空间向量的线性运算与基本定理、数量积、坐标运算讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

空间向量与立体几何：空间向量的线性运算与基本定理、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算 空间向量与立体几何：空间向量的线性运算与基本定理、空间向量的数量积、 空间向量的坐标运算 考点目录 空间向量的线性运算与基本定理 空间向量的数量积 空间向量的坐标运算 考点一 空间向量的线性运算与基本定理 【知识点解析】 1.空间向量的线性运算 线性运算 运算规则 空间向量的加法 如右图， 空间向量的减法 如右图， 空间向量的数乘 如右图，当时，. 当时，. 当时， 2.空间向量的线性运算的运算律 （1）交换律：. （2）结合律：，. （3）分配律：，. 3.空间向量的基本定理 如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得. 我们把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量． 4.共面向量的判定 如果两个向量，不共线，那么与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序数对，使. 5．用基底表示向量的步骤: （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． （2）找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． （3）下结论：利用空间的一个基底可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量． 6.证明四点共面 已知为空间任意一点，若四点共面，且三点不共线，则 （1）,且. （2）唯一的有序数对，使得. 【例题分析】 考向一 基底的概念 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25高二上·北京·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 4．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 考向二 利用基底表示向量 1．（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·四川泸州·期末）四面体中，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 考向三 四点共面问题 1．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（24-25高二上·天津滨海新·期中）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 5．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点P，满足，则 . 考点二 空间向量的数量积 【知识点解析】 1. 平面向量的数量积 考点 知识点 定义 （为与的夹角，夹角必须有公共起点） 计算 ①若已知、和，则直接用定义计算. ②若、和存在未知量，则需利用线性运算进行替换. ③建立空间直角坐标系，用坐标进行计算 性质 ①若，则. ②，即. 夹角问题 . 投影与投影向量 ①在上的投影为. ②在上的投影向量为. 锐角与钝角问题 ①若与所称之角为锐角，则且与不共线 ②若与所称之角为钝角，则且与不共线. 【例题分析】 1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25高二下·甘肃白银·期末）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 4．（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（    ）．    A． B． C． D． 7．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 9．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 10．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则 .    11．（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则 . 12．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距 m． 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 14．（24-25高二上·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 15．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 16．（24-25高二下·四川眉山·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求线段的长． 考点三 空间向量的坐标运算 【知识点解析】 1.空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底.以点为原点，分别以的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 2.空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点对应一个向量，且点的位置由向量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使. 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标. 在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使. 有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，简记.这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 2. 平面向量的坐标运算 考点 知识点 向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，已知点，， 则. 向量的坐标运算 设，. ①向量加法：. ②向量减法：. ③向量数乘：. ④向量数量积：. ⑤向量平行：. ⑥向量垂直：. ⑦向量的模：. ⑧夹角问题： 投影与投影向量 ①在上的投影为. ②在上的投影向量为. 注：进行向量运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算，一般按照右手系建系． 以右手握住轴，当右手的四指从正向轴以角度转向正向轴时，大拇指的指向就是轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个右手空间直角坐标系. 3.与坐标轴与坐标平面有关的对称与投影 (1)在空间直角坐标系中，已知点，则 点关于轴的对称点的坐标. 点关于轴的对称点的坐标. 点关于轴的对称点的坐标. 点关于坐标平面上的对称点的坐标. 点关于坐标平面上的对称点的坐标. 点关于坐标平面上的对称点的坐标. (2)在空间直角坐标系中，已知点，则 在轴上的投影向量. 在轴上的投影向量. 在轴上的投影向量. 在坐标平面上的投影向量. 在坐标平面上的投影向量. 在坐标平面上的投影向量. 【例题分析】 1．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知空间向量，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（24-25高二下·安徽滁州·期末）已知空间三点，则的面积为（    ） A． B． C．7 D． 3．（24-25高二下·河南开封·期末）在空间直角坐标系中，，则线段上靠近点A的三等分点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）已知向量，，若与共线，则（   ） A．12 B．9 C． D． 5．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽阜阳·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·甘肃白银·期中·多选）已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 8．（24-25高二下·甘肃兰州·期中·多选）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 9．（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是 . 10．（24-25高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是 . 11．（24-25高二上·北京丰台·期中）已知，，，若四点共面，则实数 . 12．（24-25高二下·甘肃天水·阶段练习）已知向量，，若，，三点共线，则 13．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 14．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 15．（24-25高二下·甘肃天水·期中）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 16．（24-25高二下·上海浦东新·期末）给定点与点． (1)求在上的投影向量； (2)判断四点是否共面？ 17．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）已知向量，， (1)求的值； (2)求. 课后提升训练 1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）向量，，若，则实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（24-25高二下·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·福建漳州·期末）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 5．（24-25高一下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 9．（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 10．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末·多选）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一个法向量是 11．（24-25高二下·湖北·期末·多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 12．（24-25高二上·山东·阶段练习·多选）已知空间内三点，，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 13．（24-25高二下·江苏盐城·期末）在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 14．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为 ． 15．（24-25高二下·安徽亳州·期末）在三棱柱中，为的中点，则 . 16．（24-25高二上·安徽合肥·期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 17．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 18．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 19．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知向量，且. (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求的值． 20．（24-25高二下·江苏盐城·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，． (1)用，，表示，，； (2)求异面直线AC与所成角的正切值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$空间向量与立体几何：空间向量的线性运算与基本定理、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算 空间向量与立体几何：空间向量的线性运算与基本定理、空间向量的数量积、 空间向量的坐标运算 考点目录 空间向量的线性运算与基本定理 空间向量的数量积 空间向量的坐标运算 考点一 空间向量的线性运算与基本定理 【知识点解析】 1.空间向量的线性运算 线性运算 运算规则 空间向量的加法 如右图， 空间向量的减法 如右图， 空间向量的数乘 如右图，当时，. 当时，. 当时， 2.空间向量的线性运算的运算律 （1）交换律：. （2）结合律：，. （3）分配律：，. 3.空间向量的基本定理 如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得. 我们把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量． 4.共面向量的判定 如果两个向量，不共线，那么与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序数对，使. 5．用基底表示向量的步骤: （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． （2）找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． （3）下结论：利用空间的一个基底可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量． 6.证明四点共面 已知为空间任意一点，若四点共面，且三点不共线，则 （1）,且. （2）唯一的有序数对，使得. 【例题分析】 考向一 基底的概念 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以共面， 所以不能构成基底， 对于C，因为， 所以共面，所以不能构成基底，C错误； 对于D，， 所以共面，所以不能构成基底，D错误， 对于B，若共面， 则可设，故， 故共面，与条件矛盾， 所以不共面，即能构成基底，B正确； 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】由向量是空间的一组基底可知不共面， 对于A，易知，即，，共面，可得A错误； 对于B，易知，即，，共面，可得B错误； 对于C，不存在实数对满足，因此，，不共面，可以作为基底，即C正确； 对于D，易知，即，，共面，可得D错误. 故选：C 3．（24-25高二上·北京·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【详解】对于A选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能构成空间的一组基底； 对于B选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于C选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于D选项，假设、、共面， 则存在、使得， 由于为空间的一组基底，则，该方程组无解， 故假设不成立，即、、不共面， 所以，、、可以作为空间的一组基底. 故选：D. 4．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】对于A：设，，不能构成基底，则， 所以，此时方程组无解，所以假设不成立，所以能构成一个基底，不符合； 对于B：设，，不能构成基底，则， 因为不共面，所以上式显然无解，所以假设不成立，所以能构成一个基底，不符合； 对于C：设，，不能构成基底，则， 所以，解得，所以假设成立，所以不能构成基底，符合； 对于D：设，，不能构成基底，则， 所以，此时方程组无解，所以假设不成立，所以能构成一个基底，不符合； 故选：C. 考向二 利用基底表示向量 1．（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是的中点，，又，由，. 故选：. 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意，. 故选：D. 3．（24-25高二下·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得： ． 故选：D 4．（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知得，， . 故 故选：A 5．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为N为BC的中点，则，所以，， 则，因此，． 故选：D 6．（24-25高二下·四川泸州·期末）四面体中，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为， 所以，点为的中点， 所以，即. 故选：B 考向三 四点共面问题 1．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】∵四点共面，且任意三点不共线， ∴，则. 故选：D. 2．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】若四点共面，则， 解得. 故选：C. 4．（24-25高二上·天津滨海新·期中）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 【答案】 【详解】在四面体中，不共面， 因为，所以， 若、、、四点共面，则, 所以. 故答案为：. 5．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点P，满足，则 . 【答案】 【详解】由， 故， 由A，B，C，D四点共面且任意三点不共线， 故可设，，， 则有， 整理可得， 则有，解得，故. 故答案为：. 考点二 空间向量的数量积 【知识点解析】 1. 平面向量的数量积 考点 知识点 定义 （为与的夹角，夹角必须有公共起点） 计算 ①若已知、和，则直接用定义计算. ②若、和存在未知量，则需利用线性运算进行替换. ③建立空间直角坐标系，用坐标进行计算 性质 ①若，则. ②，即. 夹角问题 . 投影与投影向量 ①在上的投影为. ②在上的投影向量为. 锐角与钝角问题 ①若与所称之角为锐角，则且与不共线 ②若与所称之角为钝角，则且与不共线. 【例题分析】 1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2， 则， 所以 . 故选：D 3．（24-25高二下·甘肃白银·期末）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】 . 故选：B 4．（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨设棱长为2， 由题意可知：， 因为， 则 ， 即， 且， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 5．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可作图， 因为点是棱的中点，所以, 因为，所以, 则, 由题意，都是等边三角形， 所以， 故 故选：A. 6．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：C 7．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得. 故选：D. 8．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】设，，，则有， 由，， 所以，， 所以 ， 即， 所以， 整理得， 所以， 则，解得，则棱的最大值为4. 故选：D. 9．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【答案】1 【详解】因为， 又，，所以， 所以. 故答案为： 10．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则 .    【答案】/0.25 【详解】分别为的中点，则，    由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故答案为：. 11．（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则 . 【答案】 【详解】设分别为的中点，连接， 在正三角形中，，， 在正方形中，，，， 所以为二面角的平面角，即， 所以 . 故答案为：. 12．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距 m． 【答案】 【详解】由题意可得， 故， 而m、m，且m，水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为， 可知，又， 故， 故（m）, 故答案为： 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）； （2）因为，，， 所以，， 所以 ， 所以. 14．（24-25高二上·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）， ， ， （2），，， ，，， 因为 ， 所以，即的长为； （3）因为，， 同理可求得，， 又因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 15．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 （2）因为 ； 所以； 因为； 又。 所以； 所以直线与所成的角的余弦值为. 16．（24-25高二下·四川眉山·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，，， 所以. （2） ， 所以线段的长为． 考点三 空间向量的坐标运算 【知识点解析】 1.空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底.以点为原点，分别以的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 2.空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点对应一个向量，且点的位置由向量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使. 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标. 在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使. 有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，简记.这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 2. 平面向量的坐标运算 考点 知识点 向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，已知点，， 则. 向量的坐标运算 设，. ①向量加法：. ②向量减法：. ③向量数乘：. ④向量数量积：. ⑤向量平行：. ⑥向量垂直：. ⑦向量的模：. ⑧夹角问题： 投影与投影向量 ①在上的投影为. ②在上的投影向量为. 注：进行向量运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算，一般按照右手系建系． 以右手握住轴，当右手的四指从正向轴以角度转向正向轴时，大拇指的指向就是轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个右手空间直角坐标系. 3.与坐标轴与坐标平面有关的对称与投影 (1)在空间直角坐标系中，已知点，则 点关于轴的对称点的坐标. 点关于轴的对称点的坐标. 点关于轴的对称点的坐标. 点关于坐标平面上的对称点的坐标. 点关于坐标平面上的对称点的坐标. 点关于坐标平面上的对称点的坐标. (2)在空间直角坐标系中，已知点，则 在轴上的投影向量. 在轴上的投影向量. 在轴上的投影向量. 在坐标平面上的投影向量. 在坐标平面上的投影向量. 在坐标平面上的投影向量. 【例题分析】 1．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知空间向量，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由，有， 则， 即，解得. 故选：C. 2．（24-25高二下·安徽滁州·期末）已知空间三点，则的面积为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【详解】由空间三点可得： ； ； ， 所以是等边三角形， 所以的面积为. 故选：B. 3．（24-25高二下·河南开封·期末）在空间直角坐标系中，，则线段上靠近点A的三等分点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设线段上靠近点A的三等分点为，则有， 又，所以， 所以，即，所以， 故选：A. 4．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）已知向量，，若与共线，则（   ） A．12 B．9 C． D． 【答案】C 【详解】由向量，共线， 故存在，使得，即， 解得，，所以． 故选：C． 5．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 6．（25-26高二上·安徽阜阳·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知两式相加，得即， 两式相减可得即， 所以. 故选：C 7．（24-25高二下·甘肃白银·期中·多选）已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】因为，所以，故A错误，B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确． 故选：BCD. 8．（24-25高二下·甘肃兰州·期中·多选）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AD 【详解】，故A正确； ， 所以，所以与不垂直，故B错误； 在上的投影向量为，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 9．（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是 . 【答案】 【详解】向量在坐标平面上的投影向量是. 故答案为：. 10．（24-25高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是 . 【答案】； 【详解】在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点的坐标横纵坐标不动，竖坐标变成相反数， 所以点关于平面的对称点是. 故答案为：.　 11．（24-25高二上·北京丰台·期中）已知，，，若四点共面，则实数 . 【答案】3 【详解】因为四点共面， 所以存在实数，使得，即， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高二下·甘肃天水·阶段练习）已知向量，，若，，三点共线，则 【答案】 【详解】因为，，三点共线， 所以，共线，即，又， 故存在实数t使得，又，， 所以，，， 所以，， 所以， 故答案为：. 13．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，且的夹角为钝角， 所以且与不共线（反向）， 由，则，解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 14．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 【答案】-1 【详解】依题意，得，，． 若四点共面，则，即， 所以，所以． 故答案为：-1 15．（24-25高二下·甘肃天水·期中）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 【答案】(1)的坐标为或 (2)； 【详解】（1）因为，， 所以， 因为向量与平行， 所以可设，， 所以，因为， 所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； （2）因为，，， 所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量， 所以. 16．（24-25高二下·上海浦东新·期末）给定点与点． (1)求在上的投影向量； (2)判断四点是否共面？ 【答案】(1) (2)四点不共面，理由见解析 【详解】（1）因为，， 所以， 所以在上的投影向量为. （2）四点不共面，理由如下： 因为，，， 设，即，该方程组无解， 所以四点不共面. 17．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）已知向量，， (1)求的值； (2)求； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以，又因为， 所以． （2）因为，， 所以． 课后提升训练 1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）向量，，若，则实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：D 2．（24-25高二下·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：B. 3．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为M、N分别是的中点，所以， 所以. 故选：D 4．（24-25高二下·福建漳州·期末）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】已知， 因为四点共面，所以，解得. 故选：A. 5．（24-25高一下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意点是的中点， 所以. 故选：B. 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是. 故选：D 7．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】, 故选：C. 8．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得 ， 即， 所以，解得. 所以，即 故选：C 9．（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为点分别为的中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又，则，所以. 故选：D. 10．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末·多选）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一个法向量是 【答案】BCD 【详解】对于A，，，设，则得，显然无解， 故与不是共线向量，A错误； 对于B，与同向的单位向量是，B正确； 对于C，在方向上的投影向量为，C正确； 对于D，，，即坐标为的向量， 与、都垂直，因此平面ABC的一个法向量是，D正确. 故选：BCD 11．（24-25高二下·湖北·期末·多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以 ， 所以，故B错误； 由，， 所以 ，所以，故C正确； 由，所以，故D正确； 故选：ACD. 12．（24-25高二上·山东·阶段练习·多选）已知空间内三点，，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ABD 【详解】因为空间内三点，，， 所以，，， 则，，，A正确． 因为，所以，B正确． ，C错误． 的面积为，D正确． 故选：ABD. 13．（24-25高二下·江苏盐城·期末）在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】在平行六面体中，， 则是异面直线与所成角或其补角， 而，，， ， ， ， ， 在中，. 故答案为：. 14．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为 ． 【答案】 【详解】 因为N是面的中心，所以延长交于，是中点，且， . 故答案为：. 15．（24-25高二下·安徽亳州·期末）在三棱柱中，为的中点，则 . 【答案】/ 【详解】根据题意，取中点，连接, ， 又， 则 ， 所以. 故答案为：. 16．（24-25高二上·安徽合肥·期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2)且 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 17．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)3； (3). 【详解】（1）由，得 （2）由（1）得，而量，因此， 所以. （3）由（1）知，， 由，得 ， 所以 18．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 19．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知向量，且. (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求的值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【详解】（1）因为，. 得，所以. 由，可得， 因为，所以向量与的夹角为. （2）， 故4. （3）由向量与互相垂直，得， ，整理得，解得. 20．（24-25高二下·江苏盐城·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，． (1)用，，表示，，； (2)求异面直线AC与所成角的正切值． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）， ， ； （2）因为， ， 又，， 所以， ， ， 设异面直线AC与所成角为， 则， 所以，故， 所以异面直线AC与所成角的正切值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$