第一章 特殊的平行四边形（基础卷）2025－2026学年北师大版数学九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 特殊的平行四边形（基础卷） 时间：120分钟 满分：150分 1、 单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 2．如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．下列命题中真命题的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 4．如图，在中，，D为的中点，若，则的长为（    ） A．5 B．4.8 C．2.4 D．无法确定 5．如图，面积为25的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的对角线相交于点，是的中点，，连接．若，则（    ） A．4 B． C． D．6 8．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（    ） A．26° B．52° C．128° D．154° 9．把一张矩形纸片 按如下图方式折叠，使顶点B 和顶点D重合，折痕为 ．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．如图，矩形的对角线、相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．如图，在矩形纸片中，点是的中点，连接，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，以大于的等长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线，且直线刚好经过点．若，则的长度是（   ） A．1 B． C．2 D． 12．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在中，，，为中点，连接，则 ． 14．如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是 ．（写一个即可） 15．如图所示，在正方形中，E，F分别是的中点，若，则的长是 ． 16．把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为 ； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为 ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．（10分）如图，在菱形中，点，分别在边和上，且．求证：． 18．（10分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是线段上一点，且，求的度数． 19．（10分）如图，在中，为的中点，， (1)求的长． (2)请直接写出线段与线段之间的数量关系． 20．（10分）如图，在长方形中，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 21．（10分）在正方形ABCD中，E是CD边上的点，过点E作EF⊥BD于F． (1)尺规作图：在图中求作点E，使得EF=EC；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，连接FC，求∠BCF的度数．    22．（12）如图 ，已知点 C 为线段 AB 上一点，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN=BM      23．（12）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，且EF∥DC，（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）若EF＝2cm，求AB的长． 24．（12）如图，矩形中，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的面积． 25．（12）如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式． (3)点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 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∴，． 又∵E是的中点，， ∴， ∴是等边三角形，， ∵四边形是菱形， ∴，是的中位线， ∴， ∴，． ∴​． 故选：C． 8．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（    ） A．26° B．52° C．128° D．154° 【答案】C 【详解】解：在菱形中，因为， 所以， 即， 又因为在菱形中，， 所以， 可得， 所以的度数为 ． 故选：C ． 9．把一张矩形纸片 按如下图方式折叠，使顶点B 和顶点D重合，折痕为 ．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴； ∴； 由折叠可知：， ∴ 故选：B. 10．如图，矩形的对角线、相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴点O是的中点， ∵点是的中点，， ∴． 故选D 11．如图，在矩形纸片中，点是的中点，连接，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，以大于的等长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线，且直线刚好经过点．若，则的长度是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：由作图可知，是线段的垂直平分线， 连接 又直线经过点B， ， 又点E是的中点， ， 在矩形中，， 在中，， ． 故选：B． 12．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在中，，，为中点，连接，则 ． 【答案】/ 【详解】解：∵在中，，，为中点， ∴． 故答案为． 14．如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加条件，那么为菱形．理由： ∵四边形是平行四边形，， ∴根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 15．如图所示，在正方形中，E，F分别是的中点，若，则的长是 ． 【答案】10 【详解】解：如图，连接， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； ∵四边形是正方形， ∴． 故答案为：10． 16．把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为 ； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为 ． 【答案】 /度 或 【详解】解：（1）一张矩形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形． （2）有一个内角为的菱形，出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 故，a的值等于， 或是， 故答案为：（1）；（2）或. 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．（10分）如图，在菱形中，点，分别在边和上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：四边形是菱形 ，， 18．（10分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是线段上一点，且，求的度数． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ． ， ， ． 19．（10分）如图，在中，为的中点，， (1)求的长． (2)请直接写出线段与线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴． 20．（10分）如图，在长方形中，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【详解】（1）是直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处， ∴， ∴是直角三角形； （2）∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处， ∴ ， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴． 21．（10分）在正方形ABCD中，E是CD边上的点，过点E作EF⊥BD于F． (1)尺规作图：在图中求作点E，使得EF=EC；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，连接FC，求∠BCF的度数．    【答案】（1）作图见解析；（2）∠BCF=67.5°. 【详解】解：（1）如图，点E即为所求． （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，BC＝CD． ∴∠DBC＝∠CDB＝45°， ∵EF⊥BD， ∴∠BFE＝90°． 由（1）得EF＝EC，BE＝BE， ∴Rt△BFE≌Rt△BCE（HL） ∴BC＝BF． ∴∠BCF＝∠BFC， ∴∠BCF＝(180°−∠FBC)＝67.5°．    22．（12）如图 ，已知点 C 为线段 AB 上一点，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN=BM      【答案】见解析 【详解】∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形， ∴AC=CM， NC =BC，∠ACN=∠BCM=90°， ∴△CAN≌△MCB（SAS）， ∴AN=BM． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质，掌握正方形的性质及全等三角形的判定定理是关键． 23．（12）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，且EF∥DC，（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）若EF＝2cm，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）4cm． 【详解】（1）证明：如图，∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点， ∴ED是Rt△ABC的中位线， ∴ED∥FC． 又 EF∥DC， ∴四边形CDEF是平行四边形； （2）解：由（1）知，四边形CDEF是平行四边形，则DC＝EF＝2cm． ∵点D是Rt△ABC斜边AB的中点， ∴DC＝ AB， ∴AB＝2DC＝4cm． 故答案为（1）见解析；（2）4cm． 24．（12）如图，矩形中，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接交于点O， 在矩形中，， ， ， ， 在中，， ． 25．（12）如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式． (3)点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【详解】（1）解：， 解得，， ∵的长分别是方程的两个根（）， ∴，， 由折叠可知，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，故； 当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，故； 当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，即； 综上，直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式为； （3）当时，，此时， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴M点与P点关于对称， ∴； 综上所述：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$