精品解析：安徽省部分学校2025-2026学年高三上学期学情检测数学试卷

高三学情检测 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则化简求出，结合复数虚部定义即可求解. 【详解】由题可得， 所以. z的虚部为. 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合,然后利用并集运算求解可得答案. 【详解】由已知，，所以. 故选：D 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用坐标表示条件中两个向量，根据平行条件列方程求解 【详解】，. 因为，所以，解得. 故选：B 4. 已知点为圆 上两点，，点为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心及半径，由求解即可. 【详解】由题可得圆心坐标为，半径， 因为点为线段的中点，， 则. 故选：C. 5. 已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，若点P在第一象限，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再由抛物线的定义可得点的坐标. 【详解】将抛物线化为标准方程为，则抛物线的焦点坐标为，准线方程为. 设抛物线上一点，，由抛物线的定义可知，解得，所以点P的坐标为. 故选：C. 6. 若正四棱台上、下底面的面积分别为1，16，高为2，则此四棱台的体积与表面积的数值之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意求出四棱台的体积和表面积，进而得到比值即可. 【详解】因为正四棱台上、下底的面积分别为1，16， 所以上、下底面的正方形边长分别为1和4， 因为高为2，所以斜高为，所以四棱台的体积为， 由四棱台的表面积公式得表面积为， 故此四棱台的体积与表面积的数值之比为，故B正确. 故选：B. 7. 若，，且都为锐角，则（    ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先求，，再根据，利用两角差的正弦公式求值. 【详解】由题意可知，由可知，所以， 从而， 若，则， 从而， 又，矛盾. 故，由得， 故选：D 8. 已知函数的定义域为，，函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 0 C. 1014 D. 2028 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴定义得出对称轴，再由直线对称得出，进而得出函数周期，最后根据周期性得出函数值即可. 【详解】因为，即，故的图象关于直线对称. 由的图象关于直线对称得， 即对任意x恒成立，则， 又，所以，即， 所以，所以是周期为6的周期函数. 所以，. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（，）的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. B. 图象的一个对称中心为 C. 是偶函数 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合题意和正弦函数的周期性求解参数判断A，结合图象和求出，再代入判断B，先求出，再利用余弦函数的性质得到其为偶函数判断C，利用函数伸缩的性质判断D即可. 【详解】对于A，由图象可得，故， 可得，解得，故A错误； 对于B，由已知得，而， 故，，解得，， 而，可得，故， 则，故B错误； 对于C，由题意得， 由余弦函数性质得是偶函数，故C正确； 对于D，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象，故D错误. 故选：ABD. 10. 在光纤通信中，信息通过由0和1组成的有序数组（称为字）表示，字长（字的位数）为．定义为两个字长相同的字和在相同位置上不同字符的个数．例如，时，．则下列选项正确的有（    ） A. 若字长，则存在两个字和使得 B. 若字长，则对于任意字，满足的字共有8个 C. 若，则满足的字中，有且仅有3个连续的1的的概率为 D. 若，其中，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由的定义即可分析求解判断AB；先求出满足的字的个数，接着求出3个连续的1的Y的个数即可求解判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，当时，例如时，，故A正确； 对于B，时，满足的的个数为，故B错误； 对于C，，满足的字的个数为， 3个连续的1的位置有4种（1－3，2－4，3－5，4－6），故满足题意的概率为，故C正确； 对于D，令，则，设， 于是，此时，故D错误． 故选：AC 11. 已知曲线．下列结论正确的是（    ） A. 曲线关于点对称 B. 曲线与直线有两个交点 C. 曲线恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点） D. 曲线上任意两点，当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，设点在曲线上，验证点关于的对称点是否在曲线上即可判断；对于B，联立曲线与直线方程即可求解判断；对于C，由时，原方程不成立将曲线变形为，再结合均为整数时分析即可求解判断；对于D，设，依次计算和的最小值，再由曲线关于点成中心对称得到三点共线时最小即可求解判断. 【详解】对于A，设点在曲线上，则点关于的对称点为， 将代入曲线的方程得 ， 则也在曲线上，故曲线关于点对称，故A正确； 对于B，联立，消去并整理可得，此时， 故曲线与直线只有一个交点，故B错误； 对于C，当时，原方程不成立，故曲线可变形为， 若横、纵坐标均为整数，则必须为整数，故或， 当时，；当时，， 故曲线恰好经过两个整点（和，故C正确； 对于D，由C可知，设， 因为， 令，则， ， 当且仅当，即时等号成立，同理， 由A知曲线关于点成中心对称， 所以当和都最小时，三点共线，此时最小， 所以，故D错误． 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中x的系数为______. 【答案】11 【解析】 【分析】按第一个括号内的数分类，再利用二项式定理的通项公式求解. 【详解】当第一个括号取2，第二个括号取的一次项时，展开式中的系数为； 当第一个括号取，第二个括号取常数项时，展开式中的系数为， 故展开式中的系数为. 故答案为：11 13. 在中，角所对的边分别为，若为的内心，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，，利用正弦定理得到，再根据二倍角公式得到，求解并根据三角形面积公式可得内接圆半径，进而可得结果. 【详解】在中，因为，所以， 由正弦定理，且，得， 即， 所以， 即， 所以， 所以． 又因为，所以，所以 故． 因为，所以． 因为是直角三角形，所以内切圆的半径为， 所以的面积为． 故答案为：. 14. 若函数的最小值为1，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】把函数化成，再令，利用导数可求出取到最小值时的的值，再由关于的方程有解，可求出. 【详解】， 令，原式可化为，， 当，，单调递增；当，，单调递减， 则时，取得最小值1，所以有解，即有解. 记，， 当，，在单调递增， 当，，在单调递减. 故，且当，，，， 所以，得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与x轴平行，求实数a的值； （2）若，求的单调区间. 【答案】（1） （2）单调增区间为，单调减区间为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）根据导数与函数单调性的关系，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，则， 又因为曲线在点处的切线与x轴平行， 故，解得. 【小问2详解】 时，，定义域为， ，令可得， 当时，，当时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为. 16. 广州国际龙舟邀请赛是一项具有岭南区域特色的文化体育活动，为广州建设“全国一流、国际瞩目的体育强市”发挥着越来越大的积极推进作用，其秉承“以水为桥、以舟会友”的宗旨内涵和外延的意义将更加深远．每年五月，龙舟风弥漫珠江，吹遍广州各个角落．组织推广龙舟赛，目的是要弘扬民俗文化，宣传“精诚合作、奋勇向前”的龙舟精神．某调查机构为调查广州市民是否关注龙舟比赛情况，随机抽取男女市民共200名进行调查，得到如下统计结果： 关注 不关注 合计 男 100 女 30 80 合计 200 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断广州市民是否关注龙舟比赛与性别有无关联； （2）将样本中关注龙舟比赛的市民的频率作为广州市民关注比赛的概率，从广州市民中随机抽取3人，记为这3人中关注龙舟比赛的人数，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，与性别有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据表格数据直接填列联表即可，接着计算卡方值，再根据小概率值的独立性检验思想方法即可求解； （2）先求出样本中广州市民关注龙舟比赛的频率得到，接着求出的可能取值以及相应的概率即可求得分布列，再由期望公式计算求解期望即可. 【小问1详解】 列联表补充如下： 关注 不关注 合计 男 100 20 120 女 50 30 80 合计 150 50 200 零假设：广州市民是否关注龙舟比赛与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，可推断零假设不成立， 故认为广州市民是否关注龙舟比赛与性别有关； 【小问2详解】 样本中广州市民关注龙舟比赛的频率为， 则由题意可知，且的可能取值为0，1，2，3， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，，，P，A，B，C在同一个球面上，球心为O. （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）设，N为PC的中点且H，A，O，N四点共面，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法，即可求得答案；（ii）根据H，A，O，N四点共面，则存在实数a，b，使得，由此列式求解，即得答案. 【小问1详解】 证明：因为平面，平面，所以， 又，平面，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 （i）解：在四边形中，因为，，， 故； 又，，则，所以， 结合，则， 以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知平面，平面，故， 因为P，A，B，C在同一个球面上，且为直角，即可得PB的中点到的距离均相等， 故为外接球直径，则球心O为PB的中点， 则，，，，， 所以，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即，令，得，，所以， 设与平面所成角为， 则. （ii）解：因为分别为的中点，所以， 所以，，由（i）知， ， H，A，O，N四点共面，存在实数a，b，使得， 即， ，解得. 18. 已知双曲线的离心率为2，点在上． （1）求的渐近线方程； （2）若直线交双曲线的右支于两点，线段的垂直平分线过点． （i）求与之间的数量关系式； （ii）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组求出双曲线方程即可得渐近线方程； （2）（i）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理求出中点的坐标，再利用即可与之间的数量关系式； （ii）先由（i）依次求出、，接着由即可求出，再由即可得解. 【小问1详解】 因为点在双曲线上，所以， 又离心率为2，则， 联立，解得， 故双曲线方程为，渐近线方程为； 【小问2详解】 （i）设， 联立，则， 所以，即， 且， 则， 则的中点为，即， 因为线段的垂直平分线过点，则，整理得； （ii）由（i）知，则， 则，则，解得． 又 则． 又，则，即， 又，则的取值范围为． 19. 已知数列是公比大于1的等比数列，，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）对于数列，规定为数列的1阶差分数列，其中，一般地，规定为数列的阶差分数列，其中.若，不等式对恒成立，求整数的最大值； （3）令，其中．证明：． 【答案】（1） （2）3 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，结合，成等差数列，即可求解； （2）根据定义化简不等式，并构造新数列，结合其单调性，即可求解； （3）利用指数函数性质得到，对进行缩放，再结合等比数列求和公式进行简化即可得证. 【小问1详解】 因为是公比大于1的等比数列，则设. 又，成等差数列， 即，解得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列． 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， ， 不等式， 即， 等价于. 当时，，当时，， 记， 所以时，，即，则递减， 又当时，，所以的最大项是， 所以，即， 所以整数的最大值为3. 【小问3详解】 由已知，其中， 所以， 故， 即，由（1）知， 所以 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三学情检测 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点为圆 上两点，，点为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，若点P在第一象限，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若正四棱台上、下底面的面积分别为1，16，高为2，则此四棱台的体积与表面积的数值之比为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，且都为锐角，则（    ） A. B. C. D. 1 8. 已知函数的定义域为，，函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 0 C. 1014 D. 2028 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（，）的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. B. 图象的一个对称中心为 C. 是偶函数 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象 10. 在光纤通信中，信息通过由0和1组成的有序数组（称为字）表示，字长（字的位数）为．定义为两个字长相同的字和在相同位置上不同字符的个数．例如，时，．则下列选项正确的有（    ） A. 若字长，则存在两个字和使得 B. 若字长，则对于任意字，满足的字共有8个 C. 若，则满足的字中，有且仅有3个连续的1的的概率为 D. 若，其中，则 11. 已知曲线．下列结论正确的是（    ） A. 曲线关于点对称 B. 曲线与直线有两个交点 C. 曲线恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点） D. 曲线上任意两点，当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中x的系数为______. 13. 在中，角所对的边分别为，若为的内心，则的面积为_____． 14. 若函数的最小值为1，则实数a的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与x轴平行，求实数a的值； （2）若，求的单调区间. 16. 广州国际龙舟邀请赛是一项具有岭南区域特色的文化体育活动，为广州建设“全国一流、国际瞩目的体育强市”发挥着越来越大的积极推进作用，其秉承“以水为桥、以舟会友”的宗旨内涵和外延的意义将更加深远．每年五月，龙舟风弥漫珠江，吹遍广州各个角落．组织推广龙舟赛，目的是要弘扬民俗文化，宣传“精诚合作、奋勇向前”的龙舟精神．某调查机构为调查广州市民是否关注龙舟比赛情况，随机抽取男女市民共200名进行调查，得到如下统计结果： 关注 不关注 合计 男 100 女 30 80 合计 200 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断广州市民是否关注龙舟比赛与性别有无关联； （2）将样本中关注龙舟比赛的市民的频率作为广州市民关注比赛的概率，从广州市民中随机抽取3人，记为这3人中关注龙舟比赛的人数，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，，，P，A，B，C在同一个球面上，球心为O. （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）设，N为PC的中点且H，A，O，N四点共面，求实数的值. 18. 已知双曲线的离心率为2，点在上． （1）求的渐近线方程； （2）若直线交双曲线的右支于两点，线段的垂直平分线过点． （i）求与之间的数量关系式； （ii）求的取值范围． 19. 已知数列是公比大于1的等比数列，，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）对于数列，规定为数列的1阶差分数列，其中，一般地，规定为数列的阶差分数列，其中.若，不等式对恒成立，求整数的最大值； （3）令，其中．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $