精品解析：北京市第五中学2025-2026学年高三上学期开学检测数学试题

2025—2026学年度第一学期开学检测卷 高三数学 一、选择题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义和二倍角公式即可求得结果. 【详解】由题意，因为角的终边与单位圆交于点， 所以. 根据二倍角公式可得. 故答案为：A. 3. 小华设计了一个抽奖活动：袋中装有大小相同的2个红球、2个白球、3个黑球，从袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出从袋子中随机摸出两个球的情况数和两球的颜色相同的情况数，相除得到答案. 【详解】袋子中共有7个球，随机摸出两个球，共有种情况， 其中两球的颜色相同的情况为2红，2白或2黑，共有种情况， 故该抽奖活动的中奖率为. 故选：B 4. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以将函数的图象向左平移个单位，选D. 考点：三角函数图像变换 【易错点睛】对y＝Asin（ωx＋φ）进行图象变换时应注意以下两点： （1）平移变换时，x变为x±a（a＞0），变换后的函数解析式为y＝Asin[ω（x±a）＋φ]； （2）伸缩变换时，x变为（横坐标变为原来的k倍），变换后的函数解析式为y＝Asin（x＋φ）． 5. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 6. 已知．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】当时，则，当且仅当时取等，所以充分性成立， 取，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强（Pa）随海拔高度（m）的变化规律是（m-1），是海平面大气压强.已知在某高山两处测得的大气压强分别为，，那么两处的海拔高度的差约为（ ） （参考数据：） A. 550m B. 1818m C. 5500m D. 8732m 【答案】C 【解析】 【分析】根据以及指数的运算即可求解. 【详解】在某高山两处海拔高度为， 所以， 所以， 所以（m）. 故选：C 8. 已知函数的最小正周期为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】整体代换法求得函数对称中心的横坐标，结合题设条件，得出，进而求得的最小值． 【详解】由题意，函数，又因为最小正周期为，所以，所以 令，解得 则函数的对称中心的横坐标为， 又因为，函数关于对称，函数在上单调， 所以， 当时，，即的最小值为. 故选：B. 9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出当时的解析式，再求出及目标值. 【详解】当时，，令，则，， 因此当时，，由函数是上的奇函数，， 得，则，解得， 所以. 故选：C 10. 已知函数若，，使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得的取值范围为.求得，对进行分类讨论，由的取值范围包含来求得的取值范围. 【详解】当时，函数是减函数，，所以； 当时，，， ①若，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以， 所以，即，解得； ②若，则，在上单调递增， 此时值域为，符合题意. ③当时，的值域为，不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】求解存在性、恒成立问题，可转化为求值域来进行求解. 二、填空题 11. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别考虑根式和对数函数的定义域要求，然后取它们的交集即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 12. 已知，且，．写出满足条件的一组，的值________，________． 【答案】 ①. ；（答案不唯一） ②. .（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题设条件可判断，继而得到，结合，可得的值，接着选择的值. 【详解】因且，则，故， 又，故或，而且且. 故答案为：；.（答案不唯一） 13. 已知，则________，________． 【答案】 ①. 1 ②. 16 【解析】 【分析】令可求得；分别令和，可求得的值. 【详解】在中， 令可得； 再令，可得， 再令，可得. 两式相减，得：， 故有. 故答案为：1；16 14. 已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题可以求并讨论其在上的正负，根据在上的单调性判断函数的值域，从而求出在上没有零点时的取值范围. 【详解】由题得，令，即， 解得或. 根据与大小进行分类讨论如下： (1)当，即时，在区间上，， 所以在上单调递增，又，所以在上没有零点，满足条件； (2)当，即时，在区间上，，即单调递减， 在上，，即单调递增， 所以在处取得极小值，也即是区间上的最小值. 因为在上没有零点，所以， 又，于是， 解得，结合，此时. 综上所述. 故答案为：. 15. 华人数学家李天岩和美因数学家约克给出了“混沌的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点. 给出下列四个结论： ①若，则存在唯一一个周期为1的周期点； ②若，则存在周期为2的周期点； ③若，则存在周期为3的周期点； ④若，则对任意正整数，都不是的周期为的周期点． 其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据周期点的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对①：，当时，， 解得，故存在唯一一个周期为1的周期点； 对②：，当时，， 解得，但当时，，不满足题意， 故，不存在周期为2的周期点； 对③：，不妨取，则， ，显然存在周期为3的周期点； 对④：， 故 对任意正整数，都不是的周期为的周期点. 综上所述，正确的是：①③④. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，处理问题的关键是充分把握周期点的定义，以及对函数性质的灵活应用，属综合中档题. 三、解答题 16. 如图，在六面体中，D为的中点，四边形为矩形，且，，． （1）求证：平面； （2）已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形得，结合条件，利用线线垂直证线面垂直即可； （2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因四边形为矩形，则， 因，平面， 故平面. 【小问2详解】 由（1）平面，平面， 则得，又， 故可以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系. 因，，则，又D为的中点， 则得， 于是， 设平面的法向量为， 则，故可取； 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面与平面的夹角为， 则. 17. 已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题． （1）求的值； （2）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围． 条件①：； 条件②：是的一个零点； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） 任选条件②③，． （2） 【解析】 【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解； （2）由和差角公式以及辅助角公式化简，由整体法即可代入求解. 【小问1详解】 选条件①：无意义， 所以选条件①时不存在，故不能选①， 选条件②， 由题设，所以． 因为， 所以，所以． 所以． 选条件③，由题设．整理得． 以下同选条件②． 【小问2详解】 由（1）， 因为， 所以． 于是，当且仅当，即时，取得最大值； 当且仅当，即时，取得最小值． 又，即时，． 且当 时， 单调递增， 所以曲线与直线恰有一个公共点，则或， 的取值范围是． 18. 为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验，为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如表： 传统艺术活动 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 书画 古琴 汉服 戏曲 面塑 高一体验人数 80 45 55 20 45 高二体验人数 40 60 60 80 40 高三体验人数 15 50 40 75 30 （1）从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率； （2）利用频率估计概率，从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，设这三名学生中参加戏曲体验的人数为，求的分布列及数学期望； （3）为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取名学生进行访谈，设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，当取得最大值时，写出的值，及对应的值．（直接写出答案即可） 【答案】（1） （2）分布列答案见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）结合古典概型可直接求解； （2）分别求出三个年级中任选一名体验的学生参加体验戏曲的概率，分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）结合相互独立事件概率公式求出，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，样本中学生共有人， 其中体验戏曲活动的学生共人， 设事件为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”， 故所求概率为. 【小问2详解】 解：从高一、高二、高三年级的体验学生中各随机选取1名学生， 抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为， 抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为， 抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 所以，， ， ， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 因此，. 【小问3详解】 解：由题可知，，， ，，， 故，所以当取得最大值时，. 19. 已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为． （1）求椭圆的方程： （2）过右焦点的直线交椭圆于两点．若轴上一点满足，求直线斜率的值． 【答案】（1） （2）或或. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义求出，根据离心率，求出，可得，即可求椭圆的方程； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、中点坐标公式，可得的中点坐标，分类讨论，利用，可得方程，即可求直线斜率的值． 【小问1详解】 ， ，， 椭圆的标准方程为 【小问2详解】 已知，设直线的方程为，，， 联立直线与椭圆方程，化简得：， 因为该直线过的定点在椭圆内部，则其与椭圆必有两交点， ， ， 的中点坐标为， 时，满足条件，此时的中垂线为； 当时，，得到MG所在的直线与直线l垂直， ， 整理得，解得或 所以或或. 20. 已知函数，，在处取得极大值1. （1）求和的值； （2）当时，曲线在曲线的上方，求实数的取值范围. （3）设，证明：存在两条与曲线和都相切的直线. 【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得导函数，由及求解； （2）由在上恒成立，用分离参数法转化为求函数最值； （3）假设存在与曲线和曲线都相切的直线，设切点坐标分别为，，由导数的几何意义求得，首先求得的关系，消元得出关于的方程，引入新函数，证明新函数有两个零点即可证． 【详解】解：（1）. 由已知，， 解得，.经检验，满足题意. 所以，. （2），.. 依题意对任意的恒成立. 所以对任意的恒成立. 令，， ， 令，， 所以，令，所以. 因为当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 当时，函数的最小值为，且. 所以，即.在上单调递增， 所以， 所以，故实数的取值范围为. （3）假设存在与曲线和曲线都相切的直线， 设切点坐标分别为，. 因为，所以的方程为. 因为，所以的方程为. 所以，消去得.……①. 令，， 所以， 所以，在区间上，，是减函数；在区间上，， 是增函数. 所以，当时，函数的最小值为. 又因为， ， 所以函数在上有两个零点，即方程①有两个不等的正实根， 由方程可得有两个不同的值， 所以有两组不同的解，直线有两条， 所以存在两条与曲线和都相切的直线. 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求极值，考查导数的几何意义，用导数求函数的最值．解题关键在于对问题进行转化，不等式恒成立问题转化为求函数的最值，公切线问题，转化为函数有两个零点．这些又都可以利用导数研究函数的性质得到证明． 21. 已知集合（，），若存在数阵满足： ①； ②． 则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． （1）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值； （2）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个； （3）判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由． 【答案】（1），，， （2） 如果是一个“好数阵”，则，. 从而，. 故也是一个“好数阵”. 由于是偶数，故，从而. 这就说明两数阵和的第1行第2列的数不相等，从而是不同的数阵. 设全体“好数阵”构成的集合为，并定义映射如下： 对，规定. 因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合. 而 ， 这就表明，从而是满射，由是有限集，知也是单射，从而是一一对应. 对“好数阵”，已证两数阵和是不同的数阵，故. 同时，对两个“好数阵”，，如果，则；如果，则. 所以当且仅当. 最后，对，由，称2元集合为一个“好对”. 对，若属于某个“好对”，则或，即或. 由于，故无论是还是，都有. 这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个. （3） 若是“好数阵”，则有 ， 所以，这表明一定是偶数. 若，设是“好数阵”，则，从而， 故. 由于，故，同理. 若，设，则，故，从而. 进一步有，而，故. 假设，设，则，故，则，. 由于，，故，. 此时，从而，，但此时，矛盾； 所以，故，分别尝试所有24种可能的对应方式，知符合条件的“好数阵”有，； 若，则，从而. 若，则或. 若，则，，分别尝试3种可能，知符合条件的“好数阵”有，. 若，则，，若，则，或且，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有； 若，则，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有； 若，则，假设，由于，，故，矛盾，所以. 对尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有，，，. 综上，全部的“好数阵”有，，，，，，，，，， 其中，满足的有，，，. 综上，是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，. 若，由于此时不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而不是“好集合”. 【解析】 【分析】（1）直接根据定义解出未知量的值； （2）可构造恰当的映射，以证明结论； （3）第三问可通过分类讨论求解问题. 【小问1详解】 由“好数阵”的定义，知，，，，故，，，，进一步得到，. 从而，，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：关键是第3小问需要较为繁琐的分类讨论，耐心尝试所有情况才可不重不漏. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期开学检测卷 高三数学 一、选择题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 3. 小华设计了一个抽奖活动：袋中装有大小相同的2个红球、2个白球、3个黑球，从袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为（ ） A. B. C. D. 4. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 5. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强（Pa）随海拔高度（m）的变化规律是（m-1），是海平面大气压强.已知在某高山两处测得的大气压强分别为，，那么两处的海拔高度的差约为（ ） （参考数据：） A. 550m B. 1818m C. 5500m D. 8732m 8. 已知函数的最小正周期为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. -1 10. 已知函数若，，使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 函数的定义域是__________. 12. 已知，且，．写出满足条件的一组，的值________，________． 13. 已知，则________，________． 14. 已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是_____． 15. 华人数学家李天岩和美因数学家约克给出了“混沌的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点. 给出下列四个结论： ①若，则存在唯一一个周期为1的周期点； ②若，则存在周期为2的周期点； ③若，则存在周期为3的周期点； ④若，则对任意正整数，都不是的周期为的周期点． 其中所有正确结论的序号是____________． 三、解答题 16. 如图，在六面体中，D为的中点，四边形为矩形，且，，． （1）求证：平面； （2）已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题． （1）求的值； （2）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围． 条件①：； 条件②：是的一个零点； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验，为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如表： 传统艺术活动 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 书画 古琴 汉服 戏曲 面塑 高一体验人数 80 45 55 20 45 高二体验人数 40 60 60 80 40 高三体验人数 15 50 40 75 30 （1）从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率； （2）利用频率估计概率，从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，设这三名学生中参加戏曲体验的人数为，求的分布列及数学期望； （3）为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取名学生进行访谈，设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，当取得最大值时，写出的值，及对应的值．（直接写出答案即可） 19. 已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为． （1）求椭圆的方程： （2）过右焦点的直线交椭圆于两点．若轴上一点满足，求直线斜率的值． 20. 已知函数，，在处取得极大值1. （1）求和的值； （2）当时，曲线在曲线的上方，求实数的取值范围. （3）设，证明：存在两条与曲线和都相切的直线. 21. 已知集合（，），若存在数阵满足： ①； ②． 则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． （1）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值； （2）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个； （3）判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $