2.3 直线的交点坐标与距离公式 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§2.3 直线的交点坐标与距离公式 目录 题型1：求交点坐标 4 题型2：由直线交点情况求参数 6 题型3：直线交点系方程 9 题型4：两点间距离公式的应用 11 题型5：点到直线距离公式的应用 18 题型6：两平行直线间距离公式的应用 24 题型7：对称问题的应用 26 题型8：坐标法在平面几何问题或实际问题上的应用 36 1. 两条直线的交点坐标 已知两条直线，，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上.所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 方程组解的组数与两条直线的位置关系： (1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； (3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合. 2. 两点间的距离公式 ，两点间的距离公式为：. (1) 公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：. (2) 原点到任意一点的距离为. (3) 当平行于轴时，；当平行于轴时，. (4) 已知斜率为的直线上的两点，，由两点间的距离公式可得. 3. 点到直线的距离公式 点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度,其中是垂足。因此，求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出|PQ|，就可以得到点P到直线l的距离. 点到直线的距离. (1) 实质上,点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离。 (2) 直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. 4. 两条平行直线间的距离 两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长. 两条平行直线，，它们之间的距离为： (1) 使用两条平行直线间的距离公式时，两条直线的方程都是一般式，且和的系数分别对应相等. (2) 两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离. 5. 中点坐标公式与三角形的重心坐标公式 (1) 中点坐标公式 设平面上两点,线段的中点为，则 . (2) 设的三个顶点坐标分别为，则的重心的坐标为. 6. 对称问题 (1) 点关于点对称 点关于点的对称点为。 (2) 解决直线关于点对称问题的方法 方法一:在未知直线上设一点(x,y),求出它关于已知点的对称点,再利用该点在已知直线上即可求直线方程。 方法二:在已知直线上取两点,根据点的中心对称的方法求出对称点,再由对称点确定对称直线。 方法三:利用对称直线与原直线平行设出直线方程,再利用对称点到两条直线的距离相等即可求出直线方程。 (3) 点关于直线的对称 设点关于直线的对称点为，则直线是线段的垂直平分线，即，的中点在直线上. (4) 直线关于直线的对称 1　 若已知直线与对称轴相交于点，则与对称的直线过点，再求出直线上一点关于对称轴的对称点，则由点与可求出直线的方程； 2　 若已知直线与对称轴平行，求与已知直线关于对称轴对称的直线，则设，然后在上找一点，求出点关于直线的对称点，再代入即可解出. 题型1：求交点坐标 【例1.1.】 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【例1.2.】 直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 直线，，若与只有一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 题型2：由直线交点情况求参数 方法提炼 三条直线相交问题的解题方法 (1) 已知三条直线相交于一点，求直线中的参数，只需求出其中两条直线的交点，利用该点也在第三条直线上即可求解. (2) 若已知三条直线有三个不同的交点，则需满足其中两条直线的交点不在第三条直线上且三条直线的斜率不同. 【例2.1.】 已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【例2.2.】 若关于的方程组有无穷多组解，则的值为 【例2.3.】 直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 【例2.4.】 若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 （多选）若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2.6.】 已知点在直线上，且点恰好是直线夹在两条直线与之间线段的一个三等分点，则直线的方程为 ．（写出一条即可） 题型3：直线交点系方程 方法提炼 过两条直线交点的直线系方程 设两条不平行的直线方程分别为（不同时为0），（不同时为0）.我们将直线方程: (其中m,n为参数,且m+n≠0)称为经过直线 与交点的直线系方程。当m=1,n=0时,此方程即为直线的方程:当m=0,n=1时,此方程即为直线的方程。 【例3.1.】 已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 【例3.2.】 已知直线与直线的交点为， (1)直线经过，且与直线垂直，求直线的方程： (2)直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 题型4：两点间距离公式的应用 方法提炼 (1) 已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时,设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解。 (2) 利用两点间距离公式可以判断三角形的形状。从三边长人手,如果有边长相等,则可能是等腰或等边三角形;如果满足勾股定理,则是直角三角形。 (3) 常见代数式的几何含义:①可以看作O(0,0)与P(x,y)两点间距离的平方;②可以看作P(x,y)与Q(a,b)两点间距离的平方。 【例4.1.】 在数轴上，已知的中点为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【例4.2.】 设，在x轴上有一点，使得，则x等于（    ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 【例4.3.】 设，若函数图象上任意一点满足，则 . 【例4.4.】 函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【例4.5.】 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ． 【例4.7.】 已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【例4.8.】 在直角坐标平面上，已知点，为线段上的动点，若恒成立，则正实数的最小值为 ． 【例4.9.】 已知，为等腰直角三角形，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型5：点到直线距离公式的应用 方法提炼 (1) 求点到直线的距离时,若给出的直线方程不是一般式,只需把直线方程化为一般式直接应用点到直线的距离公式求解即可。 (2) 若已知点到直线的距离求参数或直线方程时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可。 (3) 点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离,某些距离的最值问题可以转化为点到直线的距离问题来求解 (4) 因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等,因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题。 【例5.1.】 已知直线：，：，：，则，的交点到的距离为（    ） A． B．3 C．2 D．4 【例5.2.】 （多选）已知点到直线的距离相等，则实数m的值可以是（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 已知四边形的顶点的坐标分别为  则四边形的面积为（    ） A．24 B． C．12 D．6 【例5.4.】 已知O为坐标原点，直线上存在一点P，使得，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【例5.6.】 点是直线上任意一点，为坐标原点，则的最小值为 【例5.7.】 设定点，当到直线距离最大时，直线与轴的交点，则此时过点且与直线垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【例5.8.】 若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例5.9.】 在中，，，边BC的中点在轴上，点在轴上，且． (1)求直线AD的方程和AD的长； (2)求角B的平分线与直线的交点坐标． 题型6：两平行直线间距离公式的应用 方法提炼 (1) 两条平行直线间的距离公式是由在一条直线上任取一点到另一条直线的距离推导出来的,所以求平行直线间的距离的方法有两种：一种是直接利用推导出的公式求解；另一种是在其中一条直线上取一个特殊的点,转化为点到直线的距离求解。 (2) 如果两条平行直线的方程用斜截式方程表示为 ,那么两条平行直线间的距离. (3) 一般地,设,且与之间的距离为d,而过一定点的直线l被,截得的线段长度为a,若a<d,则l不存在;若a=d,则l唯一存在;若a>d,则l有两条。 【例6.1.】 两条平行直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【例6.2.】 两条平行直线和间的距离为，则分别为（   ） A． B． C． D． 【例6.3.】 已知平行直线和的距离为，则 . 【例6.4.】 已知，且满足，则的最小值为 ． 【例6.5.】 （多选）已知两平行直线，分别过点，，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值可为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型7：对称问题的应用 方法提炼 1. 求直线上一点到两定点的距离之和的方法 1　 当两定点在直线l的异侧时，由“两点之间线段最短”及“三角形的两边之和大于第三边”可知,当点P为AB连线与l的交点时点P到两定点的距离之和最小,且最小值为,如图所示.，当且仅当点与点重合时，等号成立; 2　 当两定点在直线l的同侧时，作点关于直线l的对称点，连接交直线l于点，则点到两定点的距离之和最小，且最小值为. 2. 求直线上一点到两定点的距离之差的绝对值的方法 1　 当两定点在直线l的同侧时，连接并延长，交直线l于点，如图所示.在则l上任取一点，则有，当点与点重合时，等号成立，最大值为; 2　 当两定点在直线l的异侧时，作点关于直线l的对称点，连接并延长，交直线l于点，在l上任取一点，则有 ，当点与点重合时，等号成立，最大值为; 3. 光线的入射、反射问题 根据平面几何知识和光学知识,入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称,即入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的,利用点的对称关系可以求解。 4. 关于角平分线的几个常用的几何特征 (1) 角平分线上任意一点到角两边的距离相等; (2) 角的两边所在直线关于角平分线所在直线对称; (3) 角的一边所在直线上的点关于角平分线所在直线的对称点在角的另一边所在直线上,特别地,在中,点A关于的平分线的对称点在直线BC上，点C关于的平分线的对称点在直线AB上； (4) 角平分线性质定理 在中，的平分线交BC所在直线于点D，则. 【例7.1.】 与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例7.2.】 若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【例7.3.】 已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 【例7.4.】 已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 【例7.5.】 下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 【例7.6.】 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【例7.7.】 已知两点、，直线，在直线上求一点． (1)使最小； (2)使最大． 【例7.8.】 已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C．108 D．117 【例7.9.】 已知点轴，，则周长的最小值为 ． 【例7.10.】 如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是 .    【例7.11.】 已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型8：坐标法在平面几何问题或实际问题上的应用 方法提炼 1. 坐标法又称为解析法,它就是通过建立平面直角坐标系,用坐标代替点,用方程代替曲线,用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法。 2. 建立平面直角坐标系的原则: 1　 若条件中只出现一个定点,常以定点为原点建立平面直角坐标系。 2　 若已知两个定点,常以两个定点的中点(或一个定点)为原点,两个定点所在的直线为x轴建立平面直角坐标系。 3　 若已知一个定点和一条定直线,常以定点到定直线的垂线段的中点为原点,以定点到定直线的垂线为x轴(或y轴)建立平面直角坐标系。 4　 若已知两条互相垂直的直线,则以它们为坐标轴建立平面直角坐标系。 【例8.1.】 已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 ． 【例8.2.】 如图，公路AM，AN围成的是一块顶角为α的角形土地，其中，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园． (1)以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为，求公路BC所在的直线方程． 【例8.3.】 如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为3，宽为2，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合.将矩形折叠，使点落在线段上，已知折痕所在直线的斜率为. （1）求折痕所在的直线方程； （2）若点为的中点，求的面积. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §2.3 直线的交点坐标与距离公式 目录 题型1：求交点坐标 4 题型2：由直线交点情况求参数 6 题型3：直线交点系方程 9 题型4：两点间距离公式的应用 11 题型5：点到直线距离公式的应用 18 题型6：两平行直线间距离公式的应用 24 题型7：对称问题的应用 26 题型8：坐标法在平面几何问题或实际问题上的应用 36 1. 两条直线的交点坐标 已知两条直线，，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上.所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 方程组解的组数与两条直线的位置关系： (1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； (3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合. 2. 两点间的距离公式 ，两点间的距离公式为：. (1) 公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：. (2) 原点到任意一点的距离为. (3) 当平行于轴时，；当平行于轴时，. (4) 已知斜率为的直线上的两点，，由两点间的距离公式可得. 3. 点到直线的距离公式 点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度,其中是垂足。因此，求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出|PQ|，就可以得到点P到直线l的距离. 点到直线的距离. (1) 实质上,点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离。 (2) 直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. 4. 两条平行直线间的距离 两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长. 两条平行直线，，它们之间的距离为： (1) 使用两条平行直线间的距离公式时，两条直线的方程都是一般式，且和的系数分别对应相等. (2) 两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离. 5. 中点坐标公式与三角形的重心坐标公式 (1) 中点坐标公式 设平面上两点,线段的中点为，则 . (2) 设的三个顶点坐标分别为，则的重心的坐标为. 6. 对称问题 (1) 点关于点对称 点关于点的对称点为。 (2) 解决直线关于点对称问题的方法 方法一:在未知直线上设一点(x,y),求出它关于已知点的对称点,再利用该点在已知直线上即可求直线方程。 方法二:在已知直线上取两点,根据点的中心对称的方法求出对称点,再由对称点确定对称直线。 方法三:利用对称直线与原直线平行设出直线方程,再利用对称点到两条直线的距离相等即可求出直线方程。 (3) 点关于直线的对称 设点关于直线的对称点为，则直线是线段的垂直平分线，即，的中点在直线上. (4) 直线关于直线的对称 1　 若已知直线与对称轴相交于点，则与对称的直线过点，再求出直线上一点关于对称轴的对称点，则由点与可求出直线的方程； 2　 若已知直线与对称轴平行，求与已知直线关于对称轴对称的直线，则设，然后在上找一点，求出点关于直线的对称点，再代入即可解出. 题型1：求交点坐标 【例1.1.】 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标、由方程组的解的个数判断直线位置关系 【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 【例1.2.】 直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、已知直线垂直求参数 【分析】先利用垂直关系求出，再代入方程联立求解交点. 【详解】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 【例1.3.】 直线，，若与只有一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由方程组的解的个数判断直线位置关系 【分析】根据题意，分析可得直线与相交，结合直线的方程分析可得，变形可得，即可得答案． 【详解】若与只有一个公共点，则与相交， 又直线，， 则，即. 故选：B 题型2：由直线交点情况求参数 方法提炼 三条直线相交问题的解题方法 (1) 已知三条直线相交于一点，求直线中的参数，只需求出其中两条直线的交点，利用该点也在第三条直线上即可求解. (2) 若已知三条直线有三个不同的交点，则需满足其中两条直线的交点不在第三条直线上且三条直线的斜率不同. 【例2.1.】 已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 【详解】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C 【例2.2.】 若关于的方程组有无穷多组解，则的值为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】方程组的解集 【分析】根据二元一次方程组有无穷多组解知两方程为同一方程，由此可求得，代入可得结果. 【详解】方程组有无穷多组解，与为同一方程， ，. 故答案为：. 【例2.3.】 直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标 【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解即得. 【详解】由直线与直线相交，得， 即，解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D 【例2.4.】 若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立两直线方程求出交点，即可根据第二象限的特征求解. 【详解】, 所以交点为,由于在第二象限，所以， 所以的取值范围为， 故选：D 【例2.5.】 （多选）若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数、已知直线平行求参数 【分析】由三条直线不能围成三角形，则三条直线中至少有两条直线平行或三条直线交于同一点列式可得结果. 【详解】设，，， 由，解得， 所以与的交点为， 因为三条直线不能围成三角形，所以过与的交点或或， 当过与的交点时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，的值为. 故选：ABD. 【例2.6.】 已知点在直线上，且点恰好是直线夹在两条直线与之间线段的一个三等分点，则直线的方程为 ．（写出一条即可） 【答案】或（其中一条即可） 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】设直线夹在直线、之间的部分是，且被三等分，设，，依题意可得或，再结合、分别在直线、上，求出、坐标，即可求出直线的方程. 【详解】设直线夹在直线、之间的部分是，且被三等分， 设，，则或， 所以或， 又、分别在直线、上，所以，， 解得、或、， 所以，或，， 则直线的方程为或， 整理得或. 故答案为：或（其中一条即可） 题型3：直线交点系方程 方法提炼 过两条直线交点的直线系方程 设两条不平行的直线方程分别为（不同时为0），（不同时为0）.我们将直线方程: (其中m,n为参数,且m+n≠0)称为经过直线 与交点的直线系方程。当m=1,n=0时,此方程即为直线的方程:当m=0,n=1时,此方程即为直线的方程。 【例3.1.】 已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线交点系方程及应用、由两条直线平行求方程 【分析】（1）设出过直线和交点的直线方程，把点代入方程求出参数，再化简即可求出所求直线. （2）由两直线平行的性质，列方程求出对应的参数，再化简即可求出所求直线. 【详解】（1）设过直线和交点的直线方程为，即．① 把点代入方程①，化简得，解得， 所以过点P与Q的直线方程为，即． （2）由两直线平行，得，得， 所以所求直线的方程为，即． 【例3.2.】 已知直线与直线的交点为， (1)直线经过，且与直线垂直，求直线的方程： (2)直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）联立两直线方程解得交点坐标，再由垂直关系可得斜率，利用点斜式方程可得结果； （2）分别讨论截距是否为0，代入点坐标计算可得结果. 【详解】（1）联立，解得，即， 由与直线垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即； （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设直线的方程为， 因为，且，所以， 故此时直线的方程为； 综上可知，直线的方程为或. 题型4：两点间距离公式的应用 方法提炼 (1) 已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时,设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解。 (2) 利用两点间距离公式可以判断三角形的形状。从三边长人手,如果有边长相等,则可能是等腰或等边三角形;如果满足勾股定理,则是直角三角形。 (3) 常见代数式的几何含义:①可以看作O(0,0)与P(x,y)两点间距离的平方;②可以看作P(x,y)与Q(a,b)两点间距离的平方。 【例4.1.】 在数轴上，已知的中点为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】方法一先计算，结合中点再计算；方法二先计算的中点的坐标，再计算； 【详解】方法一  由题意，，又为的中点，所以． 方法二  因为为的中点，所以点的坐标为，所以． 故选：C. 【例4.2.】 设，在x轴上有一点，使得，则x等于（    ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由距离求点的坐标 【分析】直接根据两点间距离公式列式求解即可. 【详解】由，得，即， 化简为：，解得或. 故选：C. 【例4.3.】 设，若函数图象上任意一点满足，则 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】根据题意结合两点间距离公式分析运算. 【详解】因为点在函数图象上，则，即， 又因为， 则， 整理得， 由于对恒成立，则，解得. 故答案为：2 【例4.4.】 函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】由，则可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，结合图形分析即可求解. 【详解】由题可得的定义域为，又，所以可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，如图，点关于x轴对称的点为，则当与，三点共线时，距离之和最小，则． 故选：B 【例4.5.】 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【详解】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 【例4.6.】 直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求平面两点间的距离 【分析】利用两点间距离公式求出，再分析得到最值即可. 【详解】因为：与直线：的交点坐标为， 所以， 若最大，则最小，则最小， 而，当且仅当时取等，此时， 所以的最大值是． 故答案为： 【例4.7.】 已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】记点、、、，，可得出，数形结合可得出所求代数式的最小值. 【详解】记点、、、，，如下图所示： 易知四边形是边长为的正方形， 所以，，，， 所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立， ， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 所以 ， 当且仅当点为线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 【例4.8.】 在直角坐标平面上，已知点，为线段上的动点，若恒成立，则正实数的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、求平面两点间的距离 【分析】设，利用共线可得，根据得到，消元的，利用二次函数恒成立的等价条件求解即可. 【详解】设，又在线段上， 所以共线，且， 即， 又，，所以， 即， 整理得，将代入， 即恒成立，又， 所以，又， 解得，所以的最小值为. 故答案为：. 【例4.9.】 已知，为等腰直角三角形，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求平面两点间的距离 【分析】设点为原点，，即在单位圆上，设，分，，分别为直角顶点时，分别求得最大值，可得结论. 【详解】设点为原点，，即在单位圆上，设， 若点为直角，则向量，将逆时针旋转， 得向量，对应点， 此时 ， 同理可得顺时针旋转得， 此时 ， 情况2，直角顶点是时，因为关于过原点且与垂直的直线对称， 故由对称性可知此时的最大值仍为， 情况3，直角顶点为时，设，满足且， 解得，或， 所以， ， 综上所述：的最大值为. 故选： 题型5：点到直线距离公式的应用 方法提炼 (1) 求点到直线的距离时,若给出的直线方程不是一般式,只需把直线方程化为一般式直接应用点到直线的距离公式求解即可。 (2) 若已知点到直线的距离求参数或直线方程时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可。 (3) 点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离,某些距离的最值问题可以转化为点到直线的距离问题来求解 (4) 因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等,因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题。 【例5.1.】 已知直线：，：，：，则，的交点到的距离为（    ） A． B．3 C．2 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、求点到直线的距离 【分析】首先求出，的交点的坐标，再由点到直线的距离公式计算可得. 【详解】解：由，解得，即， 所以到的距离. 故选：B 【例5.2.】 （多选）已知点到直线的距离相等，则实数m的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】根据点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】因为点到直线的距离相等， 所以有， 化简得：，解得，或， 故选：AC 【例5.3.】 已知四边形的顶点的坐标分别为  则四边形的面积为（    ） A．24 B． C．12 D．6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】由条件可得到为平行四边形，用平行四边形面积公式，可得到答案. 【详解】由点坐标，可得到，同理可得到； ，所以四边形为平行四边形； 由，，可得到直线方程为， 点到直线的距离， 又， . 故选：C 【例5.4.】 已知O为坐标原点，直线上存在一点P，使得，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】根据题意得坐标原点到直线距离，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点到直线的距离为 ， 由题意得坐标原点到直线距离，， 所以，解得 所以k的取值范围为. 故选：C. 【例5.5.】 已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离、直线过定点问题、已知点到直线距离求参数 【分析】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 【例5.6.】 点是直线上任意一点，为坐标原点，则的最小值为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离 【详解】分析：的最小值等于到直线的距离，利用点到直线距离公式即可得结果. 详解：点在直线上， 的最小值是点到直线的距离， 因为， 所以的最小值为，故答案为. 【例5.7.】 设定点，当到直线距离最大时，直线与轴的交点，则此时过点且与直线垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由两条直线垂直求方程、直线过定点问题 【分析】先分析所过的定点，然后根据时距离最大求出的方程，再结合直线位置关系，利用点斜式方程求解即可. 【详解】因为， 令，解得，所以过定点， 当到的距离最大时，， 理由如下： 当时，此时到的距离为， 当不垂直于时，过点作，显然在中，， 所以即为到的最大距离， 此时，所以，所以，即， 令，则，所以， 则过点且与直线垂直的直线方程为，即， 故选：D. 【例5.8.】 若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——直线 【分析】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离． 故选：A. 【例5.9.】 在中，，，边BC的中点在轴上，点在轴上，且． (1)求直线AD的方程和AD的长； (2)求角B的平分线与直线的交点坐标． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】直线两点式方程及辨析、求平面两点间的距离、坐标法的应用——交点坐标、已知点到直线距离求参数 【分析】（1）由中点在轴上，可得C，D坐标，即可得答案； （2）设角的平分线与直线的交点为，后利用到直线BC， 直线BA距离相等可得答案. 【详解】（1））设，因为边BC的中点在轴上，所以，解得． 因为点在轴上，且，所以，解得． 所以，所以． 直线AD的方程为，即．． （2）设角的平分线与直线的交点为，则易知，． 直线BC的方程为，即． 直线BA的方程为，即． 由到两直线，的距离相等，可得，即． 即，解得或（舍）． 所以角的平分线与直线的交点坐标为． 题型6：两平行直线间距离公式的应用 方法提炼 (1) 两条平行直线间的距离公式是由在一条直线上任取一点到另一条直线的距离推导出来的,所以求平行直线间的距离的方法有两种：一种是直接利用推导出的公式求解；另一种是在其中一条直线上取一个特殊的点,转化为点到直线的距离求解。 (2) 如果两条平行直线的方程用斜截式方程表示为 ,那么两条平行直线间的距离. (3) 一般地,设,且与之间的距离为d,而过一定点的直线l被,截得的线段长度为a,若a<d,则l不存在;若a=d,则l唯一存在;若a>d,则l有两条。 【例6.1.】 两条平行直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用两平行线间的距离公式即可求出结果. 【详解】两条平行直线与之间的距离是： ， 故选：B. 【例6.2.】 两条平行直线和间的距离为，则分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行的性质求，再根据平行线的距离公式求即可. 【详解】因为直线和平行， 所以，解得， 所以两直线分别为和， 所以. 故选：B 【例6.3.】 已知平行直线和的距离为，则 . 【答案】6或8 【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离求出. 【详解】因为直线和平行， 所以， 又，解得或， 故答案为：6或8 【例6.4.】 已知，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求平行线间的距离 【分析】设点， 【详解】设点，，直线，直线 由题意可知点在直线上，点在直线上 所以 由题意可知与平行，故A、B之间的最小距离即为两平行线之间的距离 故答案为： 【例6.5.】 （多选）已知两平行直线，分别过点，，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值可为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】ABC 【难度】0.94 【知识点】求平行线间的距离、求平面两点间的距离 【分析】本题中两条平行动直线上有两个定点，在平行直线绕两个定点分别旋转时，求两平行直线间距离的可能取值，根据几何关系求解即可. 【详解】当直线，与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，即，∴．故答案为：ABC. 题型7：对称问题的应用 方法提炼 1. 求直线上一点到两定点的距离之和的方法 1　 当两定点在直线l的异侧时，由“两点之间线段最短”及“三角形的两边之和大于第三边”可知,当点P为AB连线与l的交点时点P到两定点的距离之和最小,且最小值为,如图所示.，当且仅当点与点重合时，等号成立; 2　 当两定点在直线l的同侧时，作点关于直线l的对称点，连接交直线l于点，则点到两定点的距离之和最小，且最小值为. 2. 求直线上一点到两定点的距离之差的绝对值的方法 1　 当两定点在直线l的同侧时，连接并延长，交直线l于点，如图所示.在则l上任取一点，则有，当点与点重合时，等号成立，最大值为; 2　 当两定点在直线l的异侧时，作点关于直线l的对称点，连接并延长，交直线l于点，在l上任取一点，则有 ，当点与点重合时，等号成立，最大值为; 3. 光线的入射、反射问题 根据平面几何知识和光学知识,入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称,即入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的,利用点的对称关系可以求解。 4. 关于角平分线的几个常用的几何特征 (1) 角平分线上任意一点到角两边的距离相等; (2) 角的两边所在直线关于角平分线所在直线对称; (3) 角的一边所在直线上的点关于角平分线所在直线的对称点在角的另一边所在直线上,特别地,在中,点A关于的平分线的对称点在直线BC上，点C关于的平分线的对称点在直线AB上； (4) 角平分线性质定理 在中，的平分线交BC所在直线于点D，则. 【例7.1.】 与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 【例7.2.】 若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】直线与l的交点在直线上，并且直线上任取一点，该点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程. 【详解】联立，解得，即与l的交点为. 又点在上，设A关于l的对称点为， 则，解得，即， 所以直线的斜率， 从而直线的方程为， 即. 故选：D 【例7.3.】 已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、直线交点系方程及应用 【分析】 首先化简直线方程，求出定点的坐标，再代入点关于直线对称的点的计算公式，即可求解. 【详解】由直线化为， 令，解得，于是此直线恒过点． 设点P关于直线的对称点为， 则，解得，∴． 故答案为： 【例7.4.】 已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由距离求已知直线的平行线、求平行线间的距离、求关于平行直线对称的直线 【分析】由直线斜率得与直线平行，由两条平行线距离公式得与直线间的距离，由对称关系得与平行和与距离，接着设直线方程，依据与距离列式求解并检验即可得解. 【详解】易知，所以与直线平行， 与直线间的距离为， 又因为与关于直线对称， 所以与平行，且两直线间的距离为， 设直线，所以，解得或， 当时，直线与直线间的距离为， 即直线与关于直线不对称； 当时，直线与直线间的距离为，符合， 所以. 【例7.5.】 下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线、直线围成图形的面积问题、求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】求出三角形的面积判断A；求出两点的中点坐标判断B；在直线上取点，求出对称点判断C；求出关于点的对称直线的方程判断D. 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，则所求三角形面积为，A错误； 对于B，点和的中点不在直线上，则点关于直线的对称点不是，B错误； 对于C，在直线上取点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，而点不在直线上，C错误； 对于D，在所求方程的直线上任取点，则该点关于点的对称点为在直线上， 于是，即，因此所求的直线方程为，D正确. 故选：D 【例7.6.】 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】求出点关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果. 【详解】设关于直线的对称点，如下图所示： 则，解得，即 此时即为最短路程，易知. 所以最短总路程为. 故答案为： 【例7.7.】 已知两点、，直线，在直线上求一点． (1)使最小； (2)使最大． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】（1）由题意，明确直线与已知两点之间的关系，求其中一点关于直线的对称点，求对称点与另外一点之间的距离，可得答案； （2）根据三角形的三边关系，结合两直线求交点以及两点之间距离，可得答案. 【详解】（1）可判断、在直线的同侧，设点关于的对称点的坐标为，． 则有，． 解得，． 由两点式求得直线的方程为， 直线与的交点可求得为，． 由平面几何知识可知最小． （2）由两点式求得直线的方程为，即． 直线与的交点可求得为，它使最大． 【例7.8.】 已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C．108 D．117 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】将转化为动点到，两点距离之和，再结合直线的对称问题，即可解决距离和的最小值. 【详解】∵ ∴该式表示直线l：上一点到，两点距离之和的最小值． 易知P，Q两点在l的同一侧， 设点P关于l对称的点， 则，解得，∴， 故． 故选：A. 【例7.9.】 已知点轴，，则周长的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】作出关于直线的对称点，作出关于轴的对称点，则连接，交直线于点，交轴于点，则的周长的最小值等于. 【详解】如图，    设点关于直线的对称点为． 点关于轴的对称点为． 连接，交于点，交轴于点， 显然，，且四点共线， 故此时周长的最小值为． 故答案为： 【例7.10.】 如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是 .    【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】求出关于的对称点和它关于y轴的对称点，则就是所求的路程长. 【详解】解：直线的方程为，即，    设点关于直线AB的对称点为， 则，解得，即， 又点关于y轴的对称点为， 由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长． 故答案为： 【例7.11.】 已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接、交与点，连接、分别交为点、，则，之间即为点 的变动范围．再求出直线，的斜率即可． 【详解】已知，，， 则直线方程为，直线方程为 如图，作关于的对称点，，解得，故， 再作关于的对称点，则，得， 连接，连接交与点，则直线方程为，得， 连接、分别交为点、， 则直线方程为，得， 直线的斜率，方程为，与直线联立方程组，解得， 连接，，则，之间即为点的变动范围． 直线方程为，斜率为0， 直线的斜率为， 所以斜率的范围为， 故选：D． 题型8：坐标法在平面几何问题或实际问题上的应用 方法提炼 1. 坐标法又称为解析法,它就是通过建立平面直角坐标系,用坐标代替点,用方程代替曲线,用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法。 2. 建立平面直角坐标系的原则: 1　 若条件中只出现一个定点,常以定点为原点建立平面直角坐标系。 2　 若已知两个定点,常以两个定点的中点(或一个定点)为原点,两个定点所在的直线为x轴建立平面直角坐标系。 3　 若已知一个定点和一条定直线,常以定点到定直线的垂线段的中点为原点,以定点到定直线的垂线为x轴(或y轴)建立平面直角坐标系。 4　 若已知两条互相垂直的直线,则以它们为坐标轴建立平面直角坐标系。 【例8.1.】 已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求直线交点坐标、坐标法的应用——交点坐标 【分析】分和两种情况进行讨论，根据面积关系结合等腰梯形的对称性从而可得的取值范围. 【详解】显然四边形为等腰梯形， 因为，根据等腰梯形的对称性可知：当或时不符合题意，所以， 当时，设直线与y轴的交点， 根据等腰梯形的对称性可得符合题意； 当时，设直线与梯形上、下底分别交于M、N， 因为三角形与三角形全等， 所以直线将四边形分割为面积相等的两部分；    当时，设直线与轴交于点，与梯形两腰交于， 直线将四边形分割为面积相等的两部分，则该直线与梯形的两腰交于， 可知：直线， 联立，解得，即， 同理可得：， 由题意可得：， 整理得，且，解得；    综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【例8.2.】 如图，公路AM，AN围成的是一块顶角为α的角形土地，其中，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园． (1)以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为，求公路BC所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线围成图形的面积问题、直线的点斜式方程及辨析、坐标法的应用——交点坐标、已知点到直线距离求参数 【分析】(1)以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设点的坐标，求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出的值，即可得到答案； (2)设直线的方程，与的方程联立，求出点的坐标，由三角形的面积公式求出的值，即可得到直线的方程． 【详解】（1）如图，以A为原点，建立平面直角坐标系： ∵，∴直线AN的方程是．设点． ∵点P到直线AM的距离为3，∴． 由点P到直线AN的距离为，得，解得或(舍去)， ∴点． （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为，．令得． 由，解得． ∴． ∵，∴，解得． 故直线BC的方程为． 【例8.3.】 如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为3，宽为2，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合.将矩形折叠，使点落在线段上，已知折痕所在直线的斜率为. （1）求折痕所在的直线方程； （2）若点为的中点，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】求关于平行直线对称的直线、直线围成图形的面积问题 【解析】（1）设折痕所在的直线方程为，点落在线段上的对称点为，其中，由折痕垂直平分可列出关于和的方程组，解之即可； （2）由两点间距离公式求得的长，由点到直线的距离公式求得点到折痕的距离为，的面积，从而得解． 【详解】解：（1）设折痕所在的直线方程为，点落在线段上的对称点为，其中， 则的中点的坐标为，， ，解得， 折痕所在的直线方程为． （2）由（1）知，折痕所在的直线方程为， ，，， ， 为的中点，点， 点到折痕的距离为， 的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$