空间向量法证明空间位置关系问题、空间角度问题、空间距离问题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

空间向量与立体几何：空间向量法证明空间位置关系问题、空间角度问题、空间距离问题 空间向量与立体几何：空间向量法证明空间位置关系问题、空间角度问题、 空间距离问题 考点目录 空间向量法证明空间位置关系问题 空间向量法求空间角度问题 空间向量法求空间距离问题 考点一 空间向量法证明空间位置关系问题 【知识点解析】 1.利用空间向量法解决立体几何问题的步骤 步骤一：证明空间中三条直线互相垂直. 步骤二：建立空间直角坐标系. 步骤三：表示点的坐标. 步骤四：表示向量. 步骤五：求平面的法向量. 步骤六：翻译立体几何问题. 注意事项： (1)若建系时缺轴，可过原点做一条与已知垂直于底面的直线平行的直线作为轴. (2)若平面与轴任意两条轴所形成的平面重合或平行，则该平面的法向量可以直接写出. 2. 利用空间向量法证明空间位置关系 空间位置关系 向量表示 线线平行： 线面平行： 面面平行： 线线垂直： 线面垂直： 面面垂直： 【例题分析】 1．（2025·湖北武汉·三模）在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图所示： 在平行六面体中，，．设，，， 所以， ，， 对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，, ， 与、都垂直，则是平面的一个法向量，故D正确； 故选：D. 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，，所以， 解得，所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知点，点，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【详解】因为直线l经过点， 所以，又因为平面的一个法向量为， 且，所以平面的一个法向量与直线l的方向向量平行， 则，； 故选：A. 4．（24-25高二上·天津·期中）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于 . 【答案】 【详解】由可得，， 所以可得，即， 故答案为：. 5．（24-25高二上·广东江门·期中）设直线的方向向量，平面的法向量，若，则 【答案】 【详解】因为直线的方向向量，平面的法向量，， 所以，所以，解得. 故答案为：. 6．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，所以或． 因为，所以． 故答案为：． 7．（24-25高二下·贵州黔南·期末）如图，在长方体中，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，， ，，. 因为，， 所以，. 因为，平面，， 所以平面. （2）由（1）得是平面的一个法向量，. 设直线与平面所成的角为， 则， 故， 则直线与平面所成角的正弦值为. 8．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的值为 【详解】（1）平面平面 且平面平面， 平面 平面 平面 又， 平面. 平面平面平面. （2）假设在棱上是否存在点，使得平面 取中点，连接，，如下图 ，， ，， 从而，故平面， 又平面平面 且平面平面， 平面， 以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图： 由题意可知，，，，， 设 点在棱上，故， ，故 设平面的法向量为 故，令，则， 从而平面的法向量可以取 平面 ，解得， 故假设成立，存在这样的点，使得平面，此时 即，从而 9．（24-25高二下·河南·阶段练习）如图，直四棱柱的底面为直角梯形，为的中点，点为棱上一动点. (1)证明：平面； (2)当点为棱的中点时，证明：平面平面； (3)若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）取的中点，连接， 在中，为中位线，所以，且， 因为四边形为直角梯形，，所以， 又，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面， 所以平面. （2）易知两两垂直，以为坐标原点， 以直线，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 因为， 且， 所以，即， 因为平面，所以平面， 又平面，故平面平面. （3）设，则由（2）知，所以， 设平面的一个法向量，则，即， 取，解得，所以， 由（2）可知，向量是平面的一个法向量， 因为二面角的余弦值为， 所以， 整理，得，解得，或（舍去）， 所以，则，故. 10．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在中国古代数学中，将底面为矩形并有一条棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图是一个底面为正方形的阳马，其中底面，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为底面，底面， 所以. 又底面为正方形，所以. 故两两垂直. 以点为坐标原点，所在直线依次为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 由条件可得下面各点的坐标：， ， 进一步得. 设平面的法向量为， 由得即 令，得，所以. 设平面的法向量为， 由得即 令，得，所以. 因为， 所以，平面平面. （2）由（1）得，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则 . 11．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，与平面所成角为，是的中点，点且． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）连接，交于点，再连接． 因为底面是正方形，所以点是的中点． 又是的中点，所以． 而平面且平面． 因此平面． （2）由底面，底面是正方形且与平面所成角为，又，可知是等腰直角三角形，即． 现以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 设，则，，，， 且．． ． ，． 同理．则. 又,平面,平面； （3）由（2）的结论平面，可知且，结合图形特点可知是平面与平面的夹角，亦可记为． 在等腰直角三角形中，为中点，所以． 又，即且． 于是，且． 又． 所以，即与平面的夹角大小为． 12．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，分别为棱，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在四棱锥中，平面，， 则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 从而，设平面的法向量， 则，取，得， 又，所以，即，所以平面； （2）设平面的法向量，， 则，取，得， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 考点二 空间向量法求空间角度问题 【知识点解析】 空间角度问题 向量表示 异面直线所成之角（线线角） 已知求直线与直线所称之角 (1)表示点的坐标. (2)表示向量. (3)记直线所成之角为，. 直线与平面所成之角（线面角） 已知求直线与平面所成之角 (1)表示点的坐标. (2)表示与平面两条相交直线所形成的向量. (3)求平面的法向量. (4)记直线与平面所成之角为，. 平面与平面所成之角（二面角） 已知求平面与平面所成之角 (1)表示点的坐标. (2)分别表示平面与平面两条相交直线所形成的向量. (3)求平面和平面的法向量与. (4)记平面与平面所成之角为，. 【例题分析】 考向一 异面直线所成之角 1．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，，则    ，， ， ， 所以  ， 故直线与所成的角余弦值为0. 故选： D. 2．（24-25高二下·广西桂林·期末）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为底面，底面为正方形，所以两两垂直， 如图，以点为坐标原点，直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，所以, 则， 设异面直线与所成角为，则. 故选:A. 3．（24-25高二下·福建龙岩·期末）如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在平行六面体中，， ，记，， 则， ，， ， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：C 4．（25-26高三上·河北衡水·阶段练习）如图，正四棱锥，，，P为侧棱SD中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连结交于点，连结， 因为正四棱锥，所以平面， 又平面，所以， 因为正四棱锥， 所以四边形是正方形， 所以，因为，，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2） 因为， 所以以为原点建立空间直角坐标系， 使用， 所以， 所以， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 5．（2025·江苏苏州·三模）如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连结交于点，连结， 因为正四棱锥，所以平面， 又平面， 所以，因为正四棱锥， 所以四边形是正方形， 所以，因为，，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2） 因为，，， 所以以为原点建立空间直角坐标系， ，，，， 所以， ， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 6．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 法一： 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. 法二： ∵，，，在同一个球面上， ∴球心到四个点的距离相等 在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出和的垂直平分线，如下图所示， 由几何知识得， ，， ， ∴， ∴点是的外心， 在Rt中，，， 由勾股定理得， ∴， ∴点即为点，，，所在球的球心， 此时点在线段上，平面， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 考向二 直线与平面所成之角 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系. 则平面的一个法向量为， 设正三棱柱中，，则，， 所以，所以, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A 2．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）在直三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 则，即， 在直三棱柱中，平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得. 直线与平面所成角为， 所以， 故直线BC与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 3．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为正四棱柱中底面ABCD是正方形，且，所以. 以为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，. 所以， ，. 设平面的法向量为， 则且. ，  . 令，解得，. 所以. 设直线与平面所成角为，则. . ，. 所以. 故选：D. 4．（25-26高三上·重庆·阶段练习）如图，已知圆柱的轴截面为矩形，且，点是底面圆上异于点的任意一点，为中点，为中点，为线段上一点且． (1)证明：平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析; (2). 【详解】（1）法一：在上取点，使得,连接, 因为，所以，， 因为为中点，所以，， 由题可得为中点，为中点， 所以,且， 所以,, 所以四边形为平行四边形，所以, 又因为平面，平面， 所以平面. 法二：取中点，连接， 因为为中点，所以, 又因为平面，平面， 所以平面, 因为为的中点，为的中点，所以 因为， 所以, 又因为平面，平面， 所以平面, 又因为，且面, 所以面平面， 因为面，所以平面. （2）如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系， 因为为底面圆的直径，且，所以，, 不妨设， 则， 则,， 设平面的法向量为 则，，取， 设直线与平面所成角为， 则． 5．（24-25高二下·江西九江·期末）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． (1)求证：平面ABC； (2)若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题可知，，． 在中，， 所以， 在三棱柱中，所以， 因为平面平面且平面平面， 所以平面. （2）因为，所以，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意，得，，，，且D为的中点，即， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值. 6．（25-26高三上·湖南·开学考试）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，，． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）侧面为矩形，， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 因为，所以，所以， 因为，平面，所以平面． （2）连接，如图， 由（1）易知， 所以由已知可得， 在中由余弦定理可得， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以在中， 由（1）易知两两互相垂直，故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ， 设平面的法向量为， 则取， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 考向三 平面与平面所成之角 1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 2．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为两平面的法向量分别为，. 又，，. 所以. 所以两平面的夹角为. 故选：A. 3．（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，，，M为BC的中点，，，．则平面PCD与平面QAB夹角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，，， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以，所以． 又因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以． 由于，所以四边形为平行四边形，所以． 又，所以，所以． 因为，所以， 又，，平面， 所以平面，则面． 取中点，连接，由面，面， 则面面，面面， 由得多面体为三棱柱， 设，多面体的体积为， 由题意得，四边形为平行四边形，故，， 则 ， 解得． 由得. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则，． 则平面的一个法向量，且， 设平面的一个法向量，则即取． 设平面PCD与平面QAB的夹角为，则， 所以，即平面与平面夹角的正弦值为． 故选：D. 4．（25-26高三上·山西长治·开学考试）如图，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且，将沿进行翻折，使得点至点处，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）中，由，得， 翻折后，有，，， 连接，可得，又因为， 所以， ，          又因为，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图空间直角坐标系， 那么，， 设平面的法向量为，且， 则，即，令，可得，所以    设平面的法向量为，且， 则，即，令，可得，所以， 所以，，所以平面与平面的夹角的余弦值为. 5．（25-26高二上·山西临汾·开学考试）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中． (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）由于平面平面，平面平面， 又且平面，平面. 平面，. （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，可得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，得， 由且得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线、、两两垂直， 以为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 则，，， 令，， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是， 化简得，又，故解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时. 6．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）如图，直四棱柱的底面为梯形，，，，若平面与交于点E． (1)求的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）如图： 因为平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以． 因为， 由等角定理可得：， 又， 所以∽． 因为， 所以 所以E为的中点，故． （2）以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 易知是平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，， 所以平面的一个法向量为． ， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 考点三 空间向量法求空间距离问题 【知识点解析】 空间距离问题 向量表示 点到平面的距离 已知点为平面外的一点，求点到平面的距离. (1)表示点的坐标. (2)与平面两条相交直线所形成的向量. (3)求平面的法向量. (4)记点到平面的距离为，则. 点到直线的距离 已知点为直线外的一点，求点到直线的距离. (1)表示点的坐标. (2)表示向量. (3)求在上的投影. (4)记点到直线的距离为，则. 异面直线的距离 已知直线与为异面直线，求异面直线与的距离 (1)表示点的坐标. (2)表示向量. (3)求直线与公垂线的方向向量. (4)记异面直线与的距离为，则. 【例题分析】 考向一 点到平面的距离 1．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得. 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为平面，平面的中心，则点B到平面APQ的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 因点P，Q分别为平面，平面的中心，则， 于是，， 设平面的法向量为， 则， 故可取，又， 则点B到平面APQ的距离为. 故选：B. 3．（24-25高二上·重庆·期末）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，设平面的一个法向量为， ，即，取，又， 所以点到面的距离. 故选：B. 4．（24-25高二下·上海·期末）已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 所以异面直线与所成角的大小与相等． ，即． （2）建立D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴的坐标系得， ，，，所以，， 设平面的法向量为，则，令，即． 由点到平面的距离公式．  所以到平面的距离． 5．（24-25高一下·天津·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，M、N、P分别是、、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在直三棱柱中，，则，，两两垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 由，则， 由，则， 由，且都在平面内，则平面. （2）设平面的一个法向量，，， 所以，取，则， 所以， 故与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知， 所以点到平面的距离. 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图所示，以D为坐标原点，，，为x，y，z轴正方形建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，即， 设，解得，，则平面的一个法向量为， 则，得， 又直线不在平面内，则直线平面． （2）点B到平面的距离． 考向二 点到直线的距离 1．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，以正方体的顶点为坐标原点，以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，所以，， 设与的夹角为，则， 所以， 所以点到直线的距离为. 故选：D. 2．（2025·四川·二模）已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设向量的单位向量为，则，， 点B到直线AC的距离为：， 故选：B. 3．（24-25高二上·湖北·期末）在空间直角坐标系中，有，，三点，则点C到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，， 所以，， 所以点C到直线的距离为. 故选：D. 4．（24-25高二下·广西桂林·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)； (3) 【详解】（1）证明：由题知，平面ABC， 所以、、两两垂直 故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系    因为，，，则 ，，，，，， 所以， 故 所以 （2）由（1）分析知，，， 又，即 所以， 设平面的法向量为 则，即 令，则 由题知，是平面的一个法向量 设二面角的平面角为，则 所以二面角的余弦值为. （3）由（2）知，，且 在上的投影向量的模长. 计算. 根据点到直线距离公式， 即点到直线的距离为. 5．（2025·广东·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，M为的中点．    (1)求点P到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取的中点，连接，如图，在正三角形中，则， 因为侧面底面，平面平面，平面， 所以平面， 在平面内过点作，则射线两两垂直， 以点为坐标原点，射线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与所成角为，则 ，所以， 所以点到直线的距离为.    （2）设平面的法向量为， 则，令，可得， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 6．（24-25高三上·天津滨海新·期中）如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱和棱上，且，． (1)设为中点，求证：面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取BE的中点为G，连接， 因为为中点，所以， 而，，则，，故， 所以，则四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面； （2）在直三棱柱中，，故两两垂直， 以所在直线为轴建立空间直坐标系， 由于， 故， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）, 故点到直线的距离为. 考向三 异面直线的距离 1．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 2．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设， 因为是异面直线与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以， 所以异面直线与间的距离为， 故选：C． 3．（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离， 已知正方体棱长为2，所以， 设，所以，， 设与共线的单位向量， 所以点到的距离 ， 令， 则当时，， 所以直线与之间的距离为. 故选：. 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在四面体中，，． (1)求二面角的平面角的大小； (2)求异面直线与间的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取中点，连接， 因为，所以， 所以为二面角的平面角， 又，所以，， 又，所以是等边三角形， 所以，所以二面角的平面角的大小为； （2）以为坐村标原点，所在直线为轴，过作直线平面， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）可知，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，所以平面， 则， 则， 设，且， 则，令，则， 则， 则异面直线与间的距离． 5．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABC，，M，N分别为PC，AB的中点． (1)求异面直线PC与AB间的距离； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法一：连接BM，CN， 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，平面PAB，平面PAB， ，所以平面PAB， 又因为平面PAB，所以． 在中，M为PC的中点，所以． 因为平面ABC，平面ABC，所以． 在中，M为PC的中点，所以， 所以． 又因为N为AB中点，所以．                     在和中，， 所以，所以，又M为PC的中点，． 故线段MN的长即为异面直线AB与PC间的距离．                    在中，， 在中，， 所以．因为，所以． 故异面直线AB与PC间的距离为．                     方法二：因为平面ABC，平面ABC，所以． 如图，在平面ABC中，过点A作直线AB的垂线为x轴，以AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系， 则， 所以．                         设与和都垂直， 则即 则，不妨取，则．                       所以异面直线AB与PC间的距离． （2）因为M，N分别为PC，AB的中点，所以， 则，                        设是平面AMN的一个法向量， 所以即 不妨取，则．                  设是平面PMN的一个法向量， 所以即 不妨取，则．                           设二面角的平面角为， 由图可知为锐角，则，                     所以二面角的余弦值为． 6．（24-25高二下·河南开封·期末）如图，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面相互垂直． (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义，求异面直线与之间的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. （2）因为四边形为正方形，所以， 又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， ①若，即，即，无解， 所以直线与直线不平行； ②若直线与相交，记它们所确定的平面为， 因为、，所以，设， 即，所以，无解， 所以直线与直线不相交. 由于空间中两直线仅有的三种位置关系：平行、相交或异面，故直线与直线为异面直线. （3）记、分别为异面直线、上任意一点，设，，、， 则， 故，即点， ，故，则， 由得，则， 所以， 因此，当时，取最小值， 所以异面直线与之间的距离为. 课后提升训练 1．（24-25高二上·天津·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 【答案】C 【详解】A选项，，设， 则，无解，故与不是共线向量，A错误； B选项，的单位向量为，B错误； C选项，由于， ， 与均垂直，又由A知，与不共线， 故平面ABC的一个法向量是，C正确； D选项，， 设与夹角为，则，D错误. 故选：C 2．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（    ）    A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60° 【答案】C 【详解】由题可得，，， 对于A，由题， 所以，， 所以， 因为，所以，故A错误； 对于B，由题得 ，故B错误； 对于C，因为，， 所以 ，故C正确； 对于D，因为， 又， 所以，所以， 所以直线与所成的角为，故D错误. 故选：C 3．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试），，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】    如图所示，为的中点， 则， ， 又， ， ， ， 点E到直线DF的距离为． 故选：C 4．（24-25高二下·浙江杭州·期中）在直三棱柱中，分别是的中点，D在线段上，则下面说法中不正确的是（   ） A．平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．直三棱柱的外接球半径为 D．直线与直线所成角最小时，线段长为 【答案】D 【详解】因为是直三棱柱，所以平面， 又平面，所以，又，即； 因此两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如下图所示： 对于A，又，所以，可得， 显然平面的一个法向量为， 所以，又平面，所以平面，即A正确； 对于B，易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 所以 因此与平面所成角的正弦值为，即B正确； 对于C，因为，，所以为等腰直角三角形， 所以其外接圆圆心为的中点，外接圆半径为； 因此可得直三棱柱的外接球球心即为的中心，易知， 则外接球半径为，因此C正确； 对于D，易知，所以， 由在线段上，可设，其中， 所以， 因此直线与直线所成的角的余弦值为 ， 令函数，可得； 易知当时，，当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 再结合余弦函数单调性可得此时直线与直线所成的角最小， 因此，所以， 因此线段长为，即D错误. 故选：D 5．（25-26高三上·湖北·开学考试·多选）如图所示，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的中点，，则下列结论正确的有（　　）    A．平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面 D．若存在，使得平面，则 【答案】ACD 【详解】    在平面中，故作直线垂直于，而平面， 故可建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则， 设，则，，， 因为，故，故，故， 对于A，设平面的法向量为，则即， 故可取，因为，故即平面，故A正确； 对于B，若平面，则，故四点共面， 故五点共面，而平面即为平面，故在平面中， 这与题设矛盾，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以，而，故，故， 若平面，因为平面，故， 所以即，故C正确； 对于D，平面的法向量为，若平面， 则，故即，而即， 故，故， 而，故，故D正确； 故选：ACD. 6．（24-25高二下·甘肃临夏·期末·多选）如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B． C．若E为线段的中点，则点E到直线的距离为 D．存在某个点E，使直线与平面所成角为 【答案】ABC 【详解】对于A,,所以A正确. 对于B,连接，如图：    在正方体中，， 所以平面，又因为平面， 所以，所以B正确. 对于C,当E为线段的中点，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系：    则， 即 所以点E到直线的距离， 所以C正确. 对于D,由上面空间直角坐标系可知，，      所以平面的法向量，设， 则，设直线与平面所成角为，则 ， 若直线与平面所成角为， 则， 又，所以方程无解，D错误. 故选：ABC. 7．（25-26高三上·江苏南通·开学考试·多选）已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得∥面 B．存在点，使得面 C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D．若为面的中心，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为4， 动点在正方体表面上（不包括边界）， 连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接， 建立空间直角坐标系如下图所示， ， ∴， ∴∥， ∵面，面， ∴∥面， ∴当点在处时，面， ∴存在点，使得∥面，故A正确； B项，在面中，， 设面的法向量为， 即，解得， 当时，， 若面，则，， ∵动点在正方体表面上， ∴，此时，与重合， ∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误； C项，因为，与的夹角为， 所以与所成的角为， 则 由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即）， 在中，，，， ∴， ∴点的轨迹长度为：，C正确； D项，为面的中心，作点关于平面的对称点， 连接，当最小时，， ∴，， ∴，D正确. 故选：ACD. 8．（2025·甘肃白银·二模）如图，在平行六面体中，底面四边形ABCD是菱形，，，，则的长为 ，直线与直线所成角的余弦值为 ．（结果用a，b表示） 【答案】 ； . 【详解】由， 则 ， 所以； 由，， 所以， ， ， 所以， 则直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为：，. 9．（24-25高二下·湖南长沙·期中）如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则 ． 【答案】 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则， 则， 则 ， 得， 因，则，解得． 故答案为： 10．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 . 【答案】 【详解】以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 因此， 所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为. 故答案为： 11．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）如图，已知正方形的边长为分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为为线段上一点（含端点）. (1)若为线段中点，设直线与直线的交点为，证明：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求点到平面的距离的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为 (3) 【详解】（1）分别为中点，，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， 由题设，易知四边形为平行四边形，为中点， 是的中点，为中点， ，又平面，平面， 平面； （2），，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角，； 取中点，连接， ，， ，，，， ，，又平面，， 平面，平面，， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， 则，，，， 设，则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， 直线与平面所成的角为， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为. （3）由（2）可得，平面的法向量，， 所以点到平面的距离， 令， 所以，， 所以，即, 故点到平面的距离的取值范围为 12．（2025·四川达州·模拟预测）在平面中，我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，称为完全四边形.如图，在完全四边形中，，.将和分别沿BD，DF翻折至和，使得.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以. 因，所以，从而. 即，，因为，所以. 因为，平面， 故平面； （2）由（1）知，平面， 又平面，所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图. 设，因为， 则， 则，，，. 所以，， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，所以平面的一个法向量可取为. 又因，设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为. 所以， 设二面角的大小为，则， 从而二面角的正弦值为.    13．（25-26高三上·山西·阶段练习）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点，连接，， ∵，，点为中点， ∴， 又∥，∴四边形为平行四边形， ∴∥，，∵为正方形， ∴∥，，∴∥，， ∴四边形为平行四边形，∴∥， 又平面，平面，∴∥平面． （2）以为原点，分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，， 则，，， 设平面的法向量为， ，令，则，，所以， 设平面的法向量为， ，令，则，，所以， ， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 14．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）如图，连接交 于点，连接，因为底面是正方形，所以为的中点， 因为是的中点，所以在中， 又平面，平面，所以平面； （2）因为四棱锥的底面是正方形，所以，又因为侧棱底面，所以，， 如图，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因为，则，，，所以，， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，，所以， 平面的一个法向量为，则， 易知二面角的平面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为. 15．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）四棱锥中，是等边三角形，为直角三角形，且，，为的中点．    (1)为的中点，为的中点，证明：平面； (2)若平面，，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，的中点，连接、， 因，，不妨设，则， ∵、、分别为、、的中点， ∴，，， ∵，，∴，∴，∴四边形为平行四边形， ∴，∵平面，平面，∴平面. （2）∵平面，平面，∴，，又， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．    设，则 ∴，， 设平面的一个法向量为 ∴，∴， 取，∴，∴， ∵，，平面，且， ∴平面，则平面的法向量可取为， 设平面与平面成的角为θ， 则， 即平面与平面成角的余弦值为． 16．（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）如图1，在直角梯形中，，，，，，点在上，且.将沿折起，使得平面平面，如图2. (1)求四棱锥的体积； (2)若点在图2中线段上，且，证明：平面. (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）如图，过点作，垂足为点，取的中点，连接. 由，可知. 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 由，，得， . 在直角梯形中，因为，， 所以，， . 所以四棱锥的体积为. （2）过点作∥交于点，连接. 因为平面，平面，所以平面. 因为，所以四边形是平行四边形，则，所以， 所以，同理可证平面. 因为，所以平面平面. 又因为平面，所以平面. （3）取的中点，连接. 在中，由，，，可得. 因为，所以. 以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 由点和的坐标可求得，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则取，得. 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．（25-26高三上·安徽·开学考试）三棱锥中，，，．点P在底面上的射影E是线段上靠近点A的四等分点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求三棱锥外接球表面积； (3)设靠近的四等分点为F，D是平面内的动点，且C，D在直线的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【详解】（1）法一：连接，由题意，，， 因，，则，即是等腰直角三角形， 故，在中，由余弦定理：， 因，， 设为到平面的距离， 由，可得：，即：， 设与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 法二：连接，因为在底面上的射影是线段靠近点的四等分点， 可得平面，因平面，所以， 在直角中，可得， 又因为平面，所以平面平面，且交线为， 过作于点，连接， 因为平面，由面面垂直的性质，可得平面， 故为与平面的所成角， 在中，，，， 由余弦定理得，所以， 又由，解得， 在中，由，所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. （2）因，则三棱锥外接球的球心在过中点且与平面垂直的垂线上， 以点为坐标原点，所在直线为，轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，设三棱锥外接球的半径为， 设，由，∴， ∴，故，，故三棱锥外接球的表面积为． （3）依题意，，，，，， 设，由， ∴在平面中，点D在以E、F为焦点的椭圆上，则（*）， 设平面的法向量，因，， 因，即，故可取， 设平面的法向量，因，， 由，∴，故可取， 由可得，将其代入（*），解得（舍）或， 此时．而，故． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$空间向量与立体几何：空间向量法证明空间位置关系问题、空间角度问题、空间距离问题 空间向量与立体几何：空间向量法证明空间位置关系问题、空间角度问题、 空间距离问题 考点目录 空间向量法证明空间位置关系问题 空间向量法求空间角度问题 空间向量法求空间距离问题 考点一 空间向量法证明空间位置关系问题 【知识点解析】 1.利用空间向量法解决立体几何问题的步骤 步骤一：证明空间中三条直线互相垂直. 步骤二：建立空间直角坐标系. 步骤三：表示点的坐标. 步骤四：表示向量. 步骤五：求平面的法向量. 步骤六：翻译立体几何问题. 注意事项： (1)若建系时缺轴，可过原点做一条与已知垂直于底面的直线平行的直线作为轴. (2)若平面与轴任意两条轴所形成的平面重合或平行，则该平面的法向量可以直接写出. 2. 利用空间向量法证明空间位置关系 空间位置关系 向量表示 线线平行： 线面平行： 面面平行： 线线垂直： 线面垂直： 面面垂直： 【例题分析】 1．（2025·湖北武汉·三模）在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知点，点，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 4．（24-25高二上·天津·期中）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于 . 5．（24-25高二上·广东江门·期中）设直线的方向向量，平面的法向量，若，则 6．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 7．（24-25高二下·贵州黔南·期末）如图，在长方体中，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 8．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 9．（24-25高二下·河南·阶段练习）如图，直四棱柱的底面为直角梯形，为的中点，点为棱上一动点. (1)证明：平面； (2)当点为棱的中点时，证明：平面平面； (3)若二面角的余弦值为，求的值. 10．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在中国古代数学中，将底面为矩形并有一条棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图是一个底面为正方形的阳马，其中底面，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 11．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，与平面所成角为，是的中点，点且． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小． 12．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，分别为棱，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 考点二 空间向量法求空间角度问题 【知识点解析】 空间角度问题 向量表示 异面直线所成之角（线线角） 已知求直线与直线所称之角 (1)表示点的坐标. (2)表示向量. (3)记直线所成之角为，. 直线与平面所成之角（线面角） 已知求直线与平面所成之角 (1)表示点的坐标. (2)表示与平面两条相交直线所形成的向量. (3)求平面的法向量. (4)记直线与平面所成之角为，. 平面与平面所成之角（二面角） 已知求平面与平面所成之角 (1)表示点的坐标. (2)分别表示平面与平面两条相交直线所形成的向量. (3)求平面和平面的法向量与. (4)记平面与平面所成之角为，. 【例题分析】 考向一 异面直线所成之角 1．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广西桂林·期末）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建龙岩·期末）如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北衡水·阶段练习）如图，正四棱锥，，，P为侧棱SD中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 5．（2025·江苏苏州·三模）如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 6．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 考向二 直线与平面所成之角 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）在直三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·重庆·阶段练习）如图，已知圆柱的轴截面为矩形，且，点是底面圆上异于点的任意一点，为中点，为中点，为线段上一点且． (1)证明：平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值． 5．（24-25高二下·江西九江·期末）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． (1)求证：平面ABC； (2)若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 6．（25-26高三上·湖南·开学考试）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，，． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 考向三 平面与平面所成之角 1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为（ ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，，，M为BC的中点，，，．则平面PCD与平面QAB夹角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山西长治·开学考试）如图，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且，将沿进行翻折，使得点至点处，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 5．（25-26高二上·山西临汾·开学考试）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中． (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 6．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）如图，直四棱柱的底面为梯形，，，，若平面与交于点E． (1)求的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 考点三 空间向量法求空间距离问题 【知识点解析】 空间距离问题 向量表示 点到平面的距离 已知点为平面外的一点，求点到平面的距离. (1)表示点的坐标. (2)与平面两条相交直线所形成的向量. (3)求平面的法向量. (4)记点到平面的距离为，则. 点到直线的距离 已知点为直线外的一点，求点到直线的距离. (1)表示点的坐标. (2)表示向量. (3)求在上的投影. (4)记点到直线的距离为，则. 异面直线的距离 已知直线与为异面直线，求异面直线与的距离 (1)表示点的坐标. (2)表示向量. (3)求直线与公垂线的方向向量. (4)记异面直线与的距离为，则. 【例题分析】 考向一 点到平面的距离 1．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为平面，平面的中心，则点B到平面APQ的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·期末）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海·期末）已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求到平面的距离． 5．（24-25高一下·天津·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，M、N、P分别是、、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求点B到平面的距离． 考向二 点到直线的距离 1．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·二模）已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北·期末）在空间直角坐标系中，有，，三点，则点C到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广西桂林·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到直线的距离． 5．（2025·广东·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，M为的中点．    (1)求点P到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 6．（24-25高三上·天津滨海新·期中）如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱和棱上，且，． (1)设为中点，求证：面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 考向三 异面直线的距离 1．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在四面体中，，． (1)求二面角的平面角的大小； (2)求异面直线与间的距离． 5．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABC，，M，N分别为PC，AB的中点． (1)求异面直线PC与AB间的距离； (2)求二面角的余弦值． 6．（24-25高二下·河南开封·期末）如图，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面相互垂直． (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义，求异面直线与之间的距离． 课后提升训练 1．（24-25高二上·天津·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 2．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（    ）    A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60° 3．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试），，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江杭州·期中）在直三棱柱中，分别是的中点，D在线段上，则下面说法中不正确的是（   ） A．平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．直三棱柱的外接球半径为 D．直线与直线所成角最小时，线段长为 5．（25-26高三上·湖北·开学考试·多选）如图所示，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的中点，，则下列结论正确的有（　　）    A．平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面 D．若存在，使得平面，则 6．（24-25高二下·甘肃临夏·期末·多选）如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B． C．若E为线段的中点，则点E到直线的距离为 D．存在某个点E，使直线与平面所成角为 7．（25-26高三上·江苏南通·开学考试·多选）已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得∥面 B．存在点，使得面 C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D．若为面的中心，则的最小值为 8．（2025·甘肃白银·二模）如图，在平行六面体中，底面四边形ABCD是菱形，，，，则的长为 ，直线与直线所成角的余弦值为 ．（结果用a，b表示） 9．（24-25高二下·湖南长沙·期中）如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则 ． 10．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 . 11．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）如图，已知正方形的边长为分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为为线段上一点（含端点）. (1)若为线段中点，设直线与直线的交点为，证明：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求点到平面的距离的取值范围. 12．（2025·四川达州·模拟预测）在平面中，我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，称为完全四边形.如图，在完全四边形中，，.将和分别沿BD，DF翻折至和，使得. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 13．（25-26高三上·山西·阶段练习）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 14．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值. 15．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）四棱锥中，是等边三角形，为直角三角形，且，，为的中点． (1)为的中点，为的中点，证明：平面； (2)若平面，，求平面与平面所成角的余弦值． 16．（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）如图1，在直角梯形中，，，，，，点在上，且.将沿折起，使得平面平面，如图2. (1)求四棱锥的体积； (2)若点在图2中线段上，且，证明：平面. (3)求直线与平面所成角的正弦值. 17．（25-26高三上·安徽·开学考试）三棱锥中，，，．点P在底面上的射影E是线段上靠近点A的四等分点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求三棱锥外接球表面积； (3)设靠近的四等分点为F，D是平面内的动点，且C，D在直线的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$