第二章 一元二次方程（拔高卷）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 一元二次方程（拔高卷） 时间：120分钟 满分：150分 1、 单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得， 开方，得， 即，． 故选：C 2．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 移项，得， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 3．把一元二次方程化成的形式，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ， ∵一元二次方程化成的形式，   ∴，， ∴． 故选：A． 4．已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：D． 5．已知为方程的一个根，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6．如图，有一面积为的长方形鸡场，它的一边靠墙（墙长），另三边用总长为的竹篱笆围成，其中一边开有的门．设鸡场垂直于墙的一边为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设鸡场垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 根据题意得：， 故选：A． 7．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 故选B． 8．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根 【答案】B 【详解】解：∵方程， ∴， ∴没有实数根． 故选：B． 9．某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（   ） A． B．2或 C．2或 D．2 【答案】A 【详解】解：∵当输出的值为4时， ∴当时，，不符合题意； 当时，解得． ∴当输出的值为4时，则输入的x值是． 故选：A． 10．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 11．根据一元二次方程可列表如下，则方程的一个根满足（   ） x 0.9 1 1.1 1.2 … 0.84 … A．根的整数部分是0，十分位是5 B．根的整数部分是0，十分位是8 C．根的整数部分是1，十分位是1 D．根的整数部分是1，十分位是2 【答案】C 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，． 函数值从负变正，说明方程的根在到之间． 因此，根的整数部分为． 因为方程的根在和之间，所以根的整数部分是，十分位是， 故选：C． 12．已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【详解】解： 是的解， 方程两边同时乘以， 可得：， 方程一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 方程的公共解为：或， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了56个红包，设这个微信群共有x人，则可列方程为 ． 【答案】 【详解】解：这个微信群共有x人，若每人给其他成员都发一个红包，则每人发个， 则． 故答案为：． 14．已知是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】－2 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为：． 15．如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的且互相垂直的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程： 【答案】 【详解】解：∵道路的宽应为， ∴由题意得，， 故答案为：． 16．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是 ． 【答案】 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．（12分）用适当方法解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)原方程没有实数根 【详解】（1）解： 因式分解得： 所以或 解得： （2）解： 整理得： 分解因式得： 即 所以或 解得： （3）解： 方程整理得： 配方得： 即 ∴原方程没有实数根． 18．（10分）王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一部分（如图）． (1)当时，求手掌遮住的部分的值； (2)若手掌遮住的部分为，求x的值． 【答案】(1)13 (2) 【详解】（1）解：当时，； （2）由题意，， 整理，得：， ∴， 解得：． 19．（10分）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为． (1)用含有x的代数式表示平行于墙长一边使用的篱笆的长度； (2)求x的值． 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）解：设与墙垂直的一边长为， 则平行于墙长一边使用的篱笆的长度为，即； （2）解：根据题意得：， 即， 判别式， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，， 答：x的值为8． 20．（10分）关于 x 的一元二次方程有实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时 m 的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵关于 x 的一元二次方程有实数根， ∴， ∴． （2）解：∵k是符合条件的最大整数， ∴， ∴为， 解得，， 当是一元二次方程的解时， ， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去； 当是一元二次方程的解时， ， 解得． 综上所述，m的值为． 21．（10分）某商场准备对去年购进的一批进价为每件40元的T恤进行过季处理，若每件T恤的售价定为30元亏本销售时，可售出50件，若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理． (1)若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价多少元？ (2)商场将100件T恤进行降价处理，处理不了的积压在仓库，一共亏损了2080元，求每件T恤的售价为多少元？ 【答案】(1)至少需要降价10元 (2)每件T恤的售价为24元 【详解】（1）解：若想将剩余的100件T恤全部清仓，设至少需要降价元， 根据题意得， 解得， 答：若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价10元； （2）解：设每件T恤的售价为降价为元，则则售价为元，销量为，销售每件亏损元，积压每件亏损40元， 根据题意得，， 整理得：， 解得：或， 因为， 所以， 所以每件T恤的售价降价6元，则售价为24元， 答：每件T恤的售价为24元． 22．（10分）“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【答案】(1) (2)①；②6 【详解】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为； （2）①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， ∴每把扇子应降价6元． 23．（12分）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 【答案】(1)510 (2) (3) 【详解】（1）解：（天）； 故答案为：510； （2）； 故答案为： （3）由题意，得：， 解得：或（舍去）； 故． 24．（12分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)不存在，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3） ，， ， ， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，、间的距离等于． 25．（12分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 【答案】【理解应用】② 【类比迁移】 【拓展应用】；3；1或 【详解】解：[理解应用] 变形为， 如图所示， 图①一个长方形的面积为：；图②一个长方形的面积为；图③一个长方形的面积为：； ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 故选：②； [类比迁移]第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为； 故答案为：； [拓展应用]∵ ∴， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴， 解得，， 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为1； 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为； 综上所述，方程的一个正根为或， 故答案为：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 一元二次方程（拔高卷） 时间：120分钟 满分：150分 1、 单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．把一元二次方程化成的形式，则的值为（    ）． A． B． C． D． 4．已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 5．已知为方程的一个根，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．5 6．如图，有一面积为的长方形鸡场，它的一边靠墙（墙长），另三边用总长为的竹篱笆围成，其中一边开有的门．设鸡场垂直于墙的一边为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 7．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 8．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根 9．某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（   ） A． B．2或 C．2或 D．2 10．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 11．根据一元二次方程可列表如下，则方程的一个根满足（   ） x 0.9 1 1.1 1.2 … 0.84 … A．根的整数部分是0，十分位是5 B．根的整数部分是0，十分位是8 C．根的整数部分是1，十分位是1 D．根的整数部分是1，十分位是2 12．已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了56个红包，设这个微信群共有x人，则可列方程为 ． 14．已知是方程的两个实数根，则的值为 ． 15．如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的且互相垂直的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程： 16．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是 ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．（12分）用适当方法解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 18．（10分）王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一部分（如图）． (1)当时，求手掌遮住的部分的值； (2)若手掌遮住的部分为，求x的值． 19．（10分）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为． (1)用含有x的代数式表示平行于墙长一边使用的篱笆的长度； (2)求x的值． 20．（10分）关于 x 的一元二次方程有实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时 m 的值． 21．（10分）某商场准备对去年购进的一批进价为每件40元的T恤进行过季处理，若每件T恤的售价定为30元亏本销售时，可售出50件，若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理． (1)若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价多少元？ (2)商场将100件T恤进行降价处理，处理不了的积压在仓库，一共亏损了2080元，求每件T恤的售价为多少元？ 22．（10分）“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 23．（12分）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3) 小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 24．（12分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 25．（12分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$