第二章 有理数及其运算（拔高卷）2025－2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第二章 有理数及其运算（拔高卷） 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．的倒数是（    ） A．2 025 B． C． D． 2．为了迎接体育节，温州市某小学买了8个足球和11个篮球共花费了1152元，如果买16个足球和6个篮球所花费的钱一样多，那么一个篮球的价格是（   ） A．70元 B．71元 C．72元 D．73元 3．下列各对数中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．在某次例行体温检查中，检查人员将高出的部分记作正数，将低于的部分记作负数，体温正好是时记作“0”．一名人员在一周内的体温测量结果（单位：）分别为，，，，，，，那么该人员一周内体温测量结果的平均值为（   ） A． B． C． D． 5．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．按上述规定计算的值为（   ） A． B． C． D． 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 8．数轴上的三点、、所表示的数分别为、、且满足，，则原点在（ ） A．点A左侧 B．点A和点之间（不含点A点） C．点和点之间（不含点点） D．点右侧 9．在下面五个说法中正确的有（   ） ①互为相反数的两个数的绝对值相等 ②正数的绝对值等于它本身 ③一个数的相反数等于它本身，这个数是 ④没有最大的整数 ⑤几个有理数相乘，如果负因数有奇数个，则积为负数． A．个 B．个 C．个 D．个 10．小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（   ） A．向右移动2个单位长度 B．向左移动2个单位长度 C．向右移动4个单位长度 D．向左移动4个单位长度 11．如图所示，将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a，b，c分别表示其中的一个数，则的值为（   ） 4 a 2 1 3 b 5 c A． B． C．0 D．5 12．第14届国际数学教育大会于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原型，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号可以用于记数，如图①，图②中八卦符号表示成二进制数为，，转化成十进制数分别为，，则十进制数6用八卦符号表示是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．某条河流的水位第一天上升了，第二天下降了，第三天又下降了，第四天又上升了．经测量得知此时的水位为，则该河流的初始水位为 ． 14．四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有 人． 15．若，则 ． 16．在我国古代著名哲学著作《庄子•天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取一半，万世不竭．”这句话的大意是：“一尺长的木棒，第一天取一半，第二天取走剩下的一半，以后每天取走前一天所剩下的一半．这样下去，永远也取不尽．”按上面的取法，从星期一算起，到星期五，这根木棒还剩下 尺． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．计算：（12分） (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（10分）学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了一道这样的题目：计算，看谁算得又快又对． 小瑞很快给出了他的解法：原式． 小晨经过思考后也给出了他的解法： 原式 ________________ ________ ________． (1)请补全小晨的解题过程． (2)你还有不同于小瑞、小晨的解法吗？ (3)用你认为最合适的方法计算：． 19．（10分）已知一列数：，，，，． (1)将这一列数在数轴上分别表示出来； (2)用“＜”把这列数连起来； (3)在数轴上找出互为相反数的一对数是：______． 20．（10分）学校为了迎接新同学，假期里开展了教室墙面的油漆工程，油漆工共做工时，用了升油漆，已知油漆每升元，共粉刷，在结算工钱时，有以下几种结算方案：方案一：按工时算，每5工时为元；方案二：按油漆费用来算，油漆费用的为工钱；方案三：按粉刷面积来算，每为元．请你帮学校总务处算一下，用哪种方案最省钱？ 21．（10分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示： (1)在数轴上分别用A，B两点表示，； (2)若数b与表示的点相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (3)在（2）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，则a与表示的数是多少？ 22．（10分）下表是小明记录的今年雨季一周河水的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位） 星期 一 二 三 四 五 六 七 水位变化/米 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． (1)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？ (2)与上周相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？ 23．（12分）“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 24．（12分）阅读材料： 求值：． 解：设① 将等式两边同时乘2，得② 得，， 即 请你仿照此法计算： (1)； (2)； (3)．（其中为正整数） 25．（12分）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第二章 有理数及其运算（基础卷） 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．的倒数是（    ） A．2 025 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的倒数是． 故选：B． 2．为了迎接体育节，温州市某小学买了8个足球和11个篮球共花费了1152元，如果买16个足球和6个篮球所花费的钱一样多，那么一个篮球的价格是（   ） A．70元 B．71元 C．72元 D．73元 【答案】C 【详解】解：∵8个足球和11个篮球的花费与16个足球和6个篮球的花费一样多， ∴8个足球的价格等于5个篮球的价格， ∴一个篮球的价格为： （元）， 故选：C． 3．下列各对数中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：A. 与，数值不相等； B. 与，数值相等； C. 与，数值不相等； D. 与，数值不相等； 故选：B． 4．在某次例行体温检查中，检查人员将高出的部分记作正数，将低于的部分记作负数，体温正好是时记作“0”．一名人员在一周内的体温测量结果（单位：）分别为，，，，，，，那么该人员一周内体温测量结果的平均值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，检查人员将高出的部分记作正数，将低于的部分记作负数，体温正好是时记作“”得： 这位人员在一周内的体温分别是，，，，，， 则该人员一周内体温测量结果的平均值为． 故选：D ． 5．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原变形错误，不符合题意； B、，原变形错误，不符合题意； C、 ，原变形错误，不符合题意； D、 ，原变形正确，符合题意； 故选：D ． 6．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．按上述规定计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴． 故选：A． 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ， 故选：D． 8．数轴上的三点、、所表示的数分别为、、且满足，，则原点在（ ） A．点A左侧 B．点A和点之间（不含点A点） C．点和点之间（不含点点） D．点右侧 【答案】B 【详解】解：由图可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴原点在点A点B之间（不含点A点B）． 故选B． 9．在下面五个说法中正确的有（   ） ①互为相反数的两个数的绝对值相等 ②正数的绝对值等于它本身 ③一个数的相反数等于它本身，这个数是 ④没有最大的整数 ⑤几个有理数相乘，如果负因数有奇数个，则积为负数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：互为相反数的两个数的绝对值相等，故①正确； 正数的绝对值等于它本身，故②正确； 一个数的相反数等于它本身，这个数是，故③正确； 没有最大的整数，故④正确； 几个有理数相乘，如果有因数为，则积为，故⑤错误； 即正确的有个， 故选：D 10．小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（   ） A．向右移动2个单位长度 B．向左移动2个单位长度 C．向右移动4个单位长度 D．向左移动4个单位长度 【答案】C 【详解】解：点原本表示的数为，现在却落在的相反数即处， 这两个位置之间的距离为个单位长度． 即点错误位置与正确位置相差个单位长度． 由于是数轴的原点标错了位置才导致点位置错误，而点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度， 所以要想把数轴画正确，原点应向右移动个单位长度． 故选：C． 11．如图所示，将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a，b，c分别表示其中的一个数，则的值为（   ） 4 a 2 1 3 b 5 c A． B． C．0 D．5 【答案】A 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， 故选：A． 12．第14届国际数学教育大会于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原型，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号可以用于记数，如图①，图②中八卦符号表示成二进制数为，，转化成十进制数分别为，，则十进制数6用八卦符号表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 根据十进制数换算成二进制数的方法计算即可． 【详解】解： ∴十进制数6换算成二进制数为 ∴用八卦符号表示是： ． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．某条河流的水位第一天上升了，第二天下降了，第三天又下降了，第四天又上升了．经测量得知此时的水位为，则该河流的初始水位为 ． 【答案】67.6 本题考查了有理数加减混合运算的实际应用．正确的列出算式是解题的关键． 【详解】解：该河流的初始水位为： 故答案为：67.6． 14．四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有 人． 【答案】12 【详解】解：∵四（1）班有46人，会弹钢琴的有30人， ∴不会弹钢琴的有（人）， 假设不会弹钢琴的这16人都会拉小提琴，则会弹钢琴的这30个人中会拉小提琴的有（人）， ∴这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有（人）． 故答案为：12． 15．若，则 ． 【答案】5 【详解】解：， ， ， ． 故答案为： 16．在我国古代著名哲学著作《庄子•天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取一半，万世不竭．”这句话的大意是：“一尺长的木棒，第一天取一半，第二天取走剩下的一半，以后每天取走前一天所剩下的一半．这样下去，永远也取不尽．”按上面的取法，从星期一算起，到星期五，这根木棒还剩下 尺． 【答案】 【详解】解：第一天截取后剩余的长度为：（尺）； 第二天截取后剩余的长度为：（尺）； 第三天截取后剩余的长度为：（尺）； …… 第五天截取后剩余的长度为：（尺）． 故答案为： 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．计算：（12分） (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)18； (4)14． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（10分）学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了一道这样的题目：计算，看谁算得又快又对． 小瑞很快给出了他的解法：原式． 小晨经过思考后也给出了他的解法： 原式 ________________ ________ ________． (1)请补全小晨的解题过程． (2)你还有不同于小瑞、小晨的解法吗？ (3)用你认为最合适的方法计算：． 【答案】(1)；；； (2)有，见解析 (3) 【小题1】解：原式 故答案为： 、   、  、. 【小题2】解：有，可以这样计算： 原式 【小题3】解： 19．（10分）已知一列数：，，，，． (1)将这一列数在数轴上分别表示出来； (2)用“＜”把这列数连起来； (3)在数轴上找出互为相反数的一对数是：______． 【答案】(1)见详解 (2) (3)和 【详解】（1）解：，，， 将，，，，在数轴上分别表示出来，如图所示： （2）解：依题意，． （3）解：， 观察数轴，与分别在原点两侧，且距离原点距离相等， 即互为相反数的一对数是与． 20．（10分）学校为了迎接新同学，假期里开展了教室墙面的油漆工程，油漆工共做工时，用了升油漆，已知油漆每升元，共粉刷，在结算工钱时，有以下几种结算方案：方案一：按工时算，每5工时为元；方案二：按油漆费用来算，油漆费用的为工钱；方案三：按粉刷面积来算，每为元．请你帮学校总务处算一下，用哪种方案最省钱？ 【答案】第二种方案最省钱 【详解】解：方案一：按工时算，工资为（元）； 方案二：按油漆费用算，工资为（元）； 方案三：按粉刷面积算，工资为（元）； 因为， 所以方案二最省钱． 21．（10分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示： (1)在数轴上分别用A，B两点表示，； (2)若数b与表示的点相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (3)在（2）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，则a与表示的数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)b表示的数是，表示的数是10 (3)a表示的数是5，则表示的数是 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵数b与表示的点相距20个单位长度， ∴b和对应的点到原点的距离为10， ∴b表示的数是，表示的数是10； （3）解：∵数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，b表示的数是， ∴a表示的数是5，则表示的数是． 22．（10分）下表是小明记录的今年雨季一周河水的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位） 星期 一 二 三 四 五 六 七 水位变化/米 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． (1)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？ (2)与上周相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？ 【答案】(1)本周星期二河流水位最高，位于警戒水位之上米，星期一河流的水位最低，位于警戒水位之上米． (2)与上周相比，本周的水位上升了 【详解】（1）解：（1）根据题意，设警戒水位为0，则： 星期一为：米， 星期二为：米， 星期三为：米， 星期四为：米， 星期五为：米， 星期六为：米， 星期日为：米． ∴本周星期二河流水位最高，位于警戒水位之上米，星期一河流的水位最低，位于警戒水位之上米． （2）根据题意，得： ， ∵， ∴与上周相比，本周的水位上升了． 23．（12分）“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)① 【详解】（1）解：由题意可得：，， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故这张牌还能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数， 故答案为：①． 24．（12分）阅读材料： 求值：． 解：设① 将等式两边同时乘2，得② 得，， 即 请你仿照此法计算： (1)； (2)； (3)．（其中为正整数） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：设①， 将等式两边同时乘2，得②， 得，， 即； （2）解：设①， 将等式两边同时乘3，得②， 得，，则， 即； （3）解：设①， 将等式两边同时乘3，得②， 得，，则， 即． 25．（12分）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 【答案】(1) (2)3； 【详解】（1）解：依题意，表示的点与的点之间的距离表示为， 故答案为：． （2）解：可以表示的点与表示1的点的距离，跟表示的点与表示的点之间的距离的和，如图所 当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为， 即的最小值是，且此时的值为． 故答案为：，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$