切． 23．已知：如图，是直径，直线l经过的上一点C，过点A作直线l的垂线，交于E点，垂足为点D，平分． (1)求证：直线l与相切； (2)若，求的半径． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，扇形的面积： （1）连接，，由平分，可知，进而得到，可得，由，可证，进而结论得证； （2）连接，，，在中，，设，则，由勾股定理得，计算求解的值，进而可得半径长； （3）连接，，，作于点，先求得是等边三角形，利用阴影部分的面积计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵是半径 ∴直线l与相切． （2）解：如图1，连接． ∵是的直径， ∴． ∵平分，， ∴． ∴在中，． 同理：在中，． 设，则． 由勾股定理得：，即． 解得或（不合题意，舍去）． ∴的半径， ∴的半径为． （3）解：如图，连接，，，作于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 阴影部分的面积 ． 24．关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是 (2)， (3)存在， 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一次函数图象上点的特征，新定义及规律探究． （1）先解一元二次方程，得到方程的两个根，再根据“”点的定义判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得，，进而可得答案； （3）假设存在，根据题意，求出；再根据，，得到，，代入化简为，求出m，检验是否符合题意即可． 【详解】（1）解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点， 故答案为：是； （2）解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，； （3）解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得，， ∴， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， 解得，， 所以， 整理得 ， 解得或， 当时，方程为，，，“”点坐标为，符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时． 25．音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图），图为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点，点在上，两木块之间的距离． (1)直接写出的度数； (2)求长方体木块的高； (3)如图，弦交于，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图中的型塑料管，将拨弦线与型截面平行，并套在型塑料管上便得到自制弹拨乐器． 计算：求每一根拨弦线的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用切线的性质解答即可； （）过点作于，连接，可证四边形是矩形，得到，进而可证明四边形是矩形，得到，即得点在同一直线上，得到四边形是矩形，即得到，，得到，最后利用勾股定理求出即可求解； （）由弦交于，可得，即得，，又由等腰三角形的性质可得，即得，进而求出线段和的长，再相加即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线，切点为， ∴， ∴； （2）解：过点作于，连接，如图， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点在同一直线上， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：长方体木块的高为； （3）解：∵弦交于，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴, ∴， 又∵的长， ∴每一根拨弦线的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，弧长公式，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等，掌握知识点的应用是解题的关键． 26．定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形． (1)已知，请直接写出一个α的值______，使四边形为幸福四边形； (2)如图1，中，D、E分别是边上的点，．求证：四边形为幸福四边形； (3)在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作，与边交于另一点F，与边交于点G，且． ①求证：是的直径； ②连接，若，求的长． 【答案】(1)或或或（写一个即可）； (2)见解析； (3)①见解析；②． 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据幸福四边形的定义分情况讨论，将表示为，列式求解即可； （2）根据条件证明，由幸福四边形的定义即可证明结论； （3）①连接，由幸福四边形的性质，证明，由圆周角定理的推论证明结论； ②过E作于点H，在中由勾股定理求出的长． 【详解】（1）∵，，， ∴， 若，则，解得； 若，则，解得（舍去）； 若，则，无解，舍去； 若，则，解得； 若，则，解得； 若，则，无解，舍去； 若，则，解得； 若，则，解得； 故答案是：或或或（写出一个即可）； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为幸福四边形； （3）①证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为幸福四边形， ∴， 而， ∴， ∵D、G、C、E四点共圆， ∴， ∴， ∴是的直径； ②过E作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题3分，共18分） 1 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 2、 填空题（每小题3分，共30分） 7．__________ 8．___________ 9．___________ 10．___________ 11．__________ 12．__________ 13．___________ 14．___________ 15．__________ 16．___________ 三、解答题（本大题共10小题，第17题12分；第18，19，20题，每小题8分；第21，22，23，24题，每小题10分；第25题12分；第26题14分，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$