1.1.3 课时2 直线方程的两点式课件-2024-2025学年高二上 学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.1.3 课时2 直线方程的两点式 1.根据确定直线位置的几何要素，理解并掌握直线的两点式方程. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围. 学习目标 思考：我们知道已知两点也可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点Q(x,y)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 而直线AB的斜率为 设直线AB的方程为y-y1=k(x-x1)①， 代入①，整理得 新课导入 概念生成 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示. (2)两点式方程与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ，我们把它称为直线方程的两点式. 课题探究 问题1：直线的两点式方程能用 <m></m> 代替吗？ 方程 <m></m> 所表示的图形不含点 <m></m> ，故不能表示整条直线，故不能用其代替两点式方程． 问题2：方程 <m></m> 和方程 <m></m> 的适用范围相同吗？ 不同.前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线.后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程． 课题探究 例1 已知△ABC三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程． 解：∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点横坐标相同， ∴直线AB与x轴垂直，其方程为x＝2， ∵A(2，－1)，C(4，1)， 由直线方程的两点式可得直线AC的方程为＝，即x－y－3＝0 同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0 故三边AB、AC、BC所在的直线方程分别为：x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0. 课题探究 例2 已知直线l与x轴的交点为A (a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠ 0，b≠ 0，求直线l的方程． 解：∵将 A (a,0)，B(0,b)代入两点式得： ； 可化为： ，故直线 l 的方程为 . 思考：结合题意说说，上述直线 l 的方程中 a、b 分别有着什么几何意义？ 课题探究 直线的截距式方程：由坐标轴上两个截距确定的方程叫直线方程的截距式； 注意：截距式适用于横、纵截距都存在且都不为 0 的直线，即不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线． O x y ( 0，b ) l ( a，0 ) 纵截距 ( y 轴 ) 横截距 ( x 轴 ) 概念生成 课题探究 思考：方程 <m></m> 和 <m></m> 都是直线方程的截距式吗？ 都不是直线方程的截距式.直线方程的截距式的特点有两个： 一是等号左边必须用“ +</m> ”连接， 二是等号右边为1. 课题探究 注意： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程. (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. (3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示. (4)过原点的直线的横、纵截距都为零. 课题探究 例3 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程． 解：方法一　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b. ①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴＝1， 若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1. 若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7. ②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x＋4y＝0. 综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0. 课题探究 方法二　设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)， 令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝. 又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k－3|＝||， 解得k＝1或k＝－1或k＝－. ∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. 例3 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程． 课题探究 截距式方程应用的注意事项： 归纳总结 1.如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． 2.选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． 3.要注意截距式直线方程的逆向应用． 课题探究 1.过(1,2)，(5,3)的直线方程是( ) 2.过两点(－1，1)和(1，5)的直线在y轴上的截距为(　　) A.－ B.3 C. D.－3 B B 当堂检测 3.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_______________ ___________. 2x－y＝0或 x－y＋1＝0 当堂检测 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 直线方程的四种形式： 一点P(x0,y0)和斜率k y – y0 = k (x – x0) 不垂直于x轴的直线 斜率k，纵截距b y = kx +b 不垂直于x轴的直线 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 不垂直于x轴、y轴的直线 横截距a和纵截距b 不垂直于x轴、y轴，不过原点的直线 课后小结 A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ $$