精品解析：湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高三上学期开学检测数学试题

襄阳四中2025—2026学年第一学期高三开学检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，利用交集的定义直接求解即得. 【详解】依题意，集合，而， 所以. 故选：C 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 3. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求出分位数，再根据平均数定义得到方程，求出 【详解】因为该组数据共6个，且， 所以这组数据的分位数为从小到大第3个数，即6， 则，解得． 故选：B． 4. 已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式列方程，结合离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为， 所以， 所以，所以，双曲线C的离心率. 故选：C. 5. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示得，再应用齐次式运算，由弦化切求目标式的值. 【详解】由题设， 而. 故选：B 6. 的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（ ） A. B. C. 0 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理将看作展开，然后找到含，，的项即可求解. 【详解】 根据二项式定理，则.  当时，的展开式中不含，，的项.  当时，， 这部分含，，的项系数分别为，，.  将含，，的项系数相加，即.  则的展开式中所有二次项的系数和为. 故选：A. 7. 古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：过点作，，垂足分别是、，根据已知得且，即可得；法二：构建合适的平面坐标系，标注相关点坐标，由向量线性关系的坐标表示列方程，即可得. 【详解】法一：如图①，过点作，，垂足分别是，， 因为，所以， 又，所以四边形为正方形，所以， 又，所以，则，故； 法二：以，所在直线分别为，轴，建立如图②所示的平面直角坐标系， 设，则， 因为，所以，， 由，得，解得，故. 故选：A 8. 数列的前n项和为，满足，则可能的不同取值的个数为（ ） A. 45 B. 46 C. 90 D. 91 【答案】B 【解析】 【分析】利用累加法表示出，先计算时的，然后依次将调整为3可求得的最大值，然后可得解. 【详解】由题设可得，其中， 故，且奇偶交错出现． 若为奇数，由可得对可取遍中的每一个奇数； 若为偶数，由可得对可取遍中的每一个偶数， 又， 当时，， 考虑时，调整为3，则对应的可增加， 依次对诸（至少一个）调整为3后， 即， 从上述的调整过程可得，取遍了中的奇数或偶数（取奇数还是偶数取决于的奇偶性）， 当时，取遍了中的奇数，合计46个， 故选：B． 【点睛】关键点睛：本题关键在于先根据求的最小值，然后依次将调整为3求的最大值，然后分析即可得解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面判断的判定定理即可判断A；根据线面垂直的判定定理即可B；根据线面平行的性质即可C；根据面面垂直的性质即可判断D. 【详解】A：若，有可能，故A错误； B：若，则，这是线面垂直的判定定理，故B正确； C：若，则，这是线面平行的性质定理，故C正确； D：若，则，这是面面垂直的性质定理，故D正确. 故选：BCD 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. C. (为坐标原点) D. 当取最小值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线，，，根据题意求出和的坐标，得到斜率判定A；运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定B；借助向量法计算判定C；运用抛物线定义转化长度，结合基本不等式计算判定D. 【详解】 依题意，设直线，，， 联立得，则，， 则，解得或，则，或，， 则直线的斜率为.故A正确；， 当且仅当时等号成立.故B正确； 因为，所以，故C错误； ，，则，，由抛物线的定义可得，，因为，， 当且仅当时取等号，此时，故D正确. 故选：ABD 11. 记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 角的最大值为 C. D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A利用余弦定理即可判断，对于B利用余弦定理和均值不等式即可判断，对于C由已知有得，最后利用余弦定理和正弦定理即可判断，对于D令代入 有，由三角不等式有，解出的范围，又，利用二次函数即可求解，进而判断D. 【详解】对于A：由余弦定理有，所以，故A正确； 对于B：由余弦定理得，由基本不等式有，当时，即时等号成立，所以，所以角的最大值为，故B正确； 对于C：由有， 所以， 所以， 即，与题干不符，故C错误； 对于D：令代入 有，由有 得解得， 所以，由， 所以 ，即的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则实数a的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解. 【详解】由题意得，，解得． 故答案为：2 13. 直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，若，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由向量的坐标运算求出、两点的坐标，再利用直线的斜截式方程求解即可. 【详解】依题意，设，， 则，， 则， 由得，解得， 则，， 则直线的斜率为，方程为即. 故答案为：. 14. 若函数满足在定义域内的某个集合A上，对任意，都有是一个常数a，则称在A上具有M性质．设是在区间上具有M性质的函数，且对于任意，都有成立，则a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得在区间上单调递增，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性即可求解. 【详解】由得， 由题意知在区间上单调递增. ①时，在区间上单调递增，符合题意； ②时，在区间上单调递增， 若在区间上单调递增，则，即对恒成立， 所以成立，故，即； ③时，对恒成立，此时， 函数由，复合而成，在上单调递增且， 而函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若在上单调递增，则，即. 综合①②③可知a的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了复合函数的增减性问题，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论以及结合复合函数单调性“同增异减”法则判断，从而求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角满足． （1）求； （2）若的外接圆半径为2，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差的正弦化简后可得，故可求； （2）根据三角变换可得，故可求面积. 【小问1详解】 在中，，∴， ∵，∴， 则 化简得． 又，∴， 又∵，∴． 【小问2详解】 ∵，∴，∴． 即， 又，∴ 记内角的对边分别为， ∵的外接圆半径， ∴由正弦定理可得， ∴ ，∴. 16. 已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义和离心率定义列方程组求解即可； （2）利用弦长公式和平行直线的距离公式即可得解. 【小问1详解】 由题意知， 解得， 则椭圆的方程为． 【小问2详解】 易知四边形为平行四边形，设， 联立直线与椭圆消去并整理得， 由韦达定理得 ， 因为与平行，所以这两条直线的距离， 则平行四边形的面积． 17. 如图，四棱锥中，平面，，． （1）作点在平面内的射影，写出作法及理由； （2）若，，且，求二面角的正弦值． 【答案】（1）设，连接，过点作的垂线，垂足即为点在平面内的射影． 下面证明： ，， 点，在线段的中垂线上，即有， 平面，平面，， 又，、平面，平面， 又平面，平面平面， 又平面平面，，平面， 平面，故点为点在平面内的射影. （2）. 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，垂足即为点在平面内的射影．通过证明平面平面，结合面面垂直的性质，可得平面，得证； （2）由题意，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角的余弦值，根据三角函数同角求值，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，可建立如图空间直角坐标系，，又，，且，易知，，， 在中，，在中，，， 则，，，， 设平面的法向量为，，， 则，， 不妨取，则， 平面的法向量， 设二面角的平面角为，则， 又，， 所以二面角的正弦值为. 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】（1） （2）（i）由题：若，则，， 又， 所以（或）， 由切比雪夫不等式可知，， 所以， （ii）不可信． 【解析】 【分析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，然后求出，，由条件概率求得； （2）（i）由二项分布期望和方差公式求得，，由二项分布随机变量的概率的性质得到，然后由切比雪夫不等式得到结果； （ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取100件产品中合格品的件数为，则，再由期望和方差公式求得，，由由切比雪夫不等式求出，然后由小概率原理做出判断. 【小问1详解】 记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ，， ； 【小问2详解】 （i）略 （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知， 一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 19. 已知函数. （1）当时，求证：函数有唯一极值点； （2）当时，求在区间上的零点个数； （3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值. 【答案】（1）证明：函数，有，则在R上单调递增， 当时，有，即. 当时，由，得，且. 当时，. 因为，所以. 因为对任意恒成立，所以当时，. 则在上单调递减，在上单调递增， 所以是的唯一极值点. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数单调性，确定极值点个数； （2）利用函数单调性，结合零点存在定理，求零点个数； （3）由题意设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，则，再结合导数与切线斜率的关系，以及函数值，导数值之间的关系即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，，， 当时，，所以在上单调递减， 因为， 所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点. 当时，令，则， 当时，有，所以在上单调递增， 又因为，所以存在使得， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，故在上无零点， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以在上有且仅有一个零点. 综上所述：在上有且只有2个零点. 【小问3详解】 设曲线与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为， 其斜率分别为，则. 因为，所以. 所以. 不妨设，则. 因为， 由“合一切线”的定义可知，. 所以. 由“合一切线”的定义可知，，所以. 当时，取， 则，符合题意. 所以. 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题； （4）考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2025—2026学年第一学期高三开学检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 3. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. 已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（ ） A. B. C. 0 D. 40 7. 古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 数列的前n项和为，满足，则可能的不同取值的个数为（ ） A. 45 B. 46 C. 90 D. 91 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. C. (为坐标原点) D. 当取最小值时， 11. 记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 角的最大值为 C. D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则实数a的值为________． 13. 直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，若，则直线的方程为__________. 14. 若函数满足在定义域内的某个集合A上，对任意，都有是一个常数a，则称在A上具有M性质．设是在区间上具有M性质的函数，且对于任意，都有成立，则a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角满足． （1）求； （2）若的外接圆半径为2，且，求的面积． 16. 已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积． 17. 如图，四棱锥中，平面，，． （1）作点在平面内的射影，写出作法及理由； （2）若，，且，求二面角的正弦值． 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 19. 已知函数. （1）当时，求证：函数有唯一极值点； （2）当时，求在区间上的零点个数； （3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $