专题1.3 两条直线的平行与垂直重难点题型讲义（2个知识点+5大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选择性必修第一册）

专题1.3 两条直线的平行与垂直重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 由斜率判断两条直线平行 题型二 已知直线平行求参数 题型三 由斜率判断两条直线垂直 题型四 已知直线垂直求参数 题型五 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 拓展训练一 直线平行与垂直关系的判定 拓展训练二 直线平行与垂直关系的求参及几何中应用 知识点一：两条直线平行 1. 两条不重合直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，若l1 ∥l2，则k1＝k2；反之，若k1＝k2，则l1 ∥l2，如图所示. 2. 如果不重合的两直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是90°，从而它们互相平行. 【知识剖析】 探究两条直线平行与斜率的关系 l1 ∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件有两个：①两条直线的斜率都存在；②这两条直线不重合. 【即时训练】 1．（24-25高二上·浙江台州·期中）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用直线与直线平行时，斜率相等且截距不相等的性质分别讨论充分性和必要性即可. 【详解】解：①充分性：当时，，，所以与斜率相等，且截距不相等，故，所以充分； ②必要性：，，当时， 则，解得：或， 当时，两直线重合，所以舍去， 当时，两直线斜率相等且截距不相等，符合题意，所以必要. 所以“”是“”的充要条件 故选：C. 2．（24-25高二上·山西临汾·开学考试）已知直线，直线，若，则 ． 【答案】 【分析】由两条直线平行列式计算即可. 【详解】若，则，解得， 检验，当时，，， 此时成立，符合题意，故. 故答案为：. 知识点二：两条直线垂直 1. 设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2. 若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，若k1·k2＝－1，则l1⊥l2 . 2. 对于直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，由于l1⊥x轴，l2⊥y轴，所以l1⊥l2. 3. 若两条直线中的一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两直线垂直. 4. 已知两条直线l1：Ax＋By＋C＝0和l2：Bx－Ay＋C2＝0，它们的法向量分别是(A，B)和(B，－A)，法向量互相垂直则两条直线互相垂直. 【知识剖析】 两条直线垂直的判定可简述为: l1⊥l2⇔k1·k2=-1或一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0. 【即时训练】 1．（22-23高二下·上海杨浦·期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为两直线垂直，即可判断. 【详解】对于A：直线的斜率为，直线的斜率为， 故两直线平行，故A错误； 对于B：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故B错误； 对于C：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故C错误； 对于D：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积为，即两直线垂直，故D正确； 故选：D 2．（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线与直线互相垂直，则 ． 【答案】-1或3 【分析】方法1，由直线一般式垂直相关结论可得答案；方法2，分别对两直线斜率是否存在进行分类讨论，再利用垂直关系的斜率表示计算可得结果 【详解】方法一 ，由题意，知，即，解得或． 方法二，根据题意，当时，直线的斜率不存在，此时两直线不垂直； 当时，直线的斜率不存在，此时两直线不垂直； 当且时，斜率为，斜率为， 若两直线垂直，需满足，即，解得或． 故答案为：-1或3 【经典例题一 由斜率判断两条直线平行】 【例1】（23-24高二上·上海金山·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 【例2】（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行 (2)平行或重合 (3)平行 (4)重合 【分析】先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断； 【详解】（1），，，所以与不平行． （2）的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以. （4）由题意，知，, ，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，. 所以，，，四点共线，所以与重合． 1．（23-24高二·全国·课后作业）直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．不能确定 【答案】D 【分析】根据直线方程判断直线的位置关系，注意讨论参数的数量关系. 【详解】当时，两直线重合， 当时，两直线平行， 所以题设两直线位置可能重合、平行. 故选：D 2．（多选题）（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）已知直线，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为150° C．直线不经过第三象限 D．直线与直线平行 【答案】BCD 【分析】由直线方程确定斜率、倾斜角判断A、B；根据直线方程直接判定所过象限判断C；由直线平行的判定判断D. 【详解】由题设，若倾斜角，则，A错，B对； 显然直线过第一、二、四象限，不过第三象限，C对； 由，故与平行，D对. 故选：BCD 3．（23-24高二上·全国·课前预习）根据下列给定的条件，判定直线与直线是否平行或重合： （1）经过点，；经过点，；( ) （2）的斜率为，经过点，；( ) （3）平行于轴，经过点，；( ) （4）经过点，，经过点，．( ) 【答案】 不平行 平行或重合 平行 重合 【分析】根据过两点的直线的斜率公式，计算直线的斜率，根据斜率的关系，并注意直线是否重合，可判断（1）（2）（4）；当两直线斜率都不存在时，看它们是否重合，即可判断（3）. 【详解】（1），， ，所以与不平行． （2）的斜率，的斜率，即，无法判断两直线是否重合， 所以与平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴， 所以． （4）由题意，知，，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，．所以，，，四点共线，所以与重合． 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)与不平行，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)与重合，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据直线是否平行与斜率以及截距的关系一一分析即可. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 【经典例题二 已知直线平行求参数】 【例1】（23-24高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 【答案】B 【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 【例2】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线经过两点，经过两点． (1)若，求的值； (2)若的倾斜角互余，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，可得，再结合斜率公式即可得解； （2）设的倾斜角为，则直线的倾斜角为，再结合斜率公式即可得解. 【详解】（1）， 因为， 所以，得， 经检验，符合题意， 所以； （2）因为的倾斜角互余， 设的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 所以，得． 1．（2025·广东茂名·一模）已知直线，直线，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．0 【答案】C 【分析】根据两直线平行时系数的关系求解即可. 【详解】根据两直线平行，可知，解得. 故选：C 2．（多选题）（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知直线与平行，则的值可能是（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】BD 【分析】由两直线平行求解即可； 【详解】由题意可得，解得或6， 经检验，当或6，两直线的，两直线平行， 故选：BD. 3．（24-25高二上·上海青浦·期末）已知直线：与直线：平行，则 . 【答案】3 【分析】根据两直线平行的充要条件：且即可求解. 【详解】因为，由两直线平行的充要条件可得， 且， 解得. 故答案为； 4．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行. 【答案】(1)(1)且 (2)(2) 【分析】（1）根据两直线相交可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； 【详解】（1）解：已知，直线， 若与相交，则，即，解得且. （2）已知，直线， 若与平行，则，即，解得. 【经典例题三 由斜率判断两条直线垂直】 【例1】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）直线的方向向量是，则下列选项中的直线与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的方向向量可得其斜率为，进而得到与直线垂直的直线的斜率为，分别计算各选项的斜率即可判断. 【详解】因为直线的方向向量是，所以直线斜率， 所以与直线垂直的直线的斜率为. 对于选项A:由，可得斜率为，故选项A正确； 对于选项B:由，可得斜率为，故选项B错误； 对于选项C:由，可得斜率为，故选项C错误； 对于选项D:由，可得斜率为，故选项D错误. 故选：A. 【例2】（2023高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 【答案】(1)平行 (2)重合 (3)垂直 (4)垂直 【分析】（1）由直线平行的充要条件证明即可. （2）由直线重合的充要条件证明即可. （3）由直线垂直的充要条件证明即可. （4）由直线垂直的充要条件证明即可. 【详解】（1）因为，而，所以. （2）因为，而，所以重合. （3）直线的斜率，直线的斜率，，故. （4）的倾斜角为90°，则轴.直线的斜率，则轴，故. 1．（23-24高二上·全国·课后作业）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 【答案】A 【分析】利用根与系数的关系得，得到答案. 【详解】设两直线的斜率分别为，是方程的两根， ，利用根与系数的关系得：，故两直线的位置关系是垂直． 故选：. 2．（多选题）（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由两条直线斜率相乘为-1，判断两直线的垂直. 【详解】直线的斜率为4，则与直线垂直的直线的斜率为，符合条件的为B、C项. 故选：BC 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【答案】垂直或重合 【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得. 【详解】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 4．（24-25高二上·四川广安·阶段练习）已知. (1)若四点可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下若点在第四象限的情况下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】(1)或或 (2)不是菱形 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为即可. 【详解】（1）由题意得，，， 设，若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上所述，点的坐标为或或. （2）若的坐标为，因为， 直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 【经典例题四 已知直线垂直求参数】 【例1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据两直线方程垂直，分类求解的值. 【详解】若则直线与垂直，满足题意， 若则,则. 综上所述，则或. 故选：C 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知的顶点，求的边BC上的高AD的斜率和垂足D的坐标. 【答案】； 【分析】根据题意，由的斜率即可得到其高线的斜率，然后由列出方程，即可得到的坐标. 【详解】因为 ，所以， 所以BC边上的高AD的斜率， 设，由， 及，可得，则. 1．（24-25高二上·湖北·阶段练习）直线：，：，若，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．或1 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的公式求解即可. 【详解】因为：，：垂直， 所以， 解得或， 将，代入方程，均满足题意， 所以当或时，. 故选：. 2．（多选题）（23-24高二上·甘肃·期末）已知点关于直线的对称点在直线上，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．-2 【答案】AC 【分析】设点，利用的中点坐标满足方程，及垂直直线，得到方程组，解出即可. 【详解】因为点在直线上，设点， 又， 则的中点坐标为， 其必在直线上， 则， 化简为，① 又垂直直线， 故，化简为，② 联立①②，解得 ，或， 又当时，根据垂直直线， 必有，此时直线方程为， 的中点坐标为，不在直线上，不满足题意， 故， 故选：AC. 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与垂直，则实数 . 【答案】或 【分析】根据直线垂直的系数要求求解即可. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得或， 故答案为：或. 4．（22-23高二·江苏·假期作业）已知的顶点为，，，是否存在使为直角三角形，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在，或或 【分析】对的直角进行讨论，利用两直线垂直的斜率关系即可求出结果. 【详解】   若A为直角，则， ∴， 即，解得； 若B为直角，则， ∴， 即，解得； 若C为直角，则， ∴， 即，解得． 综上所述，存在或或，使为直角三角形． 【经典例题五 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例1】（23-24高一下·上海浦东新·期末）设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】分均不为0和有且只有一个为0两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得出结论. 【详解】当直线斜率都存在即均不为0时，若“、相交”，则两直线的斜率不相等，得，即，当直线斜率有一个不存在即有且只有一个为0时，也成立，故充分性成立； 反之，均不为0时，若“”，则，则两直线的斜率不相等，即、相交，有且只有一个为0时，、也相交，故必要性成立；综上，则“、相交”是“”的充要条件， 故选：C. 【例2】（23-24高一下·吉林白城·期末）已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2： (1)相交； (2)平行； (3)垂直． 【答案】(1)且； (2)； (3). 【分析】（1）由直线平行的判定，要使直线相交只需，即可求值. （2）由直线平行的判定有，注意验证直线是否存在重合的情况，即可得解. （3）由直线垂直的判定有，即可求值. 【详解】（1）直线相交，则，即， 所以且. （2）直线相交，则，即， 所以或. 当时，，，符合题设； 当时，，，两线重合，不合题设； 综上，. （3）直线垂直，则，可得. 1．（22-23高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 2．（多选题）（22-23高二·江苏·假期作业）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 3．（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线斜率的定义，运用数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【详解】当为直角三角形时，或，此时的斜率或0．如图，设时，与交于点； 时，与交于点． 当从直线开始，绕点顺时针旋转到轴之间时，为钝角三角形，此时；记过点且与平行的直线为， 当从直线开始，绕点逆时针旋转到直线之间时，为钝角三角形，此时1．综上，． 故答案为：    4．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线的垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，进而得出答案； （2）由得，所以角平分线的倾斜角为，求出的斜率，进而可得出答案． 【详解】（1）因为点，点，所以边所在直线斜率， 所以边上的高所在直线的斜率，且过点． 所以边上的高所在直线的方程为． （2）由得，所以角平分线的倾斜角为， 所以角平分线所在直线的斜率． 又因为角平分线过点， 所以角平分线所在直线的方程为．    【拓展训练一 直线平行与垂直关系的判定】 【例1】（24-25高二上·天津·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．或0 B． C．或2 D．2 【答案】D 【分析】由题意，得，或.当时，重合，不符合题意，当时，即得. 【详解】由题意，可得，或， 当时，，，此时重合，不符合题意； 当时，，，，符合题意. 故选：D 【例2】（24-25高二·江苏·课后作业）已知点，，，，求证：四边形ABCD是梯形． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，只要证明四边形一组对边平行，且不相等，即可证明四边形为梯形. 【详解】由点，，，， 可得 , 而 , , 故,但 , 所以四边形ABCD是梯形． 1．（24-25高二上·广西玉林·阶段练习）下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为（    ） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】两直线斜率存在时，根据直线平行和垂直位置关系的判定可知①③正确；②④的直线中均可以有斜率不存在的直线，则②④错误. 【详解】当两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行，可知①正确； 当两条直线均与轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知②错误； 根据直线垂直的判定定理可知两直线的斜率之积为，则它们垂直，可知③正确； 当两条直线一条与轴垂直，一条与轴垂直时，则两直线垂直， 但与轴垂直的直线斜率不存在，可知④错误. 故选：B 2．（多选题）（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（    ） A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 【答案】ACD 【分析】利用来判断否垂直来研究A，C选项；利用来判断平行问题，来研究B，D． 【详解】A．直线，直线， 又，，故恒成立，选项正确，符合题意； B．，， 又，故不成立，选项错误，不符合题意； C．，， 又当时，，故成立，选项正确，符合题意； D．，， 又当时，， 且，使得成立，选项正确，符合题意； 故选：ACD． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知是直线上一点，是直线外一点，则方程所表示的直线与的关系是 ． 【答案】平行 【分析】由题意有可得，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】由题意可得， 则方程， 即， 它与直线的一次项系数相等，但常数项不相等， 故表示与平行的直线， 故答案为：平行 ． 4．（2024高二·全国·专题练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【答案】(1)垂直 (2)不垂直 (3)垂直 (4)当或时，直线，当且时，与不垂直． 【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可； （4）分的斜率是否存在进行分类讨论，当两条两条直线垂直，可以是一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0， 也可以是两条直线斜率均存在时，斜率之积为，从而确定直线与垂直时的值. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为，所以． （2）由题意知，直线的斜率为，直线的斜率为， 而，所以与不垂直． （3）记的斜率为，因为，所以， 解得或， 又因为为锐角，所以． 因为的斜率为，且，所以． （4）由题意，直线的斜率一定存在，直线的斜率可能存在或不存在． ①当直线的斜率不存在时，，即，此时，满足． ②当直线的斜率存在时，，由斜率公式，得，． 若，则，即，解得． 综上所述，当或时，直线，当且时，与不垂直． 【拓展训练二 直线平行与垂直关系的求参及几何中应用】 【例1】（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论直线的位置关系. 【详解】直线可化为， 所以当时，两直线重合； 当时，两直线相交. 故选：D 【例2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知中，，E，F分别为的中点，求直线的斜率． 【答案】 【分析】利用斜率坐标公式及三角形中位线性质求解即得. 【详解】由，得直线的斜率， 在中，由E，F分别为的中点，得， 所以直线的斜率. 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知两条直线：，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行充要条件即可判断， 【详解】由题意知，则，解之可得或（舍）. 故选：D 2．（多选题）（23-24高二·全国·课后作业）（多选）已知直线与直线，则直线与直线的位置关系可能是（    ） A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直 【答案】ABC 【分析】利用直线与直线相交、平行、垂直、重合的性质直接求解即可. 【详解】直线的斜率为，过定点， 直线的斜率为，过点． 若直线与相交，则，而， 即可以成立，A正确； 若直线与重合，则，且，而， 可以有，B正确； 若直线与平行，则且，而， 可以有，C正确； 若直线与垂直，则，则， 与矛盾，直线与不可能垂直，D错误． 故选：ABC． 3．（24-25高二上·天津西青·期末）已知直线，若，则实数 . 【答案】或1 【分析】根据给定条件，利用直线垂直的充要条件列式计算即得. 【详解】，则根据直线垂直的充要条件列式得到， 解得或. 故答案为：或. 4．（22-23高二上·福建福州·阶段练习）已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 【答案】(1) (2)是 (3) 【分析】（1）运用直线的斜率相等构造方程组计算D坐标； （2）运用直线斜率乘积判断，进而判断菱形； （3）运用两点式得到直线AD方程. 【详解】（1）设，因为四边形为平行四边形， 所以 所以解得，所以 （2）因为 所以， 所以.所以为菱形. （3）由于则直线AD方程为：，化简得到直线AD方程为:. 1．（24-25高二上·广东·期中）已知直线：，：，且，则（   ） A．1 B．-2 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据两直线平行系数要求判断即可 【详解】因为， 故，解得. 故选：C. 2．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线与直线平行，则m的值为（    ） A．4 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】由直线 和 互相平行列式求参即可. 【详解】因为直线 和 互相平行，且两直线的斜率一定存在， 所以 即 ，所以 . 故选：A 3．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）设直线与直线的交点为分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】C 【分析】先画图，再根据图像把长度关系转化为垂直关系即可. 【详解】如图所示，为中点，故， 又 所以中，， 于是， 故，即 所以，解得. 故选：C.    4．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）两条直线：，：互相垂直，则a的值是（    ） A．0 B．－1 C．－1或3 D．0或－1 【答案】C 【分析】根据两线垂直求解即可； 【详解】解：因为直线与互相垂直， 所以， 即：， 解得：或 . 故选:C. 5．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）已知直线，互相垂直，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】 根据两一般式直线相互垂直求的值，注意验证求得的值是否满足直线方程. 【详解】因为直线，互相垂直， 所以，所以 或， 当，直线不存在，故. 故选：A 6．（多选题）（24-25高二上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知，，则（    ） A．点在直线上 B．直线PQ的倾斜角是 C．直线PQ与直线平行 D．直线PQ的一个方向向量为 【答案】AC 【分析】对于选项A，将点代入直线方程看是否满足；对于选项B，通过两点坐标求出直线斜率进而得到倾斜角；对于选项C，求出两直线斜率比较是否相等；对于选项D，根据直线方向向量与斜率的关系来判断. 【详解】对于A选项，把点代入直线，左边，右边， 所以点在直线上，A选项正确. 对于B选项，已知，可得直线PQ的斜率. 设直线PQ的倾斜角为，，则，所以，B选项错误. 对于C选项，由前面计算，直线可化为，其斜率为. 两直线斜率相等，但直线PQ过点，将，代入，左边， 即点不在直线上，所以直线PQ与直线平行，C选项正确. 对于D选项， ，直线的方向向量与斜率的关系为. 对于向量，，所以不是直线PQ的斜率的一个方向向量，D选项错误. 故选：AC. 7．（多选题）（24-25高二上·浙江·期中）若直线：与直线：平行，则实数可能为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】两直线平行的条件：对于直线和直线，若两直线平行，则，且或者.我们先根据求出可能的值，再检验是否满足后面的条件. 【详解】对于直线和直线. 由可得：,解得或者. 当时：直线，直线. 此时，两直线平行. 当时：直线，直线. 此时，两直线平行. 故选：BC. 8．（多选题）（23-24高二上·湖北宜昌·期中）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于 C．与直线垂直 D．与直线平行 【答案】CD 【分析】根据题意求出直线的方程，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 因为直线经过点，所以直线的方程为， 即， A，直线的斜率，则倾斜角等于，A错误； B，当时，，所以在轴上的截距等于，B错误； C，因为直线的斜率，直线直线的斜率为，，所以两直线垂直，C正确； D，因为直线的斜率，直线的斜率，不过（1，-2），所以两直线平行，D正确. 故选：CD 9．（多选题）（22-23高二上·福建莆田·期中）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】应用直线平行、垂直的判定列方程求参数，注意验证即可得答案. 【详解】已知直线， 若，则，求得或， 经检验或都满足条件，故A正确，B不正确. 若，则，得，故C不正确，D正确. 故选：AD 10．（多选题）（24-25高二上·福建·期中）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．若满足在轴上的截距与在轴上的截距相等，则 B．必过定点 C．若，则或4 D．若，则 【答案】BC 【分析】赋值法判断A；求出的定点判断B；利用平行和垂直的条件判定C、D 【详解】当时，方程为 ，也满足在轴上的截距与在轴上的截距相等，故A错； 把变形得， 所以，所以必过定点，故B对； 若，则满足或1，故C对； 若，则满足或，故D错； 故选：BC 11．（24-25高二上·陕西安康·期中）已知直线与满足.则 . 【答案】2 【分析】根据直线平行求出，再代入直线方程检验即可. 【详解】由，可得， 解得或， 当时，与重合，不符合题意， 当时，与平行，满足题意， 故答案为：2 12．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知直线：与：平行，则 ． 【答案】/0.2 【分析】由两条直线平行的充要条件，可得的值． 【详解】因为两条直线平行，所以，解得． 故答案为：． 13．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】利用斜率是否存在进行讨论分析，再由斜率之积为列方程求参数. 【详解】当时， 直线化为：， 直线化为， 此时两直线垂直，满足题意； 当时， 直线化为：， 直线化为， 此时两直线不垂直，不满足题意； 当且时， 直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为两直线垂直，所以，解得， 综上可得：实数的值为或， 故答案为: 或. 14．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知直线与直线垂直，则 . 【答案】1 【分析】根据两直线垂直，分类讨论，直接列出方程求解，即可得出结果. 【详解】当时，， 由知，斜率为1， 所以直线与不垂直，不符合题意； 当时，， 因为直线与直线垂直， 所以，解得． 故答案为：1． 15．（24-25高二上·天津河西·期中）已知直线与直线垂直，点为垂足，则等于 ． 【答案】 【分析】利用两直线的垂直条件求解参数，再计算代数式即可. 【详解】因为，所以， 因为两条直线垂直，且， 所以，解得，此时， 将代入中，得到， 解得，此时垂足为点，将代入中， 得到，解得， 故. 故答案为： 16．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1） 设，根据求解即可； （2） 因为表示直线的斜率，求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率，由此即可得答案． 【详解】（1）如图，当点在第一象限时，，    设，则，解得， 故点的坐标为. （2）由题意得为直线的斜率，如图，    当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 17．（2024高三·全国·专题练习）已知两点． (1)是否存在整数，使直线与直线相交？ (2)是否存在整数，使直线与线段相交？ (3)是否存在正整数，使点分别位于直线的两侧？ 【答案】(1)存在 (2)存在 (3)不存在 【分析】（1）由两相交直线斜率不相等即可得解. （2）通过分析得知，将点、的坐标代入后，其值的乘积必小于或等于0，由此即可得解. （3）由（2）中结论结合正整数的范围即可得解. 【详解】（1）直线的斜率，直线的斜率， 因为两条直线相交，则，即，故可以取外的所有整数． （2）位于直线上的点，其坐标代入后，其值必为0． 位于直线同侧的点，其坐标代入后，其值必同号． 而位于直线两侧的点，其坐标代入后，其值必异号． 直线与线段相交，则点和或位于该直线的两侧，或其中一点在该直线上． 于是将点、的坐标代入后，其值的乘积必小于或等于0， 即，解得．因此符合条件的整数可以是或1． （3）由问题（2）的分析知，当位于直线的两侧，将点的坐标分别代入后，其值必异号， 则乘积必小于0，即，解得，因此符合条件的正整数不存在． 18．（24-25高二上·山西晋中·开学考试）判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 【答案】(1)平行 (2)垂直 (3)(I);(II) 【分析】（1）分别求出两直线方程，根据斜率关系即可判断； （2）求出直线的斜率，根据斜率关系即可判断； （3）(I)根据两条平行直线的斜率关系即可求解；(II)根据两条垂直直线的斜率关系即可求解. 【详解】（1）因为直线经过两点，所以，则直线的方程为：； 因为直线经过且斜率为1，所以直线方程为：， 则直线与直线平行. （2）因为直线经过两点，所以， 因为直线的斜率为， 所以， 则直线与直线垂直. （3）因为直线过， 所以； (I)当直线与直线平行时；则，解得： (II) 当直线与直线垂直时则，解得： 19．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）已知的三个顶点． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的中点坐标，求出中线所在直线的斜率，代点斜式即可求解； （2）求出直线的斜率，即可得到边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解. 【详解】（1）由题意得，边的中点， 则中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即． （2）由题意得，，则边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的方程为，即． 20．（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题可知直线的斜率存在且， 若则直线的斜率也存在， 由， 得，即解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时，此时斜率存在，不符合题意， 当时，直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率也存在，且， 即，即， 解得或， 所以当或时，. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 两条直线的平行与垂直重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 由斜率判断两条直线平行 题型二 已知直线平行求参数 题型三 由斜率判断两条直线垂直 题型四 已知直线垂直求参数 题型五 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 拓展训练一 直线平行与垂直关系的判定 拓展训练二 直线平行与垂直关系的求参及几何中应用 知识点一：两条直线平行 1. 两条不重合直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，若l1 ∥l2，则k1＝k2；反之，若k1＝k2，则l1 ∥l2，如图所示. 2. 如果不重合的两直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是90°，从而它们互相平行. 【知识剖析】 探究两条直线平行与斜率的关系 l1 ∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件有两个：①两条直线的斜率都存在；②这两条直线不重合. 【即时训练】 1．（24-25高二上·浙江台州·期中）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·山西临汾·开学考试）已知直线，直线，若，则 ． 知识点二：两条直线垂直 1. 设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2. 若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，若k1·k2＝－1，则l1⊥l2 . 2. 对于直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，由于l1⊥x轴，l2⊥y轴，所以l1⊥l2. 3. 若两条直线中的一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两直线垂直. 4. 已知两条直线l1：Ax＋By＋C＝0和l2：Bx－Ay＋C2＝0，它们的法向量分别是(A，B)和(B，－A)，法向量互相垂直则两条直线互相垂直. 【知识剖析】 两条直线垂直的判定可简述为: l1⊥l2⇔k1·k2=-1或一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0. 【即时训练】 1．（22-23高二下·上海杨浦·期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线与直线互相垂直，则 ． 【经典例题一 由斜率判断两条直线平行】 【例1】（23-24高二上·上海金山·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 1．（23-24高二·全国·课后作业）直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．不能确定 2．（多选题）（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）已知直线，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为150° C．直线不经过第三象限 D．直线与直线平行 3．（23-24高二上·全国·课前预习）根据下列给定的条件，判定直线与直线是否平行或重合： （1）经过点，；经过点，；( ) （2）的斜率为，经过点，；( ) （3）平行于轴，经过点，；( ) （4）经过点，，经过点，．( ) 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【经典例题二 已知直线平行求参数】 【例1】（23-24高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 【例2】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线经过两点，经过两点． (1)若，求的值； (2)若的倾斜角互余，求的值． 1．（2025·广东茂名·一模）已知直线，直线，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．0 2．（多选题）（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知直线与平行，则的值可能是（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 3．（24-25高二上·上海青浦·期末）已知直线：与直线：平行，则 . 4．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行. 【经典例题三 由斜率判断两条直线垂直】 【例1】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）直线的方向向量是，则下列选项中的直线与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 1．（23-24高二上·全国·课后作业）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 2．（多选题）（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 4．（24-25高二上·四川广安·阶段练习）已知. (1)若四点可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下若点在第四象限的情况下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 【经典例题四 已知直线垂直求参数】 【例1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知的顶点，求的边BC上的高AD的斜率和垂足D的坐标. 1．（24-25高二上·湖北·阶段练习）直线：，：，若，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．或1 2．（多选题）（23-24高二上·甘肃·期末）已知点关于直线的对称点在直线上，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．-2 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与垂直，则实数 . 4．（22-23高二·江苏·假期作业）已知的顶点为，，，是否存在使为直角三角形，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【经典例题五 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例1】（23-24高一下·上海浦东新·期末）设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【例2】（23-24高一下·吉林白城·期末）已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2： (1)相交； (2)平行； (3)垂直． 1．（22-23高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高二·江苏·假期作业）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 3．（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是 ． 4．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【拓展训练一 直线平行与垂直关系的判定】 【例1】（24-25高二上·天津·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．或0 B． C．或2 D．2 【例2】（24-25高二·江苏·课后作业）已知点，，，，求证：四边形ABCD是梯形． 1．（24-25高二上·广西玉林·阶段练习）下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为（    ） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①④ 2．（多选题）（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（    ） A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 3．（2025高三·全国·专题练习）已知是直线上一点，是直线外一点，则方程所表示的直线与的关系是 ． 4．（2024高二·全国·专题练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【拓展训练二 直线平行与垂直关系的求参及几何中应用】 【例1】（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合 【例2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知中，，E，F分别为的中点，求直线的斜率． 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知两条直线：，则（    ） A．或 B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二·全国·课后作业）（多选）已知直线与直线，则直线与直线的位置关系可能是（    ） A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直 3．（24-25高二上·天津西青·期末）已知直线，若，则实数 . 4．（22-23高二上·福建福州·阶段练习）已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 1．（24-25高二上·广东·期中）已知直线：，：，且，则（   ） A．1 B．-2 C．2 D．3 2．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线与直线平行，则m的值为（    ） A．4 B．9 C． D． 3．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）设直线与直线的交点为分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 4．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）两条直线：，：互相垂直，则a的值是（    ） A．0 B．－1 C．－1或3 D．0或－1 5．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）已知直线，互相垂直，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．或 6．（多选题）（24-25高二上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知，，则（    ） A．点在直线上 B．直线PQ的倾斜角是 C．直线PQ与直线平行 D．直线PQ的一个方向向量为 7．（多选题）（24-25高二上·浙江·期中）若直线：与直线：平行，则实数可能为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（多选题）（23-24高二上·湖北宜昌·期中）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于 C．与直线垂直 D．与直线平行 9．（多选题）（22-23高二上·福建莆田·期中）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（多选题）（24-25高二上·福建·期中）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．若满足在轴上的截距与在轴上的截距相等，则 B．必过定点 C．若，则或4 D．若，则 11．（24-25高二上·陕西安康·期中）已知直线与满足.则 . 12．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知直线：与：平行，则 ． 13．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为 ． 14．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知直线与直线垂直，则 . 15．（24-25高二上·天津河西·期中）已知直线与直线垂直，点为垂足，则等于 ． 16．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 17．（2024高三·全国·专题练习）已知两点． (1)是否存在整数，使直线与直线相交？ (2)是否存在整数，使直线与线段相交？ (3)是否存在正整数，使点分别位于直线的两侧？ 18．（24-25高二上·山西晋中·开学考试）判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 19．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）已知的三个顶点． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 20．（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$