精品解析：甘肃省兰州市第八十八中学2023—2024学年八年级下学期期末数学试卷

兰州市第八十八中学2023-2024学年度第二学期期末测试 八年级数学试卷 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 把多项式分解因式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了提公因式法分解因式等知识，利用提公因式法将分解为，问题得解． 【点睛】解：． 故选：C 3. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≠4 B. x＞4 C. x＜4 D. x＝4 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0解答． 【详解】由题意得：x-40， 解得x4， 故选：A． 【点睛】此题考查分式有意义的条件：分母不等于0，熟记条件是解题的关键． 4. 如图，直线y1＝kx+2与直线y2＝mx相交于点P(1，m)，则不等式mx＜kx+2的解集是（　　） A. x＜0 B. x＜1 C. 0＜x＜1 D. x＞1 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案． 【详解】解：∵直线y1＝kx+2与直线y2＝mx相交于点P（1，m）， ∴不等式mx＜kx+2的解集是x＜1， 故选：B． 【点睛】本题考查了对一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目． 5. 已知不等式2x-a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是（ ） A. 6＜a＜8 B. 6≤a＜8 C. 6＜a≤8 D. 6≤a≤8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再根据其正整数解列出不等式，解此不等式即可． 【详解】解：解不等式2x-a≤0得到：x≤， ∵正整数解为1，2，3， ∴3≤＜4， 解得6≤a＜8． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，根据x的取值范围正确确定的范围是解题的关键．再解不等式时要根据不等式的基本性质． 6. 小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】有工作总量180或120，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等”．等量关系为：小明打120个字所用的时间=小张打180个字所用的时间． 【详解】解：小明打字速度为x个/分钟，那么小明打120个字所需要的时间为：； 易得小张打字速度为（x+6）个/分钟，小张打180个字所需要的时间为：； ∴可列方程为：=， 故选C． 7. 在矩形中，已知两条邻边与的长分别为2和3，若是边的中点，连接，过点作，垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据矩形的性质和题意得，，，根据是边的中点得，根据勾股定理得，根据得，即可得，根据得，根据可得，即可得，掌握相似三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是矩形，两条邻边与的长分别为2和3， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　） ①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD． A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可． 【详解】解：①▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①正确； ②▱ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②错误； ③▱ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确； D、▱ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故④错误． 故选：A． 【点睛】此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 9. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据用勾股定理的逆定理判断A、B，，根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D． 【详解】解：A.∵，设AB=3k，则BC=4k，AC=5k，∴AB2+BC2=25k2=AC2，是直角三角形，故此选项不符合题意； B.∵，设AB=k，则BC=2k，AC=k，∴AB2+AC2=4k2=BC2，是直角三角形，故此选项不符合题意； C.∵∠A-∠B=∠C，∴∠A=∠C+∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=75°，不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键． 10. 如图，在中，．将绕点按逆时针方向旋转得，且点在上，交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，，再根据补角的定义及外角的性质即可解答． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 故选． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，补角的定义，外角的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 11. 如图，在ABC中，AC＝5，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝3，则ABC的面积为（ ） A. 72 B. 36 C. 18 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】过D点作DF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到DF=DE=3，然后利用三角形面积公式，利用S△ABC=S△ABD+S△ACD进行计算． 【详解】解：过D点作DF⊥AB于F，如图， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DF=DE=3， ∴S△ABC=S△ABD+S△ACD =18． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 12. 如图，在△中，、是△的中线，与相交于点，点、分别是、的中点，连接.若＝6cm，＝8cm，则四边形DEFG的周长是（ ） A. 14cm B. 18 cm C. 24cm D. 28cm 【答案】A 【解析】 【详解】∵点F、G分别是BO、CO的中点，BC = 8cm ∴FG=BC=4 cm ∵BD、CE是△ABC的中线 ∴DE=BC=4 cm ∵点F、G、E、D分别是BO、CO、AB、AC的中点，AO = 6cm ∴EF=AO=3 cm，DG=AO=3 cm ∴四边形DEFG的周长=EF+FG+DG+DE=14cm 故选：A 【点睛】考点：1、三角形的中位线；2、四边形的周长 二、填空题（共4小题，满分12分，每小加3分） 13. 一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是_________边形． 【答案】四 【解析】 【分析】任何多边形的外角和都是，再结合多边形内角和公式，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 解得：， 故这个多边形是四边形． 14. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 如图，在□ABCD中，若DC＝24，BC＝18，∠ADC和∠BCD的平分线分别交AB于点N、M，则MN的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义可知角之间的等量关系，得出BC＝BM，AD＝AN，由AB＋MN＝AD＋BC，即可得出MN的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC， ∴∠CDN＝∠AND，∠DCM＝∠CMB， ∵CM平分∠BCD，DN平分∠ADC， ∴∠ADN＝∠CDN，∠DCM＝∠MCB， ∴∠ADN＝∠AND，∠BCM＝∠CMB， ∴AD＝AN，BM＝BC， ∵AB＋MN＝AD＋BC， ∴24＋MN＝18＋18， ∴MN＝12； 故答案为：12． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AD＝AN，BM＝BC是解决问题的关键． 16. 如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ， ， 是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 故答案是：4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键． 三、解答题（共10小知，满分72分） 17. 求满足不等式组的所有整数解． 【答案】不等式组的解集：-1≤x＜2，整数解为：-1，0，1. 【解析】 【详解】解：解不等式x-3（x-2）≤8，得：x≥-1， 解不等式x-1＜3-x，得：x＜2， 则不等式组的解集为-1≤x＜2， 所以不等式组的整数解为-1、0、1． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． （1）首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可； （2）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 19. 解方程； 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程转化为整式方程，再进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行求解即可． 【详解】解： 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】; 【解析】 【分析】先把分式化简后，再把a的值代入求出分式的值． 【详解】解: 当时, 原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键． 21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出的坐标； （2）以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； ∴ （2） 如图所示，即为所求． ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称： （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律找到A、B、C对应点的位置，在顺次连接，并写出对应点坐标即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到对应点的坐标，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN； （2）求△ABC的周长． 【答案】 （1）证明：∵BN⊥AN于点N， ∴， 在△ABN和△ADN中， ∵， ∴△ABN≌△ADN（ASA）． ∴BN=DN． （2）41 【解析】 【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论． （2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可． 【详解】（1）略 （2）∵△ABN≌△ADN， ∴AD=AB=10，DN=NB． 又∵点M是BC中点， ∴MN是△BDC的中位线． ∴CD=2MN=6． ∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41． 23. 四边形的四条边长分别为．其中与与是对边，且满足，判断此四边形是什么四边形？ 【答案】平行四边形 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和因式分解的应用，关键是整理配方将式子变为非负数和的形式，还利用了非负数的性质．通过整理得到，从而得出，所以四边形一定是平行四边形． 【详解】解：， ， ， ， ， 此四边形为平行四边形． 24. 如图，的对角线相交于点O，E，F分别是上的点，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质易证，，再结合，即可证，得出． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质．证明是解题关键． 25. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． （1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ （2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案． 【答案】（1）跳绳和毽子的单价分别是8元，5元 （2）当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少 【解析】 【分析】（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，然后根据用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同，列出方程求解即可； （2）设学校购买跳绳m根，则购买毽子个，花费为W，然后求出W关于m的关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ， ∴跳绳和毽子的单价分别是8元，5元， 答：跳绳和毽子的单价分别是8元，5元； 【小问2详解】 解：设学校购买跳绳m根，则购买毽子个，花费为W， 由题意得， ∵跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根， ∴， ∴， ∵， ∴W随着m的增大而增大， ∴当m=450时，W有最小值， ∴当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，解题的关键在于能够正确理解题意列出相应的式子求解． 26. 综合与实践 如图所示，在四边形中，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为． （1）直接写出：____________；（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据的值和点Q的速度是，点P的速度是，直接用t表示出的值； （2）四边形是平行四边形，则需，可得方程，再解方程即可； 【小问1详解】 解：由题意得， ∵， ∴， 故答案为： ，； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了列代数式，平行四边形的性质，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 27. 如图①，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）如图②，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①的度数为______． ②探索线段之间的数量关系为______．（直接写出答案，不需说明理由） 【答案】（1） 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） （3）①90，②． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，利用手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． （1）利用证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，由等边三角形的性质得到，则由平角的定义得到，则； （3）①同理证明，得到，，再根据平角的定义得到，则，由此可得；②由等腰直角三角形的性质得到，则，由（已证），得到，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵和均为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90； ②∵，，， ∴， ∴， ∵（已证）， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第八十八中学2023-2024学年度第二学期期末测试 八年级数学试卷 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把多项式分解因式正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≠4 B. x＞4 C. x＜4 D. x＝4 4. 如图，直线y1＝kx+2与直线y2＝mx相交于点P(1，m)，则不等式mx＜kx+2的解集是（　　） A. x＜0 B. x＜1 C. 0＜x＜1 D. x＞1 5. 已知不等式2x-a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是（ ） A. 6＜a＜8 B. 6≤a＜8 C. 6＜a≤8 D. 6≤a≤8 6. 小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在矩形中，已知两条邻边与的长分别为2和3，若是边的中点，连接，过点作，垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　） ①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD． A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①②③ 9. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，．将绕点按逆时针方向旋转得，且点在上，交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在ABC中，AC＝5，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝3，则ABC的面积为（ ） A. 72 B. 36 C. 18 D. 9 12. 如图，在△中，、是△的中线，与相交于点，点、分别是、的中点，连接.若＝6cm，＝8cm，则四边形DEFG的周长是（ ） A. 14cm B. 18 cm C. 24cm D. 28cm 二、填空题（共4小题，满分12分，每小加3分） 13. 一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是_________边形． 14. 分解因式：________． 15. 如图，在□ABCD中，若DC＝24，BC＝18，∠ADC和∠BCD的平分线分别交AB于点N、M，则MN的长为______． 16. 如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____． 三、解答题（共10小知，满分72分） 17. 求满足不等式组的所有整数解． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 解方程； 20. 先化简，再求值：，其中 21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出的坐标； （2）以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出点的坐标． 22. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN； （2）求△ABC的周长． 23. 四边形的四条边长分别为．其中与与是对边，且满足，判断此四边形是什么四边形？ 24. 如图，的对角线相交于点O，E，F分别是上的点，且．求证：． 25. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． （1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ （2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案． 26. 综合与实践 如图所示，在四边形中，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为． （1）直接写出：____________；（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，四边形为平行四边形？ 27. 如图①，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）如图②，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①的度数为______． ②探索线段之间的数量关系为______．（直接写出答案，不需说明理由） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $