2.3二次根式 同步课堂　 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2.3二次根式 讲解目录 【知识点1】二次根式的化简求值 1 【知识点2】同类二次根式 2 【知识点3】二次根式的定义 3 【知识点4】二次根式有意义的条件 4 【知识点5】二次根式的性质与化简 6 【知识点6】最简二次根式 7 【知识点7】分母有理化 9 【知识点8】二次根式的混合运算 10 【知识点9】二次根式的乘除法 11 【知识点10】二次根式的应用 12 【知识点11】二次根式的加减法 13 【题型1】根据二次根式有意义条件求范围 15 【题型2】二次根式的双重非负性在求字母值中的应用 16 【题型3】二次根式的除法 17 【题型4】最简二次根式 18 【题型5】二次根式性质进行化简 20 【题型6】二次根式的加减法 21 【题型7】二次根式定义在识别二次根式中的应用 23 【题型8】与二次根式有关的化简求值 24 知识讲解 【知识点1】二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 1.（2023秋•永兴县校级月考）若，，那么a+b的值为（　　） A．-1 B．13 C．6 D．5 【答案】D 【分析】先计算出a、b的值，再计算a+b即可． 【解答】解：∵，， ∴a+b=2+3=5， 故选：D． 2.（2023春•潮阳区校级期中）已知x=-1，y=+1，则的值为（　　） A．-2 B．2 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】先求出xy=1，y-x=2，再将所求式子变形后代入即可． 【解答】解：∵x=-1，y=+1， ∴xy=（-1）（+1）=1，y-x=（+1）-（-1）=2， ∴-===2， 故选：C． 3.（2024春•靖江市校级月考）已知a+b=-5，ab=2，且a≠b,则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据a+b=-5，ab=2，可知a＜0，b＜0，然后化简代入求值即可． 【解答】解：∵a+b=-5，ab=2， ∴a＜0，b＜0， ∴， 故选：B． 【知识点2】同类二次根式 同类二次根式的定义： 　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 1.（2024秋•青龙县期末）最简二次根式与是同类二次根式，则b=（　　） A．2 B．3 C．0 D．4 【答案】A 【分析】利用最简二次根式与同类二次根式定义判断即可确定出b的值． 【解答】解：根据最简二次根式与同类二次根式的定义， 得2b+1=7-b, 解得：b=2． 故选：A． 2.（2025春•游仙区校级月考）下列二次根式：①；②；③；④，其中与是同类二次根式的是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】先把每个二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【解答】解：①，与是同类二次根式； ②，2与不是同类二次根式； ③，与不是同类二次根式； ④，与是同类二次根式； 所以与是同类二次根式的是①④， 故选：C． 【知识点3】二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 1.（2025春•芜湖期末）下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】形如（a≥0）的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【解答】解：A、被开方数是-2为负数，不是二次根式，故此选项符合题意； B、∵a2≥0，∴是二次根式，故此选项不符合题意； C、∵5＞0，∴是二次根式，故此选项不符合题意； D、∵＞0，∴是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 2.（2025春•龙沙区期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【解答】解：=2， ∵是整数， ∴n的最小值是5， 故选：D． 【知识点4】二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 1.（2025春•铜梁区校级期末）使有意义的x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．全体实数 【答案】B 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可． 【解答】解：使有意义的x的取值范围是x-5≥0，即x≥5， 故选：B． 2.（2024秋•邗江区校级期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜2 B．x≠2 C．x≤2 D．x≥2 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴4-2x≥0， 解得x≤2． 故选：C． 3.（2024秋•金沙县期末）若，则（x+y）2022等于（　　） A．1 B．5 C．-5 D．-1 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件得x=2，从而求得y=-3，进而解决此题． 【解答】解：∵， ∴x-2≥0且2-x≥0． ∴x=2． ∴=0+0-3=-3． ∴（x+y）2022=（2-3）2022=（-1）2022=1． 故选：A． 【知识点5】二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③=|a|=（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =•（a≥0，b≥0）=（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 1.（2025春•洛阳期末）下列各式中，正确的是（　　） A．=±3 B．±=3 C． D．=-3 【答案】C 【分析】分别根据二次根式的性质与化简、平方根和立方根的运算法则对各选项进行计算即可． 【解答】解：A、=3，原计算错误，不符合题意； B、±=±3，原计算错误，不符合题意； C、=-3，正确，符合题意； D、=3，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 2.（2025•广州二模）下列计算正确的是（　　） A． B． C．a2+a2=2a2 D．（m3）2=m5 【答案】C 【分析】根据立方根的定义、二次根式的性质与化简、合并同类项法则、幂的乘方法则分别计算判断即可． 【解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、a2+a2=2a2，故此选项符合题意； D、（m3）2=m6，故此选项不符合题意； 故选：C． 3.（2025春•南陵县校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相关运算法则计算判断，即可解题． 【解答】解：根据二次根式的运算法则逐项分析判断如下： A、，计算正确，符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 【知识点6】最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 1.（2024秋•闵行区期末）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、=2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C|，是最简二次根式，符合题意； D、=|y|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2.（2025春•船营区校级期末）若是最简二次根式，则a的值可以是（　　） A． B．0.6 C．-5 D．11 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【解答】解：A、当a=时，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、当a=0.6时，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、当a=-5时，被开方数为负数，没有意义，故此选项不符合题意； D、当a=11时，是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 3.（2025春•沂南县期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误； B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确； C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D错误； 故选：B． 【知识点7】分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①==；②==． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：-的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 1.（2024•武威一模）下列选项中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分母有理化的方法和最简二次根式定义进行解题即可． 【解答】解：A、=4，故不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、==，不符合题意； D、===，不符合题意； 故选：B． 2.（2024秋•浦东新区期末）二次根式的一个有理化因式是（　　） A． B． C．+ D．- 【答案】B 【分析】两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 【解答】解：因为×=a-b, 所以二次根式的一个有理化因式可以是． 故选：B． 3.（2024秋•沈丘县期末）下列各数中，与的乘积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用二次根式的乘法法则进行计算，再根据有理数的定义进行判定即可得出答案． 【解答】解：A、×2=2为无理数，故本选项不符合题意； B．×2=6为无理数，故本选项不符合题意； C． ×2=2为无理数，故本选项不符合题意； D．3×2=18为有理数，故本选项符合题意． 故选：D． 【知识点8】二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 1.（2025春•高安市期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式乘法、加法、数的开方等概念判断． 【解答】解：A、和都是最简二次根式，且被开方数不同，不能直接加，故错误； B、×==，故正确； C、==5，故错误； D、，故错误． 故选：B． 2.（2025春•望城区期末）下列计算，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：A．与不是同类二次根式，无法合并，故选项A错误，不符合题意； B．与2不是同类二次根式，无法合并，故选项B错误，不符合题意； C．，故选项C错误，不符合题意； D．，故选项D正确，符合题意， 故选：D． 3.（2025春•十堰期末）下列计算正确的是（　　） A． B．3 C． D．= 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【解答】解：A、原式=+3，所以A选项错误； B、原式=2，所以B选项正确； C、原式=2，所以C选项错误； D、原式=1，所以D选项错误． 故选：B． 【知识点9】二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：=•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•=（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：=（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：=（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•=（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠-4×-9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 1.（2025春•三河市期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘除法法则、二次根式的性质进行解题即可． 【解答】解：，选项A正确； ，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D错误． 故选：A． 2.（2025•天元区校级模拟）计算的结果是（　　） A．16 B．±16 C．4 D．±4 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式= = =4． 故选：C． 【知识点10】二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 1.（2024秋•长安区校级月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形， 大正方形的边长是+=2+3， 留下部分（即阴影部分）的面积是（2+3）2-12-18=12． 故选：A． 2.（2021秋•来宾期末）已知a、b、c是△ABC三边的长，则+|a+b-c|的值为（　　） A．2a B．2b C．2c D．2（a一c） 【答案】B 【分析】根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知根号和绝对值里数的取值． 【解答】解：∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴a-b-c＜0，a+b-c＞0 ∴+|a+b-c|=b+c-a+a+b-c=2b. 故选：B． 【知识点11】二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 1.（2025春•洛阳期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减法计算出各个选项中正确的结果，从而可以解答本题． 【解答】解：A、，不能合并，不符合题意； B、，符合题意； C、4，不能合并，不符合题意； D、，不符合题意， 故选：B． 2.（2025•杏花岭区二模）下列运算正确的是（　　） A． B． C．m4÷（-m）3=-m D．（-2m）3=-6m3 【答案】C 【分析】根据二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法法则进行解题即可． 【解答】解：A、（-3）×=-2，故该项不正确，不符合题意； B、与不能进行加减，故该项不正确，不符合题意； C、m4÷（-m）3=-m,故该项正确，符合题意； D、（-2m）3=-8m3，故该项不正确，不符合题意； 故选：C． 3.（2025春•思明区校级期末）下列计算正确的是（　　） A．+= B．3-=3 C．×= D．÷=2 【答案】C 【分析】根据二次根式的加减法、二次根式的乘除法法则分别计算判断即可． 【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型专练 【题型1】根据二次根式有意义条件求范围 【典型例题】如果是二次根式，那么x应满足的条件是（　　） A.x≠8 B.x＜8 C.x≤8 D.x＞0且x≠8 【答案】C 【解析】∵是二次根式， ∴8﹣x≥0， 解得：x≤8． 故选：C． 【举一反三1】若式子有意义，则x的取值范围为（　　） A.x≥2 B.x≠3 C.x≤2或x≠3 D.x≥2且x≠3 【答案】D 【解析】由题意得：x﹣2≥0，且x﹣3≠0， 解得：x≥2，且x≠3，故选：D． 【举一反三2】若，为实数，且，则代数式的值是（       ） A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】D 【解析】依题意可得，解得x=3，∴y=2，∴，故选：D． 【举一反三3】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意 根据二次根式有意义条件知：3−2x≥0，解得：x≤，故选：B． 【举一反三4】若是二次根式，则x的取值范围为________． 【答案】x≤1 【解析】由题意得：1-x≥0，解得：x≤1，故x≤1 【举一反三5】若二次根式有意义，则a的取值范围是___________． 【答案】a≥-4． 【解析】由题意 根据二次根式有意义条件知2a+8≥0， 解得：a≥-4， 故答案为：a≥-4． 【举一反三6】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】x≤1 【解析】由题意得：1-x≥0，解得：x≤1，故x≤1 【题型2】二次根式的双重非负性在求字母值中的应用 【典型例题】若是整数，则正整数的最小值是（       ） A.1 B.3 C.6 D.12 【答案】B 【解析】∵若是整数，则是整数，∴正整数的最小值时3n=9， ∴正整数的最小值是3，故选：B． 【举一反三1】若是整数，则a能取的最小整数为（       ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【解析】成立，∴4n+1是非负数，，解得， 又是整数， a能取的最小整数为0，故选：A． 【举一反三2】若，则（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可得：2n-5=5-2n=0，∴m=0+0+2=2， ∴n-m=故选A． 【举一反三3】若是整数，则a能取的最小整数为（       ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【解析】成立，∴4n+1是非负数，，解得， 又是整数， a能取的最小整数为0，故选：A． 【举一反三4】已知a为正整数，且也为正整数，则a的最小值为　 　． 【答案】3 【解析】∵，且开方的结果是正整数， ∴3a为某数的平方， 又∵3×3＝9，9是满足题意最小的被开方数， ∴a的最小值为3． 故答案为：3． 【举一反三5】已知a为正整数，且也为正整数，则a的最小值为　 　． 【答案】3 【解析】∵，且开方的结果是正整数， ∴3a为某数的平方， 又∵3×3＝9，9是满足题意最小的被开方数， ∴a的最小值为3． 故答案为：3． 【举一反三6】若a，b为实数，，则_________． 【答案】4 【解析】根据二次根式的非负性可知：，解得：，， 当a=3，b=7时，，故答案为：4． 【题型3】二次根式的除法 【典型例题】若，则化简（       ） A.m B.-m C.n D.-n 【答案】B 【解析】由题意可知：m<0，n<0， ∴原式====|m|=-m，故选：B． 【举一反三1】下列计算正确的是（　　） A.3x2y•5x2y＝2x2y B.+＝ C.（﹣2x+y）（2x+y）＝4x2﹣y2 D.÷＝ 【答案】D 【解析】解：A、3x2y•5x2y＝15x4y2，所以 错误； B、与不能合并，所以 错误； C、（﹣2x+y）（2x+y）＝y2﹣4x2，所以 错误； D、÷＝＝．所以 正确． 故选：D． 【举一反三2】（1）_____；（2）_____． 【答案】（1）；（2）；． 【解析】（1）； （2）； 故答案为：（1）；（2）； 【举一反三3】计算：＝　            　． 【答案】2 【解析】原式＝× ＝ ＝2， 故答案为：2． 【举一反三4】 计算:(1) (2) 【答案】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4】最简二次根式 【典型例题】已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9﹣2a|﹣的结果是（　　） A.12﹣4a B.4a﹣12 C.12 D.﹣12 【答案】A 【解析】由题意得 2＜a＜4， ∴9﹣2a＞0，3﹣2a＜0 |9﹣2a|﹣ ＝9﹣2a﹣（2a﹣3） ＝9﹣2a﹣2a+3 ＝12﹣4a， 故选：A． 【举一反三1】下列各式中，是最简二次根式的是（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A、，故A不是最简二次根式； B、，故B不是最简二次根式； C、是最简二次根式，故C 是最简二次根式； D、，故D不是最简二次根式； 故选：C． 【举一反三2】化简： _______． 【答案】 【解析】原式 故答案为：． 【举一反三3】把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【答案】（1） （2） （3） （4） 【题型5】二次根式性质进行化简 【典型例题】若成立，且b>0，则a取值范围是(     ) A.a<0 B.a>0 C. D. 【答案】C 【解析】∵，成立，且b>0，∴，，．故选C 【举一反三1】在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2的结果为（　　） A.3a+b﹣c B.﹣a﹣3b+3c C.a+3b﹣3c D.2a 【答案】B 【解析】∵a，b，c是△ABC的三边，∴根据两边之和大于第三边得，， ∴|a﹣b+c|﹣2故选：B． 【举一反三2】化简： ________． 【答案】． 【解析】由题意可知x故答案为：． 【举一反三3】已知等式成立，化简|x﹣6|+的结果为 _____． 【答案】4 【解析】由题意得，解得：3＜x≤5， ∴|x﹣6|+＝6﹣x+x﹣2＝4．故答案为：4． 【举一反三4】已知a满足． （1）有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______． （2）根据（1）的分析，求的值． 【答案】（1）解：∵有意义，∴根据二次根式非负性知，∴， ∴，∴；故答案为：；； （2）∵，∴， ∴移项得，∴，∴． 【题型6】二次根式的加减法 【典型例题】下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A、＝2，能与合并 ； B、＝2，不能与合并，故 符合题意； C、＝4，能与合并 ； D、＝6，能与合并 ； 故选：B． 【举一反三1】下列计算正确的是（　　） A.＝﹣5 B.4﹣3＝1 C.×＝ D.÷＝9 【答案】C 【解析】A、＝5，故 错误； B、4﹣3＝，故 错误； C、×＝，故 正确； D、÷＝3，故 错误； 故选：C． 【举一反三2】已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a|+的结果为（　　） A.1 B.﹣1 C.1﹣2a D.2a﹣1 【答案】A 【解析】由数轴可得， 0＜a＜1， 则a﹣1＜0，a＞0， ∴|a﹣1|=﹣a+1 ∴原式＝|a|+|a﹣1|＝a﹣a+1＝1． 故选：A． 【举一反三3】计算的结果是 　            　． 【答案】3 【解析】原式＝2+ ＝3． 故答案为3． 【举一反三4】计算的结果是______． 【答案】 【解析】==．故答案为：． 【举一反三5】计算：(1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【题型7】二次根式定义在识别二次根式中的应用 【典型例题】下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】中x可能是负数，此时不是二次根式，故A错误 是5的立方根，不是二次根式，故B错误， 中被开方数-3是负数，所以不是二次根式，故C错误， 中x2+1>0,所以是二次根式，故D正确， 所以答案是D 【举一反三1】在下列代数式中，不是二次根式的是（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，，是二次根式，故此选项不合题意； 、，不是二次根式，故此选项符合题意．故答案为D． 【举一反三2】下列式子中是二次根式的是(     ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A．被开方数x可以是负数，故不是二次根式，故错误； B．被开方数是负数，故不是二次根式，故错误； C．是二次根式，故正确； D．根指数是3不是2，不是二次根式，故错误； 故选：C． 【举一反三3】下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】中x可能是负数，此时不是二次根式，故A错误 是5的立方根，不是二次根式，故B错误， 中被开方数-3是负数，所以不是二次根式，故C错误， 中x2+1>0,所以是二次根式，故D正确， 所以答案是D 【题型8】与二次根式有关的化简求值 【典型例题】若，则的值为______． 【答案】2023 【解析】∵， ∴， 故答案为：2023． 【举一反三1】化简： _______． 【答案】 【解析】原式 故答案为：． 【举一反三2】已知：，，求下列式子的值：(1)；(2)． 【答案】（1）原式= （2）原式= ． 【举一反三3】化简求值已知，，求． 【答案】∵，， ∴ ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3二次根式 讲解目录 【知识点1】二次根式的化简求值 1 【知识点2】同类二次根式 2 【知识点3】二次根式的定义 2 【知识点4】二次根式有意义的条件 3 【知识点5】二次根式的性质与化简 3 【知识点6】最简二次根式 4 【知识点7】分母有理化 5 【知识点8】二次根式的混合运算 5 【知识点9】二次根式的乘除法 6 【知识点10】二次根式的应用 6 【知识点11】二次根式的加减法 7 【题型1】根据二次根式有意义条件求范围 8 【题型2】二次根式的双重非负性在求字母值中的应用 8 【题型3】二次根式的除法 9 【题型4】最简二次根式 9 【题型5】二次根式性质进行化简 9 【题型6】二次根式的加减法 10 【题型7】二次根式定义在识别二次根式中的应用 10 【题型8】与二次根式有关的化简求值 11 知识讲解 【知识点1】二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 1.（2023秋•永兴县校级月考）若，，那么a+b的值为（　　） A．-1 B．13 C．6 D．5 2.（2023春•潮阳区校级期中）已知x=-1，y=+1，则的值为（　　） A．-2 B．2 C．2 D．-2 3.（2024春•靖江市校级月考）已知a+b=-5，ab=2，且a≠b,则的值是（　　） A． B． C． D． 【知识点2】同类二次根式 同类二次根式的定义： 　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 1.（2024秋•青龙县期末）最简二次根式与是同类二次根式，则b=（　　） A．2 B．3 C．0 D．4 2.（2025春•游仙区校级月考）下列二次根式：①；②；③；④，其中与是同类二次根式的是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【知识点3】二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 1.（2025春•芜湖期末）下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2.（2025春•龙沙区期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【知识点4】二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 1.（2025春•铜梁区校级期末）使有意义的x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．全体实数 2.（2024秋•邗江区校级期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜2 B．x≠2 C．x≤2 D．x≥2 3.（2024秋•金沙县期末）若，则（x+y）2022等于（　　） A．1 B．5 C．-5 D．-1 【知识点5】二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③=|a|=（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =•（a≥0，b≥0）=（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 1.（2025春•洛阳期末）下列各式中，正确的是（　　） A．=±3 B．±=3 C． D．=-3 2.（2025•广州二模）下列计算正确的是（　　） A． B． C．a2+a2=2a2 D．（m3）2=m5 3.（2025春•南陵县校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【知识点6】最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 1.（2024秋•闵行区期末）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 2.（2025春•船营区校级期末）若是最简二次根式，则a的值可以是（　　） A． B．0.6 C．-5 D．11 3.（2025春•沂南县期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【知识点7】分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①==；②==． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：-的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 1.（2024•武威一模）下列选项中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2.（2024秋•浦东新区期末）二次根式的一个有理化因式是（　　） A． B． C．+ D．- 3.（2024秋•沈丘县期末）下列各数中，与的乘积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 【知识点8】二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 1.（2025春•高安市期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2.（2025春•望城区期末）下列计算，正确的是（　　） A． B． C． D． 3.（2025春•十堰期末）下列计算正确的是（　　） A． B．3 C． D．= 【知识点9】二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：=•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•=（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：=（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：=（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•=（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠-4×-9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 1.（2025春•三河市期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2.（2025•天元区校级模拟）计算的结果是（　　） A．16 B．±16 C．4 D．±4 【知识点10】二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 1.（2024秋•长安区校级月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（　　） A． B． C． D． 2.（2021秋•来宾期末）已知a、b、c是△ABC三边的长，则+|a+b-c|的值为（　　） A．2a B．2b C．2c D．2（a一c） 【知识点11】二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 1.（2025春•洛阳期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2.（2025•杏花岭区二模）下列运算正确的是（　　） A． B． C．m4÷（-m）3=-m D．（-2m）3=-6m3 3.（2025春•思明区校级期末）下列计算正确的是（　　） A．+= B．3-=3 C．×= D．÷=2 题型专练 【题型1】根据二次根式有意义条件求范围 【典型例题】如果是二次根式，那么x应满足的条件是（　　） A.x≠8 B.x＜8 C.x≤8 D.x＞0且x≠8 【举一反三1】若式子有意义，则x的取值范围为（　　） A.x≥2 B.x≠3 C.x≤2或x≠3 D.x≥2且x≠3 【举一反三2】若，为实数，且，则代数式的值是（       ） A.1 B.2 C.3 D.5 【举一反三3】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（       ） A. B. C. D. 【举一反三4】若是二次根式，则x的取值范围为________． 【举一反三5】若二次根式有意义，则a的取值范围是___________． 【举一反三6】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【题型2】二次根式的双重非负性在求字母值中的应用 【典型例题】若是整数，则正整数的最小值是（       ） A.1 B.3 C.6 D.12 【举一反三1】若是整数，则a能取的最小整数为（       ） A.0 B.1 C.2 D.3 【举一反三2】若，则（       ） A. B. C. D. 【举一反三3】若是整数，则a能取的最小整数为（       ） A.0 B.1 C.2 D.3 【举一反三4】已知a为正整数，且也为正整数，则a的最小值为　 　． 【举一反三5】已知a为正整数，且也为正整数，则a的最小值为　 　． 【举一反三6】若a，b为实数，，则_________． 【题型3】二次根式的除法 【典型例题】若，则化简（       ） A.m B.-m C.n D.-n 【举一反三1】下列计算正确的是（　　） A.3x2y•5x2y＝2x2y B.+＝ C.（﹣2x+y）（2x+y）＝4x2﹣y2 D.÷＝ 【举一反三2】（1）_____；（2）_____． 【举一反三3】计算：＝　            　． 【举一反三4】 计算:(1) (2) 【题型4】最简二次根式 【典型例题】已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9﹣2a|﹣的结果是（　　） A.12﹣4a B.4a﹣12 C.12 D.﹣12 【举一反三1】下列各式中，是最简二次根式的是（       ） A. B. C. D. 【举一反三2】化简： _______． 【举一反三3】把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【题型5】二次根式性质进行化简 【典型例题】若成立，且b>0，则a取值范围是(     ) A.a<0 B.a>0 C. D. 【举一反三1】在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2的结果为（　　） A.3a+b﹣c B.﹣a﹣3b+3c C.a+3b﹣3c D.2a 【举一反三2】化简： ________． 【举一反三3】已知等式成立，化简|x﹣6|+的结果为 _____． 【举一反三4】已知a满足． （1）有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______． （2）根据（1）的分析，求的值． 【题型6】二次根式的加减法 【典型例题】下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】下列计算正确的是（　　） A.＝﹣5 B.4﹣3＝1 C.×＝ D.÷＝9 【举一反三2】已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a|+的结果为（　　） A.1 B.﹣1 C.1﹣2a D.2a﹣1 【举一反三3】计算的结果是 　            　． 【举一反三4】计算的结果是______． 【举一反三5】计算：(1)； (2)； (3)； (4)． 【题型7】二次根式定义在识别二次根式中的应用 【典型例题】下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【举一反三1】在下列代数式中，不是二次根式的是（       ） A. B. C. D. 【举一反三2】下列式子中是二次根式的是(     ) A. B. C. D. 【举一反三3】下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【题型8】与二次根式有关的化简求值 【典型例题】若，则的值为______． 【举一反三1】化简： _______． 【举一反三2】已知：，，求下列式子的值：(1)；(2)． 【举一反三3】化简求值已知，，求． 学科网（北京）股份有限公司 $$