第二章 一元二次方程（基础卷）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 一元二次方程（基础卷） 时间：120分钟 满分：150分 1、 单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、方程，化简后为：，是关于的一元二次方程，符合题意； B、方程不是整式方程，因此不是关于的一元二次方程，不符合题意； C、方程，必须限定二次项系数不为0，即，因此不一定是关于的一元二次方程，不符合题意； D、方程，化简后为：，不是关于的一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，7，2 B．1，， C．0，， D．17， 【答案】B 【详解】解：一元二次方程的标准形式为 ，其中： 是二次项的系数（二次项为）， 是一次项的系数（一次项为）， 是常数项（不含未知数的项）； 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故选：B． 3．若方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得； ∴的值可以是：， 故选：D． 4．方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：将化为一般形式为：， 由此可知：，，． 故选：C． 5．下列各数中是方程的解的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ， 故选：D． 6．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，依据题意得： ． 故选：D． 7．一元二次方程配方后可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 8．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2020 B．2021 C．2019 D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，是一元二次方程的一个根， 将代入方程可得， ，， ， ． 故选：． 9．若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数 ，即 ， 又∵方程有实数解， ∴， 解得 ， 综上所述：关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 且 ． 故选C． 10．根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴当时，一定有一个x对应的值，使得， ∴一元二次方程的一个解x的取值范围是， 故选：B． 11．如图，一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长的住房墙，另外三边用长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木门，当羊舍的面积是时，设所围的羊舍与墙平行的边长为，则根据题意可得方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设所围的羊舍与墙平行的边长为，则长方形的宽为， 根据题意可得方程为：， 故选：D． 12．现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（ ） A． B．4 C．或4 D．1或 【答案】C 【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在某种病毒的传播过程中，每轮1人平均会传染人，若最初2人感染该病毒，经过两轮传染，感染总人数达到人，则可列方程为 【答案】 【详解】解：根据题意，列方程得： 故答案为： ． 14．从“和谐号”动车飞驰大江南北，到“复兴号”引领世界标准，中国高铁不断创造出举世瞩目的成就．作为中国铁路网中南北走向大动脉之一的京沪铁路，促进了沿海城市与内陆城市的经济发展，若在这条线路上某个区间往返行车需印制种高铁票，设该区间共设置个停车站，请根据题意列出一元二次方程并化为一般形式为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意：， 化为一般形式为：， 故答案为：． 15．如图，在一块长为，宽为的矩形地面上（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为．道路宽为 ． 【答案】米 【详解】解：设道路的宽应为米，由题意有 ， 解得：（舍去），． 答：道路宽为米． 故答案为：米． 16．已知实数满足，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．（10分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， ， ， ，． （2）， ， 或 解得：，． 18．（10分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【答案】(1)且； (2) 【详解】（1）解：由题意得，，且 ∴且； （2）由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 19．（10分）某公司向厂家订购两款洗手液共箱．已知购买款洗手液1箱进价为元，在此基础上，所购买的款洗手液数量每增加1箱，每箱进价降低2元．厂家为保障盈利，每次最多可订购箱款洗手液．款洗手液的进价为每箱元，设该公司购买款洗手液箱，若订购这批洗手液的总进价为元，则该公司订购了多少箱款洗手液？ 【答案】该公司订购了箱款洗手液 【详解】解：设该公司订购了x箱款洗手液， 根据题意知， 解得，． 每次最多可订购箱款洗手液， 符合题意． 答：该公司订购了箱款洗手液． 20．（10分）江西南昌市某大型商场经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出60件，每件盈利80元．在每件降价幅度不超过25元的情况下，若每件童装每降价5元，则每周可多售出10件． (1)降价10元后，每件童装盈利是_____元，每周销售量是_____件； (2)要想每周销售这种童装盈利6000元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】(1)70；80 (2)当每件童装应降价20元时，每周销售这种童装盈利6000元． 【详解】（1）解：降价10元后，每件童装盈利是：（元）， 每周销售量是：（件）， 故答案为：70，80． （2）解：设每件童装应降价元， 根据题意得：，（） 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每件童装应降价20元． 21．（10分）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 22．（10分）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 【答案】（1）AB=-2x+44；（2）6；32 【详解】解：（1）∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x， ∴AB=-2x+44； （2）由题意得，（-2x+44）•x=192， 即2x2-44x+192=0， 解得x1=6，x2=16， ∵x2=16＞（舍去）， ∴AD=6， ∴AB=-2×6+44=32． 答：AD长为6米，AB长为32米． 23．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．点Q到达点C后，点P、Q停止运动．设P、Q从点A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10cm2？ 【答案】1秒 【详解】 解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2，由题意可得： 4x（6﹣x）÷2＝10， 解得x1＝1，x2＝5（不合题意舍去）． 答：经过1秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2． 24．（12分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，该市图书馆每月接纳能力不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【答案】(1) (2)能接纳，理由见解析 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x， 根据题意，得： 解得，（舍去） 答：进馆人次的月平均增长率为． （2）解：第四个月进馆人数为（人次） 由于 答：市图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 25．（14分）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是 所以 所以当时，的值最小，最小值是 所以的最小值是 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值； (3)已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，的周长． 【答案】(1)， (2)大，最值为 (3) 【详解】（1）解：∵对于任意实数都有， ∴当时，的最小值是， ∴， 当时，有最小值是， 故答案为：；； （2）解： ， ∵对于任意实数都有， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为， 故答案为：大； （3）解：， ， ， ∴，， ，， ， 的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 一元二次方程（基础卷） 时间：120分钟 满分：150分 1、 单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，7，2 B．1，， C．0，， D．17， 3．若方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 4．方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．下列各数中是方程的解的是（   ） A．0 B． C． D． 6．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．一元二次方程配方后可化为（　　） A． B． C． D． 8．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2020 B．2021 C．2019 D． 9．若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 10．根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 11．如图，一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长的住房墙，另外三边用长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木门，当羊舍的面积是时，设所围的羊舍与墙平行的边长为，则根据题意可得方程为（　　） A． B． C． D． 12．现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（ ） A． B．4 C．或4 D．1或 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在某种病毒的传播过程中，每轮1人平均会传染人，若最初2人感染该病毒，经过两轮传染，感染总人数达到人，则可列方程为 14．从“和谐号”动车飞驰大江南北，到“复兴号”引领世界标准，中国高铁不断创造出举世瞩目的成就．作为中国铁路网中南北走向大动脉之一的京沪铁路，促进了沿海城市与内陆城市的经济发展，若在这条线路上某个区间往返行车需印制种高铁票，设该区间共设置个停车站，请根据题意列出一元二次方程并化为一般形式为 ． 15．如图，在一块长为，宽为的矩形地面上（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为．道路宽为 ． 16．已知实数满足，则的值为 ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．（10分）解方程： (1)； (2)． 18．（10分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 19． （10分）某公司向厂家订购两款洗手液共箱．已知购买款洗手液1箱进价为元，在此基础上，所购买的款洗手液数量每增加1箱，每箱进价降低2元．厂家为保障盈利，每次最多可订购箱款洗手液．款洗手液的进价为每箱元，设该公司购买款洗手液箱，若订购这批洗手液的总进价为元，则该公司订购了多少箱款洗手液？ 20．（10分）江西南昌市某大型商场经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出60件，每件盈利80元．在每件降价幅度不超过25元的情况下，若每件童装每降价5元，则每周可多售出10件． (1)降价10元后，每件童装盈利是_____元，每周销售量是_____件； (2)要想每周销售这种童装盈利6000元，那么每件童装应降价多少元？ 21．（10分）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 22．（10分）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 23．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．点Q到达点C后，点P、Q停止运动．设P、Q从点A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10cm2？ 24．（12分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，该市图书馆每月接纳能力不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 25．（14分）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是 所以 所以当时，的值最小，最小值是 所以的最小值是 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值； (3)已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$